Loi des Mailles et Loi d’Ohm
Contexte : L'analyse de circuits électriques est fondamentale en électronique et en génie électrique.
Cet exercice vous guidera dans l'analyse d'un circuit en sérieUn circuit où les composants sont connectés bout à bout, de sorte que le courant n'a qu'un seul chemin à suivre. simple, en utilisant deux des lois les plus importantes de l'électricité : la Loi d'OhmRelation fondamentale liant la tension, le courant et la résistance dans un circuit (V = IR). et la Loi des MaillesAussi connue sous le nom de deuxième loi de Kirchhoff, elle stipule que la somme des tensions dans une boucle fermée est nulle. de Kirchhoff. Comprendre cette analyse de base est essentiel pour aborder des circuits plus complexes.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de circuit en étapes logiques : calculer la résistance totale, déterminer le courant global, puis trouver les tensions individuelles avant de vérifier la cohérence de vos résultats.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la Loi d'Ohm pour calculer le courant et la tension.
- Utiliser la Loi des Mailles pour vérifier la distribution des tensions.
- Calculer la résistance équivalente d'un agencement de résistances en série.
- Comprendre la notion de "chute de tension" à travers un composant.
Données de l'étude
Schéma du Circuit Électrique
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension de la source | \(V\) | 12 V |
| Résistance 1 | \(R_1\) | 100 Ω |
| Résistance 2 | \(R_2\) | 200 Ω |
| Résistance 3 | \(R_3\) | 300 Ω |
Questions à traiter
- Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit.
- Calculer le courant total (\(I\)) qui circule dans le circuit.
- Calculer la chute de tension (\(V_1\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
- Calculer la chute de tension (\(V_2\)) aux bornes de la résistance \(R_2\).
- Calculer la chute de tension (\(V_3\)) aux bornes de la résistance \(R_3\).
- Vérifier que la somme des chutes de tension est égale à la tension de la source.
Les bases de l'analyse de circuits
Pour résoudre cet exercice, trois concepts fondamentaux sont nécessaires.
1. Résistances en Série
Lorsque des résistances sont connectées en série, leur résistance totale, ou équivalente, est simplement la somme de leurs résistances individuelles.
\[ R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n \]
2. La Loi d'Ohm
Cette loi établit une relation directe entre la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)). Elle stipule que la tension aux bornes d'un composant est égale au produit du courant qui le traverse par sa résistance.
\[ V = I \cdot R \]
3. La Loi des Mailles (2ème loi de Kirchhoff)
Cette loi est une application du principe de conservation de l'énergie. Elle énonce que la somme algébrique des tensions électriques dans une boucle fermée (ou maille) d'un circuit est nulle. Autrement dit, la somme des "gains" de tension (sources) est égale à la somme des "pertes" ou "chutes" de tension (résistances, etc.).
\[ \sum V = 0 \quad \text{ou} \quad V_{\text{source}} = \sum V_{\text{chutes}} \]
Correction : Loi des Mailles et Loi d’Ohm
Question 1 : Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{\text{eq}}\))
Principe
Dans un circuit en série, le courant traverse chaque composant l'un après l'autre, ne suivant qu'un seul chemin. Chaque résistance s'oppose au passage de ce courant. La résistance totale (ou équivalente) est donc simplement l'accumulation de toutes ces oppositions individuelles.
Mini-Cours
La résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) est une résistance théorique unique qui aurait le même effet sur le circuit que l'ensemble des résistances réelles. Pour des résistances en série, le courant est constant à travers tous les éléments, et les tensions s'additionnent. C'est ce qui mène à la simple addition des valeurs de résistance.
Remarque Pédagogique
Avant tout calcul, identifiez toujours le type de connexion. Si les composants sont "en file indienne", c'est une connexion en série. L'addition est alors la bonne méthode. Cette étape de simplification est la clé pour analyser des circuits plus complexes.
Normes
Il n'y a pas de "norme" pour additionner des résistances, car c'est une loi physique fondamentale. Cependant, dans le monde réel, les ingénieurs utilisent des valeurs de résistances normalisées (comme les séries E12, E24) pour la conception, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas choisir n'importe quelle valeur.
Formule(s)
Formule de la résistance équivalente en série
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Les résistances sont "idéales", leur valeur ne change pas avec la température.
- Les fils de connexion ont une résistance nulle.
Donnée(s)
Les valeurs fournies par l'énoncé sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance 1 | \(R_1\) | 100 Ω |
| Résistance 2 | \(R_2\) | 200 Ω |
| Résistance 3 | \(R_3\) | 300 Ω |
Astuces
L'addition est commutative : l'ordre dans lequel vous ajoutez les résistances n'a pas d'importance. Pour une vérification rapide, la résistance équivalente en série sera toujours plus grande que la plus grande des résistances individuelles.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit Original
Calcul(s)
Calcul de la résistance équivalente
Schéma (Après les calculs)
Circuit Équivalent
Réflexions
Le résultat de 600 Ω signifie que notre circuit complexe se comporte, du point de vue de la source de tension, exactement comme un circuit avec une seule résistance de 600 Ω. Cette simplification est la base de l'analyse de circuit.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de mal identifier le type de circuit. Assurez-vous que les composants sont bien en série (un seul chemin pour le courant) avant d'appliquer cette formule. N'utilisez pas cette formule pour des résistances en parallèle.
Points à retenir
Pour des résistances en série : La résistance équivalente est la somme des résistances individuelles. C'est le concept le plus important de cette étape.
Le saviez-vous ?
Le concept de résistance équivalente a été développé pour simplifier l'analyse des réseaux de résistances complexes, bien avant l'avènement des calculateurs. C'est une technique puissante de modélisation.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si on ajoutait une quatrième résistance \(R_4\) de 400 Ω en série, quelle serait la nouvelle résistance équivalente ?
Question 2 : Calculer le courant total (\(I\))
Principe
La loi d'Ohm décrit la relation entre la "force" qui pousse les électrons (la tension), l' "obstacle" à leur passage (la résistance), et le "débit" d'électrons qui en résulte (le courant). En connaissant la tension totale et la résistance totale, on peut en déduire le courant total qui circulera.
Mini-Cours
La loi d'Ohm (\(V=IR\)) est la pierre angulaire de l'électricité. Le courant \(I\) est directement proportionnel à la tension \(V\) et inversement proportionnel à la résistance \(R\). Cela signifie que si la tension augmente, le courant augmente ; si la résistance augmente, le courant diminue.
Remarque Pédagogique
Pour trouver le courant TOTAL du circuit, il est essentiel d'utiliser les valeurs TOTALES : la tension TOTALE de la source et la résistance TOTALE équivalente. Ne mélangez pas une tension totale avec une résistance individuelle à cette étape.
Normes
Les normes électriques comme la CEI 60364 définissent des règles pour la protection des circuits contre les surintensités. Le calcul du courant nominal est la première étape pour choisir les dispositifs de protection adéquats (fusibles, disjoncteurs).
Formule(s)
Formule du courant (Loi d'Ohm)
Hypothèses
Nous supposons que la source de tension est "idéale", c'est-à-dire qu'elle maintient une tension constante de 12 V quel que soit le courant demandé.
Donnée(s)
Les valeurs dont nous avons besoin sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension de la source | \(V\) | 12 V |
| Résistance équivalente | \(R_{\text{eq}}\) | 600 Ω |
Astuces
Assurez-vous que vos unités sont cohérentes avant de diviser : Volts (V) divisés par Ohms (Ω) donnent des Ampères (A). Si vous aviez des kΩ, il faudrait les convertir en Ω en multipliant par 1000.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit Équivalent
Calcul(s)
Calcul du courant total
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec Courant
Réflexions
Une valeur de 0.02 A (ou 20 mA) est un courant typique pour de petits circuits électroniques. Ce courant unique traverse chaque composant du circuit série, de la source à R1, puis R2, R3, avant de retourner à la source.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'utiliser une résistance individuelle (\(R_1\), \(R_2\), ou \(R_3\)) au lieu de la résistance totale (\(R_{\text{eq}}\)) pour calculer le courant total. Le courant total dépend de l'opposition totale du circuit.
Points à retenir
Points clés : 1. Le courant total est déterminé par la tension totale et la résistance totale. 2. Dans un circuit série, ce courant est le même partout.
Le saviez-vous ?
André-Marie Ampère, qui a donné son nom à l'unité de courant, a établi les fondements de l'électrodynamique en démontrant que les courants électriques pouvaient créer des forces magnétiques, une découverte majeure du 19ème siècle.
FAQ
Une question fréquente est :
Résultat Final
A vous de jouer
En gardant \(R_{\text{eq}} = 600\,\Omega\), quel serait le courant si la tension de la source était de 24 V ?
Question 3 : Calculer la chute de tension (\(V_1\)) aux bornes de la résistance \(R_1\)
Principe
Une "chute de tension" représente la quantité d'énergie électrique "consommée" par un composant pour laisser passer le courant. D'après la loi d'Ohm, cette tension est directement proportionnelle à la résistance du composant et au courant qui le traverse.
Mini-Cours
Chaque résistance dans un circuit série crée une chute de tension. L'ensemble de ces chutes de tension se répartit la tension totale de la source. C'est le principe du "diviseur de tension" : la tension totale est divisée entre les différents composants en série.
Remarque Pédagogique
Pour trouver la tension aux bornes d'UN SEUL composant, vous devez utiliser la valeur de ce SEUL composant (\(R_1\)) et le courant qui le traverse (qui est le courant total \(I\) dans un circuit série).
Normes
Dans la conception de circuits, il est crucial de s'assurer que la tension aux bornes de chaque composant ne dépasse pas sa tension nominale maximale, spécifiée par le fabricant pour éviter tout dommage.
Formule(s)
Formule de la tension V1 (Loi d'Ohm)
Hypothèses
Nous utilisons le courant \(I=0.02\,A\) calculé précédemment, en supposant qu'il est bien constant dans toute la boucle.
Donnée(s)
Les valeurs nécessaires sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Courant Total | \(I\) | 0.02 A |
| Résistance 1 | \(R_1\) | 100 Ω |
Astuces
Puisque la tension est proportionnelle à la résistance (pour un courant donné), on peut deviner que \(R_1\) (la plus petite résistance) aura la plus petite chute de tension. C'est une bonne vérification de l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Tension aux bornes de R1
Calcul(s)
Calcul de la tension V1
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec Tension V1
Réflexions
2 Volts de la source sont "utilisés" pour faire passer le courant à travers la première résistance. Les 10 Volts restants seront répartis entre R2 et R3.
Points de vigilance
Attention à ne pas utiliser la mauvaise valeur de résistance pour ce calcul. Il est facile de se tromper et d'utiliser \(R_{\text{eq}}\) par erreur. Toujours bien vérifier quelle tension correspond à quelle résistance.
Points à retenir
Point clé : La loi d'Ohm (\(V=IR\)) s'applique aussi bien à l'ensemble du circuit qu'à chacun de ses composants individuels.
Le saviez-vous ?
Alessandro Volta, l'inventeur de la pile électrique (la "pile voltaïque"), a donné son nom à l'unité de tension. Sa pile a été la première source de courant électrique continu, ouvrant la voie à d'innombrables découvertes.
FAQ
Une question fréquente est :
Résultat Final
A vous de jouer
Si le courant dans le circuit était de 10 mA (0.01 A), quelle serait la tension \(V_1\) ?
Question 4 : Calculer la chute de tension (\(V_2\)) aux bornes de la résistance \(R_2\)
Principe
Comme pour \(R_1\), la chute de tension aux bornes de \(R_2\) dépend du courant qui la traverse et de sa propre valeur de résistance. Le principe reste l'application de la loi d'Ohm au composant individuel.
Mini-Cours
Dans un diviseur de tension, la tension aux bornes d'une résistance est proportionnelle à sa valeur par rapport à la résistance totale. Comme \(R_2\) est deux fois plus grande que \(R_1\), on s'attend à ce que sa chute de tension soit deux fois plus élevée.
Remarque Pédagogique
La méthode est identique à la question précédente. La rigueur consiste à bien identifier les bonnes valeurs à utiliser : le courant total \(I\) et la résistance \(R_2\).
Normes
Ce calcul est fondamental pour vérifier la puissance dissipée par la résistance (\(P = V \cdot I\)) et s'assurer qu'elle ne dépasse pas la puissance nominale spécifiée par le fabricant.
Formule(s)
Formule de la tension V2 (Loi d'Ohm)
Hypothèses
Nous utilisons le même courant constant de \(I=0.02\,A\).
Donnée(s)
Les valeurs nécessaires sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Courant Total | \(I\) | 0.02 A |
| Résistance 2 | \(R_2\) | 200 Ω |
Astuces
Puisque R2 (200 Ω) est le double de R1 (100 Ω), la tension V2 devrait être le double de V1. Comme V1 = 2V, on peut s'attendre à trouver V2 = 4V. C'est une excellente façon d'anticiper et de valider le résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Tension aux bornes de R2
Calcul(s)
Calcul de la tension V2
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec Tension V2
Réflexions
Le résultat de 4 V est conforme à notre astuce : il est bien le double de V1 (2 V), tout comme R2 est le double de R1. Cela montre la relation de proportionnalité directe entre résistance et chute de tension dans un circuit série.
Points de vigilance
L'erreur classique est de ne pas être systématique. Traitez chaque composant de la même manière, en appliquant rigoureusement la loi d'Ohm avec les bonnes valeurs à chaque fois.
Points à retenir
Point clé : La tension se répartit aux bornes des composants en série proportionnellement à leur résistance. Plus la résistance est élevée, plus la chute de tension est importante.
Le saviez-vous ?
Le principe du diviseur de tension est utilisé dans d'innombrables applications, par exemple pour créer une tension de référence plus basse à partir d'une tension d'alimentation plus haute, ou pour lire la valeur d'un capteur résistif (comme une photorésistance).
FAQ
Une question fréquente est :
Résultat Final
A vous de jouer
Si le courant dans le circuit était de 10 mA (0.01 A), quelle serait la tension \(V_2\) ?
Question 5 : Calculer la chute de tension (\(V_3\)) aux bornes de la résistance \(R_3\)
Principe
Une fois de plus, nous appliquons la loi d'Ohm au dernier composant du circuit, la résistance \(R_3\), en utilisant le courant total qui la traverse et sa valeur ohmique.
Mini-Cours
Puisque \(R_3\) est la plus grande résistance du circuit, elle doit dissiper le plus d'énergie et donc avoir la plus grande chute de tension à ses bornes. C'est une caractéristique fondamentale des circuits en série.
Remarque Pédagogique
La cohérence est la clé. Appliquez la même méthode que pour les questions 3 et 4. La répétition de ce processus renforce la maîtrise de la loi d'Ohm.
Normes
Comme pour les autres résistances, le calcul de V3 permet de déterminer la puissance dissipée par R3 (\(P_3=V_3 \cdot I\)) et de s'assurer qu'elle est inférieure à la puissance maximale que le composant peut supporter sans être détruit.
Formule(s)
Formule de la tension V3 (Loi d'Ohm)
Hypothèses
Le courant de \(I=0.02\,A\) reste constant tout au long du circuit.
Donnée(s)
Les valeurs nécessaires sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Courant Total | \(I\) | 0.02 A |
| Résistance 3 | \(R_3\) | 300 Ω |
Astuces
Sans faire le calcul complet, on sait que la somme des tensions doit faire 12 V. Puisque V1=2V et V2=4V, on a déjà 6V. La tension restante pour V3 doit donc être \(12V - 6V = 6V\). C'est une excellente façon de vérifier le calcul par une autre méthode.
Schéma (Avant les calculs)
Tension aux bornes de R3
Calcul(s)
Calcul de la tension V3
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec Tension V3
Réflexions
Le résultat de 6 V confirme que la plus grande résistance (\(R_3\)) a bien la plus grande chute de tension. Elle consomme à elle seule la moitié de la tension fournie par la source.
Points de vigilance
Même si vous avez utilisé une astuce pour deviner le résultat, il est important de toujours effectuer le calcul complet pour confirmer votre intuition et éviter les erreurs d'inattention.
Points à retenir
Point clé : La somme des tensions aux bornes des résistances doit être égale à la tension de la source. C'est la base de la loi des mailles que nous allons vérifier à la prochaine étape.
Le saviez-vous ?
Les anciennes guirlandes de Noël étaient souvent montées en série. Si une seule ampoule grillait (le filament se cassait), le circuit était ouvert, le courant ne pouvait plus passer et toute la guirlande s'éteignait !
FAQ
Une question fréquente est :
Résultat Final
A vous de jouer
Si le courant dans le circuit était de 10 mA (0.01 A), quelle serait la tension \(V_3\) ?
Question 6 : Vérifier que la somme des chutes de tension est égale à la tension de la source
Principe
La loi des mailles de Kirchhoff est une expression du principe de conservation de l'énergie. L'énergie fournie par la source par unité de charge (la tension V) doit être entièrement "dépensée" en traversant les composants du circuit. La somme des "dépenses" d'énergie (les chutes de tension) doit donc égaler l'apport initial.
Mini-Cours
Pour toute boucle fermée (maille) dans un circuit, si on additionne toutes les tensions en respectant un sens de parcours (par exemple, en comptant les sources comme positives et les chutes de tension comme négatives), le résultat final sera toujours zéro. C'est une loi fondamentale et universelle de l'électricité.
Remarque Pédagogique
Cette étape n'est pas un calcul pour trouver une nouvelle valeur, mais une vérification de la cohérence de tous les calculs précédents. Si l'égalité n'est pas vérifiée, cela signifie qu'une erreur a été commise dans l'une des étapes précédentes.
Normes
Cette loi fondamentale n'est pas une norme en soi, mais elle est la base de toutes les méthodes d'analyse et de simulation de circuits utilisées dans l'industrie pour garantir que les conceptions sont correctes et sûres.
Formule(s)
Formule de la Loi des Mailles
Hypothèses
Nous supposons que nos calculs précédents pour \(V_1, V_2\) et \(V_3\) sont corrects. C'est cette hypothèse que nous allons vérifier.
Donnée(s)
Nous rassemblons la tension de la source et les résultats des questions 3, 4 et 5 :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension de la source | \(V\) | 12 V |
| Chute de tension 1 | \(V_1\) | 2 V |
| Chute de tension 2 | \(V_2\) | 4 V |
| Chute de tension 3 | \(V_3\) | 6 V |
Astuces
Faites l'addition mentalement ou sur un brouillon avant de l'écrire. Une simple erreur d'inattention dans cette dernière somme peut vous faire douter de tout votre travail, alors qu'il était peut-être juste.
Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la boucle
Calcul(s)
Vérification de la somme des tensions
Schéma (Après les calculs)
Validation de la Loi des Mailles
Réflexions
Puisque la somme des chutes de tension (12 V) est exactement égale à la tension de la source (12 V), notre analyse est validée. Cela prouve que les lois d'Ohm et de Kirchhoff forment un système cohérent pour décrire le comportement du circuit.
Points de vigilance
Si la somme n'est pas égale à la tension de la source, retournez en arrière et vérifiez chaque calcul un par un, en commençant par la résistance équivalente. C'est l'erreur la plus probable.
Points à retenir
Point clé : La loi des mailles (\(\sum V = 0\)) est l'outil de vérification ultime pour l'analyse des tensions dans une boucle.
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois sur les circuits en 1845 alors qu'il n'était encore qu'étudiant. Ces lois, ainsi que ses travaux sur le rayonnement du corps noir, ont fait de lui l'un des physiciens les plus importants du 19ème siècle.
FAQ
Une question fréquente est :
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(V_1=3V\) et \(V_2=5V\) dans un circuit avec une source de 12V, combien doit valoir \(V_3\) pour que la loi des mailles soit respectée ?
Outil Interactif : Simulateur de Circuit
Utilisez les curseurs pour modifier la tension de la source et la valeur de la première résistance. Observez comment le courant total et la tension aux bornes de R1 changent en temps réel. Le graphique montre la relation entre la tension de la source et le courant qui en résulte.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la tension d'un circuit double et que la résistance reste constante, que devient le courant ?
2. Dans un circuit en série, quelle grandeur électrique est la même à travers tous les composants ?
3. La loi des mailles de Kirchhoff est une conséquence de la conservation de :
4. Quelle est la résistance équivalente de deux résistances de 100 Ω montées en parallèle ?
5. L'unité de la résistance électrique est :
- Loi d'Ohm
- Principe physique qui lie la tension (V), le courant (I) et la résistance (R) par la formule V = IR.
- Loi des Mailles
- La deuxième loi de Kirchhoff, qui énonce que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée d'un circuit est nulle.
- Circuit en Série
- Un circuit électrique dans lequel les composants sont connectés les uns à la suite des autres, formant un seul chemin pour le courant.
- Chute de Tension
- La réduction du potentiel électrique (tension) à travers un composant qui s'oppose au passage du courant, comme une résistance.
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