Études de cas pratique

EGC

Théorème de Torricelli

Calcul avec le Théorème de Torricelli en Hydraulique

Comprendre le Théorème de Torricelli

Le théorème de Torricelli, formulé par Evangelista Torricelli au XVIIe siècle, est un principe fondamental de la dynamique des fluides. Il stipule que la vitesse d'écoulement d'un fluide idéal (sans viscosité) par un orifice situé à une certaine profondeur sous la surface libre du fluide est la même que la vitesse qu'un corps acquerrait en tombant librement d'une hauteur égale à cette profondeur. Ce théorème est une application directe du principe de Bernoulli et est largement utilisé pour estimer les débits de vidange de réservoirs, les jets d'eau, etc.

Données de l'étude

On considère un grand réservoir ouvert à l'atmosphère, rempli d'eau, avec un petit orifice circulaire à sa base.

Caractéristiques du réservoir et du fluide :

  • Hauteur de l'eau au-dessus de l'orifice (\(h\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Diamètre de l'orifice (\(d\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Fluide : Eau douce
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Hypothèses : On considère l'eau comme un fluide idéal (pas de pertes par viscosité). L'orifice est petit par rapport à la surface du réservoir, donc la vitesse de descente de la surface libre de l'eau est négligeable. La pression à la surface libre et à la sortie de l'orifice est la pression atmosphérique.

Schéma : Écoulement par un Orifice (Théorème de Torricelli)
Surface Libre Orifice (d) v h Théorème de Torricelli

Illustration d'un réservoir avec un orifice à sa base, montrant la hauteur d'eau et le jet sortant.

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse théorique d'écoulement de l'eau (\(v\)) par l'orifice.
  2. Calculer l'aire de la section de l'orifice (\(A_o\)).
  3. Calculer le débit volumique théorique (\(Q\)) à travers l'orifice.
  4. Si la hauteur d'eau \(h\) était doublée, quel serait l'effet sur la vitesse d'écoulement théorique ?

Correction : Calcul avec le Théorème de Torricelli

Question 1 : Vitesse théorique d'écoulement (\(v\))

Principe :

Selon le théorème de Torricelli, la vitesse d'écoulement (\(v\)) d'un fluide idéal par un petit orifice situé à une profondeur \(h\) sous la surface libre est donnée par la même formule que la vitesse d'un objet en chute libre sur cette même hauteur \(h\). Cette vitesse dépend de l'accélération due à la gravité (\(g\)) et de la hauteur \(h\).

Formule(s) utilisée(s) (Torricelli) :
\[v = \sqrt{2gh}\]
Données spécifiques :
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Hauteur de l'eau (\(h\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= \sqrt{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 4.0 \, \text{m}} \\ &= \sqrt{19.62 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \times 4.0} \\ &= \sqrt{78.48 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \\ &\approx 8.859 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse théorique d'écoulement est \(v \approx 8.86 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Aire de la section de l'orifice (\(A_o\))

Principe :

L'orifice est circulaire. L'aire (\(A_o\)) d'un cercle de diamètre \(d\) est donnée par la formule \(A_o = \pi d^2 / 4\). Il faut s'assurer que le diamètre est converti en mètres avant le calcul pour obtenir une aire en mètres carrés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_o = \frac{\pi d^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre de l'orifice (\(d\)) : \(20 \, \text{mm} = 0.020 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_o &= \frac{\pi \times (0.020 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0004 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx \frac{3.14159 \times 0.0004 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx \frac{0.0012566 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.00031416 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Ou en \(\text{mm}^2\) : \(A_o = \pi \times (10 \, \text{mm})^2 = 100\pi \approx 314.16 \, \text{mm}^2\)

Résultat Question 2 : L'aire de la section de l'orifice est \(A_o \approx 0.000314 \, \text{m}^2\) (ou \(314.16 \, \text{mm}^2\)).

Question 3 : Débit volumique théorique (\(Q\))

Principe :

Le débit volumique (\(Q\)) à travers un orifice est le produit de l'aire de la section de l'orifice (\(A_o\)) par la vitesse d'écoulement (\(v\)) du fluide à travers cet orifice. C'est le volume de fluide qui s'écoule par unité de temps.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = A_o \times v\]

Unités : \(Q\) en \(\text{m}^3/\text{s}\), \(A_o\) en \(\text{m}^2\), \(v\) en \(\text{m/s}\).

Données spécifiques :
  • Aire de l'orifice (\(A_o\)) : \(\approx 0.00031416 \, \text{m}^2\)
  • Vitesse d'écoulement (\(v\)) : \(\approx 8.859 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 0.00031416 \, \text{m}^2 \times 8.859 \, \text{m/s} \\ &\approx 0.002783 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Conversion en Litres par seconde (L/s), sachant que \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L}\) :

\[ Q \approx 0.002783 \, \text{m}^3/\text{s} \times 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 2.783 \, \text{L/s} \]
Résultat Question 3 : Le débit volumique théorique est \(Q \approx 0.00278 \, \text{m}^3/\text{s}\) (ou \(\approx 2.78 \, \text{L/s}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la vitesse d'écoulement par un orifice double et que l'aire de l'orifice reste la même, le débit volumique :

Question 4 : Effet d'un doublement de la hauteur d'eau \(h\)

Principe :

D'après le théorème de Torricelli, la vitesse d'écoulement \(v\) est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur d'eau \(h\) (\(v = \sqrt{2gh}\)). Si la hauteur \(h\) est doublée pour devenir \(h' = 2h\), alors la nouvelle vitesse \(v'\) sera :

Formule(s) utilisée(s) :
\[v' = \sqrt{2gh'} = \sqrt{2g(2h)} = \sqrt{2 \cdot (2gh)} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2gh} = \sqrt{2} \cdot v\]
Calcul :
\[v' = \sqrt{2} \times v \approx 1.414 \times v\]

La vitesse d'écoulement théorique serait multipliée par \(\sqrt{2}\) (environ 1.414).

Résultat Question 4 : Si la hauteur d'eau était doublée, la vitesse d'écoulement théorique serait multipliée par \(\sqrt{2}\) (environ \(1.414\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le théorème de Torricelli établit que la vitesse d'efflux d'un fluide par un orifice est :

2. Le débit volumique à travers un orifice dépend :

3. Si la hauteur d'eau au-dessus d'un orifice est quadruplée, la vitesse d'écoulement théorique :

Glossaire

Théorème de Torricelli
Principe de la dynamique des fluides qui énonce que la vitesse d'un fluide s'écoulant d'un orifice sous l'effet de la gravité est égale à la vitesse qu'un corps acquerrait en chute libre depuis la surface libre du fluide jusqu'à l'orifice.
Vitesse d'Écoulement (ou d'Efflux)
Vitesse à laquelle un fluide sort d'un orifice ou d'une ouverture.
Orifice
Ouverture, généralement de petite taille par rapport aux dimensions du réservoir ou de la conduite, par laquelle un fluide s'écoule.
Débit Volumique (\(Q\))
Volume de fluide qui s'écoule par unité de temps. Unité SI : \(\text{m}^3/\text{s}\). Couramment exprimé en L/s ou m³/h.
Fluide Idéal
Fluide théorique qui est incompressible et non visqueux (pas de frottement interne).
Pression Atmosphérique
Pression exercée par l'atmosphère terrestre.
Calcul avec le Théorème de Torricelli - Exercice d'Application

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