Études de cas pratique

EGC

Calcul de la position de l’axe neutre

Calcul de la Position de l’Axe Neutre (RDM)

Comprendre l'Axe Neutre en Résistance des Matériaux (RDM)

En résistance des matériaux, lorsqu'une poutre est soumise à une flexion pure (ou simple), sa section transversale subit des contraintes normales (de traction et de compression). L'axe neutre (parfois appelé fibre neutre) est une ligne imaginaire située dans le plan de la section transversale où les contraintes normales de flexion sont nulles. Pour un matériau homogène et un comportement élastique linéaire, l'axe neutre passe par le centre de gravité (ou centroïde) de la section transversale. La détermination précise de la position de cet axe est fondamentale pour calculer la distribution des contraintes de flexion dans la poutre et vérifier sa résistance.

Données de l'étude

Nous devons déterminer la position de l'axe neutre (verticale, \(y_G\)) d'une section en T par rapport à sa base (bord inférieur de l'âme).

Dimensions de la section en T (toutes les dimensions en millimètres) :

  • Aile (partie horizontale supérieure) :
    • Largeur (\(B\)) : \(100 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur (\(t_f\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Âme (partie verticale) :
    • Hauteur de l'âme seule (\(H_w\)) : \(100 \, \text{mm}\) (Hauteur totale de la section \(H_T = H_w + t_f = 120 \, \text{mm}\))
    • Épaisseur (\(t_w\)) : \(20 \, \text{mm}\)

L'axe de référence pour les calculs de \(y_G\) sera le bord inférieur de l'âme.

Schéma de la Section en T
Section en T Axe X (réf.) Axe Y (sym.) B=100 tf=20 Hw=100 tw=20 yG

Section en T avec ses dimensions. L'axe de référence pour \(y_G\) est le bord inférieur.

Questions à traiter

  1. Décomposer la section en T en deux rectangles simples (l'aile et l'âme).
  2. Pour l'aile (rectangle 1) :
    • Calculer son aire \(A_1\).
    • Déterminer la position de son centre de gravité \(y_1\) par rapport à l'axe de référence (bord inférieur de l'âme).
    • Calculer son premier moment d'aire \(Q_1 = A_1 \times y_1\) par rapport à l'axe de référence.
  3. Pour l'âme (rectangle 2) :
    • Calculer son aire \(A_2\).
    • Déterminer la position de son centre de gravité \(y_2\) par rapport à l'axe de référence.
    • Calculer son premier moment d'aire \(Q_2 = A_2 \times y_2\) par rapport à l'axe de référence.
  4. Calculer l'aire totale de la section en T (\(A_T\)).
  5. Calculer le premier moment d'aire total de la section en T (\(Q_T\)) par rapport à l'axe de référence.
  6. Calculer la position de l'axe neutre (centre de gravité de la section totale) \(y_G\) par rapport à l'axe de référence.

Correction : Calcul de la Position de l’Axe Neutre

Question 1 : Décomposition de la section

Principe :

Pour analyser une forme complexe comme un T, on la divise en formes géométriques simples dont on connaît les propriétés (ici, des rectangles). Nous aurons un rectangle pour l'aile (la partie horizontale supérieure) et un rectangle pour l'âme (la partie verticale).

Résultat :

La section est décomposée en :
- Rectangle 1 : L'aile (100mm x 20mm)
- Rectangle 2 : L'âme (20mm x 100mm)

Question 2 : Propriétés de l'aile (Rectangle 1)

Principe :

L'aire d'un rectangle est \(Largeur \times Hauteur\). Le centre de gravité d'un rectangle se trouve à l'intersection de ses diagonales, c'est-à-dire au milieu de sa hauteur et au milieu de sa largeur. Nous avons besoin de la coordonnée \(y_1\) de ce centre de gravité par rapport à notre axe de référence (le bas de l'âme). Le premier moment d'aire (ou moment statique) d'une surface par rapport à un axe est le produit de cette surface par la distance de son centre de gravité à cet axe. Il mesure comment l'aire est distribuée par rapport à l'axe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_1 = B \times t_f\]
\[y_1 = H_w + \frac{t_f}{2}\]
\[Q_1 = A_1 \times y_1\]
Données spécifiques :
  • Largeur aile (\(B\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur aile (\(t_f\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Hauteur âme (\(H_w\)) : \(100 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_1 &= 100 \, \text{mm} \times 20 \, \text{mm} = 2000 \, \text{mm}^2 \\ y_1 &= 100 \, \text{mm} + \frac{20 \, \text{mm}}{2} = 100 \, \text{mm} + 10 \, \text{mm} = 110 \, \text{mm} \\ Q_1 &= 2000 \, \text{mm}^2 \times 110 \, \text{mm} = 220000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Pour l'aile (Rectangle 1) :
Aire \(A_1 = 2000 \, \text{mm}^2\).
Position du centroïde \(y_1 = 110 \, \text{mm}\) (depuis la base de l'âme).
Premier moment d'aire \(Q_1 = 220000 \, \text{mm}^3\).

Question 3 : Propriétés de l'âme (Rectangle 2)

Principe :

Même principe que pour l'aile. L'aire est \(Largeur \times Hauteur\). Le centre de gravité de l'âme (qui est un rectangle vertical) se trouve au milieu de sa propre hauteur. La distance \(y_2\) est mesurée depuis l'axe de référence (le bas de l'âme). Le premier moment d'aire est ensuite calculé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_2 = t_w \times H_w\]
\[y_2 = \frac{H_w}{2}\]
\[Q_2 = A_2 \times y_2\]
Données spécifiques :
  • Épaisseur âme (\(t_w\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Hauteur âme (\(H_w\)) : \(100 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_2 &= 20 \, \text{mm} \times 100 \, \text{mm} = 2000 \, \text{mm}^2 \\ y_2 &= \frac{100 \, \text{mm}}{2} = 50 \, \text{mm} \\ Q_2 &= 2000 \, \text{mm}^2 \times 50 \, \text{mm} = 100000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Pour l'âme (Rectangle 2) :
Aire \(A_2 = 2000 \, \text{mm}^2\).
Position du centroïde \(y_2 = 50 \, \text{mm}\) (depuis la base de l'âme).
Premier moment d'aire \(Q_2 = 100000 \, \text{mm}^3\).

Question 4 : Aire totale de la section en T (\(A_T\))

Principe :

L'aire totale de la section composée est simplement la somme des aires des formes simples qui la constituent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_T = A_1 + A_2\]
Données spécifiques :
  • \(A_1 = 2000 \, \text{mm}^2\)
  • \(A_2 = 2000 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_T &= 2000 \, \text{mm}^2 + 2000 \, \text{mm}^2 \\ &= 4000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Aire totale de la section en T : \(A_T = 4000 \, \text{mm}^2\).

Question 5 : Premier moment d'aire total (\(Q_T\))

Principe :

Le premier moment d'aire total de la section composée par rapport à l'axe de référence est la somme des premiers moments d'aire de chaque forme simple par rapport à ce même axe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_T = Q_1 + Q_2\]
Données spécifiques :
  • \(Q_1 = 220000 \, \text{mm}^3\)
  • \(Q_2 = 100000 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_T &= 220000 \, \text{mm}^3 + 100000 \, \text{mm}^3 \\ &= 320000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Premier moment d'aire total : \(Q_T = 320000 \, \text{mm}^3\).

Question 6 : Position de l'axe neutre (\(y_G\))

Principe :

La position du centre de gravité (\(y_G\)) de la section totale (qui correspond à la position de l'axe neutre pour la flexion simple) par rapport à l'axe de référence est donnée par le rapport entre le premier moment d'aire total et l'aire totale de la section. C'est une sorte de "moyenne pondérée" des positions des centres de gravité des formes simples, où la pondération est l'aire de chaque forme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_G = \frac{Q_T}{A_T} = \frac{\sum (A_i \times y_i)}{\sum A_i}\]
Données spécifiques :
  • \(Q_T = 320000 \, \text{mm}^3\)
  • \(A_T = 4000 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_G &= \frac{320000 \, \text{mm}^3}{4000 \, \text{mm}^2} \\ &= 80 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Cette distance de \(80 \, \text{mm}\) est mesurée à partir du bord inférieur de l'âme (notre axe de référence). L'axe neutre se situe donc à \(80 \, \text{mm}\) de la base de la section en T.

Résultat Question 6 : La position de l'axe neutre \(y_G\) est à \(80 \, \text{mm}\) du bord inférieur de l'âme.

Quiz Intermédiaire (Fin) : Si une section a une aire totale \(A_T = 50 \, \text{cm}^2\) et un premier moment d'aire total \(Q_T = 250 \, \text{cm}^3\) par rapport à un axe de référence, où se situe son centre de gravité \(y_G\) par rapport à cet axe ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'axe neutre d'une section soumise à la flexion simple passe par :

2. Le premier moment d'aire d'une surface par rapport à un axe est :

3. Pour une section composée de deux aires \(A_1\) et \(A_2\), dont les centroïdes sont à \(y_1\) et \(y_2\) d'un axe de référence, la position du centroïde total \(y_G\) est :

Glossaire

Axe Neutre (ou Fibre Neutre)
Dans une poutre soumise à la flexion, ligne ou surface à l'intérieur de la section transversale où la contrainte normale de flexion est nulle. Pour un matériau homogène et élastique, il passe par le centre de gravité de la section.
Centre de Gravité (ou Centroïde)
Point géométrique d'une surface (ou d'un volume) qui représente la position moyenne de tous les points de cette surface (ou volume). Pour une section homogène, c'est aussi le point d'application de la résultante des forces de pesanteur.
Section Transversale
Forme géométrique obtenue en coupant une poutre perpendiculairement à son axe longitudinal.
Premier Moment d'Aire (ou Moment Statique)
Mesure de la distribution d'une aire par rapport à un axe. Il est calculé comme le produit de l'aire par la distance de son centre de gravité à cet axe. Son unité est une longueur à la puissance trois (ex: \(\text{mm}^3\), \(\text{cm}^3\), \(\text{m}^3\)).
Flexion (Simple ou Pure)
Type de sollicitation d'une poutre qui tend à la courber sous l'effet de charges ou de moments appliqués perpendiculairement à son axe longitudinal.
Contrainte Normale
Force interne par unité de surface agissant perpendiculairement à la section considérée. En flexion, ces contraintes sont de traction d'un côté de l'axe neutre et de compression de l'autre.
Calcul de l’Axe Neutre - Exercice d'Application

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