Report des Données Terrain sur Plans en Topographie
Contexte : Le report de points est une tâche fondamentale en topographieLa science et la technique de la représentation graphique détaillée d'une surface terrestre, incluant le relief et les objets naturels ou artificiels..
Après avoir effectué des mesures sur le terrain à l'aide d'un tachéomètreUn instrument de géodésie utilisé pour mesurer des angles et des distances. Les modèles modernes, appelés stations totales, sont électroniques., le topographe doit transcrire ces données (angles et distances) sur un plan. La méthode la plus courante est le calcul par coordonnées polaires, qui permet de déterminer les coordonnées rectangulaires (X, Y) de chaque point levé à partir d'une station connue.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul nécessaires pour passer des observations de terrain (angles, distances) aux coordonnées planimétriques, une compétence essentielle pour la création de tout plan topographique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe du calcul de points par rayonnement.
- Calculer le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (ou de l'axe des Y) jusqu'à une direction donnée. d'une direction à partir des coordonnées de deux points.
- Calculer les coordonnées rectangulaires (X, Y) d'un point à partir d'un gisement et d'une distance.
- Savoir vérifier la cohérence des calculs par une contre-mesure.
Données de l'étude
Coordonnées des points connus
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| Station S | 1250.00 | 4380.00 |
| Référence R | 1325.40 | 4412.80 |
Schéma du Levé Topographique
Carnet de mesures de terrain
| Point Visé | Angle Horizontal (gon) | Distance Horizontale (m) |
|---|---|---|
| P1 | 345.67 | 85.42 |
| P2 | 45.12 | 112.95 |
| P3 | 162.34 | 98.76 |
Questions à traiter
- Calculer le gisement de la direction de référence S vers R (G_SR).
- En déduire les gisements des directions S vers P1, P2 et P3.
- Calculer les coordonnées rectangulaires (X, Y) des points P1, P2 et P3.
- Calculer la distance entre les points P1 et P2 à partir de leurs coordonnées calculées pour vérifier la cohérence.
- Expliquer brièvement la différence entre un angle mesuré au tachéomètre et un gisement.
Les bases du calcul topographique
Pour résoudre cet exercice, deux ensembles de formules sont fondamentaux : celui pour calculer un gisement à partir de coordonnées, et celui pour calculer des coordonnées à partir d'un gisement et d'une distance.
1. Calcul du Gisement à partir de Coordonnées
Le gisement d'un point A vers un point B est l'angle que fait la direction AB avec l'axe des Y (Nord). La formule de base est :
\[ G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) = \arctan\left(\frac{X_B - X_A}{Y_B - Y_A}\right) \]
Une correction de quadrant est ensuite appliquée en fonction des signes de ΔX et ΔY.
2. Calcul de Coordonnées par Rayonnement
Connaissant les coordonnées d'un point de station S, le gisement (G_SP) et la distance (D_SP) vers un point P, on calcule les coordonnées de P avec :
\[ X_P = X_S + D_{SP} \cdot \sin(G_{SP}) \]
\[ Y_P = Y_S + D_{SP} \cdot \cos(G_{SP}) \]
Correction : Report des Données Terrain sur Plans en Topographie
Question 1 : Calculer le gisement de la direction de référence S vers R (G_SR)
Principe
Le gisement est l'angle "absolu" d'une direction par rapport au Nord (l'axe Y). Il sert de référence pour orienter toutes les autres mesures. On le détermine en utilisant la géométrie formée par les coordonnées des deux points connus (la station S et la référence R).
Mini-Cours
Le calcul de gisement repose sur la trigonométrie dans un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit sont les différences de coordonnées ΔX et ΔY. Le signe de ΔX et ΔY détermine le quadrant et donc la correction à apporter à l'angle calculé par l'arc-tangente pour obtenir le gisement correct (0-400 gon).
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours de calculer ΔX et ΔY. Leurs signes vous donnent immédiatement le quadrant (ex: ΔX > 0 et ΔY > 0 => 1er quadrant, Nord-Est). Visualiser ce quadrant mentalement ou sur un croquis vous évitera 90% des erreurs de calcul de gisement.
Normes
Les calculs topographiques en France sont généralement effectués dans un système de projection plan conforme comme le Lambert 93. La précision des calculs (nombre de décimales) doit être cohérente avec la précision des mesures terrain, typiquement millimétrique.
Formule(s)
Calcul des différences de coordonnées
Calcul du gisement (en gon)
Hypothèses
On fait l'hypothèse que les coordonnées fournies sont exactes et dans un système plan unique. On néglige la courbure de la Terre, ce qui est acceptable pour des levés locaux.
Donnée(s)
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| S | 1250.00 | 4380.00 |
| R | 1325.40 | 4412.80 |
Astuces
Pour vérifier rapidement, si |ΔX| > |ΔY|, le gisement sera plus proche de 100 ou 300 gon (Est/Ouest). Si |ΔY| > |ΔX|, il sera plus proche de 0 ou 200 gon (Nord/Sud). Ici, |75.40| > |32.80|, donc on s'attend à un gisement plus proche de 100 que de 0.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de ΔX et ΔY
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de ΔX et ΔY.
Étape 2 : Analyse du quadrant. ΔX est positif et ΔY est positif, nous sommes donc dans le 1er quadrant. La correction est de 0 gon.
Étape 3 : Calcul du gisement.
Schéma (Après les calculs)
Gisement Calculé
Réflexions
Le résultat de 73.45 gon signifie que pour aller de S à R, il faut viser une direction qui fait un angle de 73.45 gon dans le sens des aiguilles d'une montre par rapport à la direction du Nord. C'est une direction Nord-Est.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser ΔX et ΔY dans la formule de l'arc-tangente. Une autre erreur fréquente est d'oublier la correction de quadrant (par exemple, ajouter 200 gon si ΔY est négatif).
Points à retenir
Pour calculer un gisement : 1. Calculer ΔX et ΔY. 2. Déterminer le quadrant. 3. Appliquer la formule de l'arc-tangente et corriger.
Le saviez-vous ?
Le Nord utilisé en topographie (le Nord du quadrillage de la carte) est légèrement différent du Nord géographique (direction du pôle) et du Nord magné-tique (indiqué par une boussole). Cette différence s'appelle la "convergence des méridiens".
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si les coordonnées de R étaient (1200.00, 4400.00), quel serait le gisement G_SR ?
Question 2 : En déduire les gisements des directions S vers P1, P2 et P3
Principe
Une fois la station "orientée" grâce au gisement de référence (G_SR), on peut déterminer le gisement de n'importe quelle autre direction (comme G_SP1) en ajoutant simplement l'angle horizontal (α1) mesuré sur le terrain entre la référence et cette nouvelle direction.
Mini-Cours
Cette opération s'appelle le "transport de gisement". Le gisement de la référence sert de "zéro absolu". Chaque angle lu au tachéomètre est un décalage par rapport à cette référence. La somme Gisement_Référence + Angle_Lu donne le nouveau gisement. Le cercle trigonométrique ayant 400 gon, si la somme dépasse 400, on soustrait 400 pour revenir dans le tour d'horizon.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous êtes sur la station S et que vous regardez vers R. Votre boussole indique 73.45 gon. Pour viser P1, vous tournez votre appareil de 345.67 gon dans le sens horaire. Votre nouvelle direction absolue est simplement la somme des deux.
Normes
Les normes de tolérance topographique exigent que l'orientation de la station soit précise. Une petite erreur sur le gisement de référence se répercutera sur tous les points calculés à partir de cette station.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les angles horizontaux ont été mesurés sans erreur instrumentale et que l'instrument était parfaitement centré et vertical sur le point S.
Donnée(s)
Gisement de référence calculé : G_SR = 73.45 gon. Angles lus depuis le carnet de terrain.
Astuces
Pour l'angle de 345.67 gon, qui est très grand, on peut voir que c'est presque un tour complet (400 gon). Le viser revient presque à viser la référence, mais en tournant dans le sens anti-horaire d'environ 54 gon (400 - 345.67).
Schéma (Avant les calculs)
Angles à ajouter au gisement de référence
Calcul(s)
On applique la formule pour chaque point.
Schéma (Après les calculs)
Gisements des points visés
Réflexions
On a transformé des mesures d'angles relatives (par rapport à R) en directions absolues (par rapport au Nord). P1 est au Nord-Est (19 gon), P2 est au Sud-Est (118 gon) et P3 est au Sud-Ouest (235 gon).
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier de soustraire 400 gon lorsque la somme dépasse un tour complet. Un gisement doit toujours être compris entre 0 et 400.
Points à retenir
La formule G_visé = G_réf + Angle_lu est la pierre angulaire du report de points. Maîtrisez-la parfaitement.
Le saviez-vous ?
Les anciens instruments (théodolites) n'avaient pas de mémoire. Le topographe devait noter chaque angle à la main dans un carnet. L'orientation de la station était donc une étape critique et source d'erreurs potentielles.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle lu vers un point P4 était de 210.00 gon, quel serait son gisement ?
Question 3 : Calculer les coordonnées rectangulaires (X, Y) des points P1, P2 et P3
Principe
C'est le cœur du report de points : transformer des coordonnées polaires (Gisement, Distance) en coordonnées rectangulaires (X, Y). On utilise les fonctions sinus et cosinus pour projeter le vecteur "Station -> Point visé" sur les axes X et Y du plan.
Mini-Cours
Dans le cercle trigonométrique topographique (sens horaire, origine au Nord), la projection sur l'axe des X (Est) est proportionnelle au sinus du gisement, et la projection sur l'axe des Y (Nord) est proportionnelle au cosinus. On ajoute ces projections (ΔX et ΔY) aux coordonnées de la station pour obtenir les coordonnées du point final.
Remarque Pédagogique
Avant de calculer, ayez une idée du résultat. Pour P1 (gisement 19 gon), on est au NE, donc ΔX et ΔY doivent être positifs. Pour P3 (gisement 235 gon), on est au SO, donc ΔX et ΔY doivent être négatifs. Cette simple vérification de signe permet de détecter des erreurs grossières.
Normes
Aucune norme spécifique ne régit ces formules de base, qui relèvent des mathématiques pures. Cependant, les logiciels de DAO-CAO utilisés pour dessiner les plans s'appuient sur ces calculs fondamentaux.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que la distance mesurée est bien la distance horizontale projetée dans le plan du système de coordonnées, et non la distance inclinée mesurée sur le terrain.
Donnée(s)
Coordonnées de S(1250.00, 4380.00) et les couples (Gisement, Distance) pour P1, P2, P3.
Astuces
Si vous n'avez pas de calculatrice scientifique, de nombreux outils en ligne permettent de calculer sinus et cosinus en gons. Assurez-vous simplement que le mode d'angle est correct !
Schéma (Avant les calculs)
Projection sur les axes X et Y
Calcul(s)
Point P1 (G=19.12 gon, D=85.42 m)
Point P2 (G=118.57 gon, D=112.95 m)
Point P3 (G=235.79 gon, D=98.76 m)
Schéma (Après les calculs)
Plan des points calculés
Réflexions
Nous avons transformé avec succès des mesures de terrain en objets géométriques positionnés sur un plan. Chaque point a maintenant une position unique et non-ambiguë dans le système de coordonnées, prête à être utilisée pour le dessin ou d'autres calculs (surfaces, etc.).
Points de vigilance
LA VIGILANCE ABSOLUE : Vérifiez que votre calculatrice est bien en mode GON (ou GRD). Utiliser le mode Degré (DEG) ou Radian (RAD) donnera des résultats complètement faux et constitue l'erreur la plus fréquente des étudiants.
Points à retenir
Retenez la paire de formules : X = X_départ + D * sin(G) et Y = Y_départ + D * cos(G). C'est le fondement du calcul topographique.
Le saviez-vous ?
Les premiers calculs de ce type étaient faits à la main avec des tables de logarithmes pour les sinus et cosinus, rendant le processus long et fastidieux. L'arrivée des calculatrices scientifiques a révolutionné la profession.
FAQ
Résultat Final
P1 (1275.32 , 4461.65)
P2 (1359.84 , 4352.40)
P3 (1162.86 , 4333.15)
A vous de jouer
Quelles seraient les coordonnées d'un point P4 avec G=300 gon et D=50 m ?
Question 4 : Calculer la distance entre P1 et P2 pour vérification
Principe
Pour vérifier la cohérence de nos calculs, nous pouvons utiliser les coordonnées finales de deux points (P1 et P2) pour recalculer la distance qui les sépare. C'est l'opération inverse de la question 1 : on part des coordonnées pour trouver une distance, en appliquant le théorème de Pythagore.
Mini-Cours
La distance entre deux points dans un plan cartésien est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les autres côtés sont les différences de coordonnées ΔX et ΔY. Le théorème de Pythagore (a² + b² = c²) se traduit donc par D² = ΔX² + ΔY², d'où la formule de la distance.
Remarque Pédagogique
Cette étape est un excellent réflexe d'autocontrôle. Si la distance calculée ici est très différente de ce que l'on peut estimer sur le schéma de l'énoncé, il y a probablement une erreur dans les calculs des questions précédentes.
Normes
Le calcul de distance entre coordonnées est une brique de base de tous les logiciels de topographie et de SIG (Système d'Information Géographique) pour les mesures, les analyses de proximité, etc.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les coordonnées de P1 et P2, calculées à la question 3, sont exactes.
Donnée(s)
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| P1 | 1275.32 | 4461.65 |
| P2 | 1359.84 | 4352.40 |
Astuces
Peu importe le sens du calcul (P1 vers P2 ou P2 vers P1), les ΔX et ΔY changeront de signe, mais leurs carrés seront identiques. Le résultat final de la distance sera donc le même.
Schéma (Avant les calculs)
Distance P1-P2 par Pythagore
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de ΔX et ΔY entre P1 et P2.
Étape 2 : Calcul de la distance.
Schéma (Après les calculs)
Distance P1-P2 Calculée
Réflexions
La distance entre les deux points levés est de 138.13 m. Cette valeur est cohérente avec les distances mesurées depuis la station (85 m et 113 m). Elle peut maintenant être utilisée pour des vérifications sur le plan ou pour d'autres calculs.
Points de vigilance
Attention lors de la mise au carré d'un nombre négatif : le résultat est toujours positif. Une erreur fréquente est de garder le signe moins, ce qui mène à une racine carrée d'un nombre négatif et donc une erreur.
Points à retenir
La distance entre deux points est la racine carrée de la somme des carrés des différences de leurs coordonnées. C'est une application directe du théorème de Pythagore.
Le saviez-vous ?
Cette même formule de distance est utilisée par les puces GPS pour calculer en permanence la distance que vous parcourez, en comparant votre position (X, Y) à des intervalles de temps très courts.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la distance entre les points P2 et P3 en utilisant leurs coordonnées.
Question 5 : Différence entre angle horizontal et gisement
Principe
Il est crucial de ne pas confondre ces deux notions. L'une est une mesure relative, locale à la station, tandis que l'autre est une direction absolue, orientée par rapport à un système global (le Nord).
Mini-Cours
Un angle horizontal est la valeur lue sur le cercle horizontal du tachéomètre. Il représente l'écart angulaire entre la direction de référence (R) et la direction du point visé (P). C'est une mesure physique, relative. Un gisement est une valeur calculée. Il représente l'angle que fait une direction (ex: SP) avec la direction de référence absolue du système de coordonnées, qui est l'axe des Y (le Nord).
Remarque Pédagogique
Pensez-y comme ceci : l'angle horizontal, c'est ce que "voit" l'instrument. Le gisement, c'est ce que "voit" la carte. Le but du calcul est de traduire la vision de l'instrument en une information utilisable sur la carte.
Normes
La convention topographique veut que les angles horizontaux soient mesurés dans le sens horaire ("tournant à droite") et que les gisements soient également comptés dans le sens horaire à partir du Nord.
Formule(s)
La relation qui lie les deux est la formule de transport de gisement utilisée à la question 2 :
Astuces
Un bon moyen de se souvenir est que l'angle est "local" (ne dépend que de la station et des deux points visés), tandis que le gisement est "global" (dépend du système de coordonnées entier).
Schéma (Avant les calculs)
Angle vs. Gisement
Réflexions
Comprendre cette distinction est la clé pour ne jamais faire d'erreur d'orientation. Un plan dont tous les points sont corrects les uns par rapport aux autres mais qui est "tourné" de plusieurs grades est une erreur majeure, souvent due à une confusion entre angle et gisement.
Points de vigilance
Ne jamais additionner ou soustraire directement un angle lu sur le terrain à une coordonnée. L'angle doit d'abord servir à calculer un gisement, qui lui-même servira à calculer les coordonnées.
Points à retenir
- Angle Horizontal : Relatif, mesuré, entre deux directions.
- Gisement : Absolu, calculé, par rapport au Nord.
Le saviez-vous ?
En navigation maritime ou aérienne, on utilise le terme "azimut" ou "cap", qui est un concept très similaire au gisement topographique, mais souvent mesuré en degrés sexagésimaux (0-360°).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si votre référence R était plein Nord (G_SR = 0 gon), que vaudrait le gisement G_SP1 ?
Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement
Utilisez les curseurs pour faire varier le gisement et la distance d'un point P par rapport à la station S (1250, 4380) et observez comment ses coordonnées X et Y changent. Le graphique montre la position du point P en temps réel.
Paramètres d'Entrée
Coordonnées Calculées
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qu'un gisement en topographie ?
2. Pour calculer la coordonnée X d'un point P depuis une station S, on utilise :
3. Dans quel quadrant se trouve une direction si ΔX est négatif et ΔY est positif ?
4. L'unité d'angle légale en France pour la topographie est le :
5. Comment appelle-t-on l'opération qui consiste à déterminer des points à partir d'une station connue ?
- Coordonnées Polaires
- Système de coordonnées pour définir un point dans un plan par un angle et une distance à partir d'un point central (le pôle).
- Coordonnées Rectangulaires (ou Cartésiennes)
- Système de coordonnées pour définir un point par ses distances à deux axes perpendiculaires (X et Y).
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) jusqu'à une direction donnée. Il varie de 0 à 400 gon.
- Tachéomètre (Station Totale)
- Instrument de géodésie qui mesure électroniquement les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances.
D’autres exercices de topographie:
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