Études de cas pratique

EGC

Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte

Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte en Topographie

Calcul de la Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte en Topographie

Comprendre la Mesure de Distance Indirecte

En topographie, il n'est pas toujours possible de mesurer directement la distance entre deux points, par exemple si un obstacle (rivière, bâtiment, terrain impraticable) se trouve entre eux. Dans de tels cas, des méthodes indirectes sont employées. Une méthode courante consiste à établir une base de longueur connue, puis à mesurer des angles depuis les extrémités de cette base vers le point inaccessible. En utilisant les lois de la trigonométrie, notamment la loi des sinus (ou théorème de d'Al-Kashi si nécessaire), on peut alors calculer la distance recherchée. Cette technique est fondamentale pour de nombreux levés topographiques et implantations.

Données de l'étude

On souhaite déterminer la distance entre un point A et un point P inaccessible situé de l'autre côté d'une rivière. Pour ce faire, on mesure une base AB sur la rive accessible et les angles horizontaux aux sommets A et B du triangle ABP.

Mesures sur le terrain :

  • Longueur de la base AB (\(L_{\text{AB}}\)) : \(125.650 \, \text{m}\)
  • Angle au sommet A (angle PAB, \(\alpha\)) : \(62^\circ 35' 10''\)
  • Angle au sommet B (angle PBA, \(\beta\)) : \(75^\circ 10' 40''\)

Hypothèses :

  • Les points A, B et P sont coplanaires (mesures horizontales).
  • Les mesures d'angles et de la base sont précises.

Schéma : Mesure indirecte de distance
{/* */} Rivière {/* */} A B P (inaccessible) {/* */} L_AB L_AP ? L_BP ? {/* */} α β γ Mesure Indirecte de Distance (Triangulation)

Schéma illustrant la mesure indirecte de la distance AP à l'aide d'une base AB et des angles \(\alpha\) et \(\beta\).

Questions à traiter

  1. Convertir les angles \(\alpha\) et \(\beta\) en degrés décimaux.
  2. Calculer la valeur de l'angle au sommet P (angle APB, noté \(\gamma\)) du triangle ABP.
  3. En utilisant la loi des sinus, calculer la longueur de la distance AP.
  4. En utilisant la loi des sinus, calculer la longueur de la distance BP.
  5. Si la tolérance sur la mesure de la base AB est de \(\pm 0.020 \, \text{m}\) et la tolérance sur chaque angle mesuré est de \(\pm 20''\), discuter qualitativement de l'impact de ces erreurs sur la précision des distances AP et BP calculées.

Correction : Calcul de la Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte

Question 1 : Conversion des Angles \(\alpha\) et \(\beta\) en Degrés Décimaux

Principe :

Pour convertir un angle de la forme Degrés° Minutes' Secondes'' en degrés décimaux, on utilise la formule : \(\text{Degrés} + \frac{\text{Minutes}}{60} + \frac{\text{Secondes}}{3600}\).

Données spécifiques :
  • Angle \(\alpha\) : \(62^\circ 35' 10''\)
  • Angle \(\beta\) : \(75^\circ 10' 40''\)
Calculs :

Pour \(\alpha\):

\[ \begin{aligned} \alpha (\text{décimal}) &= 62 + \frac{35}{60} + \frac{10}{3600} \\ &= 62 + 0.583333... + 0.002777... \\ &\approx 62.586111^\circ \end{aligned} \]

Pour \(\beta\):

\[ \begin{aligned} \beta (\text{décimal}) &= 75 + \frac{10}{60} + \frac{40}{3600} \\ &= 75 + 0.166666... + 0.011111... \\ &\approx 75.177778^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les angles en degrés décimaux sont :
  • \(\alpha \approx 62.5861^\circ\)
  • \(\beta \approx 75.1778^\circ\)

Question 2 : Calcul de l'Angle au Sommet P (\(\gamma\))

Principe :

La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à \(180^\circ\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)\]
Données spécifiques (en degrés décimaux) :
  • \(\alpha \approx 62.586111^\circ\)
  • \(\beta \approx 75.177778^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \gamma &= 180^\circ - (62.586111^\circ + 75.177778^\circ) \\ &= 180^\circ - 137.763889^\circ \\ &\approx 42.236111^\circ \end{aligned} \]

Conversion en DMS (pour information) : \(42.236111^\circ \approx 42^\circ 14' 10''\)

Résultat Question 2 : L'angle au sommet P est \(\gamma \approx 42.2361^\circ\) (soit environ \(42^\circ 14' 10''\)).

Question 3 : Calcul de la Distance AP (Loi des Sinus)

Principe :

La loi des sinus dans un triangle stipule que le rapport de la longueur d'un côté au sinus de l'angle opposé est constant : \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\). Ici, dans le triangle ABP, nous voulons calculer AP (côté opposé à \(\beta\)). Nous connaissons AB (côté opposé à \(\gamma\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{L_{\text{AP}}}{\sin(\beta)} = \frac{L_{\text{AB}}}{\sin(\gamma)}\]
\[ \Rightarrow L_{\text{AP}} = L_{\text{AB}} \times \frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\]
Données spécifiques :
  • \(L_{\text{AB}} = 125.650 \, \text{m}\)
  • \(\beta \approx 75.177778^\circ\)
  • \(\gamma \approx 42.236111^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sin(\beta) &\approx \sin(75.177778^\circ) \approx 0.96671 \\ \sin(\gamma) &\approx \sin(42.236111^\circ) \approx 0.67218 \\ L_{\text{AP}} &= 125.650 \, \text{m} \times \frac{0.96671}{0.67218} \\ &\approx 125.650 \, \text{m} \times 1.43818 \\ &\approx 180.709 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La distance AP est d'environ \(180.71 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La loi des sinus est applicable à :

Question 4 : Calcul de la Distance BP (Loi des Sinus)

Principe :

De même, pour calculer BP (côté opposé à \(\alpha\)) :

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{L_{\text{BP}}}{\sin(\alpha)} = \frac{L_{\text{AB}}}{\sin(\gamma)}\]
\[ \Rightarrow L_{\text{BP}} = L_{\text{AB}} \times \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\]
Données spécifiques :
  • \(L_{\text{AB}} = 125.650 \, \text{m}\)
  • \(\alpha \approx 62.586111^\circ\)
  • \(\gamma \approx 42.236111^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sin(\alpha) &\approx \sin(62.586111^\circ) \approx 0.88770 \\ \sin(\gamma) &\approx 0.67218 \\ L_{\text{BP}} &= 125.650 \, \text{m} \times \frac{0.88770}{0.67218} \\ &\approx 125.650 \, \text{m} \times 1.32062 \\ &\approx 165.930 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La distance BP est d'environ \(165.93 \, \text{m}\).

Question 5 : Discussion sur l'Impact des Erreurs de Mesure

Principe :

Les erreurs sur les mesures initiales (longueur de la base, angles) se propagent et affectent la précision des distances calculées. La géométrie du triangle (forme) joue également un rôle important.

Analyse qualitative :
  • Erreur sur la base \(L_{\text{AB}}\) : Une erreur sur \(L_{\text{AB}}\) affectera proportionnellement les distances AP et BP calculées. Si \(L_{\text{AB}}\) est surestimée, AP et BP le seront aussi, et vice-versa.
  • Erreurs sur les angles \(\alpha\) et \(\beta\) :
    • Ces erreurs affectent directement la valeur de l'angle \(\gamma\) (\(\gamma = 180 - \alpha - \beta\)).
    • Les erreurs sur les angles ont un impact plus complexe sur les distances calculées via les termes \(\sin(\alpha)\), \(\sin(\beta)\) et \(\sin(\gamma)\) dans la loi des sinus.
    • La sensibilité aux erreurs angulaires est plus grande lorsque les angles sont très petits ou très proches de \(180^\circ\) (ce qui n'est pas le cas ici pour \(\alpha, \beta, \gamma\)).
    • Un angle \(\gamma\) petit (triangle "pointu" ou "effilé" par rapport à la base AB) rend le calcul des distances AP et BP plus sensible aux erreurs sur \(\alpha\) et \(\beta\). Dans notre cas, \(\gamma \approx 42^\circ\), ce qui est une configuration raisonnable, mais pas idéale (idéalement, les angles seraient plus proches de \(60^\circ\) ou \(90^\circ\)).
  • Propagation des erreurs : Les erreurs sur la base et les angles se combinent. La formule de propagation des variances pourrait être utilisée pour une analyse quantitative, mais qualitativement, on peut dire que la précision des distances AP et BP sera dégradée par les incertitudes sur les mesures initiales.
  • Géométrie du triangle : Pour une meilleure précision, il est préférable d'avoir des angles d'intersection (ici \(\alpha\) et \(\beta\), et surtout \(\gamma\)) qui ne soient ni trop petits (inférieurs à \(30^\circ\)) ni trop grands (supérieurs à \(150^\circ\)). Des angles proches de \(90^\circ\) pour \(\alpha\) et \(\beta\) sont souvent optimaux si la base est bien choisie.
Résultat Question 5 : Les erreurs sur la longueur de la base AB et sur les angles mesurés \(\alpha\) et \(\beta\) se propagent dans le calcul des distances AP et BP. La précision des résultats dépend de l'ampleur de ces erreurs initiales et de la géométrie du triangle formé (notamment la valeur de l'angle \(\gamma\)). Des angles trop aigus ou trop obtus peuvent amplifier l'impact des erreurs angulaires.

Quiz Intermédiaire 2 : Pour minimiser l'impact des erreurs angulaires dans un calcul de distance par triangulation simple (comme AP), il est préférable que l'angle opposé à la base mesurée (ici \(\gamma\)) soit :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi des sinus relie :

2. Dans un triangle ABC, si on connaît le côté c (AB) et les angles A et B, l'angle C est :

3. La mesure indirecte d'une distance est particulièrement utile lorsque :

Glossaire

Mesure Indirecte de Distance
Détermination d'une distance sans la mesurer physiquement de bout en bout, mais en la calculant à partir d'autres mesures (longueurs de bases, angles).
Base (Topographie)
Segment de droite de longueur connue et précisément mesurée, servant de référence pour des mesures angulaires ou d'autres déterminations de points.
Triangulation (Simple)
Méthode de détermination de la position d'un point en formant un triangle avec une base connue et en mesurant les angles adjacents à cette base.
Loi des Sinus (Théorème des Sinus)
Dans un triangle quelconque, le rapport de la longueur d'un côté au sinus de l'angle opposé est constant : \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\) (où R est le rayon du cercle circonscrit).
Angle Horizontal
Angle mesuré dans un plan horizontal entre deux directions issues d'un point d'observation.
Gisement (Azimut)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord) jusqu'à une direction donnée.
Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte - Exercice d'Application

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