Études de cas pratique

EGC

Excentrement du Chargement sur la Fondation

Excentrement du Chargement sur la Fondation

Calcul de la Pression Appliquée sur le Sol par une Fondation Excentrée

Comprendre l'Effet d'un Chargement Excentré sur les Fondations

Lorsqu'une fondation est soumise à une charge verticale qui n'est pas appliquée à son centre de gravité, ou lorsqu'elle est soumise à la fois à une charge verticale et à un moment fléchissant, on parle de chargement excentré. Ce type de chargement induit une distribution non uniforme des pressions de contact entre la semelle et le sol. Il est crucial de calculer les pressions maximales et minimales pour s'assurer que la capacité portante du sol n'est pas dépassée et qu'il n'y a pas de soulèvement de la semelle (pression minimale négative). La méthode de Meyerhof est souvent utilisée pour analyser les fondations sous charges excentrées en définissant une aire effective de la fondation.

Données de l'étude

Une semelle de fondation rectangulaire est soumise à une charge verticale centrée et à un moment fléchissant autour de l'axe parallèle à sa largeur B.

Caractéristiques de la fondation et des sollicitations :

  • Largeur de la semelle (\(B\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
  • Longueur de la semelle (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Charge verticale appliquée (\(P\)) : \(800 \, \text{kN}\)
  • Moment fléchissant appliqué (\(M_y\)) autour de l'axe y (parallèle à B) : \(200 \, \text{kN.m}\)
  • Capacité portante admissible nette du sol (\(q_{adm,net}\)) : \(250 \, \text{kPa}\)

On néglige le poids propre de la semelle et du remblai au-dessus pour ce calcul de distribution de pression.

Schéma : Semelle Rectangulaire avec Chargement Excentré
Niveau du Sol Semelle (L x B) P My L = 4.0m (B = 2.5m) Distribution de Pression q_min q_max

Semelle rectangulaire soumise à une charge verticale et un moment fléchissant.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la semelle et son module d'inertie (\(I_y\)) par rapport à l'axe y (axe de flexion, parallèle à la largeur B).
  2. Calculer l'excentricité (\(e_x\)) de la charge dans la direction de la longueur L.
  3. Vérifier si la charge est appliquée à l'intérieur du noyau central de la section de la semelle (condition \(e_x \leq L/6\)).
  4. Calculer les pressions maximale (\(q_{max}\)) et minimale (\(q_{min}\)) sous la semelle.
  5. Vérifier la sécurité de la fondation par rapport à la capacité portante du sol et au risque de soulèvement.

Correction : Sélection et Calcul de Fondations

Question 1 : Aire (\(A\)) et Module d'Inertie (\(I_y\))

Principe :

L'aire d'une section rectangulaire est le produit de sa longueur \(L\) par sa largeur \(B\). Le module d'inertie (ou moment quadratique) d'une section rectangulaire par rapport à un axe passant par son centre de gravité et parallèle à la largeur \(B\) (donc l'axe autour duquel le moment \(M_y\) agit, provoquant une flexion selon la longueur \(L\)) est donné par \(I_y = \frac{B L^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = L \cdot B \] \[ I_y = \frac{B L^3}{12} \]
Données spécifiques :
  • Longueur (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Largeur (\(B\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= (4.0 \, \text{m}) \cdot (2.5 \, \text{m}) = 10.0 \, \text{m}^2 \\ I_y &= \frac{(2.5 \, \text{m}) \cdot (4.0 \, \text{m})^3}{12} = \frac{2.5 \cdot 64}{12} \, \text{m}^4 \\ &= \frac{160}{12} \, \text{m}^4 \approx 13.333 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Aire de la semelle : \(A = 10.0 \, \text{m}^2\)
  • Module d'inertie : \(I_y \approx 13.33 \, \text{m}^4\)

Question 2 : Calcul de l'Excentricité (\(e_x\))

Principe :

L'excentricité \(e_x\) est la distance entre le point d'application de la charge verticale résultante et le centre de gravité de la semelle, dans la direction de la longueur \(L\). Elle est causée par le moment fléchissant \(M_y\). Si une charge \(P\) est appliquée au centre et qu'un moment \(M_y\) est également appliqué, cela est équivalent à appliquer la charge \(P\) avec une excentricité \(e_x = M_y / P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ e_x = \frac{M_y}{P} \]
Données spécifiques :
  • Moment fléchissant (\(M_y\)) : \(200 \, \text{kN.m}\)
  • Charge verticale (\(P\)) : \(800 \, \text{kN}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} e_x &= \frac{200 \, \text{kN.m}}{800 \, \text{kN}} \\ &= 0.25 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'excentricité de la charge est \(e_x = 0.25 \, \text{m}\).

Question 3 : Vérification de la Position de la Charge (Noyau Central)

Principe :

Pour éviter le soulèvement de la semelle (c'est-à-dire pour s'assurer que la pression de contact reste compressive sur toute la surface de la fondation), la résultante de la charge doit être appliquée à l'intérieur du noyau central de la section de la semelle. Pour une section rectangulaire de longueur \(L\), la limite du noyau central dans cette direction est à \(L/6\) du centre. Donc, l'excentricité \(e_x\) doit être inférieure ou égale à \(L/6\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Condition de non-soulèvement : } e_x \leq \frac{L}{6} \]
Données spécifiques :
  • Excentricité (\(e_x\)) : \(0.25 \, \text{m}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \frac{L}{6} = \frac{4.0 \, \text{m}}{6} \approx 0.667 \, \text{m} \]

Comparaison :

\[ 0.25 \, \text{m} \leq 0.667 \, \text{m} \]

La condition est respectée.

Résultat Question 3 : La charge est appliquée à l'intérieur du noyau central (\(e_x = 0.25 \, \text{m} \leq L/6 \approx 0.667 \, \text{m}\)), donc il n'y aura pas de soulèvement de la semelle et la pression sera positive sur toute sa surface.

Question 4 : Calcul des Pressions Maximale (\(q_{max}\)) et Minimale (\(q_{min}\))

Principe :

Lorsque la charge est excentrée mais reste à l'intérieur du noyau central, la distribution de la pression de contact sous la semelle est trapézoïdale (ou rectangulaire si \(e_x=0\), ou triangulaire si \(e_x=L/6\)). Les pressions maximale et minimale aux extrémités de la semelle (dans la direction de la longueur \(L\)) peuvent être calculées en utilisant la formule de la flexion combinée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q_{max,min} = \frac{P}{A} \pm \frac{M_y}{I_y} \cdot x \]

où \(x\) est la distance du centre de gravité de la semelle aux fibres extrêmes, soit \(L/2\). La formule peut être simplifiée en :

\[ q_{max,min} = \frac{P}{A} \left(1 \pm \frac{6e_x}{L}\right) \]

Le signe \(+\) donne \(q_{max}\) et le signe \(-\) donne \(q_{min}\).

Données spécifiques :
  • Charge verticale (\(P\)) : \(800 \, \text{kN}\)
  • Aire (\(A\)) : \(10.0 \, \text{m}^2\)
  • Excentricité (\(e_x\)) : \(0.25 \, \text{m}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Calcul :

Pression moyenne :

\[ \frac{P}{A} = \frac{800 \, \text{kN}}{10.0 \, \text{m}^2} = 80 \, \text{kPa} \]

Terme d'excentricité :

\[ \frac{6e_x}{L} = \frac{6 \cdot 0.25 \, \text{m}}{4.0 \, \text{m}} = \frac{1.5}{4.0} = 0.375 \]

Pression maximale :

\[ \begin{aligned} q_{max} &= 80 \, \text{kPa} \cdot (1 + 0.375) \\ &= 80 \cdot 1.375 \\ &= 110 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

Pression minimale :

\[ \begin{aligned} q_{min} &= 80 \, \text{kPa} \cdot (1 - 0.375) \\ &= 80 \cdot 0.625 \\ &= 50 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • Pression maximale : \(q_{max} = 110 \, \text{kPa}\)
  • Pression minimale : \(q_{min} = 50 \, \text{kPa}\)

Question 5 : Vérification de la Sécurité de la Fondation

Principe :

Pour assurer la sécurité de la fondation, deux conditions principales doivent être vérifiées :

  1. Non-soulèvement : La pression minimale de contact sous la semelle doit être positive (\(q_{min} \geq 0\)). Si elle est négative, cela signifie qu'une partie de la semelle tend à se soulever du sol, ce qui n'est généralement pas acceptable.
  2. Capacité portante : La pression maximale exercée par la semelle sur le sol (\(q_{max}\)) ne doit pas dépasser la capacité portante admissible nette du sol (\(q_{adm,net}\)).
Données spécifiques :
  • \(q_{max} = 110 \, \text{kPa}\)
  • \(q_{min} = 50 \, \text{kPa}\)
  • Capacité portante admissible nette (\(q_{adm,net}\)) : \(250 \, \text{kPa}\)
Vérifications :

1. Vérification du non-soulèvement :

\[ q_{min} = 50 \, \text{kPa} \geq 0 \quad (\text{OK, pas de soulèvement}) \]

2. Vérification de la capacité portante :

\[ q_{max} = 110 \, \text{kPa} \leq q_{adm,net} = 250 \, \text{kPa} \quad (\text{OK}) \]
Résultat Question 5 : La fondation est considérée comme sûre. Il n'y a pas de soulèvement (\(q_{min} > 0\)) et la pression maximale sous la semelle (\(110 \, \text{kPa}\)) est inférieure à la capacité portante admissible nette du sol (\(250 \, \text{kPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'excentricité \(e_x\) était égale à \(L/6\), la pression minimale \(q_{min}\) sous la semelle serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un chargement excentré sur une fondation provoque :

2. Le noyau central d'une section de fondation rectangulaire est la zone où :

Glossaire

Chargement Excentré
Application d'une charge sur une fondation de telle sorte que la résultante des forces ne passe pas par le centre de gravité de l'aire de contact de la fondation. Cela peut être dû à une charge verticale excentrée ou à la combinaison d'une charge verticale et d'un moment.
Excentricité (\(e\))
Distance entre le point d'application de la résultante des charges verticales et le centre de gravité de la section de la fondation. \(e = M/P\).
Noyau Central
Zone à l'intérieur de la section d'une fondation. Si la résultante des charges s'applique à l'intérieur de ce noyau, toute la surface de la fondation reste en compression. Pour une section rectangulaire de longueur L, le noyau s'étend à \(L/6\) de chaque côté du centre.
Pression de Contact (\(q\))
Pression exercée par la base de la fondation sur le sol. En cas de chargement excentré, cette pression varie sur la surface de contact.
Soulèvement (Uplift)
Condition où une partie de la base de la fondation perd le contact avec le sol (pression de contact nulle ou négative/traction) en raison d'une excentricité de charge excessive.
Module d'Inertie (Moment Quadratique, \(I\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion par rapport à un axe donné.
Excentrement du Chargement sur la Fondation - Exercice d'Application

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