EGC

Interprétation d’un Essai de Traction sur Acier

Exercice : Essai de Traction sur Acier S235

Interprétation d’un Essai de Traction sur Acier

Contexte : L'essai de traction.

L'essai de traction est l'un des tests les plus fondamentaux en science des matériaux et en ingénierie de la construction. Il consiste à étirer une éprouvette d'un matériau, comme une barre d'acier, jusqu'à sa rupture afin de déterminer ses propriétés mécaniques clés. Comprendre comment lire et interpréter le graphique résultant, la courbe contrainte-déformationGraphique qui montre comment un matériau se déforme (déformation) sous l'effet d'une force appliquée (contrainte). C'est la "carte d'identité" mécanique du matériau., est essentiel pour tout ingénieur ou technicien du bâtiment. Ces propriétés garantissent que les matériaux utilisés dans nos ponts, bâtiments et autres structures sont sûrs et fiables.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes de transformation des données brutes d'un essai (force et allongement) en données exploitables (contrainte et déformation), puis à l'interprétation de la courbe pour extraire les caractéristiques essentielles de l'acier étudié.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la contrainte et la déformation à partir de mesures de force et d'allongement.
  • Tracer et interpréter une courbe contrainte-déformation pour un acier ductile.
  • Déterminer graphiquement le Module d'YoungAussi appelé module d'élasticité, il mesure la rigidité d'un matériau. C'est la pente de la partie linéaire de la courbe contrainte-déformation..
  • Identifier la limite d'élasticitéLa contrainte à partir de laquelle le matériau commence à se déformer de manière permanente (déformation plastique). et la résistance à la tractionLa contrainte maximale que le matériau peut supporter avant de commencer à s'affaiblir (striction) et de rompre..
  • Calculer l'allongement à la rupture pour évaluer la ductilitéCapacité d'un matériau à se déformer plastiquement avant de rompre. Un matériau ductile peut être étiré considérablement. du matériau.

Données de l'étude

Une éprouvette cylindrique en acier de construction S235 a été soumise à un essai de traction jusqu'à la rupture. Les dimensions initiales de l'éprouvette et les mesures de force et d'allongement sont fournies ci-dessous.

Caractéristiques de l'éprouvette
Caractéristique Symbole Valeur
Diamètre initial \(d_0\) 10 mm
Longueur initiale entre repères \(L_0\) 100 mm
Longueur ultime (après rupture) \(L_u\) 125 mm
Résultats bruts de l'essai de traction
Force Appliquée (F) [kN] Allongement (ΔL) [mm] Phase
0.0 0.00 Début
7.85 0.05 Élastique
15.7 0.10
18.5 0.12
18.8 0.25 Palier de fluage
19.2 1.50
23.6 5.00 Écrouissage
31.4 15.0
35.3 20.0
31.0 24.0 Striction
- 25.0 Rupture

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale initiale (\(A_0\)) de l'éprouvette en mm².
  2. Pour chaque point de mesure, convertir la force (F) en contrainte normale (\(\sigma\)) et l'allongement (ΔL) en déformation (\(\epsilon\)). Présenter les résultats dans un tableau.
  3. Tracer manuellement ou à l'aide d'un logiciel la courbe contrainte-déformation (\(\sigma = f(\epsilon)\)).
  4. À partir de la zone élastique de la courbe, déterminer le Module d'Young (\(E\)) de l'acier.
  5. Identifier sur le graphique la limite d'élasticité (\(R_e\)) et la résistance maximale à la traction (\(R_m\)).
  6. Calculer le pourcentage d'allongement à la rupture (\(A\%\)) et conclure sur la ductilité de l'acier.

Les bases sur l'Essai de Traction

Pour interpréter l'essai, nous devons passer des mesures de laboratoire (force, déplacement) à des propriétés intrinsèques du matériau (contrainte, déformation).

1. La Contrainte (\(\sigma\))
La contrainte normale (ou contrainte d'ingénieur) est la force appliquée (\(F\)) divisée par l'aire de la section transversale initiale de l'échantillon (\(A_0\)). Elle représente l'intensité de la force interne par unité de surface. \[ \sigma = \frac{F}{A_0} \] Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou, plus communément en ingénierie, en Mégapascals (MPa), où 1 MPa = 1 N/mm².

2. La Déformation (\(\epsilon\))
La déformation (ou déformation d'ingénieur) est le changement de longueur (allongement \(\Delta L = L - L_0\)) divisé par la longueur initiale (\(L_0\)). C'est une mesure relative de l'allongement. \[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L - L_0}{L_0} \] La déformation est sans dimension, mais elle est souvent exprimée en % (en la multipliant par 100).

3. La Loi de Hooke et le Module d'Young (\(E\))
Dans le domaine élastique, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation. Cette relation est décrite par la loi de Hooke. La constante de proportionnalité est le Module d'Young (\(E\)), qui caractérise la rigidité du matériau. \[ \sigma = E \cdot \epsilon \] Graphiquement, \(E\) est la pente de la partie droite initiale de la courbe \(\sigma-\epsilon\).

Correction : Interprétation d’un Essai de Traction sur Acier

Question 1 : Calculer l'aire de la section transversale initiale (\(A_0\))

Principe (le concept physique)

L'aire de la section initiale est une donnée géométrique fondamentale. Elle est nécessaire pour convertir la force appliquée, qui dépend des dimensions de l'échantillon, en contrainte, qui est une propriété intrinsèque du matériau. C'est la surface sur laquelle la force de traction se répartit initialement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En mécanique des matériaux, on distingue les propriétés extrinsèques (qui dépendent de la taille/forme, comme la force de rupture) des propriétés intrinsèques (qui ne dépendent que du matériau, comme la résistance). Le calcul de l'aire permet de passer de la première (Force) à la seconde (Contrainte), rendant les résultats comparables entre différents essais et éprouvettes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez toujours le temps de vérifier les dimensions de départ. Une erreur sur \(A_0\) se propage sur TOUS les calculs de contrainte qui suivent. C'est l'étape la plus simple, mais une source d'erreur fréquente si on va trop vite.

Normes (la référence réglementaire)

Bien que le calcul de l'aire soit une formule géométrique de base, les normes d'essai comme l'ISO 6892-1 (Essais de traction sur matériaux métalliques) précisent les tolérances de fabrication des éprouvettes. Cela garantit que le diamètre mesuré est fiable et que l'aire calculée est représentative de la section réelle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'aire d'un cercle

\[ A_0 = \pi \cdot r_0^2 = \pi \cdot \left(\frac{d_0}{2}\right)^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • L'éprouvette est parfaitement cylindrique et sa section est un cercle parfait.
  • Le diamètre \(d_0\) est constant sur toute la longueur utile de l'éprouvette.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

La seule donnée nécessaire est le diamètre initial de l'éprouvette.

ParamètreSymboleValeurUnité
Diamètre initial\(d_0\)10mm
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une estimation rapide, on peut approcher \(\pi\) par 3,14. Ici, \(5^2 = 25\). Donc, \(25 \times 3.14 = (25 \times 3) + (25 \times 0.14) = 75 + 3.5 = 78.5\). Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Section Transversale Initiale
d₀ = 10 mm
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule

\[ \begin{aligned} A_0 &= \pi \cdot \left(\frac{10 \, \text{mm}}{2}\right)^2 \\ &= \pi \cdot (5 \, \text{mm})^2 \\ &= 25\pi \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Résultat numérique

\[ A_0 \approx 78.54 \, \text{mm}^2 \]
Schéma (Après les calculs)
Aire de la Section Calculée
A₀ ≈ 78.54 mm²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 78.54 mm² sera le dénominateur constant pour tous nos calculs de contrainte. C'est notre référence. Une petite variation sur cette aire aurait un impact significatif sur la valeur de la limite d'élasticité et de la résistance calculées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de confondre le rayon et le diamètre dans la formule. Assurez-vous de bien diviser le diamètre par 2 avant de le mettre au carré. Une autre erreur est d'oublier de mettre le rayon au carré (\(A = \pi r^2\) et non \(\pi r\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte se calcule toujours par rapport à la section initiale \(A_0\).
  • La formule de l'aire d'un cercle est \(A = \pi \cdot (d/2)^2\).
  • Cette valeur est la clé de voûte de toute l'interprétation de l'essai.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les éprouvettes de traction ne sont pas toujours cylindriques. Pour les tôles fines, on utilise des éprouvettes plates ("os de chien") dont la section est rectangulaire. La formule pour \(A_0\) devient alors simplement : \(A_0 = \text{épaisseur} \times \text{largeur}\).

FAQ (pour lever les doutes)

Pourquoi utilise-t-on l'aire initiale \(A_0\) et non l'aire réelle qui diminue pendant l'essai ?

C'est une convention d'ingénierie. On parle de "contrainte d'ingénieur" (\(\sigma = F/A_0\)). C'est plus simple à calculer et c'est ce qui est utilisé dans les codes de construction. La "contrainte vraie" (\(\sigma_v = F/A_{\text{instantané}}\)) est utilisée en recherche et en science des matériaux, mais moins en pratique courante.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de la section transversale initiale de l'éprouvette est \(A_0 \approx 78.54\) mm².
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si une autre éprouvette avait un diamètre initial de 20 mm, quelle serait son aire \(A_0\) en mm² ?

Question 2 : Convertir les données en contrainte (\(\sigma\)) et déformation (\(\epsilon\))

Principe (le concept physique)

Cette étape consiste à transformer les données brutes de l'essai (Force, Allongement) en propriétés intrinsèques du matériau (Contrainte, Déformation). La contrainte représente la force interne par unité de surface, et la déformation représente l'allongement relatif. Cela permet de créer un graphique qui caractérise le matériau, quelle que soit la taille de l'échantillon testé.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le couple Contrainte/Déformation est au cœur de la mécanique des milieux continus. La contrainte (\(\sigma\)) est un tenseur qui décrit les efforts internes, tandis que la déformation (\(\epsilon\)) est un tenseur qui décrit comment les points du matériau se déplacent les uns par rapport aux autres. Dans cet essai de traction simple (uniaxial), nous ne considérons que les composantes principales de ces tenseurs.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La meilleure façon de réaliser cette étape sans erreur est de construire un tableau de calcul systématique. Ajoutez une colonne pour la force en N, puis une colonne pour la contrainte en MPa, et enfin une colonne pour la déformation. La rigueur dans la présentation des calculs évite les erreurs.

Normes (la référence réglementaire)

La norme ISO 6892-1 définit précisément comment calculer la contrainte et la déformation d'ingénieur à partir des mesures. Elle spécifie que \(A_0\) et \(L_0\) sont les références pour tous les calculs, ce qui justifie notre méthode.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la contrainte

\[ \sigma \, (\text{en MPa}) = \frac{F \, (\text{en N})}{A_0 \, (\text{en mm}^2)} \]

Formule de la déformation

\[ \epsilon = \frac{\Delta L \, (\text{en mm})}{L_0 \, (\text{en mm})} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

  • La force se répartit uniformément sur la section \(A_0\). Ceci est vrai loin des points d'accroche de la machine.
  • L'allongement \(\Delta L\) est mesuré précisément entre les deux repères définissant \(L_0\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons le tableau de mesures brutes de l'énoncé, ainsi que les valeurs calculées ou données précédemment :

Aire initiale \(A_0\)78.54 mm²
Longueur initiale \(L_0\)100 mm
Astuces (Pour aller plus vite)

Utilisez un tableur (Excel, Google Sheets) pour effectuer ces calculs répétitifs. Vous entrez les formules une seule fois dans la première ligne, puis vous les "étirez" vers le bas pour remplir tout le tableau instantanément. C'est rapide et beaucoup moins sujet aux erreurs de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Paramètres de l'Essai de Traction
A₀FFRepère 1Repère 2L₀ = 100(Allongement = ΔL)
Calcul(s) (l'application numérique)

Exemple de calcul de contrainte (2ème ligne)

\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{7.85 \, \text{kN} \times 1000 \, \text{N/kN}}{78.54 \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{7850 \, \text{N}}{78.54 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 100 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Exemple de calcul de déformation (2ème ligne)

\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{0.05 \, \text{mm}}{100 \, \text{mm}} \\ &= 0.0005 \end{aligned} \]

Le tableau complet des contraintes et déformations calculées est le suivant :

Force (kN)ΔL (mm)Contrainte σ (MPa)Déformation ε
0.00.0000.0000
7.850.051000.0005
15.70.102000.0010
18.50.122350.0012
18.80.252390.0025
19.21.502440.0150
23.65.003000.0500
31.415.04000.1500
35.320.04500.2000
31.024.03950.2400
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le tableau montre clairement comment la contrainte augmente avec la déformation. On remarque que pour de petites déformations (jusqu'à \(\epsilon=0.0012\)), la contrainte augmente très vite et de façon proportionnelle. Ensuite, la déformation augmente beaucoup plus vite pour une faible augmentation de contrainte (le palier de fluage).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur à éviter est la conversion des unités. N'oubliez jamais de multiplier les kiloNewtons (kN) par 1000 pour obtenir des Newtons (N) avant de diviser par l'aire en mm². Sinon, toutes vos contraintes seront 1000 fois trop faibles !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • \(\sigma = F/A_0\) et \(\epsilon = \Delta L / L_0\) sont les deux définitions fondamentales.
  • La contrainte s'exprime en MPa (N/mm²) et la déformation est sans dimension.
  • La rigueur dans les calculs et les unités est essentielle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de contrainte a été introduit par Augustin-Louis Cauchy vers 1822. Avant lui, les ingénieurs (comme Galilée) raisonnaient principalement en termes de force de rupture, ce qui rendait difficile la généralisation des calculs à des structures de tailles différentes.

FAQ (pour lever les doutes)

La déformation n'a pas d'unité, mais on la voit parfois en "mm/mm" ou en "%". Pourquoi ?

La déformation est un ratio de deux longueurs, donc ses unités s'annulent (mm/mm = 1). On l'écrit parfois pour rappeler comment elle a été calculée. L'exprimer en pourcentage (en multipliant par 100) est très courant car cela donne une idée plus intuitive de l'allongement. Une déformation de 0.25 correspond à un allongement de 25%.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les données brutes ont été converties avec succès en contraintes (MPa) et déformations (sans dimension) pour l'analyse.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour cette même éprouvette, quelle serait la contrainte (en MPa) si la machine appliquait une force de 10 kN ?

Question 3 : Tracer la courbe contrainte-déformation

Principe

La courbe contrainte-déformation est la représentation visuelle la plus importante de l'essai. Elle révèle le comportement complet du matériau sous charge, de la déformation élastique réversible à la déformation plastique permanente et jusqu'à la rupture.

Schéma (Résultat)

En reportant les valeurs de contrainte (\(\sigma\)) en ordonnée et de déformation (\(\epsilon\)) en abscisse, on obtient le graphique suivant :

Courbe Contrainte-Déformation pour l'Acier S235
εσ (MPa)1002003004004500.050.100.150.200.25RuptureRm ≈ 450 MPaRe ≈ 235 MPaPente = E

Question 4 : Déterminer le Module d'Young (\(E\))

Principe (le concept physique)

Le module d'Young, ou module d'élasticité, représente la rigidité intrinsèque du matériau. C'est sa résistance à la déformation élastique. Un matériau avec un grand \(E\) (comme l'acier) se déforme peu sous une charge donnée, tandis qu'un matériau avec un faible \(E\) (comme le caoutchouc) se déforme beaucoup.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module d'Young est lié aux forces de liaison interatomiques du matériau. Dans le domaine élastique, étirer le matériau revient à "tirer" sur ces liaisons atomiques. Plus les liaisons sont fortes, plus il faut de force pour les écarter, et plus le module \(E\) est élevé. C'est pourquoi \(E\) est une constante fondamentale pour un matériau donné.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour obtenir la meilleure estimation de \(E\), il faut tracer la droite de régression linéaire sur les points de la zone élastique. Cependant, une simple lecture de la pente entre l'origine (0,0) et le dernier point de la zone linéaire est souvent suffisante et donne une très bonne approximation, comme nous le faisons ici.

Normes (la référence réglementaire)

La norme ISO 6892-1 spécifie les méthodes pour déterminer le module d'élasticité, notamment en utilisant une régression linéaire sur la partie élastique de la courbe. La norme insiste sur la précision de l'extensomètre utilisé pour mesurer \(\Delta L\) dans cette phase, car les déformations sont très faibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la pente

\[ E = \frac{\Delta \sigma}{\Delta \epsilon} = \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{\epsilon_2 - \epsilon_1} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

  • Le comportement du matériau est parfaitement linéaire dans la première partie du chargement (Loi de Hooke).
  • Les points de mesure choisis pour le calcul sont bien situés dans cette zone linéaire.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise deux points du tableau calculé à la question 2, situés dans la zone élastique.

PointDéformation εContrainte σ (MPa)
1 (Origine)0.00000
2 (Fin de l'élasticité)0.0010200
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour l'acier, la valeur du module d'Young est presque toujours la même, autour de 200-210 GPa. Si votre calcul vous donne une valeur très différente (ex: 20 GPa ou 2000 GPa), il y a très probablement une erreur d'unité ou de calcul (souvent un facteur 1000).

Schéma (Avant les calculs)
Identification de la Pente (Module d'Young)
εσΔσΔεE = Δσ/Δε
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la pente

\[ \begin{aligned} E &= \frac{200 \, \text{MPa} - 0 \, \text{MPa}}{0.0010 - 0} \\ &= \frac{200 \, \text{MPa}}{0.0010} \\ &= 200000 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Conversion en GPa

\[ \begin{aligned} E &= 200000 \, \text{MPa} \\ &= 200 \, \text{GPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur du Module d'Young sur la Courbe
E = 200 GPaεσ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur obtenue de 200 GPa est très proche de la valeur théorique standard pour l'acier (environ 210 GPa). Cette cohérence valide la précision de nos mesures dans la zone élastique et confirme que le matériau testé se comporte comme un acier de construction typique en termes de rigidité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous de ne choisir que des points situés dans la partie strictement droite de la courbe. Utiliser un point situé après le début de la courbure (plastification) fausserait complètement le calcul et donnerait un module E beaucoup plus faible que la réalité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le Module d'Young \(E\) est la pente de la courbe \(\sigma-\epsilon\) dans sa partie linéaire.
  • \(E\) représente la rigidité du matériau.
  • Pour l'acier, \(E\) vaut environ 200 à 210 GPa (ou 200 000 à 210 000 MPa).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le module d'Young a été nommé en l'honneur de Thomas Young, un scientifique britannique du 19ème siècle qui était un polymathe : il a contribué à la physique (optique, mécanique), à la médecine (physiologie de la vision) et même à l'égyptologie (il a participé au déchiffrement de la pierre de Rosette).

FAQ (pour lever les doutes)

Est-ce que tous les aciers ont le même module d'Young ?

Oui, de manière générale. Qu'il s'agisse d'un acier de construction S235 ou d'un acier à haute résistance S460, le module d'élasticité reste remarquablement constant autour de 210 GPa. Ce qui change drastiquement d'un acier à l'autre, c'est sa limite d'élasticité (\(R_e\)) et sa résistance (\(R_m\)), mais pas sa rigidité initiale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le Module d'Young de l'acier testé est d'environ \(E = 200 \text{ GPa}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant le point (F=7.85 kN, ΔL=0.05 mm) et l'origine, recalculez E en GPa.

Question 5 : Identifier la limite d'élasticité (\(R_e\)) et la résistance maximale (\(R_m\))

Principe

\(R_e\) marque la fin du domaine élastique et le début de la déformation permanente. Pour les aciers au carbone, elle est souvent visible par un "décrochement" ou un palier. \(R_m\) est la contrainte maximale que le matériau peut supporter avant que le phénomène de striction ne commence, menant à la rupture.

Schéma (Analyse)
Identification de Re et Rm sur la Courbe
εσ (MPa)Rm = 450 MPaRe ≈ 235 MPa
Analyse Graphique

Limite d'élasticité (\(R_e\)) : On observe sur le graphique que la proportionnalité s'arrête autour de 235 MPa. Après ce point, la courbe devient quasi-horizontale (palier de fluage), indiquant une déformation plastique à contrainte quasi-constante. On prend donc la valeur au début de ce palier.
Résistance maximale (\(R_m\)) : C'est le point le plus haut de la courbe, le sommet, qui correspond à la contrainte maximale enregistrée avant que l'éprouvette ne commence à s'amincir visiblement (striction).

Résultat Final
D'après la courbe :
• La limite d'élasticité est \(R_e \approx 235\) MPa.
• La résistance maximale à la traction est \(R_m = 450\) MPa.

Question 6 : Calculer l'allongement à la rupture (\(A\%\))

Principe (le concept physique)

L'allongement à la rupture est une mesure directe de la ductilité du matériau. Il quantifie la capacité du matériau à s'étirer et à subir une déformation plastique importante avant de se rompre. C'est une mesure de sa capacité à "prévenir" avant de céder complètement, par opposition à une rupture soudaine (fragile).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La ductilité est liée aux mécanismes de glissement des plans cristallins dans la structure métallique du matériau. Dans les métaux ductiles comme l'acier, les dislocations peuvent se déplacer facilement, permettant aux grains de s'allonger et de glisser les uns par rapport aux autres. Dans un matériau fragile (comme la fonte ou le verre), ce mouvement est bloqué, et la rupture se produit par propagation rapide d'une fissure.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

En pratique, après la rupture, on rapproche les deux morceaux de l'éprouvette et on mesure la distance finale \(L_u\) entre les deux repères qui définissaient \(L_0\). C'est une mesure simple mais cruciale pour qualifier la sécurité d'un matériau structurel.

Normes (la référence réglementaire)

La norme de l'acier S235 (EN 10025) spécifie des valeurs minimales pour l'allongement à la rupture. Par exemple, pour une épaisseur donnée, un acier S235 doit avoir un allongement minimal d'environ 26%. Notre calcul permet donc de vérifier si l'échantillon est conforme aux exigences normatives.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'allongement en pourcentage

\[ A\% = \frac{L_u - L_0}{L_0} \times 100 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

  • La mesure de la longueur ultime \(L_u\) est faite en alignant soigneusement les deux moitiés de l'éprouvette rompue.
  • On suppose que la rupture s'est produite dans la zone située entre les repères de mesure.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les longueurs initiale et ultime sont issues des données de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Longueur initiale\(L_0\)100mm
Longueur ultime\(L_u\)125mm
Astuces (Pour aller plus vite)

Comme \(L_0 = 100\) mm, le calcul est direct. L'allongement \(\Delta L = L_u - L_0\) en mm est directement égal au pourcentage d'allongement. Ici, \(\Delta L = 125 - 100 = 25\) mm, donc \(A\% = 25\%\). C'est une simplification courante dans les exercices.

Schéma (Avant les calculs)
Allongement à la Rupture
Avant EssaiL₀Après RuptureLᵤ
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule

\[ \begin{aligned} A\% &= \frac{125 \, \text{mm} - 100 \, \text{mm}}{100 \, \text{mm}} \times 100 \\ &= \frac{25}{100} \times 100 \\ &= 25\% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Résultat
A% = 25%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un allongement de 25% est typique pour un acier de construction. C'est une valeur élevée qui confirme que l'acier est un matériau très ductile. Il peut donc subir de grandes déformations avant de rompre, ce qui est une propriété de sécurité essentielle en génie civil (il "prévient" avant de casser).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la longueur ultime \(L_u\) avec l'allongement maximal mesuré pendant l'essai (\(\Delta L_{\text{max}} = 24\) mm). L'allongement à la rupture se mesure sur l'éprouvette rompue et inclut l'allongement final pendant la striction, il est donc légèrement supérieur (25 mm ici).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • \(A\% = (\Delta L_u / L_0) \times 100\).
  • C'est la principale mesure de la ductilité d'un matériau.
  • Pour les aciers de construction, on attend des valeurs supérieures à 20%.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La transition ductile-fragile est un concept crucial. À très basse température, même un acier normally ductile peut se comporter de manière fragile et rompre sans déformation plastique. C'est ce qui est arrivé à de nombreux navires Liberty Ships pendant la Seconde Guerre mondiale dans les eaux froides de l'Atlantique Nord.

FAQ (pour lever les doutes)

Est-ce qu'un A% élevé est toujours une bonne chose ?

En général, oui, pour les applications structurales, car cela signifie que la structure peut se déformer et redistribuer les charges avant une rupture brutale. Cependant, pour des pièces de machine qui nécessitent une grande stabilité dimensionnelle, un allongement trop important peut être indésirable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'allongement à la rupture est de \(A\% = 25\%\). L'acier est donc bien un matériau ductile.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un autre essai sur une éprouvette avec \(L_0 = 50\) mm donne une longueur ultime \(L_u = 61\) mm. Quel est son allongement à la rupture en % ?

Outil Interactif : Explorez les Propriétés de l'Acier

Utilisez les curseurs pour modifier la limite d'élasticité et la résistance maximale de l'acier et observez comment la courbe contrainte-déformation et les performances du matériau changent. Cela vous aidera à visualiser l'impact de ces deux propriétés fondamentales.

Paramètres du Matériau
235 MPa
450 MPa
Indicateurs de Performance
Ratio \(R_m / R_e\) (Indice d'écrouissage) -
Classification de l'acier (simplifiée) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente physiquement la pente de la partie initiale et droite de la courbe contrainte-déformation ?

2. L'unité standard pour la contrainte en ingénierie des matériaux est le Mégapascal (MPa). À quoi correspond 1 MPa ?

3. Un matériau avec un grand allongement à la rupture (\(A\%\)) est considéré comme :

4. Après le palier de fluage, la contrainte dans l'acier augmente à nouveau avec la déformation. Comment s'appelle ce phénomène ?

5. Que se passe-t-il si un matériau est chargé au-delà de sa limite d'élasticité (\(R_e\)) puis déchargé ?

Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface au sein d'un matériau. Elle mesure comment les forces sont réparties à l'intérieur d'un objet.
Déformation (\(\epsilon\))
Mesure de la déformation d'un objet par rapport à sa taille initiale. C'est un ratio sans dimension.
Ductilité
Capacité d'un matériau à subir une déformation plastique importante avant de se rompre.
Écrouissage
Phénomène par lequel un matériau devient plus dur et plus résistant suite à une déformation plastique.
Limite d'élasticité (\(R_e\))
La contrainte maximale qu'un matériau peut subir avant de commencer à se déformer de manière permanente (plastique).
Module d'Young (E)
Mesure de la rigidité d'un matériau. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique.
Résistance à la traction (\(R_m\))
La contrainte maximale qu'un matériau peut supporter pendant l'essai de traction.
Striction
Réduction localisée de la section transversale d'une éprouvette qui se produit juste avant la rupture.
Exercice : Interprétation d’un Essai de Traction sur Acier

D’autres exercices de Materiaux de construction:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *