Études de cas pratique

EGC

Tension maximale dans le tirant

Calcul de la Tension Maximale dans un Tirant

Calcul de la Tension Maximale dans un Tirant

Comprendre la Tension dans les Tirants

Un tirant est un élément structural conçu pour résister à des forces de traction axiales. Lorsqu'une force de traction est appliquée à un tirant, une contrainte normale, appelée tension, se développe dans sa section transversale. Il est crucial de s'assurer que cette tension ne dépasse pas la résistance admissible du matériau pour éviter la rupture ou une déformation excessive. Cet exercice se concentre sur le calcul de la tension maximale dans un tirant de section variable et la vérification par rapport à une contrainte admissible.

Données de l'étude

Un tirant en acier est composé de deux segments de sections différentes, AB et BC. Il est fixé en A et une force de traction \(F = 75 \, \text{kN}\) est appliquée à son extrémité libre C.

Dimensions des segments :

  • Segment AB : Longueur \(L_{AB} = 1.2 \, \text{m}\), Section circulaire de diamètre \(d_{AB} = 30 \, \text{mm}\)
  • Segment BC : Longueur \(L_{BC} = 0.8 \, \text{m}\), Section circulaire de diamètre \(d_{BC} = 20 \, \text{mm}\)

Propriétés du matériau (Acier) :

  • Contrainte admissible en traction (\(\sigma_{adm}\)) : \(160 \, \text{MPa}\)
  • (Module de Young \(E = 210 \, \text{GPa}\), non requis pour le calcul de la tension mais utile pour la déformation)
Schéma : Tirant à Sections Variables Soumis à une Traction
A (Fixe) Segment AB (d=30mm) A B Segment BC (d=20mm) C F=75kN L_AB = 1.2 m L_BC = 0.8 m

Tirant à sections variables soumis à une force de traction.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale \(A_{AB}\) du segment AB.
  2. Calculer l'aire de la section transversale \(A_{BC}\) du segment BC.
  3. Déterminer l'effort normal (interne) \(N_{AB}\) dans le segment AB.
  4. Déterminer l'effort normal (interne) \(N_{BC}\) dans le segment BC.
  5. Calculer la contrainte de tension \(\sigma_{AB}\) dans le segment AB.
  6. Calculer la contrainte de tension \(\sigma_{BC}\) dans le segment BC.
  7. Identifier la tension maximale (\(\sigma_{max}\)) dans le tirant et le segment où elle se produit.
  8. Vérifier si le tirant résiste en comparant la tension maximale à la contrainte admissible (\(\sigma_{max} \leq \sigma_{adm}\)).

Correction : Calcul de la Tension Maximale dans un Tirant

Question 1 : Aire de la Section Transversale \(A_{AB}\)

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par \(A = \pi d^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{AB} = \frac{\pi d_{AB}^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre du segment AB (\(d_{AB}\)) : \(30 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{AB} &= \frac{\pi (30 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 900}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 225\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 706.858 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Nous utiliserons \(A_{AB} \approx 706.86 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 1 : L'aire de la section AB est \(A_{AB} \approx 706.86 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Aire de la Section Transversale \(A_{BC}\)

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par \(A = \pi d^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{BC} = \frac{\pi d_{BC}^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre du segment BC (\(d_{BC}\)) : \(20 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{BC} &= \frac{\pi (20 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 400}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 100\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 314.159 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Nous utiliserons \(A_{BC} \approx 314.16 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 2 : L'aire de la section BC est \(A_{BC} \approx 314.16 \, \text{mm}^2\).

Question 3 : Effort Normal dans le Segment AB (\(N_{AB}\))

Principe :

L'effort normal dans un segment est constant le long de ce segment si aucune force axiale n'est appliquée entre ses extrémités. On effectue une coupe dans le segment AB. La seule force externe agissant sur la partie droite (BC + force F) est la force F.

Calcul :
\[ N_{AB} = F = 75 \, \text{kN} \quad (\text{Traction}) \]
Résultat Question 3 : L'effort normal dans le segment AB est \(N_{AB} = 75 \, \text{kN}\).

Question 4 : Effort Normal dans le Segment BC (\(N_{BC}\))

Principe :

On effectue une coupe dans le segment BC. La seule force externe agissant sur la partie droite (extrémité C) est la force F.

Calcul :
\[ N_{BC} = F = 75 \, \text{kN} \quad (\text{Traction}) \]
Résultat Question 4 : L'effort normal dans le segment BC est \(N_{BC} = 75 \, \text{kN}\).

Question 5 : Contrainte de Tension dans le Segment AB (\(\sigma_{AB}\))

Principe :

La contrainte de tension est l'effort normal divisé par l'aire de la section transversale (\(\sigma = N/A\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{AB} = \frac{N_{AB}}{A_{AB}} \]
Données spécifiques (unités N, mm\(^2\) pour obtenir des MPa) :
  • \(N_{AB} = 75 \, \text{kN} = 75000 \, \text{N}\)
  • \(A_{AB} \approx 706.86 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{AB} &= \frac{75000 \, \text{N}}{706.86 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 106.104 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La contrainte de tension dans le segment AB est \(\sigma_{AB} \approx 106.10 \, \text{MPa}\).

Question 6 : Contrainte de Tension dans le Segment BC (\(\sigma_{BC}\))

Principe :

La contrainte de tension est l'effort normal divisé par l'aire de la section transversale (\(\sigma = N/A\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{BC} = \frac{N_{BC}}{A_{BC}} \]
Données spécifiques (unités N, mm\(^2\) pour obtenir des MPa) :
  • \(N_{BC} = 75 \, \text{kN} = 75000 \, \text{N}\)
  • \(A_{BC} \approx 314.16 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{BC} &= \frac{75000 \, \text{N}}{314.16 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 238.732 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La contrainte de tension dans le segment BC est \(\sigma_{BC} \approx 238.73 \, \text{MPa}\).

Question 7 : Tension Maximale (\(\sigma_{max}\)) et Localisation

Principe :

La tension maximale dans le tirant est la plus grande des contraintes calculées dans les différents segments. Elle se produit dans le segment où le rapport \(N/A\) est le plus élevé. Puisque l'effort normal \(N\) est constant tout le long du tirant (\(N_{AB} = N_{BC} = F\)), la tension maximale se produira dans le segment ayant la plus petite aire de section transversale.

Comparaison :

\(\sigma_{AB} \approx 106.10 \, \text{MPa}\)

\(\sigma_{BC} \approx 238.73 \, \text{MPa}\)

L'aire \(A_{BC} \approx 314.16 \, \text{mm}^2\) est plus petite que \(A_{AB} \approx 706.86 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 7 : La tension maximale dans le tirant est \(\sigma_{max} = \sigma_{BC} \approx 238.73 \, \text{MPa}\), et elle se produit dans le segment BC.

Question 8 : Vérification de la Résistance du Tirant

Principe :

Pour que le tirant résiste en toute sécurité, la tension maximale développée (\(\sigma_{max}\)) ne doit pas dépasser la contrainte admissible du matériau (\(\sigma_{adm}\)).

Condition :
\[ \sigma_{max} \leq \sigma_{adm} \]
Données spécifiques :
  • Tension maximale calculée (\(\sigma_{max}\)) : \(238.73 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte admissible (\(\sigma_{adm}\)) : \(160 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 238.73 \, \text{MPa} > 160 \, \text{MPa} \]

La condition \(\sigma_{max} \leq \sigma_{adm}\) n'est pas respectée.

Résultat Question 8 : Le tirant ne résiste pas car la tension maximale calculée (\(238.73 \, \text{MPa}\)) dépasse la contrainte admissible (\(160 \, \text{MPa}\)). Le segment BC est le point critique.

Quiz Intermédiaire 1 : Pour augmenter la résistance du tirant (c'est-à-dire pour qu'il respecte \(\sigma_{max} \leq \sigma_{adm}\)), quelle modification serait la plus efficace ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte de tension dans un tirant est calculée par :

2. Si un tirant a une section variable, la tension maximale se produit généralement :

Glossaire

Tirant
Élément structural conçu pour résister principalement à des forces de traction axiales.
Tension (Contrainte de Traction)
Contrainte normale interne dans un matériau soumis à une force de traction, calculée comme la force divisée par l'aire de la section transversale.
Effort Normal (\(N\))
Force interne agissant perpendiculairement à la section transversale d'un élément. Pour un tirant, c'est l'effort de traction.
Aire de la Section Transversale (\(A\))
Surface de la coupe d'un élément perpendiculaire à son axe longitudinal.
Contrainte Admissible (\(\sigma_{adm}\))
Valeur maximale de la contrainte qu'un matériau ou un élément structural est autorisé à supporter en service, en tenant compte des facteurs de sécurité.
Calcul de la Tension Maximale dans un Tirant - Exercice d'Application

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