Calcul de la Torsion d’un Poteau Circulaire
Contexte : La torsion, une sollicitation à ne pas négliger.
Bien que moins fréquente que la flexion, la torsionSollicitation mécanique qui consiste à appliquer un couple de forces (un "moment de torsion" ou "torque") autour de l'axe longitudinal d'un objet, tendant à le "tordre". est une sollicitation cruciale en Génie Civil. Elle apparaît dans les poutres courbes, les balcons en porte-à-faux, ou lorsqu'une poutre s'appuie de manière excentrée sur un poteau. Comprendre comment un poteau résiste à la torsion est essentiel pour garantir la stabilité et la sécurité des structures. Cet exercice vous guidera dans le calcul des contraintes de cisaillement et de la déformation (angle de torsion) d'un poteau en béton armé soumis à un moment de torsion.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre l'application des principes de la RdM à la torsion. Nous utiliserons les propriétés géométriques de la section et les caractéristiques du matériau pour déterminer la contrainte et la déformation. C'est une compétence fondamentale pour l'analyse de structures tridimensionnelles complexes où les efforts ne sont pas toujours simples.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le moment quadratique polaire d'une section circulaire.
- Appliquer la formule de la torsion pour déterminer la contrainte de cisaillement maximale.
- Vérifier la résistance du poteau en comparant la contrainte à une limite admissible.
- Calculer l'angle de torsion total du poteau.
- Se familiariser avec les unités de la torsion (N·m, Pa, radians, degrés).
Données de l'étude
Schéma du Poteau en Torsion
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur du poteau | \(H\) | 3.0 | \(\text{m}\) |
| Diamètre de la section | \(D\) | 300 | \(\text{mm}\) |
| Moment de torsion appliqué | \(T\) | 10 | \(\text{kN} \cdot \text{m}\) |
| Module de cisaillement du béton | \(G\) | 12 | \(\text{GPa}\) |
| Contrainte de cisaillement admissible | \(\tau_{\text{adm}}\) | 1.5 | \(\text{MPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer le moment quadratique polaire \(J\) de la section du poteau.
- Calculer la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) dans le poteau.
- Vérifier si la contrainte maximale respecte la limite admissible.
- Calculer l'angle de torsion total \(\theta\) au sommet du poteau, en degrés.
Les bases de la Torsion
Avant de commencer la correction, rappelons les formules fondamentales de la torsion.
1. Le Moment Quadratique Polaire (J) :
Similaire au moment quadratique pour la flexion, le moment quadratique polaire \(J\) représente la capacité géométrique d'une section à résister à la torsion. Pour une section circulaire pleine de diamètre \(D\), la formule est :
\[ J = \frac{\pi \cdot D^4}{32} \]
Comme pour la flexion, la dimension de la section (ici le diamètre) a une influence prépondérante (puissance 4).
2. La Contrainte de Cisaillement (\(\tau\)) :
La torsion engendre des contraintes de cisaillement dans la section. Ces contraintes sont nulles au centre et augmentent linéairement avec la distance au centre (\(r\)). Elles sont donc maximales à la surface du poteau. La formule est :
\[ \tau_{\text{max}} = \frac{T \cdot R}{J} \quad \text{avec} \quad R = \frac{D}{2} \]
3. L'Angle de Torsion (\(\theta\)) :
Cette formule donne la rotation de la section à une extrémité par rapport à l'autre. Elle relie l'angle de torsion (\(\theta\)) au moment de torsion (\(T\)), à la longueur (\(L\)), à la rigidité du matériau au cisaillement (\(G\)) et à la géométrie (\(J\)). Le produit \(G \cdot J\) est appelé la rigidité de torsion.
\[ \theta = \frac{T \cdot L}{G \cdot J} \]
Le résultat de cette formule est en radians et doit souvent être converti en degrés.
Correction : Calcul de la Torsion d’un Poteau Circulaire
Question 1 : Calculer le moment quadratique polaire (J)
Principe (le concept physique)
Le moment quadratique polaire, \(J\), est à la torsion ce que le moment quadratique \(I\) est à la flexion. C'est une propriété purement géométrique qui quantifie la "rigidité de forme" d'une section face à un effort de torsion. Plus \(J\) est grand, plus la section est efficace pour résister à la torsion, pour une même quantité de matière.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Mathématiquement, \(J\) est l'intégrale du carré de la distance au centre sur toute la surface de la section (\(J = \int_A r^2 dA\)). Pour une section circulaire, il est égal à la somme des moments quadratiques par rapport à deux axes orthogonaux (\(J = I_{\text{x}} + I_{\text{y}}\)). Comme \(I_{\text{x}} = I_{\text{y}} = \pi D^4 / 64\) pour un cercle, on retrouve bien \(J = 2 \times (\pi D^4 / 64) = \pi D^4 / 32\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous essayez de tordre deux barres de même poids, l'une fine et longue, l'autre courte et épaisse. La barre épaisse sera beaucoup plus difficile à tordre. Le moment quadratique polaire est la valeur qui capture cette notion de "massivité" géométrique. La puissance 4 sur le diamètre montre que c'est le paramètre le plus influent.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des caractéristiques géométriques des sections, y compris le moment polaire, est une étape de base définie dans les normes de construction comme l'Eurocode 2 pour le béton. Ces valeurs sont fondamentales pour l'application des formules de résistance et de déformation.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une section circulaire pleine de diamètre \(D\):
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la section du poteau est parfaitement circulaire et reste constante sur toute sa hauteur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Diamètre de la section, \(D = 300 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs de calcul, évaluez d'abord le terme \(D^4\). \(300^4 = (3 \times 10^2)^4 = 3^4 \times (10^2)^4 = 81 \times 10^8\). Ensuite, le calcul devient plus simple : \((\pi \times 81 \times 10^8) / 32\). Cela permet de mieux gérer les ordres de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Section Circulaire et son Diamètre
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec le diamètre en mm pour obtenir un résultat en mm⁴.
On peut arrondir à \(795.2 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).
Schéma (Après les calculs)
Section avec Moment Polaire Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette grande valeur représente la forte rigidité géométrique de la section circulaire à la torsion. C'est cette propriété qui sera mobilisée pour résister au couple appliqué. Toute erreur sur ce calcul se répercutera directement sur l'estimation des contraintes et des déformations.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre le moment quadratique polaire \(J = \pi D^4 / 32\) avec le moment quadratique de flexion \(I = \pi D^4 / 64\). Utiliser \(I\) à la place de \(J\) dans les calculs de torsion sous-estimerait la rigidité de la section par un facteur 2, conduisant à une surestimation des contraintes et déformations.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le moment quadratique polaire \(J\) mesure la rigidité GÉOMÉTRIQUE d'une section en torsion.
- Pour une section circulaire, \(J = \pi D^4 / 32\).
- Le diamètre \(D\) a une influence massive (puissance 4).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La forme circulaire est la plus efficace de toutes les formes possibles pour résister à la torsion pour une surface donnée. C'est pourquoi les arbres de transmission, les essieux et les forets sont presque toujours de section circulaire.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le diamètre était de 400 mm, quel serait le nouveau moment polaire en millions de mm⁴ ?
Simulateur 3D : Influence du Diamètre sur J
Moment Polaire (J) : 795 x10⁶ mm⁴
Question 2 : Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\))
Principe (le concept physique)
Le moment de torsion externe \(T\) est équilibré par un moment de torsion interne créé par les contraintes de cisaillement (\(\tau\)) sur la section. Ces contraintes sont nulles au centre et augmentent linéairement avec la distance au centre. La contrainte maximale se produit donc à la surface extérieure du poteau (\(r=R\)), là où le matériau est le plus sollicité.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation \(\tau(r) = T \cdot r / J\) décrit la distribution des contraintes de cisaillement sur la section. Le moment de torsion interne est l'intégrale de ces contraintes multipliées par leur bras de levier (\(r\)) sur toute la surface (\(T = \int_A \tau(r) \cdot r \, dA\)). La formule \(\tau_{\text{max}} = TR/J\) est une application directe de cette relation au point le plus critique (\(r=R\)).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez un paquet de spaghettis que vous tordez. Les spaghettis au centre ne bougent presque pas, tandis que ceux à l'extérieur glissent les uns par rapport aux autres. La contrainte de cisaillement est une mesure de ce "glissement" interne. Elle est maximale à la périphérie, là où le glissement est le plus important.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 2 fournit des formules pour calculer la résistance à la torsion du béton armé. Ces formules sont plus complexes car elles tiennent compte de la contribution des armatures (longitudinales et transversales) qui sont essentielles pour reprendre les efforts de traction induits par le cisaillement de torsion.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La contrainte de cisaillement maximale est donnée par :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le matériau est homogène, isotrope et se comporte de manière élastique-linéaire. On suppose également que les sections circulaires restent circulaires et planes après déformation (Hypothèse de Saint-Venant pour la torsion).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Moment de torsion, \(T = 10 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
- Rayon de la section, \(R = 300/2 = 150 \, \text{mm}\)
- Moment quadratique polaire, \(J \approx 795.2 \times 10^6 \, \text{mm}^4\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour une conversion rapide, souvenez-vous que \(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\). C'est une conversion très fréquente en RdM. De même, \(1 \, \text{GPa} = 1000 \, \text{MPa} = 1000 \, \text{N/mm}^2\).
Schéma (Avant les calculs)
Distribution des Contraintes de Cisaillement
Calcul(s) (l'application numérique)
Avec les unités en N et mm, le résultat sera directement en MPa (N/mm²).
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Maximale Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur de 1.89 MPa représente la sollicitation maximale de cisaillement dans le matériau. C'est le point le plus critique du poteau. Toute la sécurité de l'élément vis-à-vis de la torsion dépend de la comparaison de cette valeur à la capacité de résistance du matériau.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'utiliser le diamètre \(D\) au lieu du rayon \(R\) dans la formule. Cela conduit à une contrainte deux fois trop élevée. Rappelez-vous que la contrainte est proportionnelle à la distance au centre, donc au rayon maximal, pas au diamètre.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte de cisaillement est maximale à la surface extérieure (\(r=R\)).
- La formule est \(\tau_{\text{max}} = T \cdot R / J\).
- Une bonne gestion des unités (N, mm) donne directement un résultat en MPa.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La torsion pure crée des fissures inclinées à 45 degrés. C'est parce que l'état de contrainte de cisaillement pur est équivalent à un état de traction et compression pures sur des plans orientés à 45°. Comme le béton est faible en traction, il se fissure le long de ces plans. C'est pour contrer cette traction que l'on place des armatures en spirale (frettes) dans les poteaux soumis à la torsion.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le moment de torsion était de 5 kN·m, quelle serait la contrainte maximale en MPa ?
Simulateur 3D : Distribution des Contraintes
Contrainte Max : 1.89 MPa
Question 3 : Vérifier la contrainte admissible
Principe (le concept physique)
C'est le "jugement" de l'ingénieur. Après avoir calculé la sollicitation (la contrainte que le poteau subit), on la compare à sa capacité (la contrainte que le matériau peut endurer). Cette comparaison, qui inclut des coefficients de sécurité, détermine si la conception est acceptable ou si elle doit être modifiée pour garantir la sécurité de l'ouvrage.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La contrainte admissible (\(\tau_{\text{adm}}\)) n'est pas une propriété intrinsèque du matériau, mais une valeur de calcul définie par les normes. Elle est dérivée de la résistance caractéristique du matériau (obtenue par des essais en laboratoire) à laquelle on applique des coefficients de sécurité. Ces coefficients tiennent compte des incertitudes sur les charges, sur la qualité du matériau et sur les modèles de calcul.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est comme vérifier la charge maximale d'un ascenseur. Le calcul (\(\tau_{\text{max}}\)) vous dit "combien de personnes sont dans la cabine", et la norme (\(\tau_{\text{adm}}\)) vous dit "combien de personnes sont autorisées au maximum". Votre rôle est de vous assurer que le premier chiffre ne dépasse jamais le second.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 2 définit les méthodes de calcul pour la contrainte de cisaillement admissible en torsion. Pour le béton, cette limite dépend de sa classe de résistance (par ex. C25/30) et est généralement assez faible, car le béton seul est peu performant en torsion. La résistance est principalement assurée par les armatures.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le critère de vérification de la résistance est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la valeur de \(\tau_{\text{adm}}\) fournie est pertinente pour le matériau utilisé et inclut tous les coefficients de sécurité nécessaires selon la réglementation en vigueur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte calculée, \(\tau_{\text{max}} \approx 1.89 \, \text{MPa}\) (du calcul Q2)
- Contrainte admissible, \(\tau_{\text{adm}} = 1.5 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
On peut définir un "ratio de travail" : \(\text{Ratio} = \tau_{\text{max}} / \tau_{\text{adm}}\). Si ce ratio est inférieur ou égal à 1, la condition est respectée. S'il est supérieur à 1, elle ne l'est pas. Ici, \(1.89 / 1.5 = 1.26\), donc on est 26% au-dessus de la limite.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison : Sollicitation vs Capacité
Calcul(s) (l'application numérique)
On effectue la comparaison directe des deux valeurs.
Schéma (Après les calculs)
Verdict de la Vérification
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte calculée (1.89 MPa) est SUPÉRIEURE à la contrainte admissible (1.5 MPa). Le poteau n'est donc PAS conforme. En tant qu'ingénieur, cela signifie que la conception doit être revue. Il faudrait soit augmenter le diamètre du poteau, soit utiliser un béton de plus haute résistance pour qu'il puisse supporter le couple de torsion appliqué.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais conclure qu'une structure est sûre sans avoir vérifié TOUTES les sollicitations (flexion, effort normal, cisaillement, torsion) et leurs combinaisons possibles. Un élément peut être sûr en flexion mais rompre en torsion, ou vice-versa.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La sécurité structurale est assurée si la sollicitation est inférieure ou égale à la capacité.
- En torsion, le critère est \(\tau_{\text{max}} \le \tau_{\text{adm}}\).
- Si le critère n'est pas respecté, la conception doit être modifiée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le pont de Tacoma Narrows, qui s'est effondré en 1940, est un exemple célèbre d'instabilité aéroélastique où des forces de torsion induites par le vent ont conduit à la destruction de la structure. Bien que le mécanisme soit plus complexe qu'une simple torsion statique, cet événement a souligné l'importance capitale de la rigidité en torsion dans la conception des ponts suspendus.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel diamètre minimum (en mm) faudrait-il pour que le poteau soit juste conforme (τ_max = 1.5 MPa) ?
Simulateur 3D : Vérification de la Sécurité
Ratio de Travail (τ/τ_adm) : 1.26
Question 4 : Calculer l'angle de torsion (\(\theta\))
Principe (le concept physique)
Au-delà de la résistance (ne pas casser), il faut aussi contrôler la déformation (ne pas trop se tordre). L'angle de torsion mesure de combien le sommet du poteau "tourne" par rapport à sa base encastrée. Une torsion excessive, même si elle ne provoque pas la rupture, peut être inacceptable pour la fonctionnalité de la structure.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(\theta = TL/GJ\) est l'analogue en torsion de la formule de la flèche en flexion. Le terme \(GJ\) représente la rigidité de la section à la torsion (rigidité du matériau G × rigidité de la forme J). L'angle de torsion est directement proportionnel au moment de torsion et à la longueur, et inversement proportionnel à cette rigidité de torsion.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à essorer une serviette mouillée. Plus la serviette est longue (grand L), plus vous pouvez la tordre facilement pour un même effort (grand \(\theta\)). Plus elle est épaisse (grand J), plus c'est difficile (petit \(\theta\)). La formule mathématique capture parfaitement cette intuition physique.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction imposent souvent des limites sur les déformations, y compris les rotations. Par exemple, une rotation excessive d'un poteau pourrait fissurer une façade en verre ou une cloison fragile qui y serait attachée. La vérification de l'angle de torsion est donc une vérification à l'État Limite de Service (ELS).
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'angle de torsion en radians est :
Pour convertir en degrés : \(\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}\)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On reste dans le domaine élastique-linéaire. Si le matériau plastifiait, la relation ne serait plus linéaire et l'angle de torsion serait plus grand que celui calculé ici.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(T = 10 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
- \(H = 3000 \, \text{mm}\)
- \(G = 12000 \, \text{N/mm}^2\)
- \(J \approx 795.2 \times 10^6 \, \text{mm}^4\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul donne un résultat en radians, une unité peu intuitive. Pour avoir un ordre de grandeur, souvenez-vous que 1 radian est environ 57.3 degrés. Un petit résultat en radians (comme 0.003) correspondra donc à un très petit angle en degrés.
Schéma (Avant les calculs)
Déformation en Torsion
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de l'angle en radians :
2. Conversion en degrés :
Schéma (Après les calculs)
Angle de Torsion Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'angle de torsion de 0.18° est une valeur très faible. Pour la plupart des applications en bâtiment, une telle déformation serait tout à fait acceptable. Cela montre qu'un élément peut être non-conforme en termes de résistance (contrainte dépassée) tout en ayant des déformations très faibles. Les deux vérifications (résistance et service) sont donc indépendantes et nécessaires.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier de convertir les radians en degrés si la question le demande. Les ingénieurs et les architectes communiquent plus facilement en degrés. Une erreur fréquente est de donner le résultat en radians, ce qui peut prêter à confusion sur le chantier.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'angle de torsion mesure la déformation rotationnelle.
- La formule est \(\theta = TL/GJ\).
- Le résultat est en radians et doit être converti en degrés pour être plus parlant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les gratte-ciels, la torsion due au vent est un problème majeur. Pour la contrer, les ingénieurs conçoivent des "noyaux" centraux en béton armé très rigides (qui contiennent les ascenseurs et les escaliers) ou des structures extérieures en "diagonales" (diagrid) qui agissent comme un tube rigide pour reprendre ces efforts de torsion et limiter la rotation du bâtiment.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le poteau faisait 6 mètres de haut, quel serait l'angle de torsion en degrés ?
Simulateur 3D : Angle de Torsion
Angle de Torsion : 0.18 deg
Outil Interactif : Paramètres de Torsion
Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la contrainte et l'angle de torsion.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
L'étude de la torsion a été grandement avancée par le physicien français Charles-Augustin de Coulomb vers 1784. Il a inventé la balance de torsion, un instrument d'une sensibilité extraordinaire pour l'époque, qui lui a permis de mesurer des forces électrostatiques et magnétiques infimes, posant ainsi les bases de l'électromagnétisme.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi les arbres de transmission des voitures sont-ils souvent des tubes creux ?
En torsion, la contrainte est nulle au centre et maximale à la surface. La matière au centre de l'arbre travaille donc très peu. En enlevant cette matière centrale pour faire un tube, on perd très peu de résistance à la torsion, mais on gagne énormément en poids. Un arbre creux offre donc un bien meilleur rapport résistance/poids pour la torsion.
Que se passe-t-il pour une section non-circulaire en torsion ?
Le calcul devient beaucoup plus complexe ! Pour les sections non-circulaires (carrées, rectangulaires, profilés en I), les sections planes initiales ne restent pas planes après déformation (elles "gauchissent"). Les contraintes ne sont plus maximales aux points les plus éloignés du centre. Par exemple, pour un rectangle, la contrainte maximale se situe au milieu des grands côtés, et non dans les coins.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double le diamètre d'un poteau circulaire, sa capacité à résister à la torsion (rigidité de torsion) est multipliée par...
2. Dans un poteau soumis à une torsion pure, la contrainte au centre exact de la section est...
- Moment de Torsion (T)
- Aussi appelé couple ou torque. C'est un effort qui tend à faire tourner une section par rapport à une autre autour de l'axe longitudinal de l'élément. Unité : N·m ou ses multiples.
- Moment Quadratique Polaire (J)
- Propriété géométrique d'une section qui quantifie sa résistance à la torsion. Unité : m⁴ ou mm⁴.
- Module de Cisaillement (G)
- Aussi appelé module de Coulomb. C'est une propriété du matériau qui mesure sa rigidité au cisaillement. Il relie la contrainte de cisaillement à la déformation de cisaillement. Unité : Pa ou ses multiples.
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