Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte
Contexte : La triangulation topographiqueMéthode de levé qui consiste à déterminer la position d'un point en mesurant les angles qui le relient à des points de référence connus. C'est la base du calcul de distance indirect..
Un géomètre-topographe doit déterminer la distance précise entre deux points A et B. Cependant, un obstacle infranchissable (une rivière) empêche toute mesure directe entre eux. Pour résoudre ce problème, il met en place une base de mesure accessible, la ligne CD, d'une longueur connue et située du même côté de la rivière. Depuis les points C et D, il utilise une station totale pour mesurer les angles horizontaux vers les points A et B. Cet exercice vous guidera à travers les calculs trigonométriques pour trouver la distance AB.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une application fondamentale de la trigonométrie en topographie. La maîtrise de cette méthode est essentielle pour résoudre des problèmes de levé où les points ne sont pas directement accessibles.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la Loi des Sinus pour calculer les longueurs des côtés d'un triangle.
- Utiliser le Théorème d'Al-Kashi (Loi des Cosinus) pour trouver la longueur d'un côté à partir de deux autres et de l'angle inclus.
- Résoudre un problème de topographie concret par décomposition en triangles.
- Comprendre l'importance de la précision des mesures angulaires dans le résultat final.
Données du Levé Topographique
Schéma de la situation sur le terrain
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur de la base | CD | 150.00 | m |
| Angle mesuré en D vers A | ∠CDA | 80.00 | gon |
| Angle mesuré en C vers A | ∠ACD | 45.00 | gon |
| Angle mesuré en D vers B | ∠CDB | 40.00 | gon |
| Angle mesuré en C vers B | ∠BCD | 75.00 | gon |
Questions à traiter
- Calculer la longueur de la distance AC.
- Calculer la longueur de la distance BC.
- En déduire la valeur de l'angle ∠ACB.
- Calculer la longueur de la distance inaccessible AB.
Les bases de la Triangulation
Pour résoudre cet exercice, deux théorèmes fondamentaux de la trigonométrie sont nécessaires. Ils permettent de trouver des longueurs et des angles inconnus dans n'importe quel triangle.
1. La Loi des Sinus
Dans un triangle quelconque, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés.
\[ \frac{a}{\sin(\hat{A})} = \frac{b}{\sin(\hat{B})} = \frac{c}{\sin(\hat{C})} \]
2. Le Théorème d'Al-Kashi (Loi des Cosinus)
Dans un triangle quelconque, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins deux fois le produit de ces côtés par le cosinus de l'angle inclus.
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\hat{A}) \]
Correction : Mesure d’une Distance par Méthode Indirecte
Question 1 : Calculer la longueur de la distance AC
Principe
Le concept physique ici est la triangulation. En créant un triangle ADC dont nous connaissons un côté (la base CD) et deux angles, nous pouvons déterminer toutes ses propriétés, y compris la longueur du côté AC qui nous est inconnue.
Mini-Cours
La Loi des Sinus est l'outil parfait lorsque l'on connaît un côté et deux angles dans un triangle (ou deux côtés et un angle non-inclus). Elle stipule que le rapport entre la longueur d'un côté et le sinus de son angle opposé est constant pour tous les côtés du triangle. Avant de l'appliquer, il faut s'assurer de connaître l'angle opposé au côté connu, ce qui implique souvent de calculer le troisième angle du triangle (la somme faisant 200 gon).
Remarque Pédagogique
La stratégie consiste à décomposer le problème complexe en sous-problèmes simples. Ici, on isole le triangle ADC. La première étape est presque toujours de calculer tous les angles du triangle. Une fois cela fait, la Loi des Sinus devient simple à appliquer pour trouver n'importe quel côté.
Normes
Les calculs de triangulation sont une pratique standardisée en géodésie et en topographie. Les tolérances de précision pour les mesures d'angle et de distance sont définies par des normes nationales et internationales (par exemple, les classes de précision des réseaux géodésiques).
Formule(s)
Somme des angles d'un triangle
Loi des Sinus
Hypothèses
Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :
- Le levé est réalisé dans un plan (topographie plane), on néglige la courbure de la Terre.
- Les mesures d'angles et de la base sont considérées comme exactes et sans erreur.
- Les points A, D, C sont coplanaires.
Donnée(s)
Nous extrayons les données utiles pour le triangle ADC :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Base de mesure | CD | 150.00 | m |
| Angle en D | ∠CDA | 80.00 | gon |
| Angle en C | ∠ACD | 45.00 | gon |
Astuces
Pour vérifier la cohérence, souvenez-vous que dans un triangle, le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle. Après avoir calculé ∠CAD, comparez les trois angles pour anticiper quel côté sera le plus long.
Schéma (Avant les calculs)
Isolation du Triangle ADC
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de l'angle ∠CAD
Étape 2 : Application de la Loi des Sinus pour trouver AC
Réflexions
Le résultat de 153.40 m pour AC est cohérent. L'angle opposé (∠CDA = 80 gon) est le plus grand des trois angles du triangle (80 > 75 > 45), donc AC doit être le côté le plus long, ce qui est bien le cas (153.40 m > 150.00 m).
Points de vigilance
Attention à l'unité des angles ! La plupart des calculatrices scientifiques fonctionnent en degrés par défaut. Assurez-vous de la configurer en mode "Grades" (ou "Grad") avant d'effectuer les calculs de sinus.
Points à retenir
Pour résoudre un triangle avec la Loi des Sinus, il faut connaître au minimum un côté et son angle opposé. Si ce n'est pas le cas directement, calculez d'abord le troisième angle pour obtenir cette paire côté-angle opposé.
Le saviez-vous ?
La triangulation à grande échelle, utilisée pour cartographier des pays entiers comme la France au 18ème siècle par la famille Cassini, reposait sur exactement ce même principe, répété sur des chaînes de triangles sur des centaines de kilomètres.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle ∠ACD avait été de 50 gon au lieu de 45, quelle aurait été la nouvelle longueur de AC ?
Question 2 : Calculer la longueur de la distance BC
Principe
La démarche est identique à la question précédente. On isole cette fois le triangle BDC. Connaissant la base CD et deux angles, on peut à nouveau en déduire toutes les dimensions, et notamment la longueur du côté BC.
Mini-Cours
Nous utilisons à nouveau la Loi des Sinus. C'est un outil polyvalent qui s'applique à n'importe quel triangle. La clé est d'identifier correctement les paires "côté / angle opposé". Dans le triangle BDC, le côté connu est CD, et son angle opposé est ∠CBD, que nous devons d'abord calculer.
Remarque Pédagogique
Cette question renforce la méthode vue précédemment. La répétition est clé pour la maîtrise. L'objectif est de vous rendre à l'aise avec la procédure : 1. Isoler le bon triangle. 2. Calculer tous ses angles. 3. Appliquer la Loi des Sinus.
Normes
Les procédures de calcul topographique exigent une traçabilité et une vérification. Une méthode courante de vérification serait de mesurer également les angles depuis les points A et B (si possible) pour "fermer" les figures géométriques et s'assurer de la cohérence des mesures.
Formule(s)
Loi des Sinus appliquée au triangle BDC
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : topographie plane, mesures exactes, et points coplanaires (cette fois-ci B, D, C).
Donnée(s)
Nous utilisons les données relatives au triangle BDC :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Base de mesure | CD | 150.00 | m |
| Angle en D | ∠CDB | 40.00 | gon |
| Angle en C | ∠BCD | 75.00 | gon |
Astuces
Avant de calculer, comparez les angles ∠CDB (40 gon) et ∠BCD (75 gon). Puisque ∠BCD > ∠CDB, vous pouvez prédire que le côté opposé BD sera plus long que le côté opposé BC.
Schéma (Avant les calculs)
Isolation du Triangle BDC
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de l'angle ∠CBD
Étape 2 : Application de la Loi des Sinus pour trouver BC
Réflexions
La distance BC (88.51 m) est nettement plus courte que la base CD (150 m). Ceci est logique car l'angle opposé à BC (∠CDB = 40 gon) est le plus petit angle du triangle BDC.
Points de vigilance
Ne mélangez pas les triangles ! Il est facile de prendre par erreur un angle du triangle ADC pour un calcul dans le triangle BDC. Soyez méthodique et n'utilisez que les données pertinentes pour le triangle en cours d'étude.
Points à retenir
La méthode de décomposition d'un problème complexe en triangles simples est une stratégie universelle en géométrie et en ingénierie. Maîtrisez-la et vous pourrez résoudre de nombreux problèmes.
Le saviez-vous ?
Les premiers relevés du Mont Everest dans les années 1850 ont été réalisés par triangulation depuis des points situés en Inde, à plus de 160 km de distance, car l'accès au Népal était interdit aux étrangers.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle ∠BCD était de 90 gon, quelle serait la nouvelle longueur de BC ?
Question 3 : En déduire la valeur de l'angle ∠ACB
Principe
Cette question ne nécessite pas de trigonométrie complexe. L'angle ∠ACB, qui est l'angle au sommet C du triangle final ABC, est simplement la différence entre le grand angle mesuré (vers B) et le petit angle mesuré (vers A) depuis le même point de station C.
Mini-Cours
En géométrie euclidienne, les angles adjacents partageant un sommet et un côté commun peuvent être additionnés ou soustraits. Ici, les angles ∠BCD et ∠ACD partagent le sommet C et le côté CD. L'angle ∠ACB est donc la partie de ∠BCD qui n'est pas couverte par ∠ACD.
Remarque Pédagogique
Savoir extraire une information par simple addition ou soustraction de mesures est une compétence fondamentale. Avant de vous lancer dans des calculs complexes, vérifiez toujours si la solution ne se trouve pas dans une simple relation géométrique entre vos données initiales.
Formule(s)
Soustraction d'angles
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle total en C | ∠BCD | 75.00 | gon |
| Angle partiel en C | ∠ACD | 45.00 | gon |
Schéma (Avant les calculs)
Composition de l'angle en C
Calcul(s)
Points à retenir
L'angle inclus, nécessaire pour le théorème d'Al-Kashi, est souvent obtenu par une simple soustraction d'angles mesurés depuis le même point de station.
Résultat Final
Question 4 : Calculer la longueur de la distance inaccessible AB
Principe
C'est l'étape finale. Nous avons maintenant un nouveau triangle, ABC, pour lequel nous avons calculé les longueurs de deux côtés (AC et BC) et l'angle qu'ils forment (∠ACB). Cette configuration (deux côtés et l'angle inclus) est le cas d'application direct du Théorème d'Al-Kashi pour trouver le troisième côté, AB.
Mini-Cours
Le Théorème d'Al-Kashi (ou Loi des Cosinus) est une généralisation du théorème de Pythagore. Il fonctionne pour n'importe quel triangle. Il permet de calculer la longueur d'un côté si l'on connaît les longueurs des deux autres côtés et la mesure de l'angle compris entre eux. C'est un outil extrêmement puissant en géométrie et donc en topographie.
Remarque Pédagogique
Le problème a été résolu en "reportant" les mesures. Grâce à la base CD, nous avons pu calculer les distances AC et BC. Maintenant, nous pouvons ignorer les points C et D et nous concentrer uniquement sur le triangle ABC, comme si nous avions mesuré directement AC et BC. C'est toute la puissance de la triangulation.
Formule(s)
Théorème d'Al-Kashi appliqué au triangle ABC
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance AC | AC | 153.40 | m |
| Distance BC | BC | 88.51 | m |
| Angle inclus | ∠ACB | 30.00 | gon |
Astuces
Le terme \(2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)\) est un "terme correctif". Si l'angle ∠ACB était droit (100 gon), son cosinus serait 0, et la formule deviendrait \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), le théorème de Pythagore ! Cela peut servir de moyen mnémotechnique.
Schéma (Avant les calculs)
Isolation du Triangle Final ABC
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de \(AB^2\)
Étape 2 : Calcul de AB
Réflexions
La distance finale AB est de 74.42 m. Elle est plus courte que les deux autres côtés du triangle ABC. Cela est cohérent car l'angle qui lui est opposé, ∠ACB (30 gon), est un angle relativement petit.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente ici est d'oublier de prendre la racine carrée à la fin du calcul pour obtenir AB et non AB². Une autre erreur est de mal gérer les priorités des opérations (la multiplication avant la soustraction).
Points à retenir
Le Théorème d'Al-Kashi est la méthode de choix pour résoudre un triangle lorsque l'on connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment. C'est la conclusion logique de nombreux problèmes de triangulation.
Le saviez-vous ?
Le GPS fonctionne sur un principe similaire appelé trilatération. Au lieu de mesurer des angles, il mesure les distances (via le temps de trajet du signal) à plusieurs satellites dont la position est connue. Avec au moins 4 satellites, il peut déterminer votre position 3D sur Terre.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la distance BC était de 100 m (toutes autres valeurs calculées étant les mêmes), quelle serait la nouvelle distance AB ?
Outil Interactif : Simulateur d'Impact
Utilisez cet outil pour voir comment la longueur de la base de mesure influence la distance finale calculée AB, en gardant tous les angles constants.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la somme des angles d'un triangle en grades (gon) ?
2. Pour calculer un côté avec deux autres côtés et l'angle inclus, on utilise :
3. Dans cet exercice, si la base CD était plus longue, la distance AB calculée serait :
4. La méthode de mesure indirecte est aussi appelée :
5. Une petite erreur dans la mesure des angles aura un impact...
Glossaire
- Grade (gon)
- Unité de mesure d'angle où un angle droit mesure 100 gon et un cercle complet 400 gon. Fréquemment utilisée en topographie.
- Loi des Sinus
- Théorème de trigonométrie qui établit une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles opposés.
- Station Totale
- Instrument de topographie électronique qui mesure à la fois les angles horizontaux, verticaux et les distances.
- Théorème d'Al-Kashi
- Aussi appelé Loi des Cosinus, c'est une généralisation du théorème de Pythagore à tous les triangles. Il relie la longueur d'un côté aux deux autres et au cosinus de l'angle inclus.
- Triangulation
- Technique de topographie permettant de déterminer la position d'un point en formant des triangles à partir de points connus.
D’autres exercices de Topographie:
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