Études de cas pratique

EGC

Ferraillage d’une Semelle Isolée

Ferraillage d'une Semelle Isolée

Comprendre le Ferraillage d'une Semelle Isolée

Une semelle isolée est un élément de fondation superficielle qui reprend la charge d'un poteau et la transmet au sol. Sous l'effet de la charge du poteau et de la réaction du sol, la semelle est soumise à la flexion dans deux directions. Le calcul du ferraillage consiste à déterminer les sections d'acier nécessaires dans les deux nappes (inférieure x et y) pour reprendre ces moments fléchissants, selon l'Eurocode 2.

Données

Géométrie :

  • Dimensions de la semelle (carrée) : \(A = B = 1.80 \, \text{m}\)
  • Hauteur totale de la semelle : \(h = 0.40 \, \text{m}\)
  • Dimensions du poteau (carré, centré) : \(a = b = 0.30 \, \text{m}\)
  • Enrobage des aciers : \(c_{nom} = 40 \, \text{mm}\)

Sollicitations :

  • Charge verticale centrée à l'ELS : \(N_{ser} = 550 \, \text{kN}\)
  • Charge verticale centrée à l'ELU : \(N_{Ed} = 750 \, \text{kN}\)

Sol :

  • Contrainte admissible du sol à l'ELS : \(\sigma_{sol,adm} = 0.20 \, \text{MPa}\)

Matériaux :

  • Béton : Classe C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\), \(f_{cd} = \frac{f_{ck}}{1.5} = 16.67 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\), \(f_{yd} = \frac{f_{yk}}{1.15} = 435 \, \text{MPa}\))
Schéma : Vue en Plan et Coupe de la Semelle
Poteau Vue en Plan A = 1.80 m B = 1.80 m a = 0.30 m Coupe A-A N_Ed \(\sigma_{sol}\) A = 1.80 m h = 0.40 m Nappe inf. (x et y)

Questions

  1. Vérifier la contrainte sur le sol à l'État Limite de Service (ELS).
  2. Calculer la hauteur utile \(d\) pour les deux directions de ferraillage (on supposera que les barres des deux nappes ont le même diamètre).
  3. Calculer le moment fléchissant de calcul (\(M_{Ed,x}\) et \(M_{Ed,y}\)) à l'ELU au nu du poteau dans les deux directions.
  4. Calculer les sections d'acier nécessaires (\(A_{sx}\) et \(A_{sy}\)) dans les deux directions.
  5. Calculer la section d'acier minimale (\(A_{s,min}\)) requise par l'Eurocode 2.
  6. Proposer un choix de ferraillage pratique (diamètre et espacement des barres) dans chaque direction et vérifier les conditions.

Correction : Ferraillage d'une Semelle Isolée

Question 1 : Vérification de la Contrainte sur le Sol (ELS)

Principe :

La contrainte exercée par la semelle sur le sol sous charges de service (\(\sigma_{sol,ser}\)) doit être inférieure ou égale à la contrainte admissible du sol (\(\sigma_{sol,adm}\)). Pour une charge centrée, la contrainte est uniforme.

Formule :
\[\sigma_{sol,ser} = \frac{N_{ser}}{\text{Aire Semelle}} = \frac{N_{ser}}{A \times B}\] \[\sigma_{sol,ser} \le \sigma_{sol,adm}\]
Données :
  • \(N_{ser} = 550 \, \text{kN} = 550 \, 000 \, \text{N}\)
  • \(A = 1.80 \, \text{m}\)
  • \(B = 1.80 \, \text{m}\)
  • \(\sigma_{sol,adm} = 0.20 \, \text{MPa} = 0.20 \, \text{N/mm}^2 = 200 \, \text{kN/m}^2\)
Calcul :

Aire de la semelle :

\[A \times B = 1.80 \, \text{m} \times 1.80 \, \text{m} = 3.24 \, \text{m}^2\]

Contrainte sur le sol :

\[\sigma_{sol,ser} = \frac{550 \, \text{kN}}{3.24 \, \text{m}^2} \approx 169.75 \, \text{kN/m}^2\]

Vérification :

\[\sigma_{sol,ser} = 169.75 \, \text{kN/m}^2 \le \sigma_{sol,adm} = 200 \, \text{kN/m}^2 \quad (\text{OK})\]

(Conversion : \(169.75 \, \text{kN/m}^2 \approx 0.17 \, \text{MPa}\))

Résultat Question 1 : La contrainte sur le sol à l'ELS (\(\approx 0.17 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la contrainte admissible (\(0.20 \, \text{MPa}\)). Les dimensions de la semelle sont acceptables vis-à-vis du sol.

Question 2 : Calcul de la Hauteur Utile (\(d\))

Principe :

La hauteur utile \(d\) est la distance entre la fibre la plus comprimée (en général, la face supérieure de la semelle) et le centre de gravité des aciers tendus (nappe inférieure). Il faut tenir compte de l'enrobage et du diamètre des barres.

On calcule \(d_x\) et \(d_y\). Si on suppose le même diamètre \(\phi\) pour les deux nappes, la nappe inférieure (par exemple, direction x) aura une hauteur utile légèrement plus grande que la nappe supérieure (direction y).

Formule :

Pour la nappe inférieure (direction x) :

\[d_x = h - c_{nom} - \frac{\phi_x}{2}\]

Pour la nappe supérieure (direction y), placée au-dessus de la nappe x :

\[d_y = h - c_{nom} - \phi_x - \frac{\phi_y}{2}\]

Hypothèse : On ne connaît pas encore le diamètre. On peut faire une première estimation en prenant \(\phi = 12 \, \text{mm}\) (valeur courante) ou calculer \(d\) de manière approchée : \(d \approx 0.9h\).

Calculons avec \(\phi_x = \phi_y = 12 \, \text{mm}\) (cette hypothèse sera à vérifier/ajuster après le calcul de \(A_s\)).

Données :
  • \(h = 0.40 \, \text{m} = 400 \, \text{mm}\)
  • \(c_{nom} = 40 \, \text{mm}\)
  • Hypothèse : \(\phi_x = \phi_y = 12 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[d_x = 400 - 40 - \frac{12}{2} \] \[d_x = 400 - 40 - 6 \] \[d_x = 354 \, \text{mm}\] \[d_y = 400 - 40 - 12 - \frac{12}{2} \] \[d_y = 400 - 40 - 12 - 6 \] \[d_y = 342 \, \text{mm}\]

On utilise souvent une valeur moyenne ou la plus petite pour simplifier, ou on calcule séparément pour chaque direction. Prenons \(d = 345 \, \text{mm}\) comme valeur approchée pour les deux directions dans un premier temps, ou idéalement, utilisons \(d_x\) et \(d_y\) séparément.

Résultat Question 2 : En supposant des barres de \(\phi 12 \, \text{mm}\), les hauteurs utiles sont \(d_x = 354 \, \text{mm}\) et \(d_y = 342 \, \text{mm}\). On peut utiliser une valeur moyenne \(d \approx 350 \, \text{mm}\) pour une première approche ou les valeurs distinctes.

Question 3 : Calcul des Moments Fléchissants de Calcul (\(M_{Ed,x}\), \(M_{Ed,y}\))

Principe (ELU) :

Le moment est calculé au nu du poteau. On considère la réaction du sol sous la partie de la semelle en porte-à-faux par rapport au nu du poteau. La réaction du sol à l'ELU (\(\sigma_{sol,Ed}\)) est supposée uniforme et égale à la charge ELU divisée par l'aire de la semelle.

Formule :

Contrainte du sol à l'ELU :

\[\sigma_{sol,Ed} = \frac{N_{Ed}}{A \times B}\]

Distance du porte-à-faux (direction x) :

\[L_x = \frac{A - a}{2}\]

Moment au nu du poteau (direction x) : La résultante de la pression du sol sur la surface \(B \times L_x\) s'applique au centre de cette surface, soit à \(L_x/2\) du nu.

\[M_{Ed,x} = (\sigma_{sol,Ed} \times B \times L_x) \times \frac{L_x}{2} \] \[M_{Ed,x} = \sigma_{sol,Ed} \times B \times \frac{L_x^2}{2}\]

Par symétrie (semelle et poteau carrés), \(M_{Ed,y} = M_{Ed,x}\).

Données :
  • \(N_{Ed} = 750 \, \text{kN}\)
  • \(A = B = 1.80 \, \text{m}\)
  • \(a = b = 0.30 \, \text{m}\)
Calcul :

Contrainte du sol ELU :

\[\sigma_{sol,Ed} = \frac{750 \, \text{kN}}{1.80 \, \text{m} \times 1.80 \, \text{m}} \] \[\sigma_{sol,Ed} = \frac{750}{3.24} \approx 231.48 \, \text{kN/m}^2\]

Distance du porte-à-faux :

\[L_x = L_y = \frac{1.80 \, \text{m} - 0.30 \, \text{m}}{2} \] \[L_x = \frac{1.50}{2} = 0.75 \, \text{m}\]

Moment de calcul (direction x) :

\[M_{Ed,x} = (231.48 \, \text{kN/m}^2) \times (1.80 \, \text{m}) \times \frac{(0.75 \, \text{m})^2}{2}\] \[M_{Ed,x} = 231.48 \times 1.80 \times \frac{0.5625}{2} \] \[M_{Ed,x} \approx 117.19 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]

Par symétrie :

\[M_{Ed,y} = M_{Ed,x} \approx 117.19 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]
Résultat Question 3 : Les moments fléchissants de calcul au nu du poteau sont \(M_{Ed,x} = M_{Ed,y} \approx 117.2 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 4 : Calcul des Sections d'Acier Nécessaires (\(A_{sx}\), \(A_{sy}\))

Principe (ELU - Flexion Simple) :

On utilise les formules de flexion simple pour calculer la section d'acier nécessaire pour reprendre le moment \(M_{Ed}\). On calcule d'abord le moment réduit \(\mu_{cu}\) pour déterminer le pivot (a, b ou c).

Formules (EC2 - 6.1) :

Moment réduit :

\[\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b_w d^2 f_{cd}}\]

Ici, \(b_w\) est la largeur de la section considérée pour la flexion. Pour la flexion de la semelle dans la direction x, la largeur est B ; pour la flexion dans la direction y, la largeur est A.

Calcul du bras de levier \(z\). Si \(\mu_{cu}\) est inférieur à la valeur limite (environ 0.37 pour redistribution limitée), on est en pivot a ou b. On peut utiliser la formule approchée \(z \approx d (1 - 0.4 \alpha)\) ou la formule exacte issue de l'équilibre.

Formule simplifiée (souvent utilisée pour les dalles et semelles) :

\[z \approx 0.9 d \quad (\text{si } \mu_{cu} \text{ faible})\] \[A_s = \frac{M_{Ed}}{z f_{yd}}\]

Utilisons la méthode du moment réduit pour plus de précision.

Données :
  • \(M_{Ed,x} = M_{Ed,y} \approx 117.2 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 117.2 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Largeur \(B = A = 1.80 \, \text{m} = 1800 \, \text{mm}\)
  • \(d_x = 354 \, \text{mm}\), \(d_y = 342 \, \text{mm}\) (calculés à Q2)
  • \(f_{cd} = 16.67 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{yd} = 435 \, \text{MPa}\)
Calcul pour \(A_{sx}\) (largeur B, hauteur utile \(d_x\)) :
\[\mu_{cu,x} = \frac{117.2 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{1800 \, \text{mm} \times (354 \, \text{mm})^2 \times 16.67 \, \text{N/mm}^2} \] \[\mu_{cu,x} \approx \frac{117.2 \times 10^6}{3.76 \times 10^9} \] \[\mu_{cu,x} \approx 0.031\]

\(\mu_{cu,x} = 0.031\) est très faible (<< 0.37), on est en Pivot A.

Calcul de \(\alpha\) :

\[\alpha = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}}) \] \[\alpha = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.031}) \] \[\alpha \approx 0.039\]

Calcul du bras de levier \(z_x\) :

\[z_x = d_x (1 - 0.4 \alpha) \] \[z_x = 354 \, \text{mm} \times (1 - 0.4 \times 0.039) \] \[z_x \approx 354 \times 0.984 \] \[z_x = 348.3 \, \text{mm}\]

(Note: \(z_x \approx 0.984 d_x\), l'approximation \(z \approx 0.9 d\) serait un peu conservative ici).

Calcul de \(A_{sx}\) :

\[A_{sx} = \frac{M_{Ed,x}}{z_x f_{yd}} = \frac{117.2 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{348.3 \, \text{mm} \times 435 \, \text{N/mm}^2} \] \[A_{sx} \approx 773 \, \text{mm}^2\]
Calcul pour \(A_{sy}\) (largeur A, hauteur utile \(d_y\)) :

Le calcul est similaire car \(M_{Ed,y} = M_{Ed,x}\) et \(A=B\). Seul \(d\) change.

\[\mu_{cu,y} = \frac{117.2 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{1800 \, \text{mm} \times (342 \, \text{mm})^2 \times 16.67 \, \text{N/mm}^2} \] \[\mu_{cu,y} \approx \frac{117.2 \times 10^6}{3.51 \times 10^9} \] \[\mu_{cu,y} \approx 0.033\]
\[\alpha_y = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.033}) \] \[\alpha_y \approx 0.042\]
\[z_y = d_y (1 - 0.4 \alpha_y) \] \[z_y = 342 \, \text{mm} \times (1 - 0.4 \times 0.042) \] \[z_y \approx 342 \times 0.983 \] \[z_y = 336.2 \, \text{mm}\]
\[A_{sy} = \frac{M_{Ed,y}}{z_y f_{yd}} \] \[A_{sy} = \frac{117.2 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{336.2 \, \text{mm} \times 435 \, \text{N/mm}^2} \] \[A_{sy} \approx 801 \, \text{mm}^2\]

La section requise est légèrement plus grande dans la direction y car la hauteur utile est plus faible.

Résultat Question 4 : Les sections d'acier nécessaires sont :
  • Direction x : \(A_{sx} \approx 773 \, \text{mm}^2\) (pour une largeur de 1.80 m)
  • Direction y : \(A_{sy} \approx 801 \, \text{mm}^2\) (pour une largeur de 1.80 m)

Question 5 : Calcul de la Section d'Acier Minimale (\(A_{s,min}\))

Principe (EC2 - 9.2.1.1) :

Pour les éléments soumis à la flexion (comme une semelle), la section minimale d'armatures longitudinales est calculée pour éviter une rupture fragile lors de la fissuration du béton.

Formule (EC2 - Éq. 9.1N) :
\[A_{s,min} = 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b_t d \ge 0.0013 b_t d\]

Où :

  • \(f_{ctm}\) est la résistance moyenne en traction du béton.
  • \(f_{yk}\) est la limite d'élasticité caractéristique de l'acier.
  • \(b_t\) est la largeur moyenne de la zone tendue (ici, la largeur de la semelle, B ou A).
  • \(d\) est la hauteur utile moyenne ou la plus défavorable (\(d_y\)).
Données :
  • \(f_{ctm} = 2.6 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(b_t = A = B = 1800 \, \text{mm}\)
  • \(d = d_y = 342 \, \text{mm}\) (valeur la plus défavorable)
Calcul :

Calcul basé sur \(f_{ctm}\) :

\[A_{s,min,1} = 0.26 \times \frac{2.6 \, \text{MPa}}{500 \, \text{MPa}} \times (1800 \, \text{mm}) \times (342 \, \text{mm}) \] \[A_{s,min,1} \approx 832.7 \, \text{mm}^2\]

Calcul basé sur le pourcentage géométrique :

\[A_{s,min,2} = 0.0013 \times (1800 \, \text{mm}) \times (342 \, \text{mm}) \] \[A_{s,min,2} \approx 800.3 \, \text{mm}^2\]

La section minimale est le maximum des deux :

\[A_{s,min} = \max(832.7 \, \text{mm}^2; 800.3 \, \text{mm}^2) \] \[A_{s,min} = 832.7 \, \text{mm}^2\]
Résultat Question 5 : La section d'acier minimale requise par l'Eurocode 2 est \(A_{s,min} \approx 833 \, \text{mm}^2\) (pour la largeur totale de 1.80m).

Question 6 : Choix du Ferraillage Pratique et Vérification

Principe :

La section d'acier à mettre en place dans chaque direction (\(A_{s,prov}\)) doit être supérieure au maximum de la section calculée (\(A_s\)) et de la section minimale (\(A_{s,min}\)).

\[A_{s,prov,x} \ge \max(A_{sx}; A_{s,min}) \] \[A_{s,prov,x} = \max(773 \, \text{mm}^2; 833 \, \text{mm}^2) \] \[A_{s,prov,x} = 833 \, \text{mm}^2\] \[A_{s,prov,y} \ge \max(A_{sy}; A_{s,min}) \] \[A_{s,prov,y}= \max(801 \, \text{mm}^2; 833 \, \text{mm}^2) \] \[A_{s,prov,y}= 833 \, \text{mm}^2\]

Il faut donc prévoir au moins \(833 \, \text{mm}^2\) d'acier dans chaque direction, répartis sur la largeur de 1.80 m.

On choisit un diamètre et un espacement commercial. Essayons des barres HA 10.

Choix et Calcul (HA 10) :

Section d'une barre HA 10 :

\[A_{\phi 10} = \pi \frac{(10 \, \text{mm})^2}{4} \approx 78.54 \, \text{mm}^2\]

Nombre de barres nécessaires sur 1.80 m pour atteindre \(833 \, \text{mm}^2\) :

\[N_{barres} = \frac{A_{s,req}}{A_{\phi 10}} = \frac{833 \, \text{mm}^2}{78.54 \, \text{mm}^2/\text{barre}} \] \[N_{barres} \approx 10.6 \text{ barres}\]

On choisit donc 11 barres HA 10.

Section fournie par 11 HA 10 :

\[A_{s,prov} = 11 \times 78.54 \, \text{mm}^2 \] \[A_{s,prov} \approx 863.9 \, \text{mm}^2\]

Espacement des barres (10 intervalles pour 11 barres sur 1.80m, en tenant compte de l'enrobage latéral) :

Largeur disponible \(\approx 1800 - 2 \times c_{nom} - \phi = 1800 - 2 \times 40 - 10 = 1710 \, \text{mm}\). Espacement \(\approx 1710 / 10 = 171 \, \text{mm}\).

Vérification de l'espacement maximal (EC2 - 9.3.1.1(3)) : \(s_{max} \le \min(3h; 400 \, \text{mm}) = \min(3 \times 400; 400) = 400 \, \text{mm}\). L'espacement de 171 mm est OK.

Vérification du diamètre utilisé pour le calcul de d : On avait supposé \(\phi=12\). Avec \(\phi=10\), d serait légèrement plus grand, donc le calcul est conservatif. OK.

Résultat Question 6 : Un ferraillage pratique consiste à disposer **11 barres HA 10** dans chaque direction (x et y), soit une section \(A_{s,prov} = 864 \, \text{mm}^2\) par direction.
  • \(A_{s,prov} = 864 \, \text{mm}^2 \ge A_{s,req} = 833 \, \text{mm}^2\) (OK)
  • L'espacement (\(\approx 17 \, \text{cm}\)) est inférieur à l'espacement maximal autorisé.
Le ferraillage retenu est donc : Nappe inférieure : **11 HA 10 espacés de 17 cm (direction x) et 11 HA 10 espacés de 17 cm (direction y)**.
Ferraillage d'une Semelle Isolée en Béton Armé

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