Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Chute de Tension sur le Câble

Calcul de la Chute de Tension sur le Câble en Électricité

Calcul de la Chute de Tension sur le Câble

Comprendre le Calcul de la Chute de Tension

La chute de tension dans un câble électrique est la diminution de la tension électrique entre le début et la fin de ce câble. Elle est due à la résistance électrique du conducteur. Une chute de tension excessive peut entraîner un mauvais fonctionnement des appareils alimentés (moteurs, éclairage, etc.), des pertes d'énergie sous forme de chaleur, et une inefficacité globale du système électrique. Il est donc crucial de calculer la chute de tension pour s'assurer qu'elle reste dans les limites admissibles fixées par les normes. Cet exercice se concentre sur le calcul de la chute de tension pour l'alimentation d'un moteur triphasé.

Données de l'étude

On souhaite vérifier la chute de tension dans un câble alimentant un moteur triphasé.

Caractéristiques du Moteur et de l'Alimentation :

  • Puissance utile du moteur (\(P_u\)) : \(10 \, \text{kW}\)
  • Tension nominale d'alimentation (entre phases) (\(U\)) : \(400 \, \text{V}\) (triphasé)
  • Facteur de puissance du moteur (\(\cos\phi\)) : \(0.80\)
  • Rendement du moteur (\(\eta_m\)) : \(0.88\)

Caractéristiques du Câble :

  • Longueur du câble (\(L\)) : \(70 \, \text{m}\)
  • Matériau des conducteurs : Cuivre
  • Résistivité du cuivre à la température de service (\(\rho_{\text{Cu}}\)) : \(0.0175 \, \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}\)
  • Section des conducteurs du câble (\(S\)) : \(6 \, \text{mm}^2\)

Exigences :

  • Chute de tension maximale admissible (\(\Delta U_{\text{adm}\%}\)) : \(5\%\) de la tension nominale.
  • On négligera la réactance du câble pour ce calcul.
Schéma : Alimentation d'un Moteur Triphasé
Source 400V Tri Câble (L, S) M Moteur 10 kW Longueur L = 70m Alimentation Électrique d'un Moteur

Schéma simplifié de l'alimentation d'un moteur triphasé par un câble.

Questions à traiter

  1. Calculer la puissance absorbée (\(P_a\)) par le moteur.
  2. Calculer le courant de ligne (\(I_L\)) absorbé par le moteur.
  3. Calculer la résistance (\(R\)) d'un conducteur de phase du câble.
  4. Calculer la chute de tension (\(\Delta U\)) dans le câble en volts (chute de tension entre phases).
  5. Calculer la chute de tension en pourcentage (\(\Delta U\%\)).
  6. Comparer la chute de tension calculée (\(\Delta U\%\)) avec la chute de tension maximale admissible (\(\Delta U_{\text{adm}\%}\)) et conclure sur la conformité de la section du câble.
  7. Si la chute de tension calculée était supérieure à la limite admissible, quelle serait la section minimale (\(S'_{\text{min}}\)) de câble nécessaire pour respecter cette limite ?

Correction : Calcul de la Chute de Tension sur le Câble

Question 1 : Puissance absorbée (\(P_a\)) par le moteur

Principe :

La puissance absorbée par le moteur est sa puissance utile divisée par son rendement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_a = \frac{P_u}{\eta_m}\]
Données spécifiques :
  • Puissance utile (\(P_u\)) : \(10 \, \text{kW} = 10000 \, \text{W}\)
  • Rendement (\(\eta_m\)) : \(0.88\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{10000 \, \text{W}}{0.88} \\ &\approx 11363.64 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La puissance absorbée par le moteur est \(P_a \approx 11363.64 \, \text{W}\).

Question 2 : Courant de ligne (\(I_L\)) absorbé par le moteur

Principe :

Pour un système triphasé équilibré, la puissance active absorbée est \(P_a = \sqrt{3} \cdot U \cdot I_L \cdot \cos\phi\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_L = \frac{P_a}{\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos\phi}\]
Données spécifiques :
  • \(P_a \approx 11363.64 \, \text{W}\)
  • Tension (\(U\)) : \(400 \, \text{V}\)
  • Facteur de puissance (\(\cos\phi\)) : \(0.80\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_L &\approx \frac{11363.64 \, \text{W}}{\sqrt{3} \times 400 \, \text{V} \times 0.80} \\ &\approx \frac{11363.64}{1.732 \times 400 \times 0.80} \\ &\approx \frac{11363.64}{554.24} \\ &\approx 20.501 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le courant de ligne absorbé par le moteur est \(I_L \approx 20.50 \, \text{A}\).

Question 3 : Résistance (\(R\)) d'un conducteur de phase du câble

Principe :

La résistance d'un conducteur est donnée par la loi de Pouillet : \(R = \rho \frac{L}{S}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R = \frac{\rho L}{S}\]
Données spécifiques :
  • Résistivité du cuivre (\(\rho\)) : \(0.0175 \, \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(70 \, \text{m}\)
  • Section (\(S\)) : \(6 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R &= \frac{0.0175 \, \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m} \times 70 \, \text{m}}{6 \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{1.225 \, \Omega \cdot \text{mm}^2}{6 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 0.204167 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance d'un conducteur de phase du câble est \(R \approx 0.2042 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si on utilisait un câble en aluminium (\(\rho_{\text{Al}} \approx 0.028 \, \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}\)) de même section et longueur, sa résistance serait :

Question 4 : Chute de tension (\(\Delta U\)) dans le câble en volts

Principe :

Pour un circuit triphasé équilibré, en négligeant la réactance du câble, la chute de tension entre phases est approximativement \(\Delta U \approx \sqrt{3} \cdot I_L \cdot R \cdot \cos\phi\). Une formule plus directe et souvent utilisée pour la magnitude de la chute de tension due à la résistance est \(\Delta U = \sqrt{3} \cdot I_L \cdot R\). Cependant, pour tenir compte du déphasage introduit par \(\cos\phi\), la formule \(\Delta U = \frac{\sqrt{3} \cdot \rho \cdot L \cdot I_L \cdot \cos\phi}{S}\) est plus appropriée pour la composante de chute de tension qui affecte la tension utile. Pour cet exercice, nous utiliserons la formule simplifiée pour la chute de tension en ligne pour un système triphasé : \(\Delta U = \sqrt{3} \cdot I_L \cdot R_{\text{conducteur}}\) (en supposant que le \(\cos\phi\) est déjà pris en compte dans le courant \(I_L\) pour la puissance active, mais pour la chute de tension, c'est la composante résistive qui domine si X est négligé). Une formule plus précise pour la chute de tension (phase-phase) en triphasé, en négligeant la réactance (\(X_L \approx 0\)), est : \(\Delta U = \sqrt{3} \cdot I_L \cdot R \cdot \cos\phi\) (composante de la chute de tension en phase avec la tension) ou plus simplement pour la magnitude de la chute de tension sur la résistance : \(\Delta U = \sqrt{3} \cdot I_L \cdot R\). La formule la plus couramment enseignée pour la chute de tension en triphasé (ligne à ligne) en négligeant la réactance est : \(\Delta U = \frac{\sqrt{3} \cdot \rho \cdot L \cdot I_L \cdot \cos\phi}{S}\) (si \(\rho\) est en \(\Omega \cdot \text{m}\) et \(S\) en \(\text{m}^2\)) Ou \(\Delta U = \frac{\sqrt{3} \cdot \rho \cdot L \cdot I_L}{S} \cdot \cos\phi\) (si \(\rho\) est en \(\Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}\), L en m, S en \(\text{mm}^2\)). Cependant, une formule plus directe pour la chute de tension en volts est : \(\Delta U = \sqrt{3} \times I_L \times R\), où R est la résistance d'un conducteur. Cette formule est plus adaptée si on ne veut pas réintroduire \(\cos\phi\) qui a déjà servi à calculer \(I_L\) à partir de \(P_a\). La formule \(\Delta U = \sqrt{3} \cdot I_L \cdot (R\cos\phi + X\sin\phi)\) est la plus générale. Si X=0, \(\Delta U = \sqrt{3} \cdot I_L \cdot R\cos\phi\). C'est celle que nous utiliserons.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = \sqrt{3} \cdot I_L \cdot R \cdot \cos\phi\]

(Où \(R\) est la résistance d'un conducteur de phase)

Données spécifiques :
  • \(I_L \approx 20.50 \, \text{A}\)
  • \(R \approx 0.2042 \, \Omega\)
  • \(\cos\phi = 0.80\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &\approx \sqrt{3} \times 20.50 \, \text{A} \times 0.2042 \, \Omega \times 0.80 \\ &\approx 1.732 \times 20.50 \times 0.2042 \times 0.80 \, \text{V} \\ &\approx 35.506 \times 0.2042 \times 0.80 \, \text{V} \\ &\approx 7.249 \times 0.80 \, \text{V} \\ &\approx 5.799 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La chute de tension dans le câble est \(\Delta U \approx 5.80 \, \text{V}\).

Question 5 : Chute de tension en pourcentage (\(\Delta U\%\))

Principe :

La chute de tension en pourcentage est le rapport de la chute de tension en volts à la tension nominale d'alimentation, multiplié par 100.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U\% = \frac{\Delta U}{U} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • \(\Delta U \approx 5.80 \, \text{V}\)
  • Tension nominale (\(U\)) : \(400 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U\% &\approx \frac{5.80 \, \text{V}}{400 \, \text{V}} \times 100\% \\ &\approx 0.0145 \times 100\% \\ &= 1.45\% \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La chute de tension en pourcentage est \(\Delta U\% \approx 1.45\%\).

Question 6 : Comparaison et conclusion

Principe :

On compare la chute de tension calculée en pourcentage avec la valeur maximale admissible pour déterminer si la section du câble est adéquate.

Données spécifiques :
  • \(\Delta U\% \approx 1.45\%\)
  • \(\Delta U_{\text{adm}\%} = 5\%\)
Comparaison et Conclusion :

\(1.45\% \le 5\%\)

La chute de tension calculée (\(1.45\%\)) est inférieure à la chute de tension maximale admissible (\(5\%\)). Par conséquent, la section de câble de \(6 \, \text{mm}^2\) est acceptable du point de vue de la chute de tension pour cette installation.

Résultat Question 6 : La section de câble de \(6 \, \text{mm}^2\) est conforme car la chute de tension calculée (\(1.45\%\)) est inférieure à la limite admissible de \(5\%\).

Question 7 : Section minimale (\(S'_{\text{min}}\)) si \(\Delta U\) était trop élevée

Principe :

Si la chute de tension calculée avec la section initiale était supérieure à la limite admissible, il faudrait calculer la section minimale nécessaire pour respecter cette limite. On utilise la même formule de chute de tension, mais on résout pour \(S\).

Supposons, pour l'exemple, que la chute de tension admissible était de \(1\%\) (\(\Delta U'_{\text{adm}} = 0.01 \times 400\text{V} = 4\text{V}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S'_{\text{min}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \rho \cdot L \cdot I_L \cdot \cos\phi}{\Delta U'_{\text{adm}}}\]
Données spécifiques (pour l'exemple avec \(\Delta U'_{\text{adm}} = 4\text{V}\)) :
  • \(\rho = 0.0175 \, \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}\)
  • \(L = 70 \, \text{m}\)
  • \(I_L \approx 20.50 \, \text{A}\)
  • \(\cos\phi = 0.80\)
  • \(\Delta U'_{\text{adm}} = 4 \, \text{V}\)
Calcul (exemple) :
\[ \begin{aligned} S'_{\text{min}} &\approx \frac{\sqrt{3} \times 0.0175 \times 70 \times 20.50 \times 0.80}{4} \, \text{mm}^2 \\ &\approx \frac{1.732 \times 0.0175 \times 70 \times 20.50 \times 0.80}{4} \, \text{mm}^2 \\ &\approx \frac{34.928}{4} \, \text{mm}^2 \\ &\approx 8.732 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Dans ce cas hypothétique, il faudrait choisir la section normalisée supérieure, soit \(10 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 7 : Si la chute de tension admissible était de \(4 \, \text{V}\) (1%), la section minimale requise serait \(S'_{\text{min}} \approx 8.73 \, \text{mm}^2\). Il faudrait alors choisir une section normalisée de \(10 \, \text{mm}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : Pour réduire la chute de tension dans un câble existant, sans changer la charge, on peut :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La chute de tension dans un câble est principalement causée par :

2. Pour un courant donné, si la section d'un câble double, sa résistance :

3. Le facteur de puissance (\(\cos\phi\)) d'une charge inductive (comme un moteur) est typiquement :

Glossaire

Chute de Tension (\(\Delta U\))
Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur due à sa résistance et au courant qui le traverse. Exprimée en volts (V) ou en pourcentage (%) de la tension nominale.
Section du Câble (\(S\))
Aire de la section transversale de l'âme conductrice d'un câble, généralement exprimée en millimètres carrés (\(\text{mm}^2\)).
Résistivité (\(\rho\))
Propriété intrinsèque d'un matériau caractérisant sa capacité à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm-mètre (\(\Omega \cdot \text{m}\)) ou \(\Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}\).
Courant de Ligne (\(I_L\) ou \(I_b\))
Courant circulant dans chaque conducteur de phase d'une ligne d'alimentation.
Puissance Active (\(P\))
Puissance réellement consommée par une charge et transformée en travail utile ou en chaleur. Unité : Watt (W).
Facteur de Puissance (\(\cos\phi\))
Dans un circuit en courant alternatif, rapport entre la puissance active et la puissance apparente. Il reflète le déphasage entre la tension et le courant.
Rendement (\(\eta\))
Rapport entre la puissance utile fournie par un appareil et la puissance absorbée par cet appareil.
Triphasé
Système de courants électriques alternatifs (généralement trois) de même fréquence et amplitude, mais déphasés les uns par rapport aux autres (typiquement de 120°).
Réactance (\(X\))
Opposition au passage d'un courant alternatif due à l'inductance (\(X_L\)) ou à la capacité (\(X_C\)) d'un circuit. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Calcul de la Chute de Tension sur le Câble - Exercice d'Application

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