Dérivation et Optimisation : Maximiser le Volume
Contexte : Trouver le Meilleur Choix Possible
La dérivationOutil mathématique permettant de déterminer le taux de variation d'une fonction. La dérivée en un point est la pente de la tangente à la courbe en ce point. est l'un des outils les plus puissants du calcul différentiel. L'une de ses applications les plus directes et les plus utiles est la résolution de problèmes d'optimisationProcessus de recherche de la meilleure valeur (maximum ou minimum) d'une fonction, soumise à certaines contraintes.. Que ce soit pour maximiser les profits, minimiser les coûts, optimiser la surface d'un objet ou, comme dans notre cas, maximiser un volume, la dérivation nous permet de trouver les extremumsTerme générique désignant les maximums et les minimums d'une fonction. d'une fonction. En trouvant où la dérivée s'annule, nous identifions les "points plats" d'une courbe, qui sont les candidats pour être des sommets ou des creux.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment traduire un problème concret et physique en un modèle mathématique (une fonction), puis comment utiliser les outils du calcul différentiel pour résoudre ce problème de manière rigoureuse. C'est le cœur de la démarche en mathématiques appliquées.
Objectifs Pédagogiques
- Modéliser un problème concret par une fonction mathématique.
- Définir le domaine de validité d'une fonction dans un contexte appliqué.
- Calculer la dérivée d'une fonction polynomiale.
- Trouver les points critiques d'une fonction en résolvant \(f'(x) = 0\).
- Utiliser un tableau de signes pour étudier les variations d'une fonction.
- Identifier un maximum local et l'interpréter pour résoudre le problème initial.
Données de l'étude
Schéma de Fabrication de la Boîte
Questions à traiter
- Exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte en fonction de \(x\). Préciser le domaine de définition de la fonction \(V\) dans le contexte de ce problème.
- Calculer la dérivée \(V'(x)\) de la fonction volume.
- Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles la dérivée s'annule (points critiques).
- Étudier le signe de \(V'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(V\).
- En déduire la valeur de \(x\) qui maximise le volume de la boîte et calculer ce volume maximal.
Correction : Dérivation et Optimisation
Question 1 : Expression et Domaine du Volume V(x)
Principe :
Le volume d'un pavé droit (la forme de la boîte) est donné par la formule : Longueur × largeur × hauteur. Il faut exprimer chacune de ces dimensions en fonction de \(x\), la longueur du carré découpé aux coins.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La première étape de tout problème d'optimisation est la plus importante : traduire la situation physique en une équation mathématique. Une erreur à ce stade rendrait tous les calculs suivants inutiles pour résoudre le problème initial.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Côté de la feuille de carton : 30 cm.
- Côté du carré découpé : \(x\).
Calcul(s) :
Après avoir découpé les carrés et relevé les bords :
- La hauteur de la boîte est \(h = x\).
- La longueur de la base est \(L = 30 - 2x\).
- La largeur de la base est \(l = 30 - 2x\).
Le volume est donc :
Domaine de définition : Les dimensions doivent être positives.
\(x > 0\) (on doit découper quelque chose).
\(30 - 2x > 0 \Rightarrow 30 > 2x \Rightarrow 15 > x\).
Le domaine de validité pour le problème est donc \(x \in ]0, 15[\).
Points de vigilance :
Ne pas oublier le domaine : En mathématiques pures, un polynôme est défini sur \(\mathbb{R}\). Mais dans un contexte appliqué, les contraintes physiques (longueurs positives) restreignent le domaine. Ignorer cela peut mener à des solutions mathématiquement correctes mais physiquement absurdes.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Calcul de la Dérivée V'(x)
Principe :
La Dérivée comme Pente de la Tangente
Pour trouver les extremums de la fonction \(V(x)\), nous devons d'abord calculer sa fonction dérivée, \(V'(x)\). La dérivée nous donnera le taux de variation (la pente) du volume pour toute valeur de \(x\). Nous utilisons les règles de dérivation de base pour les fonctions polynomiales.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le calcul de la dérivée est une étape purement technique, mais essentielle. C'est elle qui transforme un problème de recherche de maximum en un problème de recherche de racines (résolution de l'équation \(V'(x)=0\)), qui est souvent plus simple à aborder.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
La fonction à dériver est \(V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x\).
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Erreurs de calcul : Les erreurs les plus simples (multiplication, application des puissances) sont les plus courantes. Il est crucial de bien appliquer la formule \((x^n)' = nx^{n-1}\) à chaque terme du polynôme.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Recherche des Points Critiques
Principe :
Un point critiquePoint où la dérivée d'une fonction est nulle ou n'existe pas. Ces points sont les seuls candidats possibles pour être des maximums ou minimums locaux. est un point où la tangente à la courbe est horizontale, c'est-à-dire où sa pente est nulle. Pour trouver ces points, il faut donc résoudre l'équation \(V'(x) = 0\). Comme \(V'(x)\) est un polynôme du second degré, nous utilisons le discriminant \(\Delta\).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Résoudre \(V'(x)=0\) ne donne pas directement la solution, mais seulement les "candidats" à la solution. Un point critique peut être un maximum, un minimum, ou un simple point d'inflexion. L'étape suivante (étude de signe) est indispensable pour les départager.
Formule(s) utilisée(s) :
Pour une équation du second degré \(ax^2+bx+c=0\) :
Donnée(s) :
L'équation à résoudre est \(12x^2 - 240x + 900 = 0\).
On peut simplifier par 12 : \(x^2 - 20x + 75 = 0\).
Ici, \(a=1\), \(b=-20\), \(c=75\).
Calcul(s) :
Les deux solutions sont :
Points de vigilance :
Ne pas oublier le domaine de définition : Nous avons trouvé deux points critiques, \(x=5\) et \(x=15\). Cependant, notre domaine de validité est \(]0, 15[\). La valeur \(x=15\) est donc à la frontière du domaine et ne peut pas correspondre à un volume (la longueur de la base serait nulle). La seule valeur candidate pertinente est \(x=5\).
Le saviez-vous ?
Question 4 : Tableau de Variations de V
Principe :
Signe de la Dérivée et Variation de la Fonction
Le signe de la dérivée \(V'(x)\) nous indique si la fonction \(V(x)\) est croissante ou décroissante. Si \(V'(x) > 0\), \(V(x)\) est croissante. Si \(V'(x) < 0\), \(V(x)\) est décroissante. Nous étudions le signe d'un polynôme du second degré, qui est du "signe de a à l'extérieur des racines".
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le tableau de variations est un outil de synthèse extrêmement puissant. Il résume en un seul coup d'œil tout le comportement de la fonction : où elle monte, où elle descend, et où se situent ses extremums. C'est la carte d'identité de la fonction.
Formule(s) utilisée(s) :
Signe d'un trinôme \(ax^2+bx+c\) avec deux racines \(x_1 < x_2\) :
- Signe de \(a\) à l'extérieur des racines (\(]-\infty, x_1[\) et \(]x_2, +\infty[\)).
- Signe de \(-a\) entre les racines (\(]x_1, x_2[\)).
Donnée(s) :
\(V'(x) = 12x^2 - 240x + 900\). Ici \(a=12\) (positif).
Racines : \(x_1=5\) et \(x_2=15\).
Domaine d'étude : \(]0, 15[\).
Calcul(s) :
| \(x\) | 0 | 5 | 15 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(V'(x)\) | || | + | 0 | - | || |
| Variations de \(V(x)\) | || | ↗ | Max | ↘ | || |
Points de vigilance :
Bien lire le tableau : Une erreur classique est de confondre le signe de la fonction et le signe de sa dérivée. C'est le signe de \(V'(x)\) qui détermine les variations de \(V(x)\).
Le saviez-vous ?
Question 5 : Conclusion et Volume Maximal
Principe :
L'étude de variation a montré que le volume est maximal pour une valeur spécifique de \(x\). Il ne reste plus qu'à calculer la valeur de ce volume maximal en remplaçant \(x\) par cette valeur optimale dans l'expression de \(V(x)\).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : C'est l'étape finale où l'on répond concrètement à la question posée au début. Il est important de bien formuler la réponse en revenant au contexte du problème (dimensions de la boîte, volume en cm³), et pas seulement en donnant des valeurs mathématiques brutes.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
La valeur de \(x\) qui maximise le volume est \(x=5\) cm.
Calcul(s) :
Les dimensions de la boîte optimale sont :
Hauteur : \(x = 5\) cm.
Base : \(30 - 2(5) = 20\) cm.
La boîte est donc un pavé de 20 cm × 20 cm × 5 cm.
Le Saviez-Vous ?
La nature est une experte en optimisation. Par exemple, les abeilles construisent leurs alvéoles sous forme d'hexagones réguliers. Il a été mathématiquement prouvé que c'est la forme qui permet de stocker le plus de miel pour une quantité de cire donnée, minimisant ainsi la surface pour un volume fixé.
Foire Aux Questions (FAQ)
Aurait-on pu utiliser la dérivée seconde ?
Oui. La dérivée seconde est \(V''(x) = 24x - 240\). Pour le point critique \(x=5\), on a \(V''(5) = 24(5) - 240 = 120 - 240 = -120\). Comme \(V''(5) < 0\), cela confirme que \(x=5\) correspond bien à un maximum local. C'est le "test de la dérivée seconde".
Qu'est-ce qu'un maximum global ?
Un maximum local est le point le plus haut dans un voisinage donné, tandis qu'un maximum global est le point le plus haut sur l'ensemble du domaine de définition. Dans notre cas, comme il n'y a qu'un seul extremum sur l'intervalle \(]0, 15[\) et que la fonction tend vers 0 aux bornes, le maximum local en \(x=5\) est aussi le maximum global.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour trouver les extremums (maximums ou minimums) d'une fonction f, on cherche d'abord les valeurs de x qui :
2. Si la dérivée f'(x) est positive sur un intervalle, alors la fonction f(x) est :
Glossaire
- Dérivée
- La dérivée d'une fonction mesure la sensibilité au changement de la valeur de la fonction par rapport à un changement de sa variable. Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la courbe de la fonction.
- Optimisation
- Processus de recherche des entrées d'une fonction qui aboutissent à la sortie la plus grande (maximum) ou la plus petite (minimum).
- Point Critique
- Point d'une fonction où la dérivée est nulle ou n'est pas définie. Les extremums locaux se produisent toujours aux points critiques.
- Extremum
- Terme général pour désigner un point où une fonction atteint une valeur maximale (maximum) ou minimale (minimum).
- Tableau de Variations
- Tableau qui résume le comportement d'une fonction en indiquant le signe de sa dérivée et, par conséquent, les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
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