Études de cas pratique

EGC

Vérifier le renversement d’un mur

Vérification du Non-Renversement d’un Mur de Soutènement

Vérification du Non-Renversement d’un Mur de Soutènement

Comprendre la Stabilité au Renversement des Murs de Soutènement

Les murs de soutènement sont des structures conçues pour retenir des masses de terre. L'une des vérifications de stabilité essentielles pour ces ouvrages est celle du non-renversement. Le renversement se produit lorsque le moment des forces tendant à faire basculer le mur (moment de renversement, \(M_R\)) autour de son arête inférieure avant (le "pied" ou "talon" de la fondation) dépasse le moment des forces qui tendent à le stabiliser (moment stabilisateur, \(M_S\)). La vérification consiste à s'assurer que le rapport \(M_S / M_R\) est supérieur à un facteur de sécurité requis (\(FS_{\text{renv}}\)), typiquement de 1.5 à 2.0 ou plus selon les normes et les conséquences d'une rupture.

Données de l'étude

On considère un mur de soutènement poids en béton de section rectangulaire, retenant un remblai horizontal.

Dimensions du mur (par mètre linéaire) :

  • Hauteur totale du mur (\(H_m\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la base du mur (semelle, \(B\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Épaisseur du mur (supposée constante) : \(t_m = B = 2.0 \, \text{m}\) (mur poids massif)

Caractéristiques du remblai (sol retenu) :

  • Poids volumique du remblai (\(\gamma_s\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Angle de frottement interne du remblai (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
  • Cohésion du remblai (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent)

Caractéristiques du béton du mur :

  • Poids volumique du béton (\(\gamma_b\)) : \(24 \, \text{kN/m}^3\)

On utilisera la théorie de Rankine pour calculer la poussée active des terres. Le coefficient de poussée active \(K_a = \frac{1 - \sin \phi'}{1 + \sin \phi'}\).

Objectif : Vérifier la stabilité au renversement du mur autour de son pied (arête avant de la base).

Schéma : Mur de Soutènement Poids et Forces Agissantes
Sol de fondation Mur (W) Remblai Pa H/3 W A (Pied) B = 2.0 m Hm = 4.0 m Ms Mr

Mur de soutènement poids soumis à la poussée des terres.

Questions à traiter (par mètre linéaire de mur)

  1. Calculer le poids du mur (\(W_m\)) et déterminer la position de son point d'application par rapport au pied A.
  2. Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)).
  3. Calculer l'intensité de la poussée active des terres (\(P_a\)) et déterminer la position de son point d'application par rapport au pied A.
  4. Calculer le moment de renversement (\(M_R\)) dû à la poussée des terres par rapport au pied A.
  5. Calculer le moment stabilisateur (\(M_S\)) dû au poids du mur par rapport au pied A.
  6. Calculer le facteur de sécurité au renversement (\(FS_{\text{renv}}\)).
  7. Conclure sur la stabilité au renversement du mur.

Correction : Vérification du Non-Renversement d’un Mur

Question 1 : Calcul du Poids du Mur (\(W_m\)) et Position

Principe :

Le poids du mur (\(W_m\)) est calculé en multipliant son volume par le poids volumique du béton. Pour un mur de section rectangulaire, le volume par mètre linéaire est \(V_m = B \cdot H_m \cdot 1 \, \text{m}\). Le point d'application du poids (centre de gravité) d'un rectangle se situe au milieu de sa base.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_m = \gamma_b \cdot B \cdot H_m \cdot (1 \, \text{m})\]
Données spécifiques :
  • Poids volumique du béton (\(\gamma_b\)) : \(24 \, \text{kN/m}^3\)
  • Largeur de la base (\(B\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur du mur (\(H_m\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Calcul du poids du mur et de sa position :
\[ \begin{aligned} W_m &= 24 \, \text{kN/m}^3 \cdot 2.0 \, \text{m} \cdot 4.0 \, \text{m} \cdot 1 \, \text{m} \\ &= 192 \, \text{kN} \quad (\text{par mètre linéaire}) \end{aligned} \]

Le poids \(W_m\) s'applique au centre de gravité du mur rectangulaire. Par rapport au pied A (arête avant de la base), le bras de levier est \(x_W = B/2\).

\[x_W = \frac{2.0 \, \text{m}}{2} = 1.0 \, \text{m}\]
Résultat Question 1 : Le poids du mur est \(W_m = 192 \, \text{kN/m}\), et son point d'application est à \(x_W = 1.0 \, \text{m}\) du pied A.

Question 2 : Calcul du Coefficient de Poussée Active (\(K_a\))

Principe :

Le coefficient de poussée active (\(K_a\)) de Rankine pour un remblai horizontal derrière un mur à parement vertical est utilisé pour déterminer la pression latérale exercée par le sol sur le mur. Il dépend de l'angle de frottement interne (\(\phi'\)) du sol retenu.

Formule(s) utilisée(s) :
\[K_a = \frac{1 - \sin \phi'}{1 + \sin \phi'} = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right)\]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne du remblai (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
Calcul de \(K_a\) :
\[ \begin{aligned} \sin(30^\circ) &= 0.5 \\ K_a &= \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \\ &\approx 0.333 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le coefficient de poussée active est \(K_a = 1/3 \approx 0.333\).

Question 3 : Calcul de la Poussée Active (\(P_a\)) et Position

Principe :

La poussée active totale (\(P_a\)) exercée par le remblai sur le mur est la résultante de la distribution de pression active, qui est triangulaire pour un remblai horizontal et un sol pulvérulent. L'intensité de la pression active à une profondeur \(z\) est \(\sigma'_h = K_a \gamma_s z\). La force résultante \(P_a\) est l'aire de ce triangle de pression, et elle s'applique à \(H_m/3\) de la base du mur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma_s H_m^2\]

Point d'application de \(P_a\) par rapport à la base du mur (pied A) : \(y_P = H_m/3\).

Données spécifiques :
  • Coefficient de poussée active (\(K_a\)) : \(1/3\)
  • Poids volumique du remblai (\(\gamma_s\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Hauteur du mur (\(H_m\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Calcul de la poussée active et de sa position :
\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 18 \, \text{kN/m}^3 \cdot (4.0 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{6} \cdot 18 \cdot 16 \, \text{kN/m} \\ &= 3 \cdot 16 \, \text{kN/m} \\ &= 48 \, \text{kN/m} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} y_P &= \frac{H_m}{3} = \frac{4.0 \, \text{m}}{3} \\ &\approx 1.333 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La poussée active des terres est \(P_a = 48 \, \text{kN/m}\), appliquée à \(y_P \approx 1.333 \, \text{m}\) de la base du mur.

Question 4 : Calcul du Moment de Renversement (\(M_R\))

Principe :

Le moment de renversement (\(M_R\)) est le moment des forces qui tendent à faire basculer le mur autour de son pied (point A). Dans ce cas, il est principalement dû à la poussée active des terres \(P_a\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_R = P_a \cdot y_P\]
Données spécifiques :
  • Poussée active (\(P_a\)) : \(48 \, \text{kN/m}\)
  • Bras de levier (\(y_P\)) : \(4/3 \, \text{m} \approx 1.333 \, \text{m}\)
Calcul du moment de renversement :
\[ \begin{aligned} M_R &= 48 \, \text{kN/m} \cdot \frac{4}{3} \, \text{m} \\ &= 16 \cdot 4 \, \text{kNm/m} \\ &= 64 \, \text{kNm/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le moment de renversement est \(M_R = 64 \, \text{kNm/m}\).

Question 5 : Calcul du Moment Stabilisateur (\(M_S\))

Principe :

Le moment stabilisateur (\(M_S\)) est le moment des forces qui s'opposent au renversement, calculé par rapport au même point de rotation (pied A). Dans ce cas, il est principalement dû au poids propre du mur \(W_m\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_S = W_m \cdot x_W\]
Données spécifiques :
  • Poids du mur (\(W_m\)) : \(192 \, \text{kN/m}\)
  • Bras de levier (\(x_W\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
Calcul du moment stabilisateur :
\[ \begin{aligned} M_S &= 192 \, \text{kN/m} \cdot 1.0 \, \text{m} \\ &= 192 \, \text{kNm/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le moment stabilisateur est \(M_S = 192 \, \text{kNm/m}\).

Question 6 : Calcul du Facteur de Sécurité au Renversement (\(FS_{\text{renv}}\))

Principe :

Le facteur de sécurité au renversement (\(FS_{\text{renv}}\)) est le rapport du moment stabilisateur (\(M_S\)) au moment de renversement (\(M_R\)). Il indique la marge de sécurité de la structure contre le basculement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[FS_{\text{renv}} = \frac{M_S}{M_R}\]
Données spécifiques :
  • Moment stabilisateur (\(M_S\)) : \(192 \, \text{kNm/m}\)
  • Moment de renversement (\(M_R\)) : \(64 \, \text{kNm/m}\)
Calcul du facteur de sécurité :
\[ \begin{aligned} FS_{\text{renv}} &= \frac{192 \, \text{kNm/m}}{64 \, \text{kNm/m}} \\ &= 3.0 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le facteur de sécurité au renversement est \(FS_{\text{renv}} = 3.0\).

Question 7 : Conclusion sur la Stabilité au Renversement

Principe :

On compare le facteur de sécurité calculé (\(FS_{\text{renv}}\)) à un facteur de sécurité admissible ou requis (généralement \(\geq 1.5\) à \(2.0\) pour le renversement, selon les normes et l'importance de l'ouvrage). Si \(FS_{\text{renv}}\) est supérieur au \(FS_{\text{requis}}\), le mur est considéré comme stable au renversement.

Données spécifiques :
  • Facteur de sécurité calculé (\(FS_{\text{renv}}\)) : \(3.0\)
  • Facteur de sécurité requis typique (exemple) : \(FS_{\text{requis}} = 2.0\)
Conclusion :

Puisque \(FS_{\text{renv}} = 3.0 > FS_{\text{requis}} = 2.0\), le mur est stable vis-à-vis du renversement.

Résultat Question 7 : Le mur est stable au renversement avec un facteur de sécurité de 3.0.

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur du remblai augmentait, le moment de renversement \(M_R\) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. Le moment stabilisateur d'un mur poids est principalement dû à :

9. Le point de rotation généralement considéré pour la vérification au renversement d'un mur de soutènement est :

10. Un facteur de sécurité au renversement de 1.0 signifie que :

Glossaire

Mur de Soutènement
Structure conçue pour retenir une masse de terre ou d'autres matériaux granulaires, empêchant leur éboulement naturel.
Renversement
Mode de rupture d'un mur de soutènement où il bascule autour de son arête inférieure avant (pied) sous l'effet des forces horizontales.
Poussée Active des Terres (\(P_a\))
Force horizontale exercée par le sol retenu sur le mur lorsque le mur tend à s'éloigner du sol.
Coefficient de Poussée Active (\(K_a\))
Coefficient utilisé pour calculer la pression active des terres, dépendant des caractéristiques du sol (principalement \(\phi'\)).
Moment de Renversement (\(M_R\))
Somme des moments des forces qui tendent à faire basculer le mur autour d'un point de rotation (généralement le pied).
Moment Stabilisateur (\(M_S\))
Somme des moments des forces qui s'opposent au basculement du mur, par rapport au même point de rotation.
Facteur de Sécurité au Renversement (\(FS_{\text{renv}}\))
Rapport du moment stabilisateur au moment de renversement. Il doit être supérieur à une valeur minimale pour assurer la stabilité.
Poids Volumique (\(\gamma\))
Poids d'un matériau par unité de volume.
Théorie de Rankine
Théorie utilisée pour estimer la poussée des terres sur les ouvrages de soutènement, basée sur l'état d'équilibre plastique du sol.
Vérification du Non-Renversement d’un Mur - Exercice d'Application

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