Projet Résidence "Le Belvédère"
1. Contexte de la mission
A. Présentation de l'Ouvrage
Le projet "Le Belvédère" est un ensemble immobilier de standing situé en périphérie de Montpellier. Il s'agit d'un bâtiment en R+5 (Rez-de-chaussée + 5 étages) comportant également un niveau de sous-sol complet destiné au stationnement. La structure est mixte : voiles en béton armé pour les façades et les cages d'escalier (contreventement), et structure poteaux-poutres pour les espaces intérieurs afin de permettre une flexibilité d'aménagement des appartements.
Le sous-sol impose une excavation d'environ 3.00 mètres de profondeur. Les fondations seront donc ancrées dans le "bon sol" géotechnique identifié à cette cote, à l'abri des variations hydriques de surface (dessiccation/réhydratation des argiles).
B. Votre Rôle : Projeteur Structure
Vous intégrez l'équipe du Bureau d'Études Structures (BET) en phase d'Exécution (EXE). Les plans d'architecte sont figés, et le permis de construire est obtenu. Votre responsabilité est désormais de produire les documents techniques qui serviront directement à la construction sur le chantier.
Vous avez la charge spécifique de la Semelle Isolée S1. Ce n'est pas un choix anodin : située sous le poteau central P1, elle reprend les charges cumulées de la toiture-terrasse inaccessible, des 5 niveaux d'habitation et du plancher haut du sous-sol. C'est l'élément de fondation le plus sollicité de l'ouvrage (la "file critique"). Si cette semelle est mal dimensionnée, les risques de tassements différentiels pourraient fissurer la structure de tout l'immeuble.
Fiche d'Identité du Projet
- 📍 Localisation : Montpellier (Hérault - 34).
- 🌍 Contexte Sismique : Zone 2 (Faible) selon l'Eurocode 8.
- 🏢 Maîtrise d'Ouvrage : SCI Le Belvédère (Promoteur privé).
- 📐 Maîtrise d'Œuvre : Studio Omega (Architecte DPLG).
- 🔍 Contrôle Technique : Bureau Veritas (Mission L+S).
- 🏗️ Géotechnique : Sol type "Marnes bleues compactes".
- 📉 Capacité Portante : \(\bar{\sigma}_{sol} = 0.25 \text{ MPa}\) (ELS).
⚠️ Enjeux & Risques
1. Poinçonnement du sol : La charge est très élevée (700 kN à l'ELS) sur une surface ponctuelle. Le risque principal est que la semelle s'enfonce brutalement dans le sol.
2. Rupture du béton : La semelle subit une flexion importante dans les deux directions. Sans acier suffisant, elle casserait net en son centre sous l'effet du "poinçon" formé par le poteau.
3. Durabilité : Étant enterrée, la fondation est soumise à l'agressivité chimique du sol. L'enrobage des aciers est un point de vigilance absolu.
Note de service (Ingénieur Principal) : "Attention, nous sommes en phase d'exécution. Les dimensions que vous allez calculer serviront à fabriquer le coffrage sur le chantier. Soyez précis sur les arrondis (toujours au multiple de 5cm supérieur) et vérifiez rigoureusement la condition de non-poinçonnement du sol."
2. Cahier des Charges & Définition des Livrables
La mission qui vous est confiée est contractuelle. Elle consiste à produire une Note de Calculs Justificative qui devra être validée par le Bureau de Contrôle avant tout coulage de béton. Voici le détail exhaustif de ce qui est attendu pour l'élément S1 :
L'objectif : Déterminer la surface de contact au sol \((A \times B)\).
La règle : La pression exercée par la fondation sur le sol ne doit jamais dépasser la contrainte admissible \(\bar{\sigma}_{sol}\) fournie par le géotechnicien.
Le piège à éviter : Faire ce calcul à l'ELU (État Limite Ultime). Pour le sol, on travaille toujours à l'ELS (État Limite de Service) car le critère dimensionnant est le tassement (déformation) et non la rupture brutale du sol.
L'objectif : Fixer la hauteur totale \(h\) de la semelle.
La règle : Nous cherchons à concevoir une semelle "rigide". Cela signifie que la semelle ne se déforme pas en banane, mais reste plate. Cela permet d'utiliser la méthode de calcul simplifiée des bielles et d'éviter de devoir mettre des aciers verticaux (étriers) complexes à poser.
Le critère : La condition géométrique \(d \ge \frac{A-a}{4}\) doit être strictement respectée.
L'objectif : Calculer la quantité d'acier \(A_s\) (en cm²) pour "coudre" le béton en partie basse.
La règle : Le béton résiste très bien à la compression mais casse en traction. Sous l'effet de la charge, la semelle tend à s'écarter à sa base. L'acier doit reprendre 100% de cet effort de traction.
La méthode : Utilisation de la méthode des bielles à l'ELU (charges majorées pour la sécurité).
L'objectif : Traduire les calculs en un plan lisible par le ferrailleur.
Les détails cruciaux :
• Choix commercial des barres (diamètres standards : 10, 12, 14, 16 mm).
• Espacement entre barres (pour permettre le passage du béton).
• Forme des ancrages (crosses) pour que les barres ne glissent pas.
• Respect de l'enrobage (35mm) pour la durabilité.
🎥 Principe Mécanique : Le "Bulbe de Pression"
Ce schéma coupe montre comment la charge ponctuelle du poteau se diffuse dans le sol (cône de diffusion à 45° environ) et comment la semelle travaille en flexion inversée.
3. Données Techniques & Analyse du Cahier des Charges
Cette section regroupe l'ensemble des paramètres d'entrée nécessaires à l'étude. Ces données proviennent de trois sources distinctes : le rapport d'étude de sol (G2 AVP), les plans de structure (coffrage) établis par l'architecte, et le CCTP (Cahier des Clauses Techniques Particulières) qui fixe les règles du jeu contractuelles. Une lecture attentive est indispensable pour ne pas commettre d'erreur d'interprétation.
EXTRAIT DU CCTP - LOT 01 GROS ŒUVRE (Indice B)
Les ouvrages de fondations superficielles seront réalisés en béton armé de classe de résistance minimale C25/30 selon la norme NF EN 206-1.
• Justification : Cette classe garantit une résistance caractéristique à la compression de 25 MPa sur cylindre à 28 jours, adaptée aux environnements modérément agressifs.
• Composition : Ciment CEM II 32.5, dosage minimum 350 kg/m³. Granulats Dmax = 20mm pour assurer un bon enrobage.
L'entreprise utilisera exclusivement des aciers Haute Adhérence (HA) de nuance B500B.
• Caractéristique clé : Limite élastique \(f_{yk} = 500\) MPa.
• Ductilité : Classe B (recommandée pour la redistribution des efforts).
• Façonnage : Tous les cadres et étriers seront fermés par des crochets normalisés à 135°.
Conformément à l'Eurocode 2 (Tableau 4.4N) pour les fondations coulées sur béton de propreté, l'enrobage nominal des armatures sera strictement de \(c_{nom} = 35\) mm.
• Note chantier : L'utilisation de cales d'enrobage en béton ou plastique agréé est obligatoire (4 par m²). Le coulage à même la terre est interdit (risque de corrosion immédiate).
A. Analyse des Contraintes Environnementales & Réglementaires
Le dimensionnement ne dépend pas uniquement des charges, mais aussi de l'environnement physique de l'ouvrage. Voici les paramètres qui influencent directement les coefficients de sécurité et la durabilité :
-
Référentiel de Calcul : Eurocode 2 + DTU 13.1
L'Eurocode 2 régit le calcul du béton armé (résistance des matériaux), tandis que le DTU 13.1 (Document Technique Unifié) impose les règles de mise en œuvre spécifiques aux fondations superficielles (profondeur hors gel, dispositions de ferraillage minimales). -
Classe d'Exposition : XC2 (Humide, rarement sec)
Les fondations sont enterrées et soumises à l'humidité des sols. Le risque de carbonatation est faible mais le risque de corrosion existe si l'enrobage est insuffisant. C'est ce paramètre qui impose les 35mm d'enrobage minimum, contre 25mm en intérieur.
B. Caractéristiques Mécaniques des Matériaux
Pour les calculs aux États Limites (ELU), nous n'utilisons pas la résistance théorique du matériau, mais une valeur de calcul minorée par un coefficient de sécurité partiel (\(\gamma\)) qui couvre les incertitudes de fabrication.
| Matériau | Notation | Valeur Caractéristique (Labo) | Coeff. Sécurité (\(\gamma\)) | Valeur de Calcul (ELU) | Commentaire |
|---|---|---|---|---|---|
| Béton C25/30 | \(f_{ck}\) | 25 MPa | \(\gamma_c = 1.5\) | \(f_{cd} = \frac{25}{1.5} \approx 16.67\) MPa | Résistance en compression fiable à 95% |
| Acier B500B | \(f_{yk}\) | 500 MPa | \(\gamma_s = 1.15\) | \(f_{yd} = \frac{500}{1.15} \approx 435\) MPa | Limite élastique avant déformation plastique |
C. Données Géométriques (Interface Structure)
La semelle S1 supporte le poteau P1 situé à l'intersection des files A et 1. La géométrie du porteur impose la géométrie de départ de la fondation.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Implication pour le calcul |
|---|---|---|---|
| Largeur Poteau | \(a\) | 0.30 m | Poteau carré \(\rightarrow\) La semelle sera préférentiellement carrée (homothétie des dimensions) pour optimiser la répartition des pressions au sol. |
| Longueur Poteau | \(b\) | 0.30 m |
D. Bilan des Charges & Géotechnique
C'est la partie critique. Le bureau d'études géotechniques a défini la contrainte admissible du sol. Si nous dépassons cette valeur, le bâtiment risque de s'enfoncer ou de basculer. Les charges proviennent de la descente de charges cumulée depuis la toiture jusqu'au RDC.
| DONNÉES DE CHARGEMENT (POTEAU P1) | |||
|---|---|---|---|
| Charge Permanente G | 0.500 MN (500 kN) | Nature de G | Poids propre (Béton), Façades, Revêtements |
| Charge Exploitation Q | 0.200 MN (200 kN) | Nature de Q | Personnes, Meubles, Cloisons mobiles |
| Contrainte Sol ELS | 0.25 MPa | Type de Sol | Marnes bleues compactes (Incompressible) |
Vue en Plan (Principe)
Coupe A-A (Principe)
Modélisation : Méthode des Bielles
Comprendre le modèle : Dans une semelle rigide, la charge ne se diffuse pas comme dans une poutre en flexion. Elle "descend" directement vers les coins via des bielles de béton comprimé (en bleu). Cette compression oblique tend à écarter les appuis (comme un grand écart), créant une force de traction horizontale très importante à la base : c'est le rôle de l'acier (le tirant rouge) de reprendre cet effort pour empêcher la semelle de s'ouvrir.
E. Descente de Charges & Combinaisons
Le calcul des fondations nécessite deux vérifications distinctes avec des combinaisons de charges différentes. Il est crucial de ne pas les mélanger.
| État Limite | Objectif | Formule de Combinaison | Calcul pour P1 |
|---|---|---|---|
| ELS (Service) | Vérifier le sol (Tassements) | \(N_{ser} = G + Q\) | \(0.50 + 0.20 = \mathbf{0.70 \text{ MN}}\) |
| ELU (Ultime) | Dimensionner le Béton Armé (Rupture) | \(N_{u} = 1.35G + 1.5Q\) | \(1.35(0.50) + 1.5(0.20) = \mathbf{0.975 \text{ MN}}\) |
F. Méthodologie d'étude : Le plan de bataille
Pour mener à bien ce dimensionnement, nous allons procéder par étapes logiques et séquentielles :
- Géométrie (ELS) : Nous commencerons par déterminer la surface au sol \((A \times B)\). Pourquoi ? Parce que c'est le sol qui dicte sa loi. On ne peut pas calculer le béton tant qu'on ne sait pas quelle surface est nécessaire pour ne pas enfoncer le terrain.
- Hauteur (Rigidité) : Une fois la largeur \(A\) connue, nous fixerons la hauteur \(h\) de la semelle. Nous utiliserons la condition de rigidité pour s'assurer que la semelle est assez trapue pour appliquer la méthode des bielles (plus simple et plus sûre).
- Aciers (ELU) : Enfin, connaissant la géométrie et l'effort ultime, nous calculerons la section d'acier \(A_{\text{s}}\) nécessaire pour "coudre" la base de la semelle et reprendre la traction.
- Plan d'Exécution : Nous synthétiserons tout cela dans un plan clair pour le chantier.
Analyse technique : Ferraillage fondation en béton armé (Semelle S1)
Question 1 : Détermination des dimensions en plan (A x B)
1. Principe Physique & Mécanique
Le rôle premier d'une fondation superficielle est de transmettre les charges du bâtiment au sol sans que celui-ci ne cède. Imaginez le sol comme une éponge un peu dure. Si vous appuyez dessus avec une aiguille (le poteau), vous la transpercez (poinçonnement). Si vous appuyez avec la paume de la main (la semelle), la force est répartie et l'éponge résiste.
L'objectif est donc de trouver la surface de "paume" (la surface \(S = A \times B\)) minimale nécessaire pour que la pression exercée soit inférieure à la résistance de l'éponge (la contrainte admissible du sol).
2. Mini-Cours : Pourquoi l'ELS et pas l'ELU ?
Le paradoxe du Géotechnicien :
En béton armé, on dimensionne souvent à l'ELU (État Limite Ultime) pour éviter que la poutre ne casse. Mais pour le sol, la rupture brutale est rare. Le vrai danger, c'est le tassement (l'enfoncement lent).
Si le sol s'affaisse de 2 cm sous une fondation et pas sous l'autre, le bâtiment se fissure, les portes coincent, les vitres explosent. C'est un problème de "Service". C'est pourquoi, pour dimensionner la surface au sol, on utilise les charges de service (ELS : non pondérées) et une contrainte de sol admissible (\(\bar{\sigma}_{sol}\)) qui inclut déjà une grosse marge de sécurité (souvent facteur 3) pour limiter ces tassements.
3. Normes & Références
Le dimensionnement respecte le DTU 13.1 (Fondations superficielles) et l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique). Ces textes imposent de vérifier que la contrainte appliquée est strictement inférieure à la contrainte admissible déterminée par l'essai de sol (pressiomètre ou pénétromètre).
4. Analyse des Formules
La Condition Fondamentale de Portance
La formule de base est une simple pression : \( \text{Pression} = \frac{\text{Force}}{\text{Surface}} \).
Inéquation de vérification
Où :
• \(\sigma_{\text{sol}}\) est la contrainte réelle appliquée par notre semelle.
• \(N_{\text{ser}}\) est la charge totale descendue du bâtiment (G + Q).
• \(S\) est la surface de la semelle (\(A \times B\)).
• \(\bar{\sigma}_{\text{sol}}\) est la "limite de vitesse" autorisée par le sol.
Pour trouver la surface, on transforme l'inéquation :
Surface minimale requise
5. Hypothèses de Travail
Pour mener ce calcul préliminaire, nous posons les hypothèses suivantes :
- Poids propre négligé : Le poids du béton de la semelle est souvent compensé par le poids des terres qu'on a enlevées pour creuser la fouille. On considère donc en première approche que \(N_{ser}\) suffit.
- Charge centrée : On suppose que le poteau appuie pile au milieu de la semelle. Si ce n'était pas le cas, la pression ne serait pas uniforme (diagramme triangulaire) et le calcul serait plus complexe.
- Semelle Homothétique : Le poteau est carré, donc la semelle sera carrée pour que les débords soient égaux de chaque côté.
6. Données d'Entrée
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité SI | Origine |
|---|---|---|---|---|
| Charge Permanente | \(G\) | 0.500 | MN | Descente de charges |
| Charge Exploitation | \(Q\) | 0.200 | MN | Descente de charges |
| Contrainte Sol | \(\bar{\sigma}_{\text{sol}}\) | 0.25 | MPa (MN/m²) | Rapport de Sol G2 |
7. Astuces de Calcul
Le piège des unités : La contrainte de sol est souvent donnée en "bars" par les anciens ou en "kPa". Pour le calcul, l'unité reine est le MPa (Mégapascal).
Rappel magique : \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ MN/m}^2\).
Si vous avez vos forces en MN et votre sol en MPa, le résultat sortira directement en m². Pas de conversion compliquée !
8. Schémas : Situation Initiale
Le Problème Posé
9. Résolution Détaillée Pas à Pas
Étape A : Calcul de la charge de service (Nser)
On additionne simplement les charges permanentes et d'exploitation sans coefficient de majoration (car nous sommes à l'ELS).
Étape B : Calcul de la surface minimale théorique
On applique la formule \(S \ge N / \sigma\). On divise la force totale par la résistance unitaire du sol.
Cela signifie que si la semelle fait moins de 2.80 m², elle s'enfoncera dangereusement.
Étape C : Détermination du côté A
Puisque la semelle est carrée, sa surface est \(S = A \times A = A^2\). Pour retrouver le côté \(A\), on prend la racine carrée.
Étape D : Normalisation (Arrondi chantier)
Sur un chantier, on ne coffre pas au millimètre. Les banches et planches de coffrage sont modulaires. Il est d'usage d'arrondir les dimensions des fondations au multiple de 5 cm supérieur.
Si on prenait 1.65 m, la surface serait \(1.65^2 = 2.72 \text{ m}^2\), ce qui est inférieur à 2.80 m² (NON CONFORME).
On passe donc à la dimension supérieure.
Étape E : Vérification finale
On recalcule la surface réelle avec la dimension arrondie pour être sûr.
Conclusion : \(2.89 \text{ m}^2 > 2.80 \text{ m}^2\). La condition est vérifiée avec une petite marge de sécurité supplémentaire.
10. Schémas : Validation
La Solution Retenue
11. Réflexions & Analyse Critique
Le ratio \(S_{réelle} / S_{min} = 2.89 / 2.80 = 1.03\). Nous avons 3% de marge de sécurité supplémentaire due à l'arrondi. C'est économiquement très satisfaisant (on ne gaspille pas de béton) tout en étant techniquement sûr.
12. Points de vigilance
Attention au "Gros Béton" : Si le bon sol est plus profond que prévu (par exemple à -3.50m au lieu de -3.00m), on ne coule pas une semelle plus épaisse ! On remplit le vide avec du "Gros Béton" (béton cyclopéen bon marché) jusqu'à la cote sous-semelle, et on pose la semelle dessus. La dimension A x B reste la même.
13. Points à Retenir
Pour cette étape, mémorisez la séquence :
- Sol = Service (ELS).
- Pression = Force / Surface.
- On arrondit toujours les coffrages vers le haut (module 5cm).
14. Le saviez-vous ?
La Tour de Pise penche non pas à cause d'un défaut de la pierre, mais à cause d'un sous-dimensionnement de la surface de fondation sur un sol argileux compressible. La pression exercée était supérieure à la limite élastique du sol d'un côté, créant un tassement différentiel historique !
15. FAQ (Foire Aux Questions)
Et si mon poteau est rectangulaire (ex: 30x50) ?
Dans ce cas, pour que les débords soient constants (optimisation des aciers), on choisit une semelle rectangulaire telle que \(B - A = b - a\). On résout le système d'équations pour trouver A et B.
Le poids de la semelle est-il vraiment négligeable ?
Oui et non. Dans une note précise, on ajoute le poids propre de la semelle (\(25 \text{ kN/m}^3 \times \text{Volume}\)) aux charges. Cependant, comme on enlève de la terre (\(\approx 18 \text{ kN/m}^3\)) pour mettre du béton à la place, le surcoût de poids est faible. La marge prise sur la contrainte de sol couvre largement cette différence en pré-dimensionnement.
A vous de jouer
Si la contrainte du sol était plus faible, disons 0.20 MPa, quelle serait la surface minimale ?
📝 Mémo technique
"Qui peut le plus peut le moins" : Une surface plus grande réduit la contrainte. Une surface plus petite l'augmente dangereusement.
Question 2 : Détermination de la hauteur (Condition de rigidité)
1. Principe Physique & Mécanique
La hauteur d'une fondation n'est pas choisie au hasard pour des raisons esthétiques (elle est enterrée !). Elle détermine le mode de fonctionnement mécanique de la semelle.
Deux cas de figure existent :
1. Semelle Souple (plate) : Elle se plie comme une planche de plongeoir. Le béton risque de cisaller (couper) près du poteau. Il faut mettre beaucoup d'aciers verticaux (étriers) pour "coudre" les fissures. C'est long et cher à fabriquer.
2. Semelle Rigide (trapue) : C'est un bloc massif. La charge "coule" directement du poteau vers le sol via des bielles de compression inclinées. Le béton adore la compression ! Pas besoin d'aciers verticaux, juste une nappe en bas pour tenir l'écartement. C'est ce que nous cherchons.
2. Mini-Cours : La Règle des Bielles
L'angle magique :
Pour que la méthode des bielles fonctionne (et donc pour éviter les étriers), l'inclinaison de la force de compression dans le béton doit être comprise entre 45° et 55°. Si la semelle est trop plate, l'angle est trop faible, la bielle s'écrase et le modèle ne tient plus.
Mathématiquement, cela se traduit par une condition géométrique simple : la hauteur utile \(d\) doit être au moins égale au quart de la largeur de la semelle (moins la largeur du poteau).
3. Normes & Références
Le DTU 13.1 privilégie l'usage de semelles rigides pour les bâtiments courants car elles sont plus sûres et moins sujettes aux erreurs d'exécution (pas de cadres complexes à façonner).
4. Analyse des Formules
Condition de Rigidité
Où :
• \(d\) est la hauteur utile : distance entre le dessus de la semelle et le centre de gravité des aciers du bas (c'est la hauteur qui "travaille").
• \(A\) est la largeur de la semelle (1.70 m).
• \(a\) est la largeur du poteau (0.30 m).
• Le terme \((A-a)\) représente la largeur totale des deux débords.
Hauteur Totale de Coffrage
Pour couler le béton, on a besoin de la hauteur totale \(h\), qui inclut l'enrobage \(c_{\text{nom}}\) pour protéger les aciers.
5. Hypothèses de Travail
- Enrobage : 35 mm (conforme CCTP pour sol non agressif), souvent arrondi à 5 cm pour le calcul de hauteur totale pour simplifier le coffrage.
- Dimensions : On repart des dimensions validées à la Question 1 (\(A=1.70\) m).
6. Données d'Entrée
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur Semelle | \(A\) | 1.70 | m |
| Largeur Poteau | \(a\) | 0.30 | m |
| Enrobage | \(c_{\text{nom}}\) | 0.05 | m (pratique) |
7. Astuces de Calcul
Le débord : La valeur \(\frac{A-a}{2}\) correspond au "débord", c'est-à-dire la partie de la semelle qui dépasse du poteau. C'est comme le bras d'un levier. Plus le débord est grand, plus la semelle doit être haute pour ne pas casser.
8. Schémas : Situation Initiale
Coupe Technique - Inconnue
9. Résolution Détaillée Pas à Pas
Étape A : Calcul du débord (Bras de levier)
Calculons la longueur de la partie en porte-à-faux.
Nous avons 70 cm de béton qui dépassent de chaque côté du poteau.
Étape B : Calcul de la hauteur utile minimale (d)
On applique la condition de rigidité : \(d \ge \frac{A-a}{4}\).
Il faut donc au moins 35 cm de matière active (béton comprimé) pour transférer la charge correctement.
Étape C : Calcul de la hauteur totale (h)
La hauteur utile \(d\) s'arrête au centre des aciers. Il faut ajouter du béton en dessous pour les protéger (enrobage).
Le CCTP impose \(c_{nom} = 35\) mm. Pour faciliter le calcul de coffrage et garder une marge de sécurité (tolérance de pose des aciers), on prend souvent \(h = d + 0.05 \text{ m}\).
Étape D : Vérification et Normalisation
La hauteur trouvée est 40 cm. C'est un multiple de 5 cm, ce qui est parfait pour le coffrage.
Vérifions la condition stricte avec l'enrobage réel (35mm = 0.035m) :
\(d_{\text{réel}} = h - c = 0.40 - 0.035 = 0.365 \text{ m}\).
\(0.365 > 0.35\) (le minimum requis). La condition est validée.
10. Schémas : Validation
Solution Retenue (Coffrage)
11. Réflexions & Analyse Critique
Une hauteur de 40 cm pour une largeur de 1.70 m donne une semelle assez "plate" visuellement, mais mécaniquement très robuste. Si nous avions trouvé une hauteur de 80 cm, il aurait fallu réfléchir à une semelle "glacis" (forme trapézoïdale) pour économiser le béton, mais pour 40 cm, une forme parallélépipédique (bloc rectangle) est plus économique en main d'œuvre.
12. Points de vigilance
L'erreur classique : Confondre hauteur utile \(d\) et hauteur totale \(h\). Si vous coffrez à \(h=35\) cm (la valeur de \(d\)), alors votre \(d\) réel sera de \(30\) cm (après avoir enlevé l'enrobage). Votre semelle sera trop souple et risque de fissurer par cisaillement !
13. Points à Retenir
Pour cette étape, mémorisez :
- La condition de rigidité permet de ne pas calculer d'étriers.
- La formule magique est "Le quart de la largeur active".
- Toujours ajouter l'enrobage (5cm) à la hauteur utile calculée.
14. Le saviez-vous ?
Pourquoi pas de béton seul ? Autrefois, on faisait des massifs en béton non armé ou en maçonnerie. Mais pour reprendre la traction sans acier, il fallait une hauteur énorme (angle de diffusion de 60° soit \(h \approx 2 \times\) le débord). Pour notre semelle, il aurait fallu \(h \approx 1.40\) m de béton ! L'acier permet de réduire cette hauteur à 40 cm.
15. FAQ (Foire Aux Questions)
Puis-je faire une semelle plus haute que 40 cm ?
Oui, absolument. "Qui peut le plus peut le moins". Une semelle de 50 cm sera encore plus rigide. Cependant, cela consomme plus de béton inutilement et alourdit la fondation.
Et si je suis obligé de faire moins haut (ex: 30 cm) ?
Alors la condition de rigidité n'est plus vérifiée. Vous entrez dans le domaine des semelles souples. Vous devez calculer les contraintes de cisaillement et ajouter des aciers verticaux (étriers) pour coudre les fissures potentielles. C'est beaucoup plus complexe.
A vous de jouer
Si le poteau faisait 50cm de large (au lieu de 30cm), la hauteur nécessaire augmenterait-elle ou diminuerait-elle ?
📝 Mémo technique
"Plus le poteau est large, moins la semelle souffre." (Le débord diminue).
Question 3 : Calcul des Aciers (ELU)
1. Principe Physique & Mécanique
Le béton est une pierre artificielle : il est très fort en compression (on peut marcher dessus) mais très faible en traction (si on l'étire, il casse comme de la craie).
Sous l'effet de la charge du poteau et de la réaction du sol, la semelle subit une flexion : le dessus est comprimé (le béton gère), mais le dessous s'étire. Sans acier, la semelle se fendrait en deux par le milieu.
L'objectif est de placer des barres d'acier (armatures) en partie basse pour reprendre 100% de cet effort de traction. C'est le principe du "Tirant".
2. Mini-Cours : L'État Limite Ultime (ELU)
Pourquoi changer de charges ?
À la question 1 (Sol), on vérifiait que le bâtiment ne s'enfonce pas (Service / ELS). Ici, on vérifie que la semelle ne casse pas (Ultime / ELU).
L'enjeu est la sécurité des personnes. On applique donc des coefficients de sécurité sur les charges ("Pondération") pour couvrir les incertitudes (surcharge exceptionnelle, erreur de calcul, défaut matériau).
• Charges Permanentes (G) : \(\times 1.35\) (Le poids est assez bien connu).
• Charges Variables (Q) : \(\times 1.50\) (C'est plus aléatoire).
3. Normes & Références
L'Eurocode 2 définit la méthode de calcul. Pour les semelles rigides, la méthode simplifiée des bielles est la référence standard. Elle suppose que la charge transite par des bielles de béton comprimé obliques.
4. Analyse des Formules
La Formule des Bielles
Décortiquons cette "formule magique" :
• \(N_u\) : Charge Ultime (La force qui écrase).
• \((A-a)\) : Largeur totale des débords (Plus c'est large, plus ça tire).
• \(d\) : Hauteur utile (Plus la semelle est haute, meilleur est le bras de levier, moins il faut d'acier). C'est pour ça que \(d\) est au dénominateur !
• \(f_{yd}\) : Résistance de calcul de l'acier.
• \(8\) : Coefficient issu de la géométrie du modèle des bielles.
5. Hypothèses de Travail
- Fissuration : On accepte que le béton tendu en partie basse fissure. L'acier travaille seul.
- Adhérence : On suppose une adhérence parfaite entre béton et acier (assurée par les nervures des barres HA).
6. Données d'Entrée
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge Permanente | \(G\) | 0.500 | MN |
| Charge Exploitation | \(Q\) | 0.200 | MN |
| Largeur Semelle | \(A\) | 1.70 | m |
| Largeur Poteau | \(a\) | 0.30 | m |
| Hauteur Utile | \(d\) | 0.35 | m (Question 2) |
| Limite Élastique Acier | \(f_{yk}\) | 500 | MPa |
7. Astuces de Calcul
Cohérence des unités : C'est l'étape où 90% des erreurs arrivent.
Force en MN. Distances en m. Résistance en MPa (qui est égal à MN/m²).
Le résultat \(A_s\) sortira en m². Il faudra multiplier par 10 000 pour l'avoir en cm² (unité des catalogues d'armatures).
8. Schémas : Situation Initiale
Le Modèle Mécanique
9. Résolution Détaillée Pas à Pas
Étape A : Calcul de la Charge Ultime (Nu)
On pondère les charges selon la combinaison fondamentale ELU : \(1.35G + 1.5Q\).
C'est presque 100 tonnes (97.5 tonnes) de force de calcul !
Étape B : Résistance de calcul de l'acier (fyd)
L'acier B500B résiste à 500 MPa, mais on divise par un coefficient de sécurité de 1.15 pour l'acier.
On prendra 435 MPa pour le calcul.
Étape C : Application de la formule des bielles
On remplace chaque terme. Attention à bien utiliser \(d=0.35\) m et non \(h=0.40\) m.
Étape D : Conversion en cm²
C'est l'unité que le ferrailleur comprend.
Il faut donc fournir au moins 11.20 cm² d'acier dans le sens X et dans le sens Y (car la semelle est carrée).
Étape E : Choix des armatures (Ferraillage réel)
On consulte un tableau de sections d'aciers. On cherche une combinaison de barres dont la somme des sections dépasse 11.20 cm² tout en permettant un espacement correct.
Essai avec du HA 12 (Section d'une barre = 1.13 cm²) :
On ne met pas 9.9 barres, on passe à l'entier supérieur : 10 barres.
Vérification de l'espacement : Sur une largeur de 1.70 m (170 cm), avec un enrobage de 5cm de chaque côté, la largeur utile est 160 cm.
Un espacement de 17 cm est parfait (permet de bien vibrer le béton). Si on avait trouvé 5 cm, il aurait fallu prendre des barres plus grosses (HA 14 ou HA 16).
10. Schémas : Validation
Disposition en Nappe
11. Réflexions & Analyse Critique
La section réelle mise en œuvre est \(10 \times 1.13 = 11.30 \text{ cm}^2\), ce qui est supérieur aux \(11.20 \text{ cm}^2\) requis. L'optimisation est excellente (moins de 1% de surplus).
12. Points de vigilance
Section minimale : Même si le calcul donnait 2 cm², les normes imposent un ferraillage minimum (condition de non-fragilité) pour éviter une rupture brutale sans fissuration préalable.
13. Points à Retenir
Méthodologie Ferraillage :
- Calculer Nu (Pondération).
- Calculer As (Formule des Bielles).
- Convertir en nombre de barres (Tableau).
- Vérifier l'espacement.
14. Le saviez-vous ?
Joseph Monier, un jardinier français, a inventé le béton armé en 1849 non pas pour construire des immeubles, mais pour fabriquer des pots de fleurs qui ne cassaient pas ! Il a eu l'idée d'intégrer un grillage en fer dans le ciment.
15. FAQ (Foire Aux Questions)
Pourquoi ne met-on pas d'aciers en haut de la semelle ?
Parce que la semelle se courbe vers le haut (comme un sourire). La fibre supérieure est comprimée (le béton tient le coup), c'est la fibre inférieure qui est tendue. L'acier doit être là où il y a traction.
Peut-on utiliser des barres lisses ?
Non, c'est interdit en structure principale. On utilise des barres Haute Adhérence (HA) avec des reliefs (crenels) pour que le béton "accroche" à l'acier et transmette les efforts.
A vous de jouer
Si la charge ultime \(N_u\) doublait (200 tonnes), faudrait-il simplement doubler le nombre de barres ?
📝 Mémo technique
"Béton pousse (compression), Acier tire (traction)."
Question 4 : Vérification des Ancrages et Adhérence
1. Principe Physique & Mécanique
Imaginez que vous tenez une corde et que quelqu'un tire dessus très fort. Pour ne pas qu'elle vous glisse des mains, vous devez la serrer fort sur une certaine longueur.
C'est exactement ce qui se passe dans le béton armé :
• L'acier est la corde, tendue par l'effort de flexion.
• Le béton est la main qui serre la barre.
Si la longueur de "prise" (longueur de scellement) est trop courte, la barre glisse, le béton éclate et la structure s'effondre, même si la barre elle-même n'a pas cassé. C'est une ruine par défaut d'ancrage.
2. Mini-Cours : L'Adhérence Acier-Béton
Comment ça tient ?
L'acier ne colle pas au béton comme avec de la glu. L'ancrage est mécanique : les verrous (les petites nervures/bosses sur les barres HA) s'appuient sur le béton. C'est pour cela qu'il est interdit d'utiliser des barres lisses en structure.
La Contrainte d'adhérence (\(\tau_{bd}\)) : C'est la force de frottement maximale par cm² de surface de barre. Elle dépend de la qualité du béton : plus le béton est résistant (fck élevé), mieux il serre la barre.
3. Normes & Références
L'Eurocode 2 (Article 8.4) régit les longueurs d'ancrage. Le DTU 13.1 impose des dispositions constructives spécifiques aux semelles (ancrage total des bielles d'about).
4. Analyse des Formules
La Condition d'Équilibre
La force de traction dans la barre doit être équilibrée par les frottements sur sa surface latérale.
On en déduit la longueur de scellement droit de référence :
Pour un béton courant (C25/30) et un acier B500, le rapport \(\frac{f_{yd}}{f_{bd}}\) vaut environ 40 à 50. D'où la règle simplifiée des "40 diamètres".
5. Hypothèses de Travail
- Barres : HA 12 (Diamètre \(\phi = 12\) mm).
- Béton : C25/30 (Bonne adhérence en partie basse).
- Formule simplifiée : On utilisera \(L_s = 40 \phi\) pour cette vérification rapide (sécuritaire).
6. Données d'Entrée
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Diamètre barre | \(\phi\) | 1.2 | cm |
| Largeur Semelle | \(A\) | 170 | cm |
| Largeur Poteau | \(a\) | 30 | cm |
| Enrobage | \(c\) | 3.5 | cm |
7. Astuces de Calcul
Calcul mental : Pour du HA 10, \(L_s = 40 \text{ cm}\). Pour du HA 12, \(L_s = 48 \text{ cm}\). Pour du HA 16, \(L_s = 64 \text{ cm}\). Mémorisez ces ordres de grandeur !
8. Schémas : Situation Initiale
Le Problème Géométrique
9. Résolution Détaillée Pas à Pas
Étape A : Calcul de la longueur de scellement requise (Ls)
C'est la longueur de barre nécessaire pour ancrer la force totale (\(Fe\)).
Si la barre est droite, elle doit mesurer au moins 48 cm à partir du nu du poteau (là où la contrainte est maximale) pour ne pas glisser.
Étape B : Calcul de la longueur géométrique disponible (Ldispo)
Combien de place avons-nous réellement dans le coffrage ? C'est la distance du bord du poteau au bord du béton, moins l'enrobage de protection.
Étape C : Comparaison et Conclusion
On compare ce dont on a besoin (\(L_s\)) avec ce qu'on a (\(L_{dispo}\)).
MAIS ATTENTION ! En fondation superficielle, la méthode des bielles suppose que la bielle comprimée pousse très fort sur le coin de la semelle. Pour assurer l'équilibre du nœud (la jonction bielle/tirant), on ne se contente pas de la longueur droite.
10. Schémas : Validation
Solution : Retour d'Équerre
11. Réflexions & Analyse Critique
Même si le calcul autorise une barre droite, réaliser une crosse (crochet) permet de :
1. Réduire la longueur d'ancrage nécessaire de 30% à 50%.
2. Assurer un ancrage mécanique "absolu" par effet de butée.
3. Confiner le béton dans le coin de la semelle (noeud de bielle), empêchant son éclatement sous la forte pression de compression.
12. Points de vigilance
Rayon de courbure : On ne plie pas une barre à angle vif (rayon zéro) ! Sinon l'acier s'écrase et casse. Il faut utiliser un mandrin de cintrage normalisé (diamètre \(4\phi\) à \(7\phi\)).
13. Points à Retenir
La règle d'or en semelle isolée :
- Calculer \(L_s = 40\phi\).
- Vérifier \(L_{dispo}\).
- TOUJOURS prévoir des retours d'équerre (crosses) aux extrémités, c'est une disposition constructive obligatoire (DTU).
14. Le saviez-vous ?
Si la barre est grasse (huile de décoffrage) ou peinte, l'adhérence chute drastiquement. L'ancrage ne fonctionne plus et la barre glisse comme un spaghetti cuit ! C'est pour cela que les aciers doivent être propres et non gras.
15. FAQ (Foire Aux Questions)
Pourquoi des crosses à 135° ou 90° ?
En fondation, on utilise souvent 90° (retour vertical) ou 135° (retour vers l'intérieur). Le 90° est plus facile à ferrailler sur site mais le 135° assure un meilleur accrochage mécanique.
Peut-on souder les barres pour les ancrer ?
Oui, on peut souder une plaque au bout (ancrage par plaque), mais c'est très cher et réservé aux ouvrages d'art ou nucléaires. En bâtiment courant, le scellement droit ou par courbure est la norme.
A vous de jouer
Si on utilisait du béton haute performance (C50/60) au lieu du C25/30, la longueur d'ancrage nécessaire serait-elle plus courte ou plus longue ?
📝 Mémo technique
"Pas d'ancrage, pas de transfert." Une barre non ancrée est une barre inutile.
Question 5 : Schéma de Ferraillage (Coupe)
Le schéma technique final est présenté ci-dessous dans la section bilan.
🚧 VOIR SCHÉMA BILAN CI-DESSOUS 🚧
Schéma Bilan & Synthèse Technique : Semelle S1
Plan d'exécution détaillé et justification des choix constructifs.
1. Géométrie et Coffrage
-
Dimensions en plan (A x B) : \(1.70 \times 1.70\) m.
Justification : Ces dimensions garantissent une pression sur le sol \(\sigma_{sol} \approx 0.24\) MPa, inférieure à la limite admissible de 0.25 MPa, prévenant ainsi le poinçonnement et les tassements excessifs. -
Hauteur (h) : 40 cm.
Justification : Calculée selon la condition de rigidité. Une hauteur suffisante permet de considérer que la charge se transmet directement aux aciers sans nécessiter d'étriers (armatures d'effort tranchant), simplifiant grandement le ferraillage. -
Béton de Propreté : Épaisseur 5 cm.
Rôle crucial : Il évite que le béton structurel ne soit souillé par la terre lors du coulage et garantit que l'enrobage des aciers (35 mm) soit respecté uniformément.
2. Ferraillage (Aciers)
-
Nappe Inférieure (Grille) :
10 barres HA 12 dans le sens X.
10 barres HA 12 dans le sens Y.
Espacement e = 17 cm. Ce maillage reprend les efforts de traction générés à la base de la semelle par la flexion (effet "banane" inversé). -
Ancrages (Crosses) :
Retour d'équerre normalisé aux extrémités.
Indispensable en fondation : La longueur droite disponible (env. 66 cm) étant proche de la longueur de scellement, les crosses assurent mécaniquement que les barres ne glisseront pas, même sous charge maximale. -
Attentes Poteau (Vert) :
Elles sont ligaturées sur la nappe inférieure et remontent d'environ 50 fois leur diamètre (soit ~60cm) au-dessus de la semelle pour assurer le recouvrement avec les aciers du poteau à venir.
🚨 Points de contrôle sur chantier (Pour le Chef de Chantier) :
- Vérifier la propreté du fond de fouille avant de couler le béton de propreté.
- S'assurer que les cales d'enrobage (35 mm) sont bien posées sous la nappe d'acier pour éviter que l'acier ne touche le sol (risque de corrosion immédiate).
- Contrôler le bon positionnement des attentes du poteau avant le coulage (il est impossible de les bouger après prise du béton !).
- Vibrer correctement le béton pour éviter les nids de gravier, surtout autour des crosses d'ancrage.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
|
BATETUDES
Ingénierie Structure
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Projet
RÉSIDENCE "LE BELVÉDÈRE"
Montpellier (34)
|
N° Affaire : 2024-088
Phase : EXE
Date : 24/10/2024
Indice : A
|
|
NOTE DE CALCULS : SEMELLE ISOLÉE S1 (File A-1)
|
||
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédigé par | Vérifié par |
|---|---|---|---|---|
| A | 24/10/2024 | Émission originale pour exécution | L. Etudiant | J. Michel |
1. HYPOTHÈSES DE CALCUL
- Béton : C25/30 (\(f_{ck} = 25\) MPa)
- Acier : B500B (\(f_{yk} = 500\) MPa)
- Enrobage : \(c_{nom} = 35\) mm (XC2)
- Règlement : Eurocode 2 + DTU 13.1
- Sol d'assise : Marnes bleues
- Contrainte ELS : \(\bar{\sigma}_{sol} = 0.25\) MPa
- Charge Perm. (G) : 0.500 MN
- Charge Expl. (Q) : 0.200 MN
2. VÉRIFICATION GÉOTECHNIQUE (ELS)
Objectif : Vérifier que la pression sur le sol ne dépasse pas la contrainte admissible pour éviter les tassements.
| Désignation | Formule | Résultat | Condition | Statut |
|---|---|---|---|---|
| Charge de Service (ELS) | \(N_{ser} = G + Q\) | 0.700 MN | - | - |
| Surface Requise | \(S_{min} = N_{ser} / \bar{\sigma}_{sol}\) | 2.80 m² | - | Info |
| Dimensions Retenues | Coffrage | 1.70 x 1.70 m | \(S = 2.89 \text{ m}^2 > 2.80\) | ✅ CONFORME |
3. DIMENSIONNEMENT BÉTON ARMÉ (ELU)
| Condition de Rigidité (Hauteur) | \(h \ge \frac{A-a}{4} + c\) | h = 40 cm |
| Charge Ultime (ELU) | \(1.35G + 1.5Q\) | 0.975 MN |
| Section d'acier théorique | (Méthode des bielles) | 11.20 cm² |
| CHOIX DU FERRAILLAGE | Nappe quadrillée | 10 HA 12 |
| (Soit 11.31 cm² > 11.20 cm²) | Espacement : 17 cm |
SYNTHÈSE EXÉCUTION
La semelle S1 est validée avec les dimensions 1.70 x 1.70 x 0.40 m. Le ferraillage sera constitué d'une nappe inférieure de 10 barres HA 12 dans chaque sens (espacement 17 cm).
⚠️ Points d'arrêt :
- Réception du fond de fouille avant coulage du béton de propreté.
- Vérification des longueurs d'ancrage (crosses obligatoires).
- Contrôle de l'enrobage (35mm) par cales béton.
📚 Glossaire Technique & Définitions
Termes spécifiques aux fondations superficielles.
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