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Section structure en bois

Calcul de la Section d’une Poutre en Bois (Eurocode 5)

Section structure en bois

Contexte : Le bois, un matériau structurel durable et performant.

Le bois est de plus en plus utilisé en construction pour ses qualités écologiques, esthétiques et mécaniques. Cependant, son comportement est plus complexe que celui de l'acier : il est sensible à l'humidité et à la durée d'application des charges. Le dimensionnement des éléments de structure en bois, comme les solives d'un plancher, doit donc suivre des règles précises définies par la norme Eurocode 5Norme européenne de référence pour la conception, le calcul et la justification des structures en bois. Elle définit les méthodes de calcul et les exigences de sécurité.. Cet exercice vous guidera dans le prédimensionnement d'une solive en bois pour vérifier sa résistance à la flexion.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de l'ingénieur structure bois. Contrairement à l'exercice précédent où l'on cherchait une propriété du matériau, ici, le matériau est connu (bois de classe C24). L'objectif est de déterminer les dimensions minimales de la poutre pour qu'elle puisse supporter en toute sécurité les charges qui lui sont appliquées. Nous allons manipuler les notions de charges, de coefficients de sécurité et de résistance de calcul.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les combinaisons de charges de l'Eurocode à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Calculer la résistance de calcul en flexion du bois en utilisant le \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_M\).
  • Déterminer le moment fléchissant maximal sous une charge uniformément répartie.
  • Calculer le module de flexion requis et choisir une section de bois commerciale adéquate.
  • Vérifier la condition de résistance en flexion de la section choisie.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner les solives d'un plancher d'habitation. Ces solives, en bois de classe de résistance C24, sont sur deux appuis simples et supportent une charge uniformément répartie.

Schéma de la solive et de son chargement
q L = 4.0 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la solive \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Entraxe des solives \(s\) 0.5 \(\text{m}\)
Charge permanente (plancher, isolant...) \(G_k\) 1.0 \(\text{kN/m²}\)
Charge d'exploitation (habitation) \(Q_k\) 2.0 \(\text{kN/m²}\)
Classe de résistance du bois C24 -
Classe de service 1 (local chauffé) -
Classe de durée de la charge d'exploitation Moyenne durée -

Questions à traiter

  1. Calculer la charge répartie de calcul \(q_d\) à l'État Limite Ultime (ELU) sur une solive.
  2. Déterminer la résistance de calcul en flexion \(f_{\text{m,d}}\) du bois C24.
  3. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul \(M_d\).
  4. Déterminer le module de flexion requis \(W_{\text{req}}\) et choisir une section de bois commerciale adaptée.
  5. Vérifier la résistance en flexion de la section choisie.

Les bases du calcul Bois (Eurocode 5)

Le calcul des structures en bois fait intervenir des coefficients spécifiques pour tenir compte du comportement du matériau.

1. Résistance de calcul (\(f_d\)) :
La résistance du bois n'est pas une valeur fixe. On part d'une résistance caractéristique (\(f_k\)), donnée pour une classe de bois (ex: C24), puis on la divise par un coefficient de sécurité \(\gamma_M\) et on la multiplie par un coefficient de modification \(k_{\text{mod}}\). \[ f_d = k_{\text{mod}} \frac{f_k}{\gamma_M} \]

2. Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) :
Ce coefficient crucial tient compte de l'effet de la durée de la charge et de l'humidité du bois (définie par la classe de service). Une charge appliquée longtemps (ex: poids propre) fatigue plus le bois qu'une charge courte (ex: coup de vent). Un bois humide est moins résistant qu'un bois sec. Pour un plancher d'habitation (charge de moyenne durée) en local chauffé (classe de service 1), on prend généralement \(k_{\text{mod}} = 0.8\).

3. Combinaison de charges à l'ELU :
Pour garantir la sécurité, on majore les charges caractéristiques avec des coefficients de sécurité. La combinaison la plus courante à l'État Limite Ultime (ELU) est : \[ q_d = 1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot Q_k \] Où \(G_k\) est la charge permanente et \(Q_k\) la charge d'exploitation.

Correction : Section structure en bois

Question 1 : Calculer la charge répartie de calcul (\(q_d\))

Principe (le concept physique)

Chaque solive ne supporte pas la totalité du plancher, mais une bande de chargement correspondant à son entraxe. Nous devons d'abord convertir les charges surfaciques (en kN/m²) en charges linéiques (en kN/m) appliquées sur la solive. Ensuite, nous appliquons les coefficients de sécurité réglementaires pour obtenir la charge de calcul que la solive devra supporter à l'état limite ultime (juste avant la rupture théorique).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La notion de "descente de charges" est fondamentale en génie civil. Elle consiste à suivre le cheminement des efforts depuis leur point d'application (le plancher) jusqu'aux fondations. Ici, la charge surfacique du plancher se répartit sur les solives, qui la transmettent ensuite aux poutres principales ou aux murs porteurs. L'entraxe est la clé pour déterminer la part de charge reprise par chaque élément linéaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous et un ami portez une large plaque. La charge que chacun supporte dépend de la largeur de la plaque. L'entraxe des solives, c'est un peu comme cette largeur : plus les solives sont espacées, plus chacune doit porter une "bande" de plancher large, et donc une charge plus importante.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison de charges \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\) est la formule de base de l'Eurocode 0 (EN 1990) pour la vérification des états limites ultimes des structures de bâtiment. Ces coefficients de sécurité partiels garantissent un niveau de fiabilité homogène pour les constructions en Europe.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Conversion de charge surfacique en charge linéique :

\[ q_k = \text{charge surfacique} \times \text{entraxe} \]

2. Combinaison de charges à l'ELU :

\[ q_d = 1.35 \cdot q_{\text{G,k}} + 1.5 \cdot q_{\text{Q,k}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le plancher est uniformément chargé et que les solives sont parallèles et régulièrement espacées. On néglige le poids propre de la solive dans un premier temps (il est généralement faible par rapport aux autres charges et pourra être ajouté par la suite pour une vérification plus fine).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente surfacique, \(G_k = 1.0 \, \text{kN/m²}\)
  • Charge d'exploitation surfacique, \(Q_k = 2.0 \, \text{kN/m²}\)
  • Entraxe des solives, \(s = 0.5 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs, calculez d'abord la charge surfacique de calcul \(q_{d, \text{surf}} = 1.35 G_k + 1.5 Q_k\), puis multipliez le résultat par l'entraxe. Cela donne :

\[ \begin{aligned} q_d &= (1.35 \times 1.0 + 1.5 \times 2.0) \times 0.5 \\ &= (1.35 + 3.0) \times 0.5 \\ &= 4.35 \times 0.5 \\ &= 2.175 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Le résultat est le même, mais cela peut clarifier le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Bande de chargement d'une solive
Plancher (vue de dessus)Solive étudiées = 0.5m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des charges linéiques caractéristiques :

\[ q_{\text{G,k}} = 1.0 \, \text{kN/m²} \times 0.5 \, \text{m} = 0.5 \, \text{kN/m} \]
\[ q_{\text{Q,k}} = 2.0 \, \text{kN/m²} \times 0.5 \, \text{m} = 1.0 \, \text{kN/m} \]

2. Application de la combinaison ELU :

\[ \begin{aligned} q_d &= (1.35 \times 0.5 \, \text{kN/m}) + (1.5 \times 1.0 \, \text{kN/m}) \\ &= 0.675 \, \text{kN/m} + 1.5 \, \text{kN/m} \\ &= 2.175 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge de calcul sur la solive
q_d = 2.175 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 2.175 kN/m (soit environ 218 kg par mètre) représente la charge la plus défavorable que la solive doit être capable de supporter sans rompre, en tenant compte des marges de sécurité. C'est cette valeur qui sera utilisée pour tous les calculs de résistance qui suivent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de multiplier les charges surfaciques par l'entraxe. On calculerait alors un moment et des contraintes pour une poutre de 1m de large, ce qui sous-estimerait fortement le travail de notre solive. Pensez toujours à convertir en charge par mètre linéaire de poutre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • On passe des charges surfaciques (kN/m²) aux charges linéiques (kN/m) en multipliant par l'entraxe.
  • On utilise la combinaison ELU \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\) pour obtenir la charge de calcul \(q_d\).
  • Cette charge \(q_d\) est la base de tous les calculs de résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les toitures, on doit aussi prendre en compte les charges climatiques comme la neige (\(S\)) ou le vent (\(W\)). Les combinaisons de charges deviennent alors plus complexes pour envisager tous les cas de figure possibles (par exemple, plancher chargé sans neige, ou neige sans charge d'exploitation sur le plancher, etc.).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients sont-ils 1.35 et 1.5 ?

Ces valeurs sont issues d'analyses statistiques et probabilistes complexes. Elles sont calibrées pour assurer un niveau de sécurité cible (une très faible probabilité de défaillance sur la durée de vie de l'ouvrage) en tenant compte des variabilités possibles des résistances des matériaux et des valeurs des charges.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge répartie de calcul à l'ELU sur une solive est de 2.175 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entraxe passait à 0.6 m, quelle serait la nouvelle charge de calcul \(q_d\) en kN/m ?

Question 2 : Déterminer la résistance de calcul en flexion (\(f_{\text{m,d}}\))

Principe (le concept physique)

La résistance "brute" du bois C24, appelée résistance caractéristique en flexion (\(f_{\text{m,k}}\)), est une valeur statistique issue d'essais en laboratoire. Pour l'utiliser dans un calcul de structure réel, on doit l'ajuster. On la réduit en fonction des conditions d'humidité et de la durée des charges (\(k_{\text{mod}}\)) et on applique un coefficient de sécurité sur le matériau (\(\gamma_M\)) pour tenir compte des incertitudes. On obtient ainsi la résistance de calcul, une valeur sûre pour le dimensionnement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance caractéristique \(f_k\) est définie comme la valeur qui a une probabilité de 95% d'être atteinte ou dépassée par le matériau (c'est le fractile 5%). Le coefficient \(\gamma_M\) couvre les dispersions de propriétés du matériau, les écarts géométriques et les incertitudes du modèle de calcul. Le \(k_{\text{mod}}\) modélise le phénomène de fluage : sous une charge constante, la déformation du bois augmente avec le temps, ce qui équivaut à une diminution de sa résistance à long terme.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la résistance de calcul comme à la "force utilisable" de votre matériau. Le bois C24 a une "force sur le papier" de 24 MPa, mais en conditions réelles, avec les aléas et l'usure du temps, vous ne pouvez compter que sur 14.77 MPa pour vos calculs de sécurité. C'est le principe même de l'ingénierie : prendre des marges pour garantir la durabilité.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 (EN 1995-1-1) fournit les valeurs caractéristiques des matériaux (Tableau 1 pour le bois massif), les coefficients partiels \(\gamma_M\) (Tableau 2.3) et les tableaux pour déterminer le coefficient \(k_{\text{mod}}\) (Tableau 3.1). Pour le bois massif C24, \(f_{\text{m,k}} = 24\) MPa. Pour la classe de service 1 et une charge de moyenne durée, \(k_{\text{mod}}=0.8\). Le coefficient partiel pour le bois massif est \(\gamma_M = 1.3\).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ f_{\text{m,d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{m,k}}}{\gamma_M} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le classement du bois est correct et que les conditions de mise en œuvre correspondent bien à la classe de service 1 (bois à l'abri des intempéries, humidité d'équilibre inférieure à 12%).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance caractéristique en flexion (C24), \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de modification, \(k_{\text{mod}} = 0.8\)
  • Coefficient partiel du matériau, \(\gamma_M = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un projet donné, les valeurs de \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_M\) sont souvent constantes pour un type d'élément. Il peut être utile de calculer une bonne fois pour toutes le ratio \(k_{\text{mod}} / \gamma_M\). Ici, \(0.8 / 1.3 \approx 0.615\). Il suffit ensuite de multiplier la résistance caractéristique par ce facteur pour obtenir la résistance de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Détermination de la Résistance de Calcul
f_k = 24 MPa (C24)÷ γ_M = 1.3x k_mod = 0.8f_m,d = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= 0.8 \times \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Résistances
Résistance Caractéristique f_k = 24 MPaRésistance de Calcul f_d ≈ 14.8 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance que l'on peut réellement utiliser pour nos calculs (14.77 MPa) est significativement plus faible que la résistance caractéristique de 24 MPa. C'est la prise en compte de la sécurité et du comportement spécifique du bois. On dimensionnera notre poutre pour que la contrainte maximale ne dépasse jamais cette valeur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais utiliser la résistance caractéristique \(f_{\text{m,k}}\) directement dans les calculs de vérification ! C'est une erreur grave qui omet toutes les sécurités réglementaires. De même, le choix du \(k_{\text{mod}}\) est crucial : un mauvais choix de classe de service ou de durée de charge peut conduire à un dimensionnement dangereux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance de calcul \(f_d\) est la valeur à utiliser pour les vérifications.
  • Elle dépend de la résistance caractéristique (\(f_k\)), du coefficient de sécurité (\(\gamma_M\)) et du coefficient d'adaptation (\(k_{\text{mod}}\)).
  • \(k_{\text{mod}}\) tient compte de l'humidité et de la durée de la charge.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les bois très anciens, comme dans les charpentes de monuments historiques, la résistance peut être difficile à déterminer. Des techniques non destructives, comme les ultrasons ou la mesure de la densité, sont utilisées pour estimer la classe de résistance du bois en place sans avoir à prélever d'échantillons.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie "C24" ?

"C" fait référence aux bois de conifères (résineux). "24" est la valeur de la résistance caractéristique à la flexion en MPa. Il existe d'autres classes comme C18, C30, etc. Pour les feuillus, on utilise la lettre "D" (par exemple D30).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul en flexion du bois est d'environ 14.77 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la solive était dans un abri extérieur couvert (Classe de Service 2, k_mod=0.7), quelle serait la nouvelle résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) en MPa ?

Question 3 : Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_d\))

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant représente l'effort de "pliage" interne. Pour une charge uniformément répartie sur une poutre simple, le moment est nul aux appuis et maximal au centre de la portée. La formule est un résultat classique de la Résistance des Matériaux, qui dépend du carré de la portée, montrant l'importance cruciale de cette dernière.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme de l'effort tranchant pour ce cas de charge est linéaire, allant de \(+q_d L/2\) à l'appui de gauche à \(-q_d L/2\) à l'appui de droite. Il s'annule au milieu de la poutre (à x=L/2). Comme le moment fléchissant est la primitive de l'effort tranchant, son maximum se trouve à l'endroit où la dérivée (l'effort tranchant) est nulle, c'est-à-dire au centre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La formule \(qL^2/8\) est l'une des plus importantes à mémoriser en RdM. Elle revient constamment dans le calcul des planchers, des toitures, des linteaux... Le fait que le moment dépende du carré de la portée (\(L^2\)) signifie que si vous doublez la longueur d'une poutre, l'effort de flexion est multiplié par quatre !

Normes (la référence réglementaire)

Les formulaires de Résistance des Matériaux, souvent disponibles en annexe des normes de calcul ou dans des manuels dédiés, fournissent les formules de moments pour tous les cas de charge courants. L'utilisation de ces formules standards est la pratique courante en bureau d'études.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre sur appuis simples avec une charge répartie \(q_d\) :

\[ M_d = \frac{q_d \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est simplement appuyée à ses deux extrémités (liaisons pivots), ce qui correspond au cas d'une solive posée sur deux murs ou deux poutres principales. La charge est considérée comme parfaitement uniforme.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie de calcul, \(q_d = 2.175 \, \text{kN/m}\)
  • Portée de la solive, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour le calcul mental ou une estimation rapide, \(L^2/8 = 16/8 = 2\). Le moment est donc simplement deux fois la charge linéique : \(2 \times 2.175 = 4.35 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). Connaître la valeur de \(L^2/8\) pour les portées courantes est un gain de temps.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Forme attendue)
M_d = ?00
Calcul(s) (l'application numérique)

Attention aux unités ! Il faut être cohérent. On calcule en kN et m, le résultat sera en kN·m.

\[ \begin{aligned} M_d &= \frac{2.175 \, \text{kN/m} \cdot (4.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{2.175 \times 16}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 4.35 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Valeur calculée)
M_d = 4.35 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce moment de 4.35 kN·m est la sollicitation maximale que notre solive doit pouvoir encaisser. C'est la valeur clé qui va nous permettre de dimensionner la section de bois nécessaire. Toute la résistance de la poutre sera mobilisée pour contrer cet effort interne.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la formule pour une charge répartie (\(qL^2/8\)) avec celle pour une charge ponctuelle (\(FL/4\)). C'est une erreur fréquente qui peut mener à un sous-dimensionnement ou sur-dimensionnement important de l'élément.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment maximal pour une charge répartie est au centre de la poutre.
  • La formule à retenir est \(M_d = q_d L^2 / 8\).
  • Le moment est très sensible à la portée (dépendance en \(L^2\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres continues (qui reposent sur plus de deux appuis), le moment maximal n'est plus au milieu des travées, mais sur les appuis intermédiaires. Ces moments sur appuis sont négatifs (ils tendent la fibre supérieure) et leur valeur est souvent de l'ordre de \(qL^2/10\) ou \(qL^2/12\), ce qui permet d'utiliser des sections plus petites que pour des poutres indépendantes.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si la poutre était encastrée à ses extrémités ?

Un encastrement empêcherait la rotation, ce qui générerait des moments négatifs aux appuis (valant \(qL^2/12\)). Le moment maximal en travée (au centre) serait alors réduit à \(qL^2/24\). La poutre travaillerait beaucoup mieux et on pourrait utiliser une section plus faible. C'est pourquoi les liaisons rigides sont si efficaces.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant maximal de calcul est de 4.35 kN·m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec la même charge \(q_d\), quel serait le moment maximal \(M_d\) pour une portée de 5.0 m ?

Question 4 : Déterminer le module de flexion requis et choisir une section

Principe (le concept physique)

La condition de résistance en flexion s'écrit : la contrainte de calcul doit être inférieure ou égale à la résistance de calcul. La contrainte étant \(\sigma_d = M_d / W\), la condition devient \(M_d / W \le f_{\text{m,d}}\). Pour dimensionner, on cherche le module de flexion \(W\) minimum pour satisfaire cette condition. On isole donc \(W\) dans l'équation. C'est le cœur du dimensionnement : on transforme un effort (le moment) en une caractéristique géométrique requise (le module de flexion).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module de flexion \(W\) (ou module d'inertie) est une propriété géométrique qui combine le moment quadratique \(I\) et la distance à la fibre la plus sollicitée \(v\), via la relation \(W = I/v\). Il représente directement la capacité de la section à résister à un moment fléchissant. La condition de résistance \(\sigma \le f\) peut ainsi se réécrire \(M/W \le f\), ou encore \(M \le W \cdot f\). Le terme \(W \cdot f\) est appelé le "moment résistant" de la section.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul du \(W_{\text{req}}\) est comme faire une "liste de courses" pour votre poutre. Le calcul vous dit : "Pour résister, j'ai besoin d'une poutre avec un module de flexion d'au moins 295 cm³". Votre travail consiste ensuite à aller au "magasin" (le catalogue des sections commerciales) et à trouver un produit qui satisfait ce besoin, si possible sans prendre une taille beaucoup trop grande pour ne pas gaspiller de matériau.

Normes (la référence réglementaire)

Les dimensions des bois de sciage sont normalisées (par ex. NF B52-001). Utiliser ces sections standards garantit la disponibilité des matériaux et simplifie la conception et la construction. On choisit toujours la section commerciale dont les caractéristiques sont immédiatement supérieures à celles requises par le calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Module de flexion requis :

\[ W_{\text{req}} = \frac{M_d}{f_{\text{m,d}}} \]

2. Module de flexion pour une section rectangulaire \(b \times h\) :

\[ W = \frac{b \cdot h^2}{6} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section de la poutre restera rectangulaire et que le bois est de qualité homogène correspondant à la classe C24. On suppose également que le déversement (flambement latéral de la semelle comprimée) est empêché, ce qui est généralement le cas pour des solives de plancher maintenues par le platelage.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_d = 4.35 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Résistance de calcul, \(f_{\text{m,d}} = 14.77 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Lors du choix de la section, il est courant de fixer la base (largeur) de la solive (par exemple 75 mm) et de calculer la hauteur minimale requise. De \(W = bh^2/6\), on tire \(h = \sqrt{6W/b}\). Cela permet de trouver plus rapidement la hauteur nécessaire. Ici : \(h = \sqrt{6 \times 294516 / 75} \approx 153 \, \text{mm}\). La hauteur commerciale immédiatement supérieure est 175 mm, mais 200 ou 225 mm sont plus courants pour cette portée.

Schéma (Avant les calculs)
Balance entre Sollicitation et Capacité
M_dSollicitationW x f_dCapacité
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités pour être homogène (N et mm) :
\(M_d = 4.35 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 4.35 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
\(f_{\text{m,d}} = 14.77 \, \text{MPa} = 14.77 \, \text{N/mm²}\)

\[ \begin{aligned} W_{\text{req}} &= \frac{4.35 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{14.77 \, \text{N/mm²}} \\ &\approx 294516 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

2. Conversion en cm³ (plus courant pour les catalogues) :

\[ W_{\text{req}} \approx 295 \, \text{cm}^3 \]

3. Choix d'une section commerciale :
On cherche dans un catalogue une section dont le module de flexion \(W = bh^2/6\) est supérieur à 295 cm³. Essayons une section standard de 75 x 225 mm (ou 7.5 x 22.5 cm) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{choisi}} &= \frac{7.5 \, \text{cm} \cdot (22.5 \, \text{cm})^2}{6} \\ &\approx 632.8 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Choix de la Section
Requis: 295 cm³Choisi (75x225): 633 cm³
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le module de la section choisie (632.8 cm³) est bien supérieur au module requis (295 cm³). La section 75x225 mm semble donc convenir très largement pour la résistance en flexion. On pourrait même chercher une section plus petite pour optimiser, mais nous allons continuer avec celle-ci pour la vérification finale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux unités lors du calcul de \(W_{\text{req}}\). Si le moment est en kN·m et la résistance en MPa (N/mm²), il faut impérativement convertir l'un des deux. Une erreur d'un facteur 10⁶ est vite arrivée ! La conversion de \(W\) de mm³ en cm³ (\(\div 1000\)) est aussi une source d'erreur classique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le dimensionnement consiste à trouver une section dont la capacité est supérieure à la sollicitation.
  • On calcule le module de flexion requis : \(W_{\text{req}} = M_d / f_{\text{m,d}}\).
  • On choisit une section commerciale dont le module \(W\) est supérieur ou égal à \(W_{\text{req}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'optimisation des sections de bois a mené au développement des poutres en I à base de bois. Elles sont constituées de membrures en bois massif ou LVL (Laminated Veneer Lumber) et d'une âme mince en panneau de bois (OSB ou contreplaqué). Comme pour les profilés acier, cela permet d'obtenir un très grand module de flexion pour un poids et une quantité de matière très faibles.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas choisir une section qui a exactement le module requis ?

D'une part, les sections de bois sont standardisées, on ne peut pas commander n'importe quelle dimension. D'autre part, le dimensionnement n'est pas terminé : il faut aussi vérifier la résistance au cisaillement et surtout la déformation (la flèche), qui est souvent le critère le plus contraignant pour les planchers. Avoir une marge sur la résistance en flexion est donc une bonne chose.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le module de flexion requis est de 295 cm³. On choisit une section commerciale de 75 x 225 mm, qui fournit un module de 632.8 cm³.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le module de flexion \(W\) en cm³ d'une section de 63 x 200 mm ?

Question 5 : Vérifier la résistance en flexion

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale de la justification. On calcule la contrainte maximale réelle dans la section que nous avons choisie, sous l'effet du moment de calcul. On vérifie ensuite que cette contrainte est bien inférieure à la résistance que le bois peut supporter. On exprime souvent cette vérification sous forme d'un "taux de travail", qui doit être inférieur à 100%.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette vérification est l'application directe du concept de "design by verification" (conception par vérification) des Eurocodes. La condition s'écrit de manière générale : \(E_d \le R_d\), où \(E_d\) est la valeur de calcul de l'effet des actions (la sollicitation, ici \(\sigma_{\text{m,d}}\)) et \(R_d\) est la valeur de calcul de la résistance de la propriété du matériau correspondante (la capacité, ici \(f_{\text{m,d}}\)). Le taux de travail est simplement le ratio \(E_d / R_d\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette dernière étape est comme vérifier son ticket de caisse après les courses. Vous aviez une "liste" (\(W_{\text{req}}\)), vous avez choisi un "produit" (la section 75x225). Maintenant, vous faites le calcul final pour être absolument certain que le produit est suffisant et qu'il n'y a pas eu d'erreur. En ingénierie, cette vérification formelle est non négociable.

Normes (la référence réglementaire)

La condition de vérification de la flexion pour une section rectangulaire est donnée par la formule 6.11 de l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1) : \(\sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}}\). Pour les sections soumises à la fois à de la flexion et de la compression, des formules d'interaction plus complexes (formules 6.19 et 6.20) doivent être utilisées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Contrainte de calcul :

\[ \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_d}{W_{\text{choisi}}} \]

2. Condition de vérification :

\[ \frac{\sigma_{\text{m,d}}}{f_{\text{m,d}}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour les étapes précédentes : la validité du modèle de poutre, des charges et des propriétés du matériau utilisées. Cette étape finale valide l'ensemble de la chaîne de calcul pour la résistance en flexion.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_d = 4.35 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 4.35 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Module de flexion choisi, \(W_{\text{choisi}} = 632813 \, \text{mm}^3\)
  • Résistance de calcul, \(f_{\text{m,d}} = 14.77 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut calculer le taux de travail directement avec les modules de flexion, sans passer par le calcul de la contrainte : Taux = \(W_{\text{req}} / W_{\text{choisi}}\). Ici : \(294516 / 632813 \approx 0.465\), soit 46.5%. C'est plus rapide et moins sujet aux erreurs d'arrondi.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification Finale du Taux de Travail
Taux de travail = ? %100%
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la contrainte :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,d}} &= \frac{4.35 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{632813 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 6.87 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Vérification de la condition :

\[ \frac{6.87 \, \text{MPa}}{14.77 \, \text{MPa}} = 0.465 \le 1.0 \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
Contrainte σ_d = 6.87Résistance f_d = 14.77 MPaTaux de travail = 47% - OK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La section de bois choisie travaille à seulement 46.5% de sa capacité en flexion. C'est une marge de sécurité confortable. En pratique, un ingénieur pourrait essayer de choisir une section plus petite (par exemple 63x225 ou 75x200) pour optimiser le coût, à condition que les autres vérifications (cisaillement, déformation) soient également satisfaites.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas s'arrêter au choix de la section. Cette vérification finale est essentielle pour conclure. Une erreur d'arrondi ou de saisie dans l'étape précédente pourrait être détectée ici. Toujours présenter le résultat final sous la forme d'un ratio ou d'un taux de travail, car c'est plus parlant qu'une simple comparaison de contraintes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification finale est \(\sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}}\).
  • Le taux de travail \(\sigma_{\text{m,d}} / f_{\text{m,d}}\) doit être inférieur à 1 (ou 100%).
  • Un taux de travail très faible (< 50%) peut indiquer un surdimensionnement. Un taux très proche de 100% peut être acceptable mais ne laisse aucune marge pour d'éventuelles modifications.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les zones sismiques, les calculs de structure sont beaucoup plus complexes. On ne cherche plus seulement à vérifier la résistance (ELU), mais aussi à garantir un comportement ductile de la structure. Pour le bois, cela implique de concevoir des assemblages spéciaux capables de se déformer beaucoup sans rompre brutalement, afin de dissiper l'énergie du tremblement de terre.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si le taux de travail était de 105% ?

Un taux de 105% signifie que la condition de sécurité n'est pas respectée. La section est insuffisante. L'ingénieur doit alors impérativement choisir une section commerciale plus grande (la taille juste au-dessus) et refaire la vérification. Aucune justification ne peut être validée avec un taux de travail supérieur à 100%.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de flexion est de 6.87 MPa, ce qui est inférieur à la résistance de 14.77 MPa. La section de 75x225 mm est validée en flexion.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le taux de travail (en %) pour une section de 75x200 mm (\(W \approx 500000 \, \text{mm}^3\))?

Outil Interactif : Dimensionnement de Solive

Modifiez les paramètres du plancher pour voir leur influence sur le dimensionnement de la solive.

Paramètres d'Entrée
4.0 m
0.5 m
Résultats Clés (ELU Flexion)
Moment de Calcul (kN·m) -
Contrainte de Calcul (MPa) -
Taux de Travail (%) -

Le Saviez-Vous ?

Le bois lamellé-collé permet de fabriquer des poutres de très grandes dimensions et de formes courbes, impossibles à réaliser avec du bois massif. En collant de fines lamelles de bois sous haute pression, on obtient un matériau très homogène et performant, capable de franchir des portées de plus de 100 mètres. Le toit du Centre Pompidou-Metz est un exemple spectaculaire de cette technique.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on 1.35 pour les charges permanentes et 1.5 pour l'exploitation ?

Les coefficients de sécurité sont différents car l'incertitude sur les charges n'est pas la même. Les charges permanentes (poids des matériaux) sont connues avec une assez bonne précision, d'où un coefficient de 1.35. Les charges d'exploitation (personnes, mobilier) sont beaucoup plus variables et incertaines, ce qui justifie un coefficient de sécurité plus élevé de 1.5.

Qu'est-ce qui se passe si on est en classe de service 2 (ex: garage non chauffé) ?

En classe de service 2, le bois est plus humide. Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) serait plus faible (par exemple 0.7 au lieu de 0.8 pour une charge de moyenne durée). La résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) diminuerait, et il faudrait donc une section de bois plus grande pour supporter la même charge.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si une charge est considérée de "longue durée" (ex: stockage) au lieu de "moyenne durée", le coefficient \(k_{\text{mod}}\)...

2. Pour une même charge totale, une poutre de 8m de portée aura un moment maximal...

Eurocode 5 (EC5)
Norme européenne qui fixe les règles de conception et de calcul des structures en bois. Elle fait partie d'un ensemble de normes (les Eurocodes) couvrant tous les types de structures et de matériaux.
k_mod
Coefficient de modification qui ajuste la résistance du bois en fonction de la classe de service (humidité) et de la classe de durée de la charge. Il reflète le comportement rhéologique du bois.
État Limite Ultime (ELU)
État qui correspond à la ruine ou à un endommagement majeur de la structure. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité des personnes en s'assurant que la structure ne s'effondre pas.
Section structure en bois

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