Études de cas pratique

EGC

Dimensionnement d’une Panne de Toiture en Bois

Dimensionnement d'une Panne de Toiture en Bois Résineux

Dimensionnement d'une Panne de Toiture en Bois

Comprendre le Rôle et le Dimensionnement des Pannes

Les pannes sont des éléments de charpente horizontaux qui reposent sur les fermes ou les murs porteurs. Leur rôle principal est de supporter les chevrons ou directement la couverture du toit (comme les panneaux sandwich ou les bacs acier). Elles transmettent les charges de toiture (neige, vent, poids propre) aux éléments porteurs principaux. Une panne travaille principalement en flexion déviée : la charge verticale se décompose en une composante perpendiculaire à la pente (flexion forte) et une composante parallèle à la pente (flexion faible). Le dimensionnement selon l'Eurocode 5 exige de vérifier que la panne résiste à ces sollicitations combinées et qu'elle ne se déforme pas excessivement.

Données de l'étude

On étudie les pannes d'une toiture simple à deux versants pour un bâtiment situé à Strasbourg.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Portée des pannes (distance entre fermes) : \(L = 4.5 \, \text{m}\)
  • Entraxe des pannes (distance entre pannes) : \(e = 1.6 \, \text{m}\)
  • Pente de la toiture : \(\alpha = 25^\circ\)
  • Bois : Bois massif C24 (\(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\), \(f_{\text{v,k}} = 4 \, \text{MPa}\))
  • Section de panne proposée : \(b \times h = 80 \, \text{mm} \times 220 \, \text{mm}\)
  • Classe de service : 2, Charge de moyenne durée (\(k_{\text{mod}} = 0.8\))

Charges surfaciques (ELU) :

  • Charges permanentes (couverture, isolation, etc.) : \(G = 0.4 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charge de neige : \(S = 0.65 \, \text{kN/m}^2\)

Données utiles :

  • Coefficient partiel de sécurité : \(\gamma_M = 1.3\).
  • Pour simplifier, on considèrera le coefficient de déversement \(k_{\text{crit}} = 1.0\).
Schéma : Disposition des Pannes sur la Charpente
G+S Portée des pannes = L Entraxe = e Pente α=25°

Les pannes reprennent les charges de toiture et les reportent sur les fermes.

Questions à traiter

  1. Calculer la charge linéique de calcul à l'ELU (\(q_d\)) sur une panne.
  2. Décomposer cette charge en composantes perpendiculaire (\(q_{d,y}\)) et parallèle (\(q_{d,z}\)) à la pente de la toiture.
  3. Calculer les moments fléchissants de calcul maximaux (\(M_{y,d}\) et \(M_{z,d}\)).
  4. Calculer les contraintes de flexion de calcul (\(\sigma_{m,y,d}\) et \(\sigma_{m,z,d}\)).
  5. Vérifier la panne vis-à-vis de la flexion déviée.
  6. Vérifier la panne au cisaillement.

Correction : Dimensionnement d'une Panne de Toiture

Question 1 : Charge Linéique de Calcul (\(q_d\))

Principe :

On calcule la charge totale surfacique à l'ELU en appliquant les coefficients de sécurité, puis on la multiplie par l'entraxe des pannes pour obtenir une charge par mètre linéaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q_d = (1.35 \cdot G + 1.5 \cdot S) \cdot e \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_d &= (1.35 \times 0.4 \, \text{kN/m}^2 + 1.5 \times 0.65 \, \text{kN/m}^2) \times 1.6 \, \text{m} \\ &= (0.54 + 0.975) \times 1.6 \\ &= 1.515 \, \text{kN/m}^2 \times 1.6 \, \text{m} \\ &\approx 2.424 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La charge linéique de calcul est \(q_d \approx 2.42 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Décomposition de la Charge

Principe :

La charge verticale \(q_d\) est décomposée selon les axes locaux de la panne (y, perpendiculaire à la pente ; z, parallèle à la pente) à l'aide des fonctions cosinus et sinus de l'angle de la pente \(\alpha\).

Calcul :
\[ q_{d,y} = q_d \cdot \cos(\alpha) = 2.424 \cdot \cos(25^\circ) \approx 2.196 \, \text{kN/m} \]
\[ q_{d,z} = q_d \cdot \sin(\alpha) = 2.424 \cdot \sin(25^\circ) \approx 1.024 \, \text{kN/m} \]
Résultat Question 2 : \(q_{d,y} \approx 2.20 \, \text{kN/m}\) et \(q_{d,z} \approx 1.02 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Moments Fléchissants de Calcul (\(M_{y,d}\), \(M_{z,d}\))

Principe :

Pour une panne simplement appuyée, le moment fléchissant maximal se situe à mi-portée et est donné par la formule \(qL^2/8\).

Calcul :
\[ M_{y,d} = \frac{q_{d,y} \cdot L^2}{8} = \frac{2.196 \cdot (4.5)^2}{8} \approx 5.56 \, \text{kN.m} \]
\[ M_{z,d} = \frac{q_{d,z} \cdot L^2}{8} = \frac{1.024 \cdot (4.5)^2}{8} \approx 2.59 \, \text{kN.m} \]
Résultat Question 3 : \(M_{y,d} \approx 5.56 \, \text{kN.m}\) et \(M_{z,d} \approx 2.59 \, \text{kN.m}\).

Question 4 : Contraintes de Flexion (\(\sigma_{m,y,d}\), \(\sigma_{m,z,d}\))

Principe :

La contrainte de flexion est calculée en divisant le moment fléchissant par le module d'inertie de la section correspondante.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{m,d} = \frac{M_d}{W} \quad \text{avec} \quad W_y = \frac{b h^2}{6} \quad \text{et} \quad W_z = \frac{h b^2}{6} \]
Calcul :
\[ W_y = \frac{80 \cdot 220^2}{6} = 645333 \, \text{mm}^3 = 6.45 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \]
\[ W_z = \frac{220 \cdot 80^2}{6} = 234667 \, \text{mm}^3 = 2.35 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \]
\[ \sigma_{m,y,d} = \frac{5.56 \times 10^6 \, \text{N.mm}}{645333 \, \text{mm}^3} \approx 8.62 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma_{m,z,d} = \frac{2.59 \times 10^6 \, \text{N.mm}}{234667 \, \text{mm}^3} \approx 11.04 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 4 : \(\sigma_{m,y,d} \approx 8.62 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{m,z,d} \approx 11.04 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Vérification à la Flexion Déviée

Principe :

L'Eurocode 5 impose de vérifier une condition d'interaction pour s'assurer que l'effet combiné des deux flexions ne dépasse pas la capacité du matériau. Le terme \(k_{crit}\) prend en compte le risque de déversement (flambement latéral).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{\sigma_{m,y,d}}{k_{\text{crit}} \cdot f_{m,d}} + \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,d}} \le 1.0 \]

Avec \(f_{m,d} = \frac{f_{m,k} \cdot k_{\text{mod}}}{\gamma_M}\) et \(k_{\text{crit}} = 1.0\) (donné).

Calcul :
\[ f_{m,d} = \frac{24 \times 0.8}{1.3} \approx 14.77 \, \text{MPa} \]
\[ \frac{8.62}{1.0 \times 14.77} + \frac{11.04}{14.77} = 0.584 + 0.747 = 1.331 \]
Résultat Question 5 : On a \(1.33 > 1.0\). La panne ne vérifie pas la condition de résistance à la flexion déviée. La section est insuffisante.

Question 6 : Vérification au Cisaillement

Principe :

On vérifie que la contrainte de cisaillement maximale, qui se produit aux appuis et due à la charge perpendiculaire, est inférieure à la résistance au cisaillement du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_d = 1.5 \frac{V_d}{A} \le f_{v,d} \quad \text{avec} \quad V_d = \frac{q_{d,y} L}{2} \quad \text{et} \quad f_{v,d} = \frac{f_{v,k} k_{\text{mod}}}{\gamma_M} \]
Calcul :
\[ V_d = \frac{2.196 \times 4.5}{2} \approx 4.94 \, \text{kN} \]
\[ A = 80 \times 220 = 17600 \, \text{mm}^2 \]
\[ \tau_d = 1.5 \frac{4940 \, \text{N}}{17600 \, \text{mm}^2} \approx 0.42 \, \text{MPa} \]
\[ f_{v,d} = \frac{4 \times 0.8}{1.3} \approx 2.46 \, \text{MPa} \]

Vérification : \(0.42 \, \text{MPa} \le 2.46 \, \text{MPa}\). C'est OK.

Résultat Question 6 : La panne vérifie la condition de résistance au cisaillement. Le problème vient donc uniquement de la résistance en flexion.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Pourquoi décompose-t-on la charge verticale sur une panne ?

2. Le coefficient \(k_{crit}\) sert à prendre en compte le risque de...

3. Dans cet exercice, la panne est surdimensionnée pour la flexion selon l'axe fort (y) mais sous-dimensionnée pour la flexion selon l'axe faible (z). Que faire ?

Glossaire

Panne
Pièce de charpente posée horizontalement sur les fermes et destinée à supporter les chevrons ou la couverture.
Flexion Déviée
Sollicitation de flexion dans laquelle le plan de charge ne coïncide pas avec l'un des axes principaux d'inertie de la section. C'est le cas typique des pannes sur un toit en pente.
Déversement
Phénomène d'instabilité d'une poutre fléchie, qui se traduit par un déplacement latéral et une torsion de la section hors de son plan de flexion initial.
Module d'Inertie (ou Module de Section, \(W\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa capacité à résister à la flexion. Il est utilisé dans la formule \(\sigma = M/W\).
Dimensionnement d'une Panne de Toiture - Exercice d'Application

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