Études de cas pratique

EGC

Évaluation de la Capacité de Traction d’une Poutre

Calcul de la Capacité de Traction d’une Barre

Calcul de la Capacité de Traction d’une Barre

Comprendre la Capacité de Traction

La capacité de traction d'un élément structural, comme une barre ou un tirant, est la force de traction maximale qu'il peut supporter avant d'atteindre une limite de performance, généralement la limite d'élasticité du matériau ou une contrainte admissible définie. Le calcul de cette capacité implique de déterminer la contrainte normale induite par la force de traction et de la comparer à la résistance du matériau. Cet exercice se concentrera sur une barre de section rectangulaire soumise à une traction axiale.

Données de l'étude

Une barre en acier de section rectangulaire est utilisée comme tirant et est soumise à une force de traction axiale.

Caractéristiques de la barre et de la sollicitation :

  • Longueur de la barre (\(L_0\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
  • Largeur de la section (\(b\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (ou épaisseur) de la section (\(h\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Force de traction axiale appliquée (\(F\)) : \(80 \, \text{kN}\)
  • Matériau : Acier
  • Contrainte admissible en traction de l'acier (\(\sigma_{adm}\)) : \(160 \, \text{MPa}\)
  • Module de Young de l'acier (\(E\)) : \(200 \, \text{GPa}\)
Schéma : Barre Rectangulaire Soumise à une Traction
Fixation Barre d'acier F L0 = 2.5 m h=10 b=50 Section

Barre rectangulaire en acier fixée à une extrémité et soumise à une force de traction à l'autre extrémité. La section transversale est également illustrée.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale (\(A\)) de la barre.
  2. Calculer la contrainte normale de traction (\(\sigma\)) dans la barre due à la force \(F\).
  3. Vérifier si la barre résiste à la force appliquée en comparant la contrainte \(\sigma\) à la contrainte admissible \(\sigma_{adm}\).
  4. Calculer la force de traction maximale admissible (\(F_{adm}\)) que la barre peut supporter sans dépasser la contrainte admissible.
  5. Calculer l'allongement élastique (\(\delta\)) de la barre sous la force \(F = 80 \, \text{kN}\) appliquée.

Correction : Calcul de la Capacité de Traction d’une Barre

Question 1 : Aire de la Section Transversale (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section rectangulaire est le produit de sa base (largeur) par sa hauteur (épaisseur).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = b \cdot h \]
Données spécifiques :
  • Largeur (\(b\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(10 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= (50 \, \text{mm}) \cdot (10 \, \text{mm}) \\ &= 500 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale de la barre est \(A = 500 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte Normale de Traction (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est la force axiale (\(F\)) divisée par l'aire de la section transversale (\(A\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Données spécifiques (unités N, mm\(^2\) pour obtenir des MPa) :
  • Force de traction (\(F\)) : \(80 \, \text{kN} = 80000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(500 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{80000 \, \text{N}}{500 \, \text{mm}^2} \\ &= 160 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 160 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale de traction dans la barre est \(\sigma = 160 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Vérification de la Résistance

Principe :

Pour que la barre résiste en toute sécurité, la contrainte normale calculée (\(\sigma\)) ne doit pas dépasser la contrainte admissible du matériau (\(\sigma_{adm}\)).

Condition :
\[ \sigma \leq \sigma_{adm} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte calculée (\(\sigma\)) : \(160 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte admissible (\(\sigma_{adm}\)) : \(160 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 160 \, \text{MPa} \leq 160 \, \text{MPa} \]

La condition est juste respectée (la contrainte calculée est égale à la contrainte admissible).

Résultat Question 3 : La barre résiste à la force appliquée, car la contrainte normale calculée (\(160 \, \text{MPa}\)) est égale à la contrainte admissible (\(160 \, \text{MPa}\)). Elle est à la limite de sa capacité admissible.

Question 4 : Force de Traction Maximale Admissible (\(F_{adm}\))

Principe :

La force de traction maximale admissible est la force qui engendre une contrainte égale à la contrainte admissible.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{adm} = \sigma_{adm} \cdot A \]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • Contrainte admissible (\(\sigma_{adm}\)) : \(160 \, \text{MPa} = 160 \, \text{N/mm}^2\)
  • Aire (\(A\)) : \(500 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{adm} &= (160 \, \text{N/mm}^2) \cdot (500 \, \text{mm}^2) \\ &= 80000 \, \text{N} \\ &= 80 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La force de traction maximale admissible que la barre peut supporter est \(F_{adm} = 80 \, \text{kN}\).

Question 5 : Allongement Élastique (\(\delta\))

Principe :

L'allongement élastique total est donné par \(\delta = \frac{FL_0}{AE}\) ou \(\delta = \epsilon L_0\), où \(\epsilon = \sigma/E\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \delta = \frac{F L_0}{A E} \]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • Force (\(F\)) : \(80000 \, \text{N}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.5 \, \text{m} = 2500 \, \text{mm}\)
  • Aire (\(A\)) : \(500 \, \text{mm}^2\)
  • Module de Young (\(E\)) : \(200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^3 \, \text{MPa} = 200000 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \delta &= \frac{(80000 \, \text{N}) \cdot (2500 \, \text{mm})}{(500 \, \text{mm}^2) \cdot (200000 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{200000000}{100000000} \, \text{mm} \\ &= 2.0 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Calcul de la déformation relative \(\epsilon\):

\[ \epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{160 \, \text{MPa}}{200000 \, \text{MPa}} = 0.0008 \]

Puis \(\delta = \epsilon \cdot L_0 = 0.0008 \cdot 2500 \, \text{mm} = 2.0 \, \text{mm}\).

Résultat Question 5 : L'allongement élastique de la barre sous la force de \(80 \, \text{kN}\) est \(\delta = 2.0 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le module de Young \(E\) de l'acier était plus élevé, l'allongement \(\delta\) sous la même force \(F\) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte normale de traction est définie comme :

2. Pour augmenter la capacité de traction admissible d'une barre (sa résistance à la traction), on peut :

Glossaire

Traction Axiale
Sollicitation où une force est appliquée le long de l'axe longitudinal d'un élément, tendant à l'allonger.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne par unité d'aire agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. En traction, elle est positive.
Déformation Axiale Relative (\(\epsilon\))
Rapport de l'allongement (\(\delta\)) à la longueur initiale (\(L_0\)) de l'élément (\(\epsilon = \delta / L_0\)).
Module de Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau, reliant la contrainte à la déformation dans le domaine élastique (\(\sigma = E \epsilon\)).
Contrainte Admissible (\(\sigma_{adm}\))
Valeur maximale de la contrainte qu'un matériau est autorisé à supporter en service pour garantir la sécurité et la fonctionnalité.
Allongement Élastique (\(\delta\))
Augmentation de longueur d'un élément soumis à une traction, dans le domaine où le matériau reprend sa forme initiale après suppression de la charge.
Calcul de la Capacité de Traction d’une Barre - Exercice d'Application

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