Études de cas pratique

EGC

Sélection de Profilés en Acier

Sélection de Profilés en Acier pour une Poutre

Sélection d'un Profilé en Acier pour une Poutre

Comprendre la Sélection de Profilés en Acier

La sélection d'un profilé en acier pour un élément structural, comme une poutre, consiste à choisir une section transversale (par exemple, IPE, HEA) qui peut résister en toute sécurité aux sollicitations appliquées (moment fléchissant, effort tranchant) tout en respectant des critères de service, comme la limitation de la flèche. Ce processus implique le calcul des efforts de calcul, la détermination des caractéristiques de section requises, la consultation de catalogues de profilés, et la vérification des résistances et déformations du profilé choisi.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier S275, simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle doit supporter une charge uniformément répartie.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Portée de la poutre (distance entre appuis) : \(L = 6.0 \, \text{m}\)
  • Acier : S275 (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\), \(E = 210000 \, \text{MPa}\))
  • Coefficient partiel de sécurité pour la résistance du matériau : \(\gamma_{M0} = 1.0\)
  • Flèche admissible : \(w_{adm} = L/250\)

Sollicitations (ELU) :

  • Charge uniformément répartie de calcul (incluant poids propre estimé) : \(q_{Ed} = 20 \, \text{kN/m}\)

Hypothèse : On considère la flexion par rapport à l'axe fort du profilé (axe y-y). Le déversement est supposé empêché.

Schéma : Poutre Simplement Appuyée avec Charge Répartie
\(q_{Ed} = 20 \, \text{kN/m}\)
\(L = 6.0 \, \text{m}\)
Poutre sur Deux Appuis

Poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie.

Profilés disponibles pour la présélection (extrait de catalogue) :

Profilé \(W_{el,y} \, (\text{cm}^3)\) \(A_{vz} \, (\text{cm}^2)\) \(I_y \, (\text{cm}^4)\)
IPE 220 252 16.1 2772
IPE 240 324 19.0 3892
IPE 270 429 22.9 5790
HEA 180 294 18.3 2510
HEA 200 389 22.1 3690

Note: \(A_{vz}\) est l'aire de cisaillement plastique par rapport à l'axe z-z (âme). Pour la flexion autour de l'axe y-y, on utilisera \(A_{vy}\) qui est souvent notée \(A_v\) et correspond à l'aire de l'âme. Pour simplifier, nous utiliserons les valeurs données comme pertinentes pour la vérification au cisaillement principal.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{Ed}\)) dans la poutre.
  2. Calculer l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_{Ed}\)) dans la poutre.
  3. Déterminer le module de résistance élastique minimal requis (\(W_{el,y,min}\)) pour la résistance en flexion.
  4. En utilisant le tableau fourni, présélectionner le profilé IPE ou HEA le plus léger qui satisfait le critère de \(W_{el,y,min}\).
  5. Vérifier la résistance à la flexion du profilé choisi : \(M_{Ed} \leq M_{c,Rd} = \frac{W_{el,y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}}\).
  6. Vérifier la résistance à l'effort tranchant du profilé choisi : \(V_{Ed} \leq V_{pl,Rd} = \frac{A_{vz} \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}}\). (On suppose que l'aire de cisaillement fournie \(A_{vz}\) est l'aire pertinente \(A_v\)).
  7. Calculer la flèche maximale (\(w_{max}\)) pour la charge uniformément répartie et vérifier si elle est inférieure à la flèche admissible (\(w_{adm}\)). Formule de la flèche : \(w_{max} = \frac{5 \cdot q_{Ed,serv} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y}\). (Pour cette vérification, on supposera que \(q_{Ed,serv} \approx q_{Ed} / 1.5\) pour estimer une charge de service à partir de la charge de calcul ELU, ce qui est une simplification).

Correction : Sélection d'un Profilé en Acier

Question 1 : Moment Fléchissant Maximal (\(M_{Ed}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie \(q_{Ed}\) sur une portée \(L\), le moment fléchissant maximal se produit au milieu de la portée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} = \frac{q_{Ed} \cdot L^2}{8}\]
Données spécifiques :
  • \(q_{Ed} = 20 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed} &= \frac{20 \, \text{kN/m} \cdot (6.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{20 \cdot 36}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{720}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 90 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment fléchissant maximal est \(M_{Ed} = 90 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 2 : Effort Tranchant Maximal (\(V_{Ed}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie, l'effort tranchant maximal se produit aux appuis.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{Ed} = \frac{q_{Ed} \cdot L}{2}\]
Données spécifiques :
  • \(q_{Ed} = 20 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{Ed} &= \frac{20 \, \text{kN/m} \cdot 6.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{120}{2} \, \text{kN} \\ &= 60 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'effort tranchant maximal est \(V_{Ed} = 60 \, \text{kN}\).

Question 3 : Module de Résistance Élastique Requis (\(W_{el,y,min}\))

Principe :

Le module de résistance élastique requis est déterminé à partir de la condition de résistance à la flexion : la contrainte maximale ne doit pas dépasser la limite d'élasticité du matériau divisée par le coefficient de sécurité. \(\sigma_{max} = M_{Ed} / W_{el,y} \leq f_y / \gamma_{M0}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{el,y,min} = \frac{M_{Ed} \cdot \gamma_{M0}}{f_y}\]
Données spécifiques (conversion d'unités) :
  • \(M_{Ed} = 90 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 90 \times 10^3 \, \text{N} \cdot \text{m} = 90 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(f_y = 275 \, \text{MPa} = 275 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{el,y,min} &= \frac{90 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \cdot 1.0}{275 \, \text{N/mm}^2} \\ &\approx 327272.73 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 327.27 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le module de résistance élastique minimal requis est \(W_{el,y,min} \approx 327.27 \, \text{cm}^3\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la limite d'élasticité \(f_y\) de l'acier était plus élevée, le \(W_{el,y,min}\) requis serait :

Question 4 : Présélection du Profilé

Principe :

On choisit dans le tableau fourni le profilé le plus léger (généralement celui avec la plus petite aire, ou le premier dans une série qui convient) dont le module de résistance élastique \(W_{el,y}\) est supérieur ou égal à \(W_{el,y,min}\) calculé.

Comparaison :

Nous cherchons un profilé avec \(W_{el,y} \geq 327.27 \, \text{cm}^3\).

  • IPE 220 : \(W_{el,y} = 252 \, \text{cm}^3\) (Insuffisant)
  • IPE 240 : \(W_{el,y} = 324 \, \text{cm}^3\) (Insuffisant, très proche mais inférieur)
  • IPE 270 : \(W_{el,y} = 429 \, \text{cm}^3\) (Suffisant)
  • HEA 180 : \(W_{el,y} = 294 \, \text{cm}^3\) (Insuffisant)
  • HEA 200 : \(W_{el,y} = 389 \, \text{cm}^3\) (Suffisant)

Entre IPE 270 (\(W_{el,y} = 429 \, \text{cm}^3\)) et HEA 200 (\(W_{el,y} = 389 \, \text{cm}^3\)), les deux sont suffisants. Pour choisir le plus léger, il faudrait comparer leurs masses linéiques (non fournies ici, mais généralement un HEA est plus lourd qu'un IPE de hauteur comparable pour un \(W_{el,y}\) proche). Cependant, parmi les options qui satisfont strictement \(W_{el,y} \geq 327.27 \, \text{cm}^3\), le HEA 200 a un \(W_{el,y}\) de \(389 \, \text{cm}^3\) et l'IPE 270 a \(429 \, \text{cm}^3\). Le HEA 200 est le premier de sa série à convenir et a un module plus proche du besoin. L'IPE 240 était très proche. Si l'on doit choisir le "plus léger" qui satisfait *strictement* le critère, et en l'absence de masses linéiques, on prend celui dont le \(W_{el,y}\) est juste suffisant.
Dans notre cas, l'IPE 240 est à \(324 \, \text{cm}^3\), ce qui est légèrement inférieur à \(327.27 \, \text{cm}^3\).
Le premier profilé qui convient est donc le **HEA 200** avec \(W_{el,y} = 389 \, \text{cm}^3\). Si un IPE 240 était à \(330 \, \text{cm}^3\), il aurait été un meilleur candidat.
Alternativement, si on avait un IPE 250 ou IPE 260 dans la liste, il faudrait le considérer.
En re-vérifiant la liste, l'IPE 270 a \(W_{el,y} = 429 \, \text{cm}^3\). Le HEA 200 a \(W_{el,y} = 389 \, \text{cm}^3\).
Le profilé avec le \(W_{el,y}\) le plus petit qui est \(\geq 327.27 \, \text{cm}^3\) est le **HEA 200**.

Résultat Question 4 : Le profilé présélectionné est un **HEA 200** (\(W_{el,y} = 389 \, \text{cm}^3\)).

Question 5 : Vérification de la Résistance à la Flexion

Principe :

On vérifie que le moment résistant de calcul du profilé choisi est supérieur ou égal au moment fléchissant de calcul.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{c,Rd} = \frac{W_{el,y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}}\] \[M_{Ed} \leq M_{c,Rd}\]
Données spécifiques pour HEA 200 :
  • \(W_{el,y} = 389 \, \text{cm}^3 = 389 \times 10^3 \, \text{mm}^3\)
  • \(f_y = 275 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
  • \(M_{Ed} = 90 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{c,Rd} &= \frac{389 \times 10^3 \, \text{mm}^3 \cdot 275 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 106975000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 106.975 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Vérification :

\[90 \, \text{kN} \cdot \text{m} \leq 106.975 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 5 : Le profilé HEA 200 résiste à la flexion (\(M_{Ed} \leq M_{c,Rd}\)).

Question 6 : Vérification de la Résistance à l'Effort Tranchant

Principe :

On vérifie que l'effort tranchant résistant plastique du profilé choisi est supérieur ou égal à l'effort tranchant de calcul. On suppose qu'il n'y a pas de risque de voilement par cisaillement (à vérifier pour des âmes très élancées).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{pl,Rd} = \frac{A_{vz} \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}}\] \[V_{Ed} \leq V_{pl,Rd}\]
Données spécifiques pour HEA 200 :
  • \(A_{vz} = 22.1 \, \text{cm}^2 = 2210 \, \text{mm}^2\) (aire de cisaillement pertinente)
  • \(f_y = 275 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
  • \(V_{Ed} = 60 \, \text{kN} = 60 \times 10^3 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{pl,Rd} &= \frac{2210 \, \text{mm}^2 \cdot (275 \, \text{N/mm}^2 / \sqrt{3})}{1.0} \\ &\approx \frac{2210 \cdot 158.77}{1.0} \, \text{N} \\ &\approx 350881.7 \, \text{N} \\ &\approx 350.88 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification :

\[60 \, \text{kN} \leq 350.88 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 6 : Le profilé HEA 200 résiste à l'effort tranchant (\(V_{Ed} \leq V_{pl,Rd}\)).

Question 7 : Vérification de la Flèche

Principe :

La flèche maximale de la poutre sous charges de service doit être inférieure à la flèche admissible. Pour une poutre simplement appuyée avec charge répartie, la flèche max est au centre.

Note : La vérification de la flèche se fait avec les charges de service (\(q_{Ed,serv}\)). On estime \(q_{Ed,serv} \approx q_{Ed} / 1.5\). C'est une simplification ; en pratique, on utiliserait les combinaisons de charges de service (ELS).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_{max} = \frac{5 \cdot q_{Ed,serv} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y}\] \[w_{adm} = \frac{L}{250}\] \[w_{max} \leq w_{adm}\]
Données spécifiques pour HEA 200 (conversion en unités cohérentes N, mm) :
  • \(q_{Ed} = 20 \, \text{kN/m} = 20 \, \text{N/mm}\)
  • \(q_{Ed,serv} \approx 20 \, \text{N/mm} / 1.5 \approx 13.33 \, \text{N/mm}\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m} = 6000 \, \text{mm}\)
  • \(E = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(I_y = 3690 \, \text{cm}^4 = 3690 \times 10^4 \, \text{mm}^4\) (pour HEA 200)
Calcul de \(w_{adm}\) :
\[w_{adm} = \frac{6000 \, \text{mm}}{250} = 24 \, \text{mm}\]
Calcul de \(w_{max}\) :
\[ \begin{aligned} w_{max} &= \frac{5 \cdot (13.33 \, \text{N/mm}) \cdot (6000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (3690 \times 10^4 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{5 \cdot 13.33 \cdot (1.296 \times 10^{15})}{384 \cdot 210000 \cdot 36900000} \\ &= \frac{8.637 \times 10^{16}}{2.974 \times 10^{15}} \\ &\approx 29.04 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Vérification :

\[29.04 \, \text{mm} \leq 24 \, \text{mm} \quad (\text{NON OK})\]

La flèche calculée est supérieure à la flèche admissible. Le profilé HEA 200 ne convient donc pas du point de vue de la flèche avec la charge de service estimée. Il faudrait choisir un profilé avec un moment d'inertie \(I_y\) plus important. Par exemple, essayons avec l'IPE 270 (\(I_y = 5790 \, \text{cm}^4\)) qui était aussi suffisant en résistance.

Recalcul de \(w_{max}\) pour IPE 270 :
  • \(I_y (\text{IPE 270}) = 5790 \, \text{cm}^4 = 5790 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)
\[ \begin{aligned} w_{max, IPE270} &= \frac{5 \cdot (13.33 \, \text{N/mm}) \cdot (6000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (5790 \times 10^4 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{8.637 \times 10^{16}}{4.667 \times 10^{15}} \\ &\approx 18.51 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Vérification pour IPE 270 :

\[18.51 \, \text{mm} \leq 24 \, \text{mm} \quad (\text{OK})\]

L'IPE 270 conviendrait pour la flèche. Il faudrait aussi revérifier sa résistance en flexion et cisaillement (ce qui a été implicitement fait car son \(W_{el,y}\) est plus grand que celui du HEA 200, et son \(A_{vz}\) est aussi plus grand).

Résultat Question 7 : Le profilé HEA 200 ne respecte pas le critère de flèche (\(w_{max} \approx 29.04 \, \text{mm} > w_{adm} = 24 \, \text{mm}\)). Le profilé IPE 270 (\(I_y = 5790 \, \text{cm}^4\)) respecte le critère de flèche (\(w_{max} \approx 18.51 \, \text{mm} \leq w_{adm} = 24 \, \text{mm}\)). Donc, le profilé final à choisir serait **IPE 270**.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. Pour une poutre simplement appuyée avec charge répartie, où se situe le moment fléchissant maximal ?

9. La vérification de la flèche d'une poutre se fait généralement sous :

10. Si un profilé est adéquat en résistance (flexion, cisaillement) mais pas en flèche, que faut-il faire typiquement ?

Glossaire

Moment Fléchissant (\(M_{Ed}\))
Sollicitation interne dans une poutre due aux forces externes qui tendent à la faire fléchir ou courber.
Effort Tranchant (\(V_{Ed}\))
Sollicitation interne dans une poutre due aux forces externes qui tendent à faire glisser une section par rapport à une autre.
Module de Résistance Élastique (\(W_{el}\))
Caractéristique géométrique d'une section qui relie le moment fléchissant maximal à la contrainte élastique maximale. \(W_{el} = I / v\), où \(I\) est le moment d'inertie et \(v\) la distance de la fibre la plus éloignée à l'axe neutre.
Moment d'Inertie (\(I\))
Caractéristique géométrique d'une section qui mesure sa capacité à résister à la flexion. Plus \(I\) est grand, plus la poutre est rigide.
Flèche (\(w\))
Déplacement vertical d'une poutre sous l'effet des charges. La flèche maximale (\(w_{max}\)) doit être limitée à une valeur admissible (\(w_{adm}\)).
Profilé IPE
Profilé en I à ailes parallèles (norme européenne), souvent utilisé pour les poutres.
Profilé HEA
Profilé en H à larges ailes (norme européenne), utilisé pour les poutres et les poteaux.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, instabilité, perte d'équilibre).
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif au confort des usagers et à l'aspect de la construction (déformations excessives, vibrations).
Sélection de Profilés en Acier - Exercice d'Application

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