EGC

Vérification de la stabilité d’un portique

Vérification de la Stabilité d’un Portique en Bois (Eurocode 5)

Vérification de la Stabilité d’un Portique en Bois

Contexte : L'élégance et l'efficacité des structures en bois.

Les portiques en bois lamellé-collé sont des structures très répandues pour couvrir de grandes portées, comme dans les gymnases, les entrepôts ou les bâtiments agricoles. Leur conception exige une attention particulière non seulement à la résistance (rupture du matériau) mais surtout à la stabilitéCapacité d'une structure ou d'un de ses éléments à conserver sa position d'équilibre initiale. La perte de stabilité (flambement, déversement) est une ruine par déformation excessive, souvent brutale.. Un poteau élancé peut flamber sous une charge bien inférieure à sa charge de rupture, et une poutre peut se "déverser" latéralement. Cet exercice vous guidera à travers les vérifications de stabilité essentielles d'un poteau de portique en bois selon les règles de l'Eurocode 5.

Remarque Pédagogique : Cet exercice passe de la simple résistance (contrainte < limite) à l'analyse de la stabilité. C'est un concept plus avancé et absolument fondamental en ingénierie des structures. Nous allons combiner les efforts (compression et flexion) et vérifier que l'élément reste stable en utilisant les formules d'interaction de l'Eurocode 5, la norme de référence en Europe.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les combinaisons de charges de l'Eurocode pour trouver les efforts de calcul.
  • Calculer l'élancement d'un poteau et déterminer sa résistance au flambementPhénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à une compression axiale. La pièce se courbe brusquement latéralement bien avant que la contrainte de compression n'atteigne la limite de résistance du matériau..
  • Vérifier la résistance au déversementPhénomène d'instabilité d'une poutre fléchie, qui se déforme latéralement et se tord simultanément. C'est l'équivalent du flambement pour la flexion. d'une poutre en flexion.
  • Utiliser les formules d'interaction pour vérifier la stabilité d'un élément sous compression et flexion combinées.
  • Se familiariser avec les notations et la méthodologie de l'Eurocode 5.

Données de l'étude

On étudie la stabilité du poteau gauche d'un portique simple en bois lamellé-collé de classe GL24h. Le portique est soumis à des charges permanentes (G), de neige (S) et de vent (W). Les pieds de poteaux sont articulés. On s'intéresse à la combinaison de charges la plus défavorable à l'État Limite Ultime (ELU).

Schéma du portique et des charges
S (Neige) W (Vent) Portée = 12.0 m Hauteur H = 5.0 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Classe du bois - GL24h -
Section des éléments (b x h) - 160 x 500 \(\text{mm}\)
Effort normal de calcul (compression) \(N_{\text{c,d}}\) 85 \(\text{kN}\)
Moment fléchissant de calcul (pied poteau) \(M_{\text{y,d}}\) 40 \(\text{kN·m}\)
Longueur de flambement (dans le plan) \(L_{\text{f,y}}\) 10.5 \(\text{m}\)
Longueur de déversement (hors plan) \(L_{\text{def}}\) 5.0 \(\text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte de compression de calcul \(\sigma_{\text{c,0,d}}\) et la contrainte de flexion \(\sigma_{\text{m,y,d}}\).
  2. Déterminer l'élancement relatif au flambement \(\lambda_{\text{rel,y}}\) et le coefficient de réduction pour le flambement \(k_{\text{c,y}}\).
  3. Déterminer l'élancement relatif au déversement \(\lambda_{\text{rel,m}}\) et le coefficient de réduction \(k_{\text{crit}}\).
  4. Vérifier la stabilité du poteau à l'aide des formules d'interaction de l'Eurocode 5.

Les bases de la Stabilité des Structures en Bois (EC5)

Avant la correction, revoyons les concepts de stabilité selon l'Eurocode 5.

1. Le Flambement (Compression axiale) :
Un poteau comprimé peut flamber. Sa résistance n'est pas sa résistance en compression pure (\(f_{\text{c,0,d}}\)), mais une valeur réduite. On calcule un élancement relatif \(\lambda_{\text{rel}}\) qui compare la géométrie du poteau à la rigidité du matériau. Plus il est élevé, plus le poteau est "svelte" et sensible au flambement. On en déduit un coefficient de réduction \(k_c < 1\). La contrainte de compression admissible est alors \(\sigma_{\text{c,0,d}} \le k_c \cdot f_{\text{c,0,d}}\).

2. Le Déversement (Flexion) :
Une poutre haute et fine soumise à une flexion peut se "déverser" sur le côté. C'est un phénomène de flambement latéral de la semelle comprimée. De la même manière, on calcule un élancement relatif à la flexion \(\lambda_{\text{rel,m}}\) qui conduit à un coefficient de stabilité \(k_{\text{crit}} < 1\). La contrainte de flexion admissible est \(\sigma_{\text{m,d}} \le k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,d}}\).

3. Les Formules d'Interaction (Compression + Flexion) :
Quand un élément est soumis à la fois à de la compression et de la flexion (cas de notre poteau), les deux phénomènes interagissent et réduisent la stabilité globale. L'Eurocode 5 impose de vérifier des formules d'interaction qui additionnent les "taux de travail" de chaque sollicitation. La formule générale est : \[ \left(\frac{\sigma_{\text{c,0,d}}}{k_{\text{c,y}} \cdot f_{\text{c,0,d}}}\right) + k_m \cdot \left(\frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,y,d}}}\right) \le 1 \] Cette formule assure que la "capacité" combinée de l'élément n'est pas dépassée.

Correction : Vérification de la Stabilité d'un Portique en Bois

Question 1 : Calculer les contraintes de calcul

Principe (le concept physique)

La première étape consiste à transformer les efforts internes globaux (force en kN, moment en kN·m) en contraintes locales (en N/mm² ou MPa) à l'intérieur de la section en bois. La contrainte de compression est uniforme sur la section, tandis que la contrainte de flexion est maximale sur les fibres extrêmes. Ces contraintes seront ensuite comparées aux résistances du matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte (\(\sigma\)) est une force (\(F\)) répartie sur une surface (\(A\)). Pour la compression simple, \(\sigma = F/A\). Pour la flexion, la contrainte n'est pas uniforme. Elle est nulle au centre de la section (la "fibre neutre") et maximale sur les bords. La formule \(\sigma = M/W\) utilise le module de flexion \(W\) pour donner directement cette contrainte maximale, simplifiant les calculs.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez la contrainte comme une pression. L'effort normal \(N_{\text{c,d}}\) applique une pression uniforme sur toute la section, comme le poids d'un livre posé à plat. Le moment fléchissant \(M_{\text{y,d}}\) ajoute une pression qui varie : elle est maximale d'un côté (compression) et devient une "tension" maximale de l'autre (traction), comme lorsque vous pliez le livre.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des contraintes est un principe de base de la Résistance des Matériaux. L'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1) précise dans sa section 6 les formules de vérification qui utilisent ces contraintes de calcul. Il spécifie également les propriétés de section à utiliser (par exemple, section brute pour le lamellé-collé).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte de compression :

\[\sigma_{\text{c,0,d}} = \frac{N_{\text{c,d}}}{A}\]

avec A, l'aire de la section :

\[A = b \cdot h\]

Contrainte de flexion :

\[\sigma_{\text{m,y,d}} = \frac{M_{\text{y,d}}}{W_y}\]

avec \(W_y\), le module de flexion :

\[W_y = \frac{b \cdot h^2}{6}\]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau est homogène et isotrope (propriétés identiques en tout point) et que son comportement est linéaire et élastique (hypothèse de Navier-Bernoulli). On suppose que la section reste plane après déformation.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Section : \(b = 160 \, \text{mm}\), \(h = 500 \, \text{mm}\)
  • Effort normal : \(N_{\text{c,d}} = 85 \, \text{kN} = 85000 \, \text{N}\)
  • Moment fléchissant : \(M_{\text{y,d}} = 40 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 40 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La conversion des unités est la source d'erreur n°1. Adoptez un système cohérent dès le début. Le plus simple est le Newton (N) et le millimètre (mm). Toutes vos contraintes et résistances seront alors directement en N/mm², ce qui est équivalent au Mégapascal (MPa), l'unité standard des résistances dans les Eurocodes.

Schéma (Avant les calculs)
Sollicitations sur la section
b=160h=500N_c,dM_y,d
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'aire de la section (A) :

\[ \begin{aligned} A &= 160 \, \text{mm} \times 500 \, \text{mm} \\ &= 80000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Calcul du module de flexion (Wy) :

\[ \begin{aligned} W_y &= \frac{160 \cdot 500^2}{6} \\ &\approx 6.67 \times 10^6 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte de compression :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{c,0,d}} &= \frac{85000 \, \text{N}}{80000 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 1.06 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte de flexion :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,y,d}} &= \frac{40 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{6.67 \times 10^6 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 6.0 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des contraintes combinées
Fibre neutreσ_c = 1.06σ_m = -6.0σ_m = +6.0σ_tot = 7.06 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant les "demandes" sur le matériau : 1.06 MPa en compression et 6.0 MPa en flexion. Ces valeurs semblent faibles par rapport à la résistance du GL24h (qui est de 24 MPa en flexion), mais nous n'avons pas encore tenu compte des phénomènes d'instabilité qui vont réduire considérablement la résistance effective du poteau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est la confusion d'unités entre kN et N, et m et mm. Un moment en kN·m doit être multiplié par 10⁶ pour être en N·mm. Une erreur d'un facteur 1000 ici rendrait tous les calculs suivants faux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte est un effort divisé par une propriété de section (Aire A ou Module W).
  • Compression : \(\sigma_{\text{c}} = N/A\).
  • Flexion : \(\sigma_{\text{m}} = M/W\).
  • La cohérence des unités (N, mm, MPa) est cruciale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le bois n'a pas la même résistance en traction et en compression. Pour le GL24h, la résistance en compression (\(f_{\text{c,0,k}}=24\text{ MPa}\)) est supérieure à celle en traction (\(f_{\text{t,0,k}}=16.5\text{ MPa}\)). C'est une caractéristique importante à prendre en compte dans le dimensionnement.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on le module de flexion W et pas le moment quadratique I ?

La formule complète est \(\sigma = M \cdot y / I\), où y est la distance à la fibre neutre. Le module de flexion \(W\) est simplement \(I / y_{\text{max}}\). L'utiliser est un raccourci pratique pour trouver directement la contrainte maximale sur les fibres extrêmes, ce qui est le plus souvent ce qui nous intéresse.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les contraintes de calcul sont \(\sigma_{\text{c,0,d}} \approx 1.06 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{\text{m,y,d}} \approx 6.0 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'effort normal \(N_{\text{c,d}}\) était de 120 kN, quelle serait la nouvelle contrainte de compression en MPa ?

Question 2 : Vérification du flambement

Principe (le concept physique)

On évalue la "svelteur" du poteau via son élancement. Un poteau très court et trapu ne flambera pas (il s'écrasera), tandis qu'un poteau long et fin flambera facilement. L'élancement relatif compare la tendance géométrique au flambement à la capacité du matériau à y résister (sa rigidité E et sa résistance f_c). De cet élancement, on déduit un facteur de réduction k_c qui minora la résistance en compression.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie d'Euler donne la charge critique de flambement pour un poteau parfait. Dans la réalité, les poteaux ont des imperfections (géométrie, excentricité de la charge). L'approche de l'Eurocode est semi-empirique : la formule de l'élancement relatif compare l'élancement mécanique à un élancement de référence basé sur les propriétés du matériau. Les courbes de flambement de la norme (définies par \(\beta_c\)) tiennent compte de ces imperfections.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une simple règle en plastique. Si vous la compressez doucement entre vos doigts, elle se courbe et s'échappe latéralement. C'est le flambement. Vous n'avez pas eu besoin de la force nécessaire pour l'écraser. Le calcul du coefficient \(k_{\text{c}}\) quantifie exactement cette perte de capacité due à l'instabilité géométrique.

Normes (la référence réglementaire)

Toute cette procédure de calcul est tirée de l'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1), section 6.3.2 "Compression et flexion". Les formules pour \(\lambda_{\text{rel,y}}\), \(k_y\) et \(k_{\text{c,y}}\) sont les équations (6.21), (6.27) et (6.28) de la norme.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Rayon de giration :

\[ i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} = \frac{h}{\sqrt{12}} \]

Élancement mécanique :

\[ \lambda_y = \frac{L_{\text{f,y}}}{i_y} \]

Élancement relatif :

\[ \lambda_{\text{rel,y}} = \frac{\lambda_y}{\pi} \sqrt{\frac{f_{\text{c,0,k}}}{E_{\text{0,05}}}} \]

Facteur de flambement :

\[ k_y = 0.5 \left[1 + \beta_c(\lambda_{\text{rel,y}} - 0.3) + \lambda_{\text{rel,y}}^2\right] \]

Coefficient de réduction :

\[ k_{\text{c,y}} = \frac{1}{k_y + \sqrt{k_y^2 - \lambda_{\text{rel,y}}^2}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La longueur de flambement \(L_{\text{f,y}}\) est supposée déjà calculée selon les règles de la statique des portiques (elle dépend des conditions d'appui et de la rigidité des assemblages). On suppose que les propriétés du matériau (\(E_{\text{0,05}}\), \(f_{\text{c,0,k}}\)) sont conformes à la classe de bois GL24h.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Pour le bois GL24h : \(f_{\text{c,0,k}} = 24 \, \text{MPa}\), \(E_{\text{0,05}} = 9.6 \, \text{GPa} = 9600 \, \text{MPa}\), \(\beta_c = 0.1\) (pour le lamellé-collé)
  • Géométrie : \(h = 500 \, \text{mm}\), \(L_{\text{f,y}} = 10500 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'Eurocode 5 indique que si l'élancement relatif \(\lambda_{\text{rel}}\) est inférieur à 0.3, les effets du flambement peuvent être négligés (\(k_c=1\)). Calculez toujours \(\lambda_{\text{rel}}\) en premier. Si vous êtes sous ce seuil, vous pouvez économiser beaucoup de calculs !

Schéma (Avant les calculs)
Mode de flambement du poteau
L_f,y = 10.5 m
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du rayon de giration (iy) :

\[ \begin{aligned} i_y &= \frac{500}{\sqrt{12}} \\ &\approx 144.3 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Calcul de l'élancement mécanique (λy) :

\[ \begin{aligned} \lambda_y &= \frac{10500}{144.3} \\ &\approx 72.8 \end{aligned} \]

Calcul de l'élancement relatif (λrel,y) :

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel,y}} &= \frac{72.8}{\pi} \sqrt{\frac{f_{\text{c,0,k}}}{E_{\text{0,05}}}} \\ &= \frac{72.8}{\pi} \sqrt{\frac{24}{9600}} \\ &= 1.16 \end{aligned} \]

Comme \(\lambda_{\text{rel,y}} = 1.16 > 0.3\), les effets du flambement ne peuvent pas être négligés.

Calcul du facteur de flambement (ky) :

\[ \begin{aligned} k_y &= 0.5 \left[1 + 0.1(1.16 - 0.3) + 1.16^2\right] \\ &\approx 1.22 \end{aligned} \]

Calcul du coefficient de réduction pour le flambement (kc,y) :

\[ \begin{aligned} k_{\text{c,y}} &= \frac{1}{1.22 + \sqrt{1.22^2 - 1.16^2}} \\ &\approx 0.63 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position sur la courbe de flambement
Élancement relatif λ_relCoeff. de réduction k_ck_c = 0.63λ_rel = 1.161.0
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient \(k_{\text{c,y}} = 0.63\) signifie que le poteau a perdu 37% de sa résistance en compression à cause du risque de flambement. Sa résistance effective n'est plus de 16.5 MPa, mais de \(0.63 \times 16.5 \approx 10.4\) MPa. C'est une réduction très significative qui montre l'importance capitale de cette vérification.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus critique est de se tromper dans la longueur de flambement \(L_{\text{f,y}}\). Elle dépend fortement des liaisons aux extrémités (articulé, encastré...). Une mauvaise estimation de \(L_{\text{f,y}}\) a un impact majeur sur le résultat final. Une autre erreur est d'oublier le facteur \(\beta_c\) ou d'utiliser la mauvaise valeur (0.1 pour le lamellé-collé, 0.2 pour le bois massif).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le flambement réduit la résistance d'un élément comprimé.
  • On calcule l'élancement relatif \(\lambda_{\text{rel}}\) pour quantifier cette sensibilité.
  • On en déduit un coefficient de réduction \(k_{\text{c}} < 1\).
  • La résistance de calcul au flambement est \(k_{\text{c}} \cdot f_{\text{c,0,d}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les poteaux très élancés (\(\lambda_{\text{rel}} > 1.5\)), la résistance au flambement chute de manière drastique. C'est pourquoi les ingénieurs cherchent à limiter l'élancement en augmentant la taille des sections ou, plus intelligemment, en ajoutant des maintiens intermédiaires (contreventements) qui réduisent la longueur de flambement.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on aussi vérifier le flambement hors du plan du portique ?

Oui, absolument. Nous avons vérifié le flambement dans le plan (axe y). Il faut aussi vérifier le flambement hors du plan (axe z), avec la longueur de flambement \(L_{\text{f,z}}\) et le rayon de giration \(i_z = b/\sqrt{12}\). On calcule alors \(\lambda_{\text{rel,z}}\) et \(k_{\text{c,z}}\). La vérification la plus défavorable des deux sera retenue.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'élancement relatif est \(\lambda_{\text{rel,y}} = 1.16\), conduisant à un coefficient de réduction pour flambement \(k_{\text{c,y}} \approx 0.63\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau était mieux contreventé et que \(L_{\text{f,y}}\) était réduite à 6.0 m, quel serait le nouveau \(k_{\text{c,y}}\) ? (Indice: \(\lambda_{\text{rel,y}}\) sera d'environ 0.66)

Question 3 : Vérification du déversement

Principe (le concept physique)

Le déversement est un phénomène similaire au flambement, mais pour la flexion. La partie comprimée de la poutre (la fibre supérieure) se comporte comme un poteau "couché" et cherche à flamber latéralement. Comme elle est retenue par la partie tendue, elle ne peut pas flamber librement et entraîne toute la section dans un mouvement de torsion. On calcule une contrainte critique de déversement, puis un coefficient de réduction \(k_{\text{crit}}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au déversement dépend de la rigidité à la flexion hors plan (\(E \cdot I_z\)) et de la rigidité à la torsion (\(G \cdot I_{\text{tor}}\)). Les sections rectangulaires pleines, comme celles en bois lamellé-collé, ont une rigidité de torsion relativement élevée par rapport à leur rigidité en flexion hors plan, ce qui les rend moins sensibles au déversement que des profilés ouverts comme les I en acier.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez une latte en bois ou une règle plate. Elle est très facile à plier dans son plan faible. Si vous la mettez sur la tranche (plan fort) et que vous la fléchissez, vous verrez qu'au-delà d'une certaine charge, elle va brusquement "s'échapper" sur le côté et se tordre. C'est le déversement. Le calcul de \(k_{\text{crit}}\) vise à prévenir ce phénomène.

Normes (la référence réglementaire)

Cette vérification est décrite dans l'Eurocode 5, section 6.3.3 "Stabilité des éléments fléchis". Les formules pour \(\sigma_{\text{m,crit}}\), \(\lambda_{\text{rel,m}}\) et \(k_{\text{crit}}\) sont les équations (6.30), (6.31) et (6.33) de la norme.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte critique de déversement (formule simplifiée EC5) :

\[ \sigma_{\text{m,crit}} = \frac{0.78 \cdot b^2}{h \cdot L_{\text{def}}} E_{\text{0,05}} \]

Élancement relatif :

\[ \lambda_{\text{rel,m}} = \sqrt{\frac{f_{\text{m,k}}}{\sigma_{\text{m,crit}}}} \]

Coefficient de réduction :

\[ k_{\text{crit}} = 1 \quad \text{si} \quad \lambda_{\text{rel,m}} \le 0.75 \]
\[ k_{\text{crit}} = 1.56 - 0.75 \cdot \lambda_{\text{rel,m}} \quad \text{si} \quad 0.75 < \lambda_{\text{rel,m}} \le 1.4 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est appliquée sur la fibre supérieure (cas le plus défavorable au déversement) et qu'il n'y a pas de maintien latéral continu le long de la semelle comprimée. La longueur de déversement \(L_{\text{def}}\) est la distance entre les points où le déplacement latéral est bloqué.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Pour le bois GL24h : \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\), \(E_{\text{0,05}} = 9600 \, \text{MPa}\)
  • Géométrie : \(b=160, h=500\), \(L_{\text{def}} = 5000 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les sections rectangulaires, la condition \(\lambda_{\text{rel,m}} \le 0.75\) est très souvent vérifiée, surtout pour les poteaux. Un calcul rapide de \(\lambda_{\text{rel,m}}\) permet souvent de conclure que \(k_{\text{crit}}=1\) et d'éviter des calculs plus complexes.

Schéma (Avant les calculs)
Phénomène de déversement
Position initialeDéformation combinée(Flexion + Torsion)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte critique de déversement (\(\sigma_{\text{m,crit}}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,crit}} &= \frac{0.78 \cdot 160^2}{500 \cdot 5000} \cdot 9600 \\ &\approx 76.5 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'élancement relatif au déversement (\(\lambda_{\text{rel,m}}\)) :

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel,m}} &= \sqrt{\frac{f_{\text{m,k}}}{\sigma_{\text{m,crit}}}} \\ &= \sqrt{\frac{24}{76.5}} \\ &\approx 0.56 \end{aligned} \]

3. Détermination du coefficient de stabilité (\(k_{\text{crit}}\)) :

Comme \(\lambda_{\text{rel,m}} = 0.56 \le 0.75\), le poteau est considéré comme peu sensible au déversement.

\[ k_{\text{crit}} = 1.0 \]
Schéma (Après les calculs)
Position sur la courbe de déversement
Élancement relatif λ_rel,mCoeff. k_critk_crit = 1.0λ_rel,m = 0.561.00.75
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient \(k_{\text{crit}} = 1.0\) signifie que la poutre est suffisamment trapue ou bien maintenue latéralement pour qu'il n'y ait pas de risque de déversement. Sa résistance en flexion n'est donc pas réduite par ce phénomène. C'est souvent le cas pour les poteaux, qui sont moins élancés en flexion que les longues poutres de toiture.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre la longueur de flambement \(L_{\text{f,y}}\) et la longueur de déversement \(L_{\text{def}}\). \(L_{\text{f,y}}\) concerne la stabilité dans le plan du portique, tandis que \(L_{\text{def}}\) concerne la stabilité hors du plan et dépend des maintiens latéraux (pannes de toiture, lisses de bardage).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le déversement est une instabilité latérale des éléments fléchis.
  • On le vérifie via l'élancement relatif \(\lambda_{\text{rel,m}}\) et le coefficient \(k_{\text{crit}}\).
  • Pour les sections rectangulaires en bois, ce phénomène est souvent moins critique que le flambement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts métalliques anciens, on peut voir de complexes systèmes de treillis et de croix entre les poutres principales. Une de leurs fonctions essentielles est de bloquer le déplacement latéral de la semelle comprimée des poutres, réduisant ainsi leur longueur de déversement et augmentant considérablement leur capacité portante.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que le déversement peut se produire pour une flexion hors plan ?

Non. Le déversement est une instabilité qui se produit lorsque la flexion a lieu dans le plan de plus grande rigidité de la section (autour de l'axe fort y-y). Si la flexion a lieu dans le plan de faible rigidité (autour de l'axe faible z-z), l'élément fléchit simplement, il ne déverse pas.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'élancement relatif au déversement est \(\lambda_{\text{rel,m}} \approx 0.56\), ce qui donne un coefficient de stabilité \(k_{\text{crit}} = 1.0\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau n'était maintenu qu'en tête et en pied (\(L_{\text{def}} = 10\text{ m}\)), quelle serait la nouvelle valeur de \(k_{\text{crit}}\) ? (Indice: \(\lambda_{\text{rel,m}}\) sera d'environ 0.79)

Question 4 : Vérification finale par interaction

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale où l'on combine tout. On vérifie que la somme des "taux d'utilisation" de la capacité du poteau en compression-flambement et en flexion-déversement ne dépasse pas 100%. La formule d'interaction de l'Eurocode 5 est une manière empirique mais sûre de s'assurer que la combinaison des deux sollicitations ne conduit pas à une ruine prématurée par instabilité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les formules d'interaction définissent une "surface de sécurité" dans l'espace des sollicitations (ici, un espace 2D avec l'effort normal N et le moment M). Tant que le point représentant les sollicitations de calcul est à l'intérieur de cette surface, la structure est considérée comme stable. Les formules linéaires de l'EC5 sont une approximation simple et sécuritaire de cette surface de rupture complexe.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un budget. Vous avez une capacité totale de 100% (\(1.0\)). Vous "dépensez" une partie de ce budget pour résister à la compression (\(\text{ratio}_c\)) et une autre partie pour résister à la flexion (\(\text{ratio}_m\)). La formule d'interaction vérifie simplement que la somme de vos dépenses ne dépasse pas votre budget total.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules utilisées sont les équations (6.23) et (6.24) de l'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1), section 6.3.3. Pour les sections rectangulaires, le facteur d'interaction \(k_m\) est pris égal à 0.7.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'Eurocode 5 impose la vérification des deux inéquations suivantes. La plus défavorable des deux doit être inférieure à 1.0.

\[ \frac{\sigma_{\text{c,0,d}}}{k_{\text{c,y}} \cdot f_{\text{c,0,d}}} + k_m \cdot \frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,y,d}}} \le 1 \]
\[ \frac{\sigma_{\text{c,0,d}}}{k_{\text{c,z}} \cdot f_{\text{c,0,d}}} + k_m \cdot \frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,y,d}}} \le 1 \]

Ici, nous n'avons pas les données pour le flambement hors-plan (axe z), nous ne vérifierons donc que la première formule, qui est souvent la plus critique pour un portique.

Donnée(s) (des calculs précédents)
  • Contraintes : \(\sigma_{\text{c,0,d}} = 1.06 \, \text{MPa}\), \(\sigma_{\text{m,y,d}} = 6.0 \, \text{MPa}\)
  • Résistances de calcul (GL24h, ELU) : \(f_{\text{c,0,d}} = 16.5 \, \text{MPa}\), \(f_{\text{m,y,d}} = 18.5 \, \text{MPa}\)
  • Coefficients : \(k_{\text{c,y}} = 0.63\), \(k_{\text{crit}} = 1.0\), \(k_m = 0.7\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les termes \(\sigma / (k \cdot f)\) sont appelés "ratios de travail" ou "taux d'utilisation". Calculez-les séparément avant de les additionner. Cela permet de voir immédiatement quelle sollicitation (compression ou flexion) est la plus prépondérante dans le dimensionnement.

Schéma (Avant les calculs)
Domaine de stabilité (Interaction)
Ratio FlexionRatio CompressionZone Stable1.01.0
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du ratio de travail en compression-flambement :

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{\text{c,0,d}}}{k_{\text{c,y}} \cdot f_{\text{c,0,d}}} &= \frac{1.06}{0.63 \times 16.5} \\ &\approx 0.102 \end{aligned} \]

2. Calcul du ratio de travail en flexion-déversement :

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,y,d}}} &= \frac{6.0}{1.0 \times 18.5} \\ &\approx 0.324 \end{aligned} \]

3. Application de la formule d'interaction :

\[ \begin{aligned} 0.102 + 0.7 \times 0.324 &= 0.102 + 0.227 \\ &= 0.329 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification Finale de la Stabilité
Point (0.10, 0.23)Ratio Flexion (avec k_m)Ratio CompressionSTABLE ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat final est 0.329. Comme \(0.329 \le 1.0\), la vérification de stabilité est satisfaite. Le poteau est stable sous la combinaison de charges étudiée. Le "taux de travail" global est de 32.9%, ce qui indique une marge de sécurité très confortable. Le point représentant les sollicitations est bien à l'intérieur du domaine de stabilité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur d'interaction \(k_m\). L'omettre conduirait à une surestimation du taux de travail (0.426 au lieu de 0.329) et pourrait mener à un surdimensionnement inutile. Il faut aussi s'assurer de vérifier toutes les formules d'interaction requises par la norme, notamment celle pour le flambement hors plan si elle est pertinente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les sollicitations combinées (compression + flexion) sont vérifiées avec des formules d'interaction.
  • On additionne les ratios de travail de chaque sollicitation, pondérés si nécessaire.
  • La somme doit être inférieure ou égale à 1.0 pour que l'élément soit stable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les formules d'interaction tiennent compte implicitement des "effets du second ordre". C'est-à-dire que l'effort de compression \(N\), en agissant sur la poutre déjà déformée par la flexion, crée un moment supplémentaire (un moment \(N \times \delta\)) qui augmente la déformation, et ainsi de suite. Les facteurs de réduction \(k_c\) intègrent cet effet amplificateur.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle la même pour les structures en acier ?

Le principe est identique, mais les formules sont différentes. L'Eurocode 3 (pour l'acier) a ses propres formules d'interaction, avec des coefficients (\(k_{\text{yy}}, k_{\text{yz}}\), etc.) qui dépendent du type de profilé, du mode de flambement et de la distribution des moments. La philosophie reste la même, mais les détails de calcul sont spécifiques à chaque matériau.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le critère d'interaction donne une valeur de 0.329, ce qui est inférieur à 1.0. Le poteau est donc jugé stable.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En gardant \(N_{\text{c,d}}=85\text{ kN}\), quel est le moment fléchissant maximal \(M_{\text{y,d}}\) (en kN·m) que le poteau pourrait supporter avant que le ratio n'atteigne 1.0 ?

Outil Interactif : Stabilité du Poteau

Modifiez les efforts et la géométrie pour voir leur influence sur le ratio de stabilité.

Paramètres d'Entrée
85 kN
40 kN·m
10.5 m
Résultats Clés
Ratio Stabilité (Compression) -
Ratio Stabilité (Flexion) -
Ratio d'Interaction Final -

Le Saviez-Vous ?

Le concept de "longueur de flambement" a été introduit par le mathématicien Leonhard Euler au 18ème siècle. Sa célèbre formule de la charge critique (\(P_{\text{cr}} = \pi^2 EI / L^2\)) ne s'applique en théorie qu'à des poteaux parfaits. Les Eurocodes modernes introduisent des imperfections et des facteurs de réduction pour adapter cette théorie au comportement réel des matériaux et des structures.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la longueur de flambement (10.5m) est-elle plus grande que la hauteur du poteau (5m) ?

Dans un portique, les éléments ne travaillent pas indépendamment. Le poteau est "tenu" par la traverse, qui peut se déplacer latéralement. La longueur de flambement dépend de la rigidité relative du poteau et de la traverse. Pour un portique peu rigide en tête, la longueur de flambement peut être supérieure à deux fois la hauteur géométrique du poteau. C'est une notion clé du calcul de structure.

Que se passe-t-il si le ratio d'interaction est supérieur à 1.0 ?

Si le ratio est supérieur à 1.0 (par exemple 1.15), cela signifie que la structure est jugée instable selon la norme. Elle ne va pas nécessairement s'effondrer immédiatement, mais la probabilité de ruine par instabilité sous les charges de calcul est trop élevée. L'ingénieur doit alors redimensionner l'élément : augmenter la section (plus efficace), changer la classe de bois, ou modifier la conception pour réduire la longueur de flambement (ajouter des contreventements).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour un poteau soumis à compression et flexion, quel phénomène est généralement le plus critique ?

2. Si l'on augmente seulement la hauteur 'h' de la section d'un poteau (de 500 à 600mm), quel sera l'effet principal ?

Flambement
Phénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à une compression axiale. La pièce se courbe brusquement latéralement bien avant que la contrainte de compression n'atteigne la limite de résistance du matériau.
Déversement
Phénomène d'instabilité d'une poutre fléchie, qui se déforme latéralement et se tord simultanément. C'est l'équivalent du flambement pour la flexion.
Élancement (Relatif)
Nombre sans dimension qui caractérise la tendance d'un élément à l'instabilité (flambement ou déversement). Il met en rapport la géométrie (longueur, section) et les propriétés du matériau (rigidité, résistance).
Eurocode 5 (EC5)
Norme européenne pour la conception et le calcul des structures en bois. Elle définit les règles de sécurité, les méthodes de calcul et les propriétés des matériaux à utiliser.
Vérification de la Stabilité d’un Portique en Bois

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