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Méthode des Nœuds pour un Treillis

Méthode des Nœuds pour un Treillis en Console en RdM

Méthode des Nœuds pour un Treillis en Console

Contexte : Structures en Porte-à-Faux.

Les treillis en console, ou en porte-à-faux, sont des structures fixées à une seule extrémité et s'étendant dans le vide, comme un balcon, une grue ou une partie d'un pont. Contrairement aux treillis sur deux appuis, ils sont entièrement supportés par un encastrement ou un système d'appuis équivalent à une seule extrémité. L'analyse de ces structures par la méthode des nœudsTechnique d'analyse qui consiste à isoler chaque "nœud" (ou articulation) du treillis et à appliquer les équations de l'équilibre des forces (\(\sum F_x=0, \sum F_y=0\)) pour trouver les efforts dans les barres qui s'y connectent. suit les mêmes principes, mais commence par un calcul de réactions différent.

Remarque Pédagogique : Cet exercice met en lumière le calcul des réactions pour un treillis encastré et la progression logique de la méthode des nœuds en partant de l'extrémité libre. Vous apprendrez à identifier les nœuds qui peuvent être résolus en premier et à propager la solution à travers la structure, barre par barre.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les trois réactions d'un appui encastré pour un treillis.
  • Identifier un nœud de départ avec seulement deux efforts inconnus.
  • Appliquer les équations d'équilibre \(\sum F_x = 0\) et \(\sum F_y = 0\) de manière séquentielle.
  • Déterminer la nature de l'effort (traction ou compression) dans chaque barre.

Données de l'étude

On étudie le treillis en console représenté ci-dessous. Il est encastré au niveau du mur (nœuds A et D). Une charge verticale de 20 kN est appliquée au nœud C. Les barres forment des angles de 45°.

Schéma du treillis en console
A B C D P = 20 kN 2 m 2 m

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appuis aux nœuds A et D en considérant l'équilibre global du treillis.
  2. En commençant par le nœud C, déterminer les efforts dans les barres BC et CD.
  3. En isolant le nœud B, déterminer les efforts dans les barres AB et BD.

Correction : Méthode des Nœuds pour un Treillis en Console

Question 1 : Calcul des Réactions d'Appuis

Principe (le concept physique)

Pour que le treillis soit statique, l'ensemble de la structure doit être en équilibre sous l'action des forces extérieures (charges appliquées et réactions d'appuis). On applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS).

Mini-Cours (approfondissement théorique)
Équilibre d'un Corps Rigide :

En 2D, le PFS se traduit par trois équations : \(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), et \(\sum M_{/O} = 0\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Remarque :

Le calcul des réactions est toujours la première étape. Sans connaître ces forces externes, il est impossible de commencer l'analyse des efforts internes par la méthode des nœuds à partir des appuis.

Astuces(Pour aller plus vite)
Astuce :

En choisissant judicieusement le point pour le calcul des moments (ici, le nœud D), on peut annuler le moment créé par les réactions Dx et Dy, ce qui permet d'isoler directement l'inconnue Ax.

Normes (la référence réglementaire)
Normes :

Les principes de la statique sont universels et constituent la base de toutes les normes de calcul de structure, comme les Eurocodes en Europe.

Hypothèses (le cadre du calcul)
Hypothèses :

On modélise les appuis en A et D comme une articulation (en D) et un appui simple (en A). L'articulation en D reprend les efforts Dx et Dy. L'appui simple en A ne reprend qu'un effort horizontal Ax.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équations du PFS :

\[ \sum F_x = 0 \quad ; \quad \sum F_y = 0 \quad ; \quad \sum M_{/D} = 0 \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Charge appliquée P = 20 kN ; Distance horizontale = 2 m ; Distance verticale = 2 m.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre du Treillis
P = 20 kN A_x D_x D_y
Calcul(s) (l'application numérique)

Somme des moments par rapport au point D :

\[\begin{aligned} \sum M_{/D} = 0 &\Rightarrow (A_x \times 2) + (P \times 2) = 0 \\ &\Rightarrow 2 A_x = -40 \\ &\Rightarrow A_x = -20 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Somme des forces horizontales :

\[\begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Rightarrow A_x + D_x = 0 \\ &\Rightarrow -20 + D_x = 0 \\ &\Rightarrow D_x = 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Somme des forces verticales :

\[\begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow D_y - P = 0 \\ &\Rightarrow D_y - 20 = 0 \\ &\Rightarrow D_y = 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Réactions d'appuis calculées
20 kN 20 kN 20 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Réflexions :

Le signe négatif pour Ax indique que le sens que nous avions supposé (vers la droite) est incorrect. La force Ax est en réalité dirigée vers la gauche (elle "tire" sur le mur). Physiquement, cela a du sens : la charge P crée un moment qui tend à faire basculer le treillis, la barre du haut (AB) est donc tendue et tire sur l'appui A.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Points à retenir :

Toujours vérifier l'équilibre global en premier. Un signe négatif dans le résultat indique que la force réelle est dans le sens opposé à celui supposé sur le schéma.

Justifications (le pourquoi de cette étape)
Justifications :

Sans la connaissance des réactions d'appuis, tous les nœuds de la structure auraient plus de deux inconnues, rendant la méthode des nœuds impossible à démarrer.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Points de vigilance :

Ne pas se tromper dans les signes des moments (sens horaire vs anti-horaire) et bien identifier les bras de levier de chaque force par rapport au point de pivot.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Isostaticité

Ce treillis est isostatique : il possède juste assez d'appuis (3 inconnues de réaction) pour être stable. S'il y en avait moins, il serait instable (hypostatique). S'il y en avait plus, il serait hyperstatique et on ne pourrait pas le résoudre avec les seules équations de la statique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi modéliser un encastrement par une articulation et un appui simple ?

Pour un treillis, un encastrement parfait ne peut pas être directement appliqué aux nœuds (qui sont des articulations). On le représente par un système d'appuis qui bloque les 3 degrés de liberté du solide : les translations en X et Y, et la rotation. Notre système (Ax, Dx, Dy) bloque bien ces 3 mouvements.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Résultat Final (Q1) : Les réactions sont \(A_x = -20 \, \text{kN}\), \(D_x = 20 \, \text{kN}\) et \(D_y = 20 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
À vous de jouer :

Si la force P était horizontale (dirigée vers la droite), que vaudrait la réaction Dy ?

Question 2 : Efforts au Nœud C

Principe (le concept physique)

La méthode des nœuds stipule que si la structure entière est en équilibre, alors chaque nœud (articulation) qui la compose doit aussi être en équilibre. On peut donc "isoler" un nœud et lui appliquer les équations d'équilibre des forces.

Astuces(Pour aller plus vite)
Astuce :

On commence toujours par un nœud où il n'y a que deux efforts de barres inconnus. Le nœud C est un excellent point de départ car la force P y est appliquée et seules deux barres (BC et CD) s'y connectent.

Hypothèses (le cadre du calcul)
Hypothèses :

On suppose que les barres sont connectées par des articulations parfaites (sans frottement) et que le poids propre des barres est négligeable par rapport aux charges appliquées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équations d'équilibre du nœud :

\[ \sum F_x = 0 \quad ; \quad \sum F_y = 0 \]
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre du Nœud C
C P=20kN N_CD N_BC
Calcul(s) (l'application numérique)

Équilibre des forces verticales au nœud C :

\[\begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow N_{BC} - P = 0 \\ &\Rightarrow N_{BC} - 20 = 0 \\ &\Rightarrow N_{BC} = 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Équilibre des forces horizontales au nœud C :

\[\begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Rightarrow -N_{CD} = 0 \\ &\Rightarrow N_{CD} = 0 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Efforts au Nœud C
C 20kN N_BC=+20 N_CD=0
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Réflexions :

Le résultat NBC > 0 signifie que la barre BC est en traction. Le résultat NCD = 0 est une "barre à effort nul". Elle est présente pour la stabilité mais ne porte pas de charge dans cette configuration.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Points à retenir :

Par convention, on dessine les efforts inconnus comme s'ils "tiraient" sur le nœud (traction). Un résultat positif confirme la traction, un résultat négatif indique une compression.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Résultat Final (Q2) : Les efforts sont \(N_{BC} = 20 \, \text{kN}\) (Traction) et \(N_{CD} = 0 \, \text{kN}\).

Question 3 : Efforts au Nœud B

Principe (le concept physique)

On continue la résolution en passant à un nœud adjacent où le nombre d'inconnues est maintenant de deux ou moins, grâce aux calculs précédents. Le nœud B est un bon candidat car nous connaissons NBC.

Mini-Cours (approfondissement théorique)
Décomposition de Vecteurs :

Lorsqu'une force (comme l'effort NBD) est inclinée, elle doit être décomposée en ses composantes horizontales et verticales pour être utilisée dans les équations d'équilibre. Pour un angle \(\theta\) avec l'horizontale, la composante horizontale est \(N \cos(\theta)\) et la verticale est \(N \sin(\theta)\).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre du Nœud B
B N_BC=20 N_AB N_BD 45°
Calcul(s) (l'application numérique)

Équilibre des forces verticales au nœud B :

\[\begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow -N_{BC} + N_{BD} \sin(45^\circ) = 0 \\ &\Rightarrow -20 + N_{BD} \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \\ &\Rightarrow N_{BD} = \frac{20 \times 2}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \approx 28.28 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Équilibre des forces horizontales au nœud B :

\[\begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Rightarrow -N_{AB} - N_{BD} \cos(45^\circ) = 0 \\ &\Rightarrow -N_{AB} - (28.28) \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \\ &\Rightarrow N_{AB} = -20 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des efforts sur le treillis
A B C D -20 (C) +20 (T) 0 +28.3 (T)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Réflexions :

NBD > 0, la diagonale est en traction. NAB < 0, la membrure supérieure est en compression. C'est le comportement classique d'une poutre en console : la partie supérieure est comprimée et la partie inférieure est tendue. La diagonale sert à reprendre le cisaillement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Résultat Final (Q3) : Les efforts sont \(N_{AB} = -20 \, \text{kN}\) (Compression) et \(N_{BD} = 28.28 \, \text{kN}\) (Traction).

Mini Fiche Mémo : Méthode des Nœuds

ÉtapeActionObjectif
1. RéactionsAppliquer le PFS à la structure entière.Trouver les réactions aux appuis.
2. Choix du NœudChoisir un nœud avec au maximum 2 inconnues.Commencer la résolution.
3. Isoler & DCLIsoler le nœud et dessiner son Diagramme de Corps Libre (DCL).Visualiser toutes les forces agissant sur le nœud.
4. ÉquilibreAppliquer \(\sum F_x = 0\) et \(\sum F_y = 0\).Trouver les efforts dans les barres.
5. ItérerPasser au nœud suivant et répéter les étapes 3 et 4.Résoudre l'ensemble du treillis.

Outil Interactif : Influence de la Charge

Modifiez la charge P pour voir son influence sur les efforts dans les barres.

Paramètres d'Entrée
20 kN
Résultats des Efforts
Effort NAB (Compression)-
Effort NBD (Traction)-

Le Saviez-Vous ?

La "méthode des sections" est une autre technique pour analyser les treillis. Au lieu d'isoler un nœud, on "coupe" la structure à travers quelques barres (trois au maximum) et on applique les équations d'équilibre à l'une des deux moitiés. C'est une méthode beaucoup plus rapide si l'on ne cherche l'effort que dans une seule barre au milieu du treillis.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si je choisis un nœud avec 3 inconnues ?

Vous aurez un système de deux équations (Fx=0, Fy=0) avec trois inconnues. Ce système n'a pas de solution unique, il est mathématiquement impossible à résoudre. Il faut impérativement commencer par un nœud avec deux inconnues au maximum.

Comment choisir le sens des efforts inconnus au début ?

Par convention, on suppose toujours que les barres sont en traction (elles "tirent" sur le nœud). Si le calcul donne un résultat positif, l'hypothèse était correcte. Si le résultat est négatif, cela signifie simplement que la barre est en compression.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans ce treillis, la barre CD a un effort nul. Que se passerait-il si on appliquait une force horizontale de 10 kN au nœud C, vers la droite ?

2. Pour une poutre en console, la membrure supérieure (barre AB) est généralement :

Treillis en Console
Structure en treillis supportée à une seule extrémité, s'étendant en porte-à-faux.
Nœud
Point d'intersection où les barres d'un treillis sont connectées. On suppose que ces connexions sont des articulations parfaites.
Barre à Effort Nul
Membre d'un treillis qui ne subit ni traction ni compression pour une configuration de chargement donnée.
Méthode des Nœuds pour un Treillis en Console

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