Report des Données Terrain sur Plans
Comprendre le report des Données Terrain sur Plans
Vous êtes un topographe travaillant sur le projet de construction d’une nouvelle route. Avant le début des travaux, il est essentiel de reporter précisément les données du terrain sur le plan de construction. Vous avez réalisé un levé topographique du site et obtenu les données suivantes, que vous devez maintenant intégrer dans un plan à l’échelle.
Pour comprendre le Calcul de distance en topographie, cliquez sur le lien.
Données Terrain:
- Point A : Coordonnées (0, 0), Altitude 50 m
- Point B : Coordonnées (100 m Est, 50 m Nord), Altitude 55 m
- Point C : Coordonnées (50 m Est, 150 m Nord), Altitude 52 m
- Point D : Coordonnées (200 m Est, 100 m Nord), Altitude 58 m
Questions:
1. Report des Points sur le Plan : Dessinez un plan à l’échelle 1:1000 en reportant les points A, B, C, et D. Indiquez clairement les coordonnées et altitudes.
2. Calcul de Pente : Calculez la pente moyenne entre les points A et B, ainsi qu’entre les points C et D.
3. Profil Topographique : Réalisez un profil topographique sur la ligne droite reliant les points A à D. Ce profil doit inclure les points B et C, et montrer les variations d’altitude.
4. Surface Planaire : Calculez la surface planaire de la zone délimitée par les points A, B, C, et D.
5. Réflexion : Discutez des implications potentielles des variations d’altitude pour le projet de construction de la route. Comment ces informations peuvent-elles influencer les décisions de construction?
Correction : report des Données Terrain sur Plans
1. Report des Points sur le Plan
Calcul de l’échelle
L’échelle d’un plan indique combien de fois on réduit les dimensions réelles pour les représenter sur papier. Ici, l’échelle \(\frac{1}{1000}\) signifie que \(1000\,\text{m}\) sur le terrain correspondent à \(1\,\text{m}\) sur le plan. Pour simplifier, on convertit chaque mètre réel en millimètre \(\bigl(1\,\text{m} \leftrightarrow 1\,\text{mm}\bigr)\). Ainsi, si un point est à \(100\,\text{m}\) à l’Est, on le placera à \(100\,\text{mm}\) à droite sur le plan.
Formule utilisée
\[\text{coordonnée sur plan (mm)} = \text{coordonnée terrain (m)} \times \frac{1\,\text{mm}}{1\,\text{m}}\]
Données
- Échelle : \(\frac{1}{1000}\)
- 1 mètre terrain = 1 mm sur le plan
Application numérique
On prend chaque coordonnée \(X\) et \(Y\) du terrain (en mètres) et on la multiplie par 1 pour obtenir la position en millimètres sur le plan :
| Point | Xterrain (m) | Yterrain (m) | Xplan (mm) | Yplan (mm) | Altitude (m) |
|---|---|---|---|---|---|
| A | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(50\) |
| B | \(100\) | \(50\) | \(100\) | \(50\) | \(55\) |
| C | \(50\) | \(150\) | \(50\) | \(150\) | \(52\) |
| D | \(200\) | \(100\) | \(200\) | \(100\) | \(58\) |
2. Calcul de pente moyenne
Concept de pente
La pente mesure la rapidité à laquelle le terrain monte ou descend. C'est le ratio entre la différence d’altitude et la distance horizontale. Plus ce ratio est élevé, plus la pente est raide.
2.1 Entre A et B
Formules
- \[\Delta Z = Z_B - Z_A\]
- \[d = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}\]
- \[p = \frac{\Delta Z}{d}\]
Données
- Altitude de A : \(Z_A = 50\,\text{m}\)
- Altitude de B : \(Z_B = 55\,\text{m}\)
- \(\Delta Z = 5\,\text{m}\)
- \(\Delta X = 100\,\text{m}\)
- \(\Delta Y = 50\,\text{m}\)
Calculs
\[d_{AB} = \sqrt{100^2 + 50^2} = 111\,803\,\text{m}\]
\[p_{AB} = \frac{5}{111\,803} \approx 0.04472 = 4.47\%\]
2.2 Entre C et D
Formules
- \[\Delta Z = Z_D - Z_C\]
- \[d = \sqrt{(X_D - X_C)^2 + (Y_D - Y_C)^2}\]
- \[p = \frac{\Delta Z}{d}\]
Données
- Altitude de C : \(Z_C = 52\,\text{m}\)
- Altitude de D : \(Z_D = 58\,\text{m}\)
- \(\Delta Z = 6\,\text{m}\)
- \(\Delta X = 150\,\text{m}\)
- \(\Delta Y = -50\,\text{m}\)
Calculs
\[d_{CD} = \sqrt{150^2 + (-50)^2} = 158\,114\,\text{m}\]
\[p_{CD} = \frac{6}{158\,114} \approx 0.03796 = 3.80\%\]
3. Profil topographique (A \(\rightarrow\) D)
But
Le profil altimétrique montre comment l’altitude varie le long du tracé. Nous passons par B et C entre A et D.
Formules
- \[d_{AP} = \sqrt{(X_P - X_A)^2 + (Y_P - Y_A)^2}\]
Données et calculs
| Point | X (m) | Y (m) | Z (m) | dAP (m) |
|---|---|---|---|---|
| A | \(0\) | \(0\) | \(50\) | \(0\) |
| B | \(100\) | \(50\) | \(55\) | \(111{,}803\) |
| C | \(50\) | \(150\) | \(52\) | \(158{,}114\) |
| D | \(200\) | \(100\) | \(58\) | \(223{,}607\) |
4. Surface planaire de la zone ABCD
Méthode
On utilise la formule « shoelace » pour un quadrilatère :
Formules
- \[\sum_{i=1}^{4} x_i y_{i+1}\]
- \[\sum_{i=1}^{4} y_i x_{i+1}\]
- \[S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{4} x_i y_{i+1} - \sum_{i=1}^{4} y_i x_{i+1} \right|\]
Données
- Points : \(A(0,0)\), \(B(100,50)\), \(C(50,150)\), \(D(200,100)\)
Étapes de calcul
\[\sum x_i y_{i+1} = 0\cdot50 + 100\cdot150 + 50\cdot100 + 200\cdot0 = 20\,000\]
\[\sum y_i x_{i+1} = 0\cdot100 + 50\cdot50 + 150\cdot200 + 100\cdot0 = 32\,500\]
\[S = \frac{1}{2} |20\,000 - 32\,500| = 6\,250\,\text{m}^2\]
5. Réflexion
- Variations d’altitude : pentes de \(4.47\%\) et \(3.80\%\), alternance de montées et descentes.
- Impact pratique : maintenir pentes \(<6\%\) pour sécurité, prévoir coupes et remblais.
- Drainage : fossés et drains nécessaires dans les zones peu pentues.
- Quantités de matériaux : surface \(6\,250\,\text{m}^2\) pour estimer enrobés et fondations.
- Conclusion : ces calculs assurent une route stable, sécurisée et économique.
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