Études de cas pratique

EGC

Ferraillage fondation en béton armé

Calcul du Ferraillage d'une Fondation en Béton Armé

Introduction au Ferraillage des Fondations

Les fondations, telles que les semelles isolées, transfèrent les charges de la structure au sol. Sous l'effet de la réaction du sol (pression) et de la charge du poteau, la semelle est soumise à des efforts de flexion et de cisaillement qui nécessitent la mise en place d'armatures en acier. Cet exercice se concentre sur le calcul des armatures principales (inférieures) nécessaires pour reprendre le moment fléchissant dans une semelle isolée carrée sous charge centrée.

Données de l'étude

On étudie une semelle isolée carrée supportant un poteau carré centré.

Caractéristiques géométriques :

  • Dimensions de la semelle : \(A \times B = 1.80 \, \text{m} \times 1.80 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la semelle : \(h = 0.50 \, \text{m}\)
  • Dimensions du poteau : \(a \times b = 0.30 \, \text{m} \times 0.30 \, \text{m}\)
  • Enrobage des armatures inférieures : \(c = 5 \, \text{cm}\)

Sollicitations et Matériaux :

  • Effort normal de calcul à l'ELU transmis par le poteau (\(N_{Ed}\)) : \(1000 \, \text{kN}\) (poids propre de la semelle négligé pour le calcul de la pression du sol)
  • Béton : C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\)

Hypothèse : On suppose une répartition uniforme de la pression du sol sous la semelle. Le calcul des aciers se fait à l'ELU.

Schéma : Semelle Isolée (Vue en plan et coupe)
Vue en Plan A = 1.80 m B = 1.80 m Poteau (30x30) Coupe A-A \(\sigma_{sol,Ed}\) \(N_{Ed}\) h=50cm a=30cm

Vue en plan et coupe de la semelle isolée.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression uniforme exercée par le sol sur la semelle à l'ELU (\(\sigma_{sol,Ed}\)), en négligeant le poids propre de la semelle.
  2. Calculer le moment fléchissant de calcul (\(M_{Ed,x}\)) dans la section d'encastrement sur le poteau, par mètre linéaire, dans une direction (par exemple, direction x). Utiliser la formule \(M_{Ed,x} = \sigma_{sol,Ed} \times \frac{(A-a)^2}{8}\) par mètre linéaire.
  3. Calculer la hauteur utile (\(d\)) pour les armatures inférieures, en supposant un diamètre d'armatures de 12 mm. \(d = h - c - \phi/2\).
  4. Calculer la section d'acier requise par mètre linéaire (\(A_{sx}\)) dans la direction x, en utilisant la formule approchée pour la flexion simple : \(A_s = \frac{M_{Ed}}{z \cdot f_{yd}}\) avec un bras de levier \(z \approx 0.9 d\). Calculer \(f_{yd}\).
  5. Vérifier la condition de non-fragilité (pourcentage minimal d'armatures) selon l'Eurocode 2 : \(A_{s,min} = 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b_t d \geq 0.0013 b_t d\). On prendra \(f_{ctm} = 2.6 \, \text{MPa}\) pour C25/30 et \(b_t\) est la largeur considérée (1 m = 1000 mm).
  6. Choisir un ferraillage pratique (diamètre et espacement) pour \(A_{sx}\) et vérifier l'espacement maximal (\(s_{max} \leq \min(3h, 400 \text{ mm})\)).

Correction : Calcul du Ferraillage de la Fondation

Question 1 : Pression du Sol à l'ELU (\(\sigma_{sol,Ed}\))

Principe :

La pression du sol est supposée uniformément répartie et est égale à l'effort normal appliqué divisé par la surface de la semelle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{sol,Ed} = \frac{N_{Ed}}{A \times B}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{Ed} = 1000 \, \text{kN}\)
  • \(A = 1.80 \, \text{m}\)
  • \(B = 1.80 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{sol,Ed} &= \frac{1000 \, \text{kN}}{(1.80 \, \text{m}) \times (1.80 \, \text{m})} \\ &= \frac{1000}{3.24} \, \text{kN/m}^2 \\ &\approx 308.64 \, \text{kN/m}^2 \, (\text{kPa}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pression du sol à l'ELU est \(\sigma_{sol,Ed} \approx 308.64 \, \text{kPa}\).

Question 2 : Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed,x}\))

Principe :

Le moment fléchissant maximal dans la semelle se produit à la face du poteau. Il est calculé en considérant la partie de la semelle en porte-à-faux par rapport à la face du poteau, soumise à la pression du sol.

Formule(s) utilisée(s) :

Le moment par mètre linéaire à la face du poteau est calculé comme pour une console de longueur \((A-a)/2\) soumise à la charge \(\sigma_{sol,Ed}\).

\[M_{Ed,x} = \sigma_{sol,Ed} \times \frac{1}{2} \times \left( \frac{A-a}{2} \right)^2 = \sigma_{sol,Ed} \times \frac{(A-a)^2}{8}\]

(Par mètre linéaire de largeur)

Données spécifiques :
  • \(\sigma_{sol,Ed} \approx 308.64 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(A = 1.80 \, \text{m}\)
  • \(a = 0.30 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed,x} &= 308.64 \, \text{kN/m}^2 \times \frac{(1.80 \, \text{m} - 0.30 \, \text{m})^2}{8} \\ &= 308.64 \times \frac{(1.50)^2}{8} \\ &= 308.64 \times \frac{2.25}{8} \\ &= 308.64 \times 0.28125 \, \text{kN} \cdot \text{m/m} \\ &\approx 86.82 \, \text{kN} \cdot \text{m/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment fléchissant de calcul par mètre linéaire est \(M_{Ed,x} \approx 86.82 \, \text{kN} \cdot \text{m/m}\).

Question 3 : Hauteur Utile (\(d\))

Principe :

La hauteur utile \(d\) est la distance entre la fibre la plus comprimée (ici, la surface supérieure de la semelle) et le centre de gravité des armatures tendues (armatures inférieures).

Formule(s) utilisée(s) :
\[d = h - c - \frac{\phi}{2}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur semelle (\(h\)) : \(0.50 \, \text{m} = 500 \, \text{mm}\)
  • Enrobage (\(c\)) : \(5 \, \text{cm} = 50 \, \text{mm}\)
  • Diamètre supposé des aciers (\(\phi\)) : \(12 \, \text{mm}\) (hypothèse pour le calcul)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &= 500 \, \text{mm} - 50 \, \text{mm} - \frac{12 \, \text{mm}}{2} \\ &= 500 - 50 - 6 \\ &= 444 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La hauteur utile est \(d = 444 \, \text{mm}\).

Question 4 : Section d'Acier Requise (\(A_{sx}\))

Principe :

La section d'acier est calculée pour équilibrer le moment fléchissant appliqué \(M_{Ed,x}\), en utilisant la résistance de calcul de l'acier et un bras de levier estimé.

Formule(s) utilisée(s) :

Résistance de calcul de l'acier :

\[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]

Bras de levier (approximation) :

\[z \approx 0.9 d\]

Section d'acier requise par mètre :

\[A_{sx} = \frac{M_{Ed,x}}{z \cdot f_{yd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed,x} \approx 86.82 \, \text{kN} \cdot \text{m/m} = 86.82 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm/m}\)
  • \(d = 444 \, \text{mm}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} z &\approx 0.9 \times 444 \, \text{mm} \\ &= 399.6 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_{sx} &= \frac{86.82 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm/m}}{399.6 \, \text{mm} \times 434.78 \, \text{N/mm}^2} \\ &\approx \frac{86.82 \times 10^6}{173740} \, \text{mm}^2/\text{m} \\ &\approx 499.7 \, \text{mm}^2/\text{m} \end{aligned} \]

Conversion en cm²/m : \(A_{sx} \approx 5.00 \, \text{cm}^2/\text{m}\)

Résultat Question 4 : La section d'acier requise par mètre linéaire est \(A_{sx} \approx 5.00 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

Question 5 : Vérification de la Condition de Non-Fragilité (\(A_{s,min}\))

Principe :

L'Eurocode 2 impose une section minimale d'armatures de flexion pour éviter une rupture fragile du béton avant la plastification de l'acier.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 2) :
\[A_{s,min} = \max \left( 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b_t d \, ; \, 0.0013 b_t d \right)\]

Où \(b_t\) est la largeur de la zone tendue (ici, 1 m = 1000 mm).

Données spécifiques :
  • Béton C25/30 : \(f_{ctm} = 2.6 \, \text{MPa}\) (valeur moyenne de la résistance en traction)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(b_t = 1000 \, \text{mm}\)
  • \(d = 444 \, \text{mm}\)
Calcul :

Premier terme :

\[ \begin{aligned} 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b_t d &= 0.26 \times \frac{2.6}{500} \times 1000 \times 444 \\ &= 0.26 \times 0.0052 \times 1000 \times 444 \\ &\approx 600 \, \text{mm}^2/\text{m} \end{aligned} \]

Deuxième terme :

\[ \begin{aligned} 0.0013 b_t d &= 0.0013 \times 1000 \times 444 \\ &= 577.2 \, \text{mm}^2/\text{m} \end{aligned} \]

Minimum requis :

\[ A_{s,min} = \max(600 \, \text{mm}^2/\text{m}, 577.2 \, \text{mm}^2/\text{m}) = 600 \, \text{mm}^2/\text{m} \]

Conversion en cm²/m : \(A_{s,min} = 6.00 \, \text{cm}^2/\text{m}\)

Comparaison : \(A_{sx} \approx 5.00 \, \text{cm}^2/\text{m} < A_{s,min} = 6.00 \, \text{cm}^2/\text{m}\). Il faut donc prévoir au minimum \(6.00 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

Résultat Question 5 : La section minimale d'armatures est \(A_{s,min} = 6.00 \, \text{cm}^2/\text{m}\). Comme \(A_{sx} < A_{s,min}\), c'est le minimum qui dimensionne.

Question 6 : Choix du Ferraillage Pratique et Vérification de l'Espacement

Principe :

On choisit un diamètre (\(\phi\)) et un espacement (\(s\)) pour les barres qui fournissent une section d'acier par mètre (\(A_{s,prov}\)) supérieure ou égale à la section requise (ici, \(A_{s,min}\)). L'espacement doit respecter les limites réglementaires.

Formule(s) utilisée(s) :

Section d'une barre : \(A_{\phi} = \pi \phi^2 / 4\)

Section fournie par mètre : \(A_{s,prov} = A_{\phi} \times (1000 / s)\) (où s est l'espacement en mm)

Espacement maximal : \(s_{max} \leq \min(3h, 400 \, \text{mm})\)

Données spécifiques :
  • Section requise : \(A_{s,req} = A_{s,min} = 600 \, \text{mm}^2/\text{m}\)
  • Hauteur semelle (\(h\)) : \(500 \, \text{mm}\)
  • Diamètres courants : HA 10, HA 12, HA 14, HA 16...
Choix et Calcul :

Essayons HA 12 (\(A_{\phi 12} \approx 113.1 \, \text{mm}^2\)) :

Espacement requis \(s = A_{\phi 12} \times (1000 / A_{s,req}) = 113.1 \times (1000 / 600) \approx 188.5 \, \text{mm}\).

On choisit un espacement pratique inférieur, par exemple \(s = 175 \, \text{mm}\) (ou 17.5 cm).

Vérification de la section fournie avec HA 12 e=175 :

\[ A_{s,prov} = 113.1 \, \text{mm}^2 \times \frac{1000 \, \text{mm}}{175 \, \text{mm}} \approx 646 \, \text{mm}^2/\text{m} \]

On a bien \(A_{s,prov} (646 \, \text{mm}^2/\text{m}) \geq A_{s,req} (600 \, \text{mm}^2/\text{m})\).

Vérification de l'espacement maximal :

\[ \begin{aligned} s_{max} &\leq \min(3 \times 500 \, \text{mm}, 400 \, \text{mm}) \\ &\leq \min(1500 \, \text{mm}, 400 \, \text{mm}) \\ &\leq 400 \, \text{mm} \end{aligned} \]

L'espacement choisi \(s = 175 \, \text{mm}\) est bien inférieur à \(s_{max} = 400 \, \text{mm}\).

Le ferraillage sera donc constitué de barres HA 12 espacées de 17.5 cm dans les deux directions (semelle carrée, moment identique dans les deux sens).

Résultat Question 6 : Le ferraillage requis est \(A_{s,min} = 6.00 \, \text{cm}^2/\text{m}\). Un choix pratique est HA 12 espacés de 17.5 cm (\(A_{s,prov} \approx 6.46 \, \text{cm}^2/\text{m}\)), respectant l'espacement maximal de 40 cm.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Pourquoi calcule-t-on le moment fléchissant à la face du poteau dans une semelle isolée ?

2. La hauteur utile \(d\) est la distance entre la fibre la plus comprimée et :

3. Pourquoi est-il nécessaire de vérifier une section minimale d'armatures (\(A_{s,min}\)) même si le calcul donne une section requise (\(A_{s,req}\)) plus faible ?

Glossaire

Semelle Isolée
Type de fondation superficielle, généralement de forme carrée ou rectangulaire en plan, située sous un poteau unique pour répartir sa charge sur le sol.
Ferraillage
Ensemble des armatures (barres d'acier) placées dans le béton pour lui conférer une résistance à la traction et améliorer son comportement structural.
Armatures Principales
Armatures dimensionnées pour reprendre les efforts principaux (généralement la flexion dans le cas d'une semelle).
Armatures de Répartition
Armatures placées perpendiculairement aux armatures principales pour répartir les charges et limiter la fissuration (souvent un pourcentage des armatures principales).
Pression du Sol (\(\sigma_{sol}\))
Réaction du sol sous la fondation, s'opposant à la charge appliquée par la structure. Elle est souvent supposée uniforme pour un calcul simplifié.
Moment d'Encastrement
Moment fléchissant calculé à la liaison entre deux éléments, typiquement à la face du poteau pour une semelle, où la semelle est considérée comme une console encastrée dans le poteau.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée de la section de béton et le centre de gravité des armatures tendues.
Enrobage (c)
Épaisseur de béton recouvrant les armatures pour les protéger de la corrosion et assurer une bonne adhérence.
Bras de Levier (z)
Distance entre le centre de gravité des forces de compression dans le béton et le centre de gravité des forces de traction dans l'acier, dans une section fléchie.
Condition de Non-Fragilité
Exigence réglementaire imposant une section minimale d'armatures pour garantir que la rupture en flexion soit ductile (précédée par la plastification de l'acier) et non fragile (rupture brutale du béton tendu).
État Limite Ultime (ELU)
État limite correspondant à la capacité portante maximale de la structure ou d'un de ses éléments.
Calcul du Ferraillage d'une Fondation - Exercice d'Application

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