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Ferraillage d’une Semelle Isolée

Ferraillage d’une Semelle Isolée en Béton Armé

Ferraillage d’une Semelle Isolée en béton armé

Contexte : Pourquoi le calcul d'une semelle est-il différent de celui d'une poutre ?

La semelle isolée est l'élément de fondation qui transmet la charge concentrée d'un poteau au sol. Contrairement à une poutre qui est supportée à ses extrémités, la semelle est supportée par le sol sur toute sa surface et chargée en son centre par le poteau. Elle fonctionne donc comme une dalle épaisse ou une "poutre-dalle" qui fléchit vers le haut. Le sol exerce une pression répartie qui génère des moments de flexion dans la semelle. Le but du ferraillage est de coudre ces zones de traction avec des aciers, généralement sous forme d'un quadrillage en partie inférieure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à dimensionner la surface de la semelle en fonction de la capacité portante du sol (un calcul géotechnique à l'ELS), puis à calculer le ferraillage nécessaire pour résister aux moments de flexion générés par la pression du sol à l'ELU.

Objectifs Pédagogiques

  • Dimensionner une semelle à l'État Limite de Service (ELS) pour respecter la contrainte admissible du sol.
  • Calculer la pression de calcul du sol sous la semelle à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Déterminer le moment fléchissant de calcul à la face du poteau.
  • Calculer la section d'armatures nécessaire dans les deux directions.
  • Comprendre l'importance de la vérification au poinçonnement (non traitée en détail ici mais mentionnée).
  • Traduire le calcul en un plan de ferraillage pratique.

Données de l'étude

On étudie la semelle isolée carrée sous un poteau carré. La semelle doit transmettre les charges du poteau au sol sans dépasser sa capacité portante.

Schéma de la semelle isolée
N_Ed σ_sol a = 40 cm A = B

Charges, matériaux et sol :

  • Effort normal à l'ELU : \(N_{\text{Ed}} = 800 \, \text{kN}\).
  • Effort normal à l'ELS : \(N_{\text{ser}} = 580 \, \text{kN}\).
  • Contrainte admissible du sol (nette) : \(\sigma_{\text{sol,net}} = 0.20 \, \text{MPa}\).
  • Béton de classe C25/30 (\(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\)) et Acier S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\)).
  • Dimensions du poteau : carré, \(a = 40 \, \text{cm}\).
  • Hauteur de la semelle (supposée) : \(h = 45 \, \text{cm}\).
  • Enrobage des armatures : \(c = 5 \, \text{cm}\).

Questions à traiter

  1. Déterminer les dimensions de la semelle (A x B) à l'ELS.
  2. Vérifier la contrainte du sol à l'ELU.
  3. Calculer le moment fléchissant de calcul \(M_{\text{Ed,x}}\) dans une direction.
  4. Calculer la section d'armatures requise \(A_{\text{sx}}\) dans cette direction.
  5. Vérifier la condition de non-fragilité.
  6. Proposer un choix de barres et dessiner le schéma de ferraillage final.

Correction : Ferraillage d’une Semelle Isolée en béton armé

Question 1 : Déterminer les dimensions de la semelle (A x B) à l'ELS

Principe (le concept physique)
N_ser Surface A = B x L σ_sol ≤ σ_adm

Le dimensionnement de la surface de la fondation est un problème de géotechnique. Il faut s'assurer que la pression exercée par la fondation sur le sol ne dépasse pas ce que le sol peut supporter. Ce calcul se fait à l'État Limite de Service (ELS) avec les charges non pondérées, pour limiter les tassements à long terme.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte admissible du sol, \(\sigma_{\text{sol,net}}\), est une donnée fournie par l'étude de sol géotechnique. Elle intègre des facteurs de sécurité par rapport à la capacité portante réelle du sol. Le dimensionnement à l'ELS garantit que les tassements de la structure resteront dans des limites acceptables, évitant ainsi des désordres (fissures dans les murs, etc.).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Ne confondez pas les états limites ! La surface de la semelle se calcule à l'ELS (avec \(N_{\text{ser}}\) et \(\sigma_{\text{sol}}\)). Le ferraillage de la semelle, lui, se calcule à l'ELU (avec \(N_{\text{Ed}}\)). C'est une erreur classique.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 7 (NF EN 1997-1) : C'est la norme qui régit le calcul géotechnique. Elle définit les approches de calcul pour vérifier la stabilité des fondations vis-à-vis de la capacité portante du sol. La formule \(A \ge N_{\text{ser}} / \sigma_{\text{sol}}\) est une application directe de ces principes.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige le poids propre de la semelle et des terres au-dessus dans un premier temps. La contrainte admissible est supposée nette, c'est-à-dire qu'elle tient déjà compte du poids des terres excavées. On choisit une semelle carrée (A=B) pour une meilleure répartition des charges d'un poteau carré.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Surface requise de la semelle :

\[ A_{\text{req}} = \frac{N_{\text{ser}}}{\sigma_{\text{sol,net}}} \]

Dimension de la semelle carrée :

\[ A = B = \sqrt{A_{\text{req}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{\text{ser}} = 580 \, \text{kN} = 0.580 \, \text{MN}\)
  • \(\sigma_{\text{sol,net}} = 0.20 \, \text{MPa} = 0.20 \, \text{MN/m}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la surface requise :

\[ \begin{aligned} A_{\text{req}} &= \frac{0.580 \, \text{MN}}{0.20 \, \text{MN/m}^2} \\ &= 2.90 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la dimension de la semelle :

\[ \begin{aligned} A &= \sqrt{2.90 \, \text{m}^2} \\ &= 1.703 \, \text{m} \end{aligned} \]

On adopte une dimension pratique, généralement un multiple de 5 cm. On arrondit à la valeur supérieure : A = B = 1.75 m.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La dimension de 1.75m x 1.75m est une taille de fondation standard pour un poteau de bâtiment courant. La surface réelle (1.75² = 3.06 m²) est légèrement supérieure à la surface requise (2.90 m²), ce qui donne une petite marge de sécurité.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est la base de tout le design. Si la semelle est trop petite, le sol peut tasser excessivement ou même rompre, entraînant des dommages graves à la structure. Si elle est trop grande, on gaspille du béton et de l'acier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la charge ELU : Dimensionner la surface avec \(N_{\text{Ed}}\) est une erreur grave qui conduirait à une semelle sous-dimensionnée du point de vue des tassements. Le sol est un matériau dont le comportement à long terme est critique.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les sols de mauvaise qualité, une semelle isolée peut devenir très grande. On utilise alors des semelles filantes (qui relient plusieurs poteaux) ou un radier général (une dalle unique sous tout le bâtiment) pour mieux répartir les charges.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi arrondir à 1.75 m et non 1.71 m ?

Sur un chantier, il est beaucoup plus simple de coffrer des dimensions "rondes" (multiples de 5 ou 10 cm). Arrondir à 1.75 m simplifie la construction et l'implantation, tout en ajoutant une marge de sécurité bienvenue.

Résultat Final : On adopte une semelle carrée de dimensions A = B = 1.75 m.

À vous de jouer !

Question 2 : Vérifier la contrainte du sol à l'ELU

Principe (le concept physique)

Après avoir dimensionné la semelle à l'ELS, on calcule la pression réelle que le sol subira sous les charges ultimes (\(N_{\text{Ed}}\)). Cette pression de calcul, \(\sigma_{\text{Ed}}\), servira de base pour calculer les efforts de flexion dans la semelle. Ce n'est pas une vérification de la capacité portante (déjà faite à l'ELS), mais une étape de calcul pour le dimensionnement du béton armé.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'ELU (État Limite Ultime) correspond à la résistance maximale de la structure. Les charges sont majorées par des coefficients de sécurité (\(1.35G + 1.5Q\)) pour simuler le scénario le plus défavorable. La contrainte \(\sigma_{\text{Ed}}\) qui en résulte est donc la contrainte maximale que la semelle devra encaisser et redistribuer.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Cette valeur de contrainte est une "charge" pour la semelle. Imaginez la semelle comme une poutre inversée : la pression du sol est la charge répartie qui la fait fléchir vers le haut.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 0 (NF EN 1990) : Définit les combinaisons d'actions pour l'ELU. La charge \(N_{\text{Ed}}\) est issue de ces combinaisons. Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1) utilise ensuite la contrainte \(\sigma_{\text{Ed}}\) pour le calcul du ferraillage.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la semelle est rigide et que la réaction du sol est une pression uniforme. C'est une simplification acceptable pour les semelles courantes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la contrainte de calcul du sol :

\[ \sigma_{\text{Ed}} = \frac{N_{\text{Ed}}}{A \times B} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{\text{Ed}} = 800 \, \text{kN}\)
  • \(A = B = 1.75 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Application numérique pour la contrainte de calcul :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{Ed}} &= \frac{800 \, \text{kN}}{(1.75 \, \text{m}) \times (1.75 \, \text{m})} \\ &= \frac{800}{3.0625} \\ &= 261.22 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 0.261 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte à l'ELU (0.261 MPa) est logiquement plus élevée que la contrainte à l'ELS (580 / 3.0625 = 0.189 MPa). C'est cette valeur de 0.261 MPa qui va "charger" la semelle pour le calcul de son ferraillage.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul du ferraillage doit être fait avec les efforts ultimes pour garantir la sécurité contre la rupture. Il est donc indispensable de calculer la pression du sol correspondant à ces efforts ultimes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la contrainte ELS pour le calcul ELU : Une erreur serait d'utiliser la contrainte ELS pour calculer le moment de flexion. Cela sous-estimerait les efforts et conduirait à un ferraillage insuffisant.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En cas de charges excentrées (par exemple, un poteau de rive), la distribution de la pression du sol n'est plus uniforme mais trapézoïdale, voire triangulaire si l'excentricité est grande. Le calcul du moment devient alors plus complexe.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette contrainte \(\sigma_{\text{Ed}}\) ne risque-t-elle pas de faire céder le sol ?

Non, car la capacité portante du sol est vérifiée à l'ELS avec une marge de sécurité importante. La vérification à l'ELU pour le sol (non traitée ici) utilise des coefficients de sécurité sur les propriétés du sol et les charges, et est généralement moins contraignante que la vérification des tassements à l'ELS pour les fondations superficielles.

Résultat Final : La pression de calcul sous la semelle à l'ELU est \(\sigma_{\text{Ed}} = 0.261 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer !

Question 3 : Calculer le moment fléchissant de calcul \(M_{\text{Ed,x}}\)

Principe (le concept physique)

La semelle se comporte comme une console (ou "cantilever") encastrée au niveau de la face du poteau. La pression du sol \(\sigma_{\text{Ed}}\) agissant sur la partie en porte-à-faux de la semelle génère un moment de flexion maximal à la face du poteau. C'est ce moment que les armatures devront reprendre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment dans une console de longueur L soumise à une charge uniforme p est \(pL^2/2\). Ici, la "poutre" est la semelle de largeur B, la charge est \(\sigma_{\text{Ed}}\), et la longueur de la console est le débord \((A-a)/2\). Le moment total est donc (charge par mètre linéaire) x (longueur de la console)² / 2.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La section critique pour le calcul du moment est bien la face du poteau, là où l'encastrement est maximal. Ne calculez pas le moment au centre de la semelle, où il est nul par symétrie.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), § 9.8.2.2 : La norme précise que pour les semelles, la section critique pour le moment fléchissant peut être prise à la face du poteau. C'est une application des principes de la mécanique des structures.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la pression du sol \(\sigma_{\text{Ed}}\) est uniformément répartie sur toute la surface de la console, ce qui est une conséquence de l'hypothèse de semelle rigide.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le moment est calculé pour la largeur totale B de la semelle :

\[ M_{\text{Ed,x}} = (\sigma_{\text{Ed}} \times B) \times \left(\frac{A-a}{2}\right) \times \left(\frac{A-a}{4}\right) = \sigma_{\text{Ed}} \times B \times \frac{(A-a)^2}{8} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_{\text{Ed}} = 0.261 \, \text{MN/m}^2\)
  • \(A = B = 1.75 \, \text{m}\)
  • \(a = 0.40 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du moment fléchissant :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed,x}} &= 0.261 \times 1.75 \times \frac{(1.75-0.40)^2}{8} \\ &= 0.457 \times \frac{(1.35)^2}{8} \\ &= 0.457 \times \frac{1.8225}{8} \\ &= 0.104 \, \text{MN.m} \\ &= 104 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Comme la semelle est carrée (A=B) et le poteau est carré (a=b), le moment dans l'autre direction est identique : \(M_{\text{Ed,y}} = 104 \, \text{kN.m}\).

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce moment de 104 kN.m est l'effort que les aciers de la nappe inférieure devront reprendre. Il est directement proportionnel à la pression du sol et au carré du débord de la semelle.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La quantification du moment fléchissant est l'étape qui permet de passer d'un problème de géotechnique (pression du sol) à un problème de calcul de structure en béton armé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur sur le bras de levier : La force résultante de la pression du sol s'applique au milieu du débord, soit à \((A-a)/4\) de la face du poteau. Une erreur fréquente est de prendre \((A-a)/2\) comme bras de levier.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode de calcul du moment par des consoles est une simplification. En réalité, la semelle fléchit dans les deux directions comme une dalle. Pour des semelles rectangulaires très allongées, on utilise parfois des méthodes plus complexes comme la "méthode des bielles" pour mieux représenter la diffusion des efforts.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on prendre en compte le poids de la semelle dans le calcul du moment ?

Non, car on suppose que le poids propre de la semelle est directement équilibré par une partie de la réaction du sol. Seule la pression du sol nette, générée par la charge du poteau, crée la flexion dans la semelle.

Résultat Final : Le moment de calcul est de 104 kN.m dans chaque direction.

À vous de jouer !

Question 4 : Calculer la section d'armatures requise \(A_{\text{sx}}\)

Principe (le concept physique)

Comme pour une poutre, on calcule la section d'acier \(A_{\text{sx}}\) nécessaire pour équilibrer le moment fléchissant \(M_{\text{Ed,x}}\). On considère une "poutre" de largeur B (1.75m) et de hauteur h (0.45m). On calcule d'abord la hauteur utile, puis le moment réduit, le bras de levier, et enfin la section d'acier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul est mené comme pour une section rectangulaire en flexion simple. La particularité de la semelle est que la "poutre" que l'on étudie a une grande largeur (B=1.75m). Cela conduit généralement à un moment réduit \(\mu_{cu}\) très faible, indiquant que le béton travaille très peu en compression et que la rupture est très ductile.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La hauteur utile d'une semelle est calculée par rapport à la nappe d'acier considérée. Si les deux nappes (directions x et y) ont des diamètres différents, ou si l'on veut être très précis, il faudrait calculer deux hauteurs utiles légèrement différentes. Par simplification, on prend souvent la même pour les deux directions.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), § 6.1 : La méthodologie de calcul (hauteur utile, moment réduit, bras de levier, section d'acier) est identique à celle utilisée pour les poutres et dalles, car elle repose sur les mêmes principes d'équilibre de section.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On fait l'hypothèse d'un diamètre de barre de 12 mm pour calculer la hauteur utile. Ce choix initial est une estimation qui devra être cohérente avec le choix final des armatures.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hauteur utile (en supposant \(\phi=12\text{mm}\)) :

\[ d_x = h - c - \frac{\phi_x}{2} \]

Moment réduit :

\[ \mu_{\text{cu}} = \frac{M_{\text{Ed,x}}}{B \cdot d_x^2 \cdot f_{\text{cd}}} \]

Bras de levier :

\[ z = d_x \cdot \left(1 - 0.4 \left(1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{\text{cu}}})\right)\right) \]

Section d'acier :

\[ A_{\text{sx}} = \frac{M_{\text{Ed,x}}}{z \cdot f_{\text{yd}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{Ed,x}} = 0.104 \, \text{MN.m}\)
  • \(B = 1.75 \, \text{m}\)
  • \(h = 45 \, \text{cm}\) ; \(c = 5 \, \text{cm}\) ; \(\phi_x = 1.2 \, \text{cm}\)
  • \(f_{\text{cd}} = 14.17 \, \text{MPa}\) ; \(f_{\text{yd}} = 434.78 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Hauteur utile \(d_x\) :

\[ \begin{aligned} d_x &= 45 \, \text{cm} - 5 \, \text{cm} - \frac{1.2 \, \text{cm}}{2} \\ &= 39.4 \, \text{cm} \end{aligned} \]

Moment réduit \(\mu_{cu}\) :

\[ \begin{aligned} \mu_{\text{cu}} &= \frac{0.104 \, \text{MN.m}}{1.75\text{m} \times (0.394\text{m})^2 \times 14.17\text{MN/m}^2} \\ &= \frac{0.104}{3.85} \\ &= 0.027 \end{aligned} \]

\(\mu_{cu} = 0.027 < \mu_{lim}\), donc pas d'aciers comprimés.
Bras de levier \(z\) :

\[ \begin{aligned} \alpha_u &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.027}) = 0.034 \\ z &= 0.394 \times (1 - 0.4 \times 0.034) = 0.389 \, \text{m} \end{aligned} \]

Section d'acier \(A_{sx}\) :

\[ \begin{aligned} A_{\text{sx}} &= \frac{0.104 \, \text{MN.m}}{0.389 \, \text{m} \times 434.78 \, \text{MPa}} \\ &= \frac{0.104}{169.13} \\ &= 0.000615 \, \text{m}^2 \\ &= 6.15 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La section d'acier calculée est de 6.15 cm². C'est la quantité d'acier qui doit être répartie sur la largeur de 1.75m de la semelle pour reprendre le moment de flexion dans cette direction.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le cœur du calcul de ferraillage. Elle transforme un effort (le moment) en une quantité de matière (la section d'acier) nécessaire pour garantir la résistance de la semelle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la mauvaise largeur : Le moment a été calculé sur toute la largeur B de la semelle. Il faut donc bien utiliser cette même largeur B dans la formule du moment réduit, et non la largeur du poteau 'a'.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les logiciels de calcul par éléments finis modélisent la semelle comme une plaque sur des ressorts (qui simulent le sol). Cela permet d'obtenir une carte des moments fléchissants et de voir que les efforts sont plus concentrés au centre, sous le poteau.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la hauteur utile est différente pour les deux nappes d'acier ?

La première nappe (direction x) est posée en premier. La deuxième nappe (direction y) est posée par-dessus. La hauteur utile \(d_y\) est donc plus petite que \(d_x\) de la moitié du diamètre de la barre x et de la moitié du diamètre de la barre y. Par simplification, on utilise souvent la plus petite des deux hauteurs utiles pour les deux calculs, ce qui va légèrement dans le sens de la sécurité.

Résultat Final : La section d'acier requise dans chaque direction est \(A_{\text{sx}} = A_{\text{sy}} = 6.15 \, \text{cm}^2\).

À vous de jouer !

Question 5 : Vérifier la condition de non-fragilité

Principe (le concept physique)

On impose une section minimale d'armatures pour garantir une rupture ductile. Cela assure que le moment résistant de la semelle une fois fissurée reste supérieur au moment qui a provoqué la fissuration.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La rupture fragile est un mode de ruine à proscrire en génie civil. On cherche toujours à obtenir des ruptures ductiles, qui sont précédées de grandes déformations et de fissurations visibles, laissant le temps d'évacuer la structure ou d'intervenir. Imposer un ferraillage minimal garantit cette ductilité en s'assurant que c'est bien l'acier qui plastifiera en premier, et non le béton qui rompra brutalement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Cette vérification est particulièrement importante pour les éléments faiblement sollicités ou de grande dimension, comme certaines dalles ou poutres de rive. Dans ces cas, le calcul de flexion peut donner une section d'acier très faible, parfois inférieure au minimum réglementaire. Il faut alors dimensionner avec \(A_{\text{s,min}}\).

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), § 9.2.1.1 : Cette section définit la formule de calcul de l'aire d'armature minimale pour les poutres, ainsi que les conditions d'application. La formule dépend de la résistance en traction du béton \(f_{\text{ctm}}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la résistance moyenne en traction du béton \(f_{\text{ctm}}\), qui est tabulée dans l'Eurocode 2 en fonction de la classe du béton. On suppose que la section est entièrement tendue pour le calcul de la deuxième condition (terme en 0.0013).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'armature minimale :

\[ A_{\text{s,min}} = \max\left(0.26 \frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}} b_{\text{t}} d \,;\, 0.0013 b_{\text{t}} d\right) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(f_{\text{ctm}} = 2.6 \, \text{MPa}\) (pour un C25/30)
  • \(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(b_{\text{t}} = B = 175 \, \text{cm}\)
  • \(d = 39.4 \, \text{cm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la première condition d'armature minimale :

\[ \begin{aligned} A_{\text{s,min,1}} &= 0.26 \times \frac{2.6}{500} \times 175 \times 39.4 \\ &= 0.001352 \times 6895 \\ &= 9.32 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la deuxième condition d'armature minimale :

\[ \begin{aligned} A_{\text{s,min,2}} &= 0.0013 \times 175 \times 39.4 \\ &= 8.96 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

On retient \(A_{\text{s,min}} = \max(9.32, 8.96) = 9.32 \, \text{cm}^2\).
On constate que \(A_{\text{sx,calc}} = 6.15 \, \text{cm}^2 < A_{\text{s,min}}\). Le calcul est donc gouverné par la condition de non-fragilité.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le ferraillage n'est pas dicté par la force appliquée, mais par une exigence réglementaire de ductilité. C'est un cas très fréquent pour les semelles, qui sont souvent surdimensionnées en béton par rapport aux efforts qu'elles subissent.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette vérification est une exigence réglementaire fondamentale qui garantit un comportement ductile et sécuritaire de la structure, en prévenant les ruptures soudaines et imprévisibles.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas faire la vérification : L'erreur la plus grave serait de ne pas faire cette vérification du tout et de se contenter d'une section d'acier calculée très faible, ce qui est non réglementaire et dangereux.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les fibres de carbone ou de verre sont parfois utilisées en renforcement de structures existantes. Les règles de dimensionnement pour ces matériaux composites sont différentes, mais le principe de base reste le même : il faut garantir une section de renfort suffisante pour éviter une rupture fragile par décollement du renfort.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette condition s'applique-t-elle aussi aux poteaux ?

Oui, les poteaux doivent aussi respecter des pourcentages d'armatures minimales et maximales, mais les règles sont différentes de celles des poutres. Pour les poteaux, le pourcentage minimal est principalement là pour éviter les effets du fluage et assurer une robustesse, tandis que le pourcentage maximal évite d'avoir une concentration d'acier trop importante qui nuirait au bon bétonnage.

Résultat Final : La section d'acier à mettre en œuvre est la section minimale, soit \(A_s = 9.32 \, \text{cm}^2\) par direction.

À vous de jouer !

Question 6 : Proposer un choix de barres et dessiner le schéma de ferraillage

Principe (le concept physique)

L'étape finale consiste à traduire la section d'acier théorique calculée en un nombre concret de barres d'un diamètre commercial. Ce choix doit fournir une section d'acier réelle légèrement supérieure à celle requise, et permettre une mise en place facile sur chantier. Le tout est ensuite représenté sur un plan de ferraillage.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le choix du diamètre des barres est un compromis. Des petites barres rapprochées permettent un meilleur contrôle de la fissuration. Des grosses barres plus espacées sont plus rapides à mettre en place. Pour une semelle, un espacement de 15 à 25 cm est courant. Il faut aussi s'assurer que l'espacement est suffisant pour permettre le passage des granulats du béton lors du coulage.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le ferraillage d'une semelle carrée est un quadrillage de barres (une "nappe"). Comme les moments sont identiques dans les deux directions, on utilise le même ferraillage pour les deux nappes (inférieure et supérieure, qui sont en fait au même niveau bas).

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), § 8.2 : Cette section définit les diamètres de barres normalisés. Le § 8.3 traite des espacements minimaux et maximaux entre les barres pour garantir une bonne mise en œuvre et un comportement structurel adéquat.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On choisit un seul diamètre de barre pour simplifier la commande et la mise en œuvre sur chantier. On vise un espacement régulier des barres sur la largeur de la semelle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Section d'une barre :

\[ A_{\phi} = \frac{\pi \cdot \phi^2}{4} \]

Nombre de barres :

\[ n \ge \frac{A_{\text{s,requise}}}{A_{\phi}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Section requise : \(A_{\text{s,min}} = 9.32 \, \text{cm}^2\)
  • Diamètre commercial choisi : HA12 (\(\phi=12\,\text{mm}\))
Calcul(s) (l'application numérique)

Section d'une barre HA12 :

\[ \begin{aligned} A_{\phi 12} &= \frac{\pi \times (1.2\,\text{cm})^2}{4} \\ &= 1.13 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Nombre de barres nécessaires :

\[ \begin{aligned} n &= \frac{9.32 \, \text{cm}^2}{1.13 \, \text{cm}^2/\text{barre}} \\ &= 8.25 \, \text{barres} \end{aligned} \]

On arrondit au nombre entier supérieur, soit 9 barres.
Section réelle choisie : \(A_{\text{s,choisi}} = 9 \times 1.13 = 10.17 \, \text{cm}^2\).
On place donc 9 HA 12 dans chaque direction.

Schéma de ferraillage final
Plan de ferraillage de la semelle
A = 1.75 m B = 1.75 m Nappe inférieure : 9 HA 12 / sens Poteau 40x40
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le choix de 9 barres sur une largeur de 1.75m donne un espacement d'environ 20 cm, ce qui est une valeur très courante et pratique pour le ferraillage d'une semelle. Le plan de ferraillage devient alors simple à lire et à exécuter.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le pont entre l'ingénierie de conception et la construction. Un calcul, même parfait, est inutile s'il ne peut pas être traduit en un plan clair et réalisable par les équipes sur le chantier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Arrondir vers le bas : Il ne faut jamais arrondir le nombre de barres à l'inférieur, car la section d'acier mise en place serait alors inférieure à la section requise par le calcul, ce qui compromettrait la sécurité.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les armatures dans les semelles sont souvent terminées par des "crochets" ou "crosses" à 90 degrés à leurs extrémités. Cela permet d'assurer un bon ancrage des barres dans le béton, surtout près des bords de la semelle où la longueur d'ancrage droite pourrait être insuffisante.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on placer les deux nappes d'acier à la même hauteur ?

Non, elles sont superposées. La nappe inférieure (direction x) est posée en premier, puis la nappe supérieure (direction y) est posée par-dessus. Cela signifie que la hauteur utile \(d_y\) pour la nappe supérieure est légèrement plus faible que \(d_x\). Par simplification, on utilise souvent la plus petite des deux hauteurs utiles pour les deux calculs, ce qui va légèrement dans le sens de la sécurité.

Résultat Final : On choisit un ferraillage de 9 HA 12 par direction, soit une nappe de 9x9 barres HA12.

À vous de jouer !

Outil Interactif : Calculateur d'Armatures

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la section d'acier requise.

Paramètres du Projet
Résultats
Moment réduit µ_cu -
Bras de levier z (cm) -
Section d'acier As : -

Pour Aller Plus Loin : Choix des barres et disposition constructive

De la théorie à la pratique : Le calcul donne une section d'acier théorique (\(11.96 \, \text{cm}^2\)). L'étape suivante pour l'ingénieur est de la traduire en un nombre de barres réelles (par exemple, 3 HA 20 + 2 HA 14, soit \(3 \times 3.14 + 2 \times 1.54 = 12.5 \, \text{cm}^2\)). Il faut ensuite vérifier que ces barres peuvent être correctement placées dans la poutre en respectant les distances minimales d'enrobage et d'espacement, pour garantir un bon bétonnage et une bonne adhérence.

Le Saviez-Vous ?

Le concept de "béton armé" a été breveté à la fin du 19ème siècle. L'une des premières applications majeures fut par l'ingénieur François Hennebique, qui a construit des milliers de structures en utilisant son système breveté, démontrant l'incroyable potentiel de ce nouveau matériau composite et révolutionnant la construction moderne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le moment est négatif ?

Un moment fléchissant négatif (fréquent sur les appuis des poutres continues) signifie que la zone tendue est en partie supérieure de la poutre, et la zone comprimée en partie inférieure. Le principe de calcul reste exactement le même, mais les armatures principales \(A_{\text{s}}\) seront placées en haut de la poutre, et non en bas.

Doit-on toujours calculer les armatures d'effort tranchant ?

Oui, absolument. Le calcul présenté ici ne concerne que la flexion. Une poutre est également soumise à un effort tranchant, qui peut provoquer des fissures inclinées. Il est impératif de calculer et de mettre en place des armatures transversales (cadres, étriers) pour reprendre cet effort. C'est un calcul complémentaire et indispensable.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la résistance du béton (par ex. C30/37 au lieu de C25/30), la section d'acier requise \(A_{\text{s}}\) va :

2. Si le moment sollicitant \(M_{\text{Ed}}\) double, la section d'acier requise \(A_{\text{s}}\) va :

Moment Fléchissant Ultime (\(M_{\text{Ed}}\))
Le moment maximal, pondéré par les coefficients de sécurité, que la poutre doit être capable de supporter sans rupture.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des aciers tendus. C'est la dimension la plus importante pour le calcul en flexion.
Pivot A / Pivot B
Formalisme de l'Eurocode 2 décrivant les états de déformation limites d'une section. Le calcul se fait généralement en supposant que l'acier atteint sa déformation maximale (Pivot A).
Bras de Levier (z)
Distance verticale entre la résultante des forces de compression dans le béton et la résultante des forces de traction dans l'acier. Le moment résistant est le produit de ces forces par le bras de levier.
Fondamentaux du Béton Armé : Calcul des Armatures d'une Poutre

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