Études de cas pratique

EGC

Dimensionnement à l’ELU d’une dalle

Dimensionnement à l’ELU d’une Dalle en Béton Armé

Comprendre le Dimensionnement à l’ELU d’une Dalle

Le dimensionnement d'une dalle en béton armé à l'État Limite Ultime (ELU) consiste à déterminer la section d'armatures nécessaire pour qu'elle puisse résister aux sollicitations de calcul (principalement le moment fléchissant) sans atteindre un état de rupture. On s'assure que la capacité résistante de la section est supérieure ou égale au moment agissant de calcul. Ce calcul est basé sur les propriétés des matériaux (béton et acier) et les principes de la résistance des matériaux appliqués au béton armé.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner les armatures principales (inférieures) d'une bande de dalle de 1m de large, simplement appuyée, soumise à un moment fléchissant à l'ELU.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la bande de dalle étudiée (\(b\)) : \(1.00 \, \text{m} = 1000 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de la dalle (\(h\)) : \(180 \, \text{mm}\)
  • Enrobage des armatures (\(c\)) : \(25 \, \text{mm}\)
  • Diamètre supposé des armatures longitudinales (\(\phi_L\)) : \(10 \, \text{mm}\) (pour le calcul de d)
  • Béton : C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) : \(0.85\) (ou \(\lambda=0.8\) pour diagramme rectangulaire)

Sollicitations (ELU) pour la bande de 1m :

  • Moment fléchissant de calcul (\(M_{Ed}\)) : \(35 \, \text{kN} \cdot \text{m/m}\)

Hypothèse : On calcule les armatures en flexion simple (pas d'effort normal). On utilise le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton.

Schéma : Section de Dalle et Diagramme ELU
Section Dalle (b=1m) As xᵣ b=1000mm h=180mm d Forces ELU Fₜ 0.8xᵣ fₜₖ Fₛ xᵣ z

Section de dalle et diagramme rectangulaire simplifié des contraintes/forces à l'ELU.

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur utile (\(d\)).
  2. Calculer les résistances de calcul \(f_{cd}\) et \(f_{yd}\).
  3. Calculer le moment réduit (\(\mu_{cu}\)) et vérifier s'il est inférieur au moment réduit limite (\(\mu_{lim}\)) pour éviter les aciers comprimés. On prendra \(\mu_{lim} \approx 0.372\) pour un acier S500 et un diagramme rectangulaire.
  4. Calculer la position relative de l'axe neutre (\(\alpha_u = x_u/d\)) et le bras de levier (\(z\)).
  5. Calculer la section d'acier requise (\(A_s\)) par mètre de largeur.
  6. Vérifier la condition de non-fragilité (\(A_{s,min}\)) et choisir un ferraillage pratique (diamètre et espacement des barres).

Correction : Dimensionnement à l’ELU d’une Dalle

Question 1 : Hauteur Utile (\(d\))

Principe :

La hauteur utile \(d\) est la distance entre la fibre la plus comprimée (fibre supérieure) et le centre de gravité des armatures tendues (inférieures).

Formule(s) utilisée(s) :
\[d = h - c - \frac{\phi_L}{2}\]

Pour une dalle, on considère généralement une seule nappe d'armatures principales.

Données spécifiques :
  • Épaisseur dalle (\(h\)) : \(180 \, \text{mm}\)
  • Enrobage (\(c\)) : \(25 \, \text{mm}\)
  • Diamètre supposé armatures (\(\phi_L\)) : \(10 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &= 180 - 25 - \frac{10}{2} \, \text{mm} \\ &= 180 - 25 - 5 \\ &= 150 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en cm : \(d = 15.0 \, \text{cm}\)

Résultat Question 1 : La hauteur utile est \(d = 150 \, \text{mm}\) (ou 15.0 cm).

Question 2 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C25/30 : \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 25 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{21.25}{1.5} \, \text{MPa} \\ &\approx 14.17 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Moment Réduit (\(\mu_{cu}\)) et Vérification

Principe :

Le moment réduit compare le moment appliqué à la capacité de résistance en compression du béton seul. S'il est inférieur à \(\mu_{lim}\), la section est simplement armée (pas d'aciers comprimés nécessaires par le calcul).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\mu_{cu} = \frac{M_{Ed}}{b d^2 f_{cd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 35 \, \text{kN} \cdot \text{m/m} = 35 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm/m}\)
  • Largeur bande de dalle (\(b\)) : \(1000 \, \text{mm}\)
  • Hauteur utile (\(d\)) : \(150 \, \text{mm}\)
  • \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\mu_{lim} \approx 0.372\) (pour acier S500, diagramme rectangulaire)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \mu_{cu} &= \frac{35 \times 10^6}{1000 \times (150)^2 \times 14.17} \\ &= \frac{35 \times 10^6}{1000 \times 22500 \times 14.17} \\ &= \frac{35 \times 10^6}{318825000} \\ &\approx 0.1098 \end{aligned} \]

Vérification : \(\mu_{cu} \approx 0.110 < \mu_{lim} \approx 0.372\). La section est simplement armée.

Résultat Question 3 : Le moment réduit est \(\mu_{cu} \approx 0.110\), ce qui est inférieur à \(\mu_{lim}\). Pas besoin d'aciers comprimés.

Question 4 : Position Relative de l'Axe Neutre (\(\alpha_u\)) et Bras de Levier (\(z\))

Principe :

\(\alpha_u = x_u/d\) caractérise la position de l'axe neutre. Le bras de levier \(z\) est la distance entre les résultantes des forces de compression et de traction.

Formule(s) utilisée(s) (Diagramme rectangulaire) :
\[\alpha_u = 1.25 (1 - \sqrt{1 - 2 \mu_{cu}})\] \[z = d (1 - 0.4 \alpha_u)\]
Données spécifiques :
  • \(\mu_{cu} \approx 0.110\)
  • \(d = 150 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha_u &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.110}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 0.220}) \\ &= 1.25 \times (1 - \sqrt{0.780}) \\ &\approx 1.25 \times (1 - 0.883) \\ &= 1.25 \times 0.117 \\ &\approx 0.146 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} z &= 150 \times (1 - 0.4 \times 0.146) \\ &= 150 \times (1 - 0.0584) \\ &= 150 \times 0.9416 \\ &\approx 141.24 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\alpha_u \approx 0.146\) et \(z \approx 141.2 \, \text{mm}\).

Question 5 : Section d'Acier Requise (\(A_s\))

Principe :

La section d'acier est déterminée par l'équilibre des moments : \(M_{Ed} = A_s f_{yd} z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_s = \frac{M_{Ed}}{z f_{yd}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{Ed} = 35 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm/m}\)
  • \(z \approx 141.24 \, \text{mm}\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_s &= \frac{35 \times 10^6}{141.24 \times 434.78} \\ &\approx \frac{35 \times 10^6}{61408.5} \\ &\approx 569.97 \, \text{mm}^2/\text{m} \end{aligned} \]

Conversion en cm²/m : \(A_s \approx 5.70 \, \text{cm}^2/\text{m}\)

Résultat Question 5 : La section d'acier requise par mètre de largeur est \(A_s \approx 5.70 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

Question 6 : Vérification Non-Fragilité et Choix Pratique

Principe :

On vérifie si la section calculée est supérieure au minimum réglementaire, puis on choisit des barres commerciales fournissant une section légèrement supérieure. L'espacement doit aussi respecter des limites.

Formule(s) utilisée(s) (Non-fragilité EC2) :
\[A_{s,min} = \max \left( 0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b d \, ; \, 0.0013 b d \right)\]

Avec \(f_{ctm}\) la résistance moyenne en traction du béton. Pour C25/30, \(f_{ctm} = 2.6 \, \text{MPa}\).

Espacement maximal des armatures principales : \(s_{max,slabs} \leq \min(3h, 400 \text{ mm})\) pour les zones courantes.

Données spécifiques :
  • \(A_s \approx 570 \, \text{mm}^2/\text{m}\) (calculée)
  • \(f_{ctm} = 2.6 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(b = 1000 \, \text{mm}\) (bande de 1m)
  • \(d = 150 \, \text{mm}\)
  • \(h = 180 \, \text{mm}\)
Calcul de \(A_{s,min}\) :

Premier terme :

\[ \begin{aligned} 0.26 \frac{2.6}{500} \times 1000 \times 150 &= 0.26 \times 0.0052 \times 1000 \times 150 \\ &= 0.001352 \times 150000 \\ &\approx 202.8 \, \text{mm}^2/\text{m} \end{aligned} \]

Deuxième terme :

\[ \begin{aligned} 0.0013 \times 1000 \times 150 &= 195 \, \text{mm}^2/\text{m} \end{aligned} \]

Minimum requis :

\[ A_{s,min} = \max(202.8 \, \text{mm}^2/\text{m}, 195 \, \text{mm}^2/\text{m}) \approx 203 \, \text{mm}^2/\text{m} \]

Comparaison : \(A_s \approx 570 \, \text{mm}^2/\text{m} > A_{s,min} \approx 203 \, \text{mm}^2/\text{m}\). La condition de non-fragilité est vérifiée.

Choix pratique :

On cherche un ferraillage fournissant \(A_{s,prov} \geq 5.70 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

  • HA 10 (\(A_{\phi 10} = 0.785 \, \text{cm}^2\)): Espacement \(s = 0.785 \times 100 / 5.70 \approx 13.7 \, \text{cm}\). On peut choisir HA 10 e=12.5 cm (\(A_{s,prov} = 0.785 \times 100/12.5 = 6.28 \, \text{cm}^2/\text{m}\)).
  • HA 12 (\(A_{\phi 12} = 1.131 \, \text{cm}^2\)): Espacement \(s = 1.131 \times 100 / 5.70 \approx 19.8 \, \text{cm}\). On peut choisir HA 12 e=17.5 cm (\(A_{s,prov} = 1.131 \times 100/17.5 \approx 6.46 \, \text{cm}^2/\text{m}\)).

Vérification de l'espacement maximal pour HA 10 e=12.5 cm :

\[ s_{max,slabs} \leq \min(3 \times 180 \, \text{mm}, 400 \, \text{mm}) = \min(540 \, \text{mm}, 400 \, \text{mm}) = 400 \, \text{mm} \]

L'espacement choisi \(s = 125 \, \text{mm}\) est bien inférieur à \(s_{max} = 400 \, \text{mm}\).

Résultat Question 6 : La section minimale est \(A_{s,min} \approx 2.03 \, \text{cm}^2/\text{m}\). La section requise est \(A_s \approx 5.70 \, \text{cm}^2/\text{m}\). Un choix pratique est HA 10 espacés de 12.5 cm (\(A_{s,prov} = 6.28 \, \text{cm}^2/\text{m}\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Quel est l'objectif principal du calcul des armatures à l'ELU en flexion simple ?

2. Le moment réduit \(\mu_{cu}\) est utilisé pour :

3. La condition de non-fragilité (\(A_{s,min}\)) pour les armatures de flexion vise à :

Glossaire

Dalle
Élément structural plan, généralement horizontal, qui supporte des charges et les transmet à ses appuis (poutres, murs).
Flexion Simple
Sollicitation où la section est soumise uniquement à un moment fléchissant (pas d'effort normal).
État Limite Ultime (ELU)
État limite correspondant à la capacité portante maximale de la structure ou d'un de ses éléments avant rupture.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment agissant sur la section, calculé à l'ELU en tenant compte des charges pondérées.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée de la section de béton et le centre de gravité des armatures longitudinales tendues.
Résistance de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))
Résistance des matériaux (béton, acier) utilisée pour les calculs à l'ELU, obtenue en divisant la résistance caractéristique par un coefficient partiel de sécurité.
Moment Réduit (\(\mu_{cu}\))
Moment de calcul normalisé (\(M_{Ed} / (b d^2 f_{cd})\)) qui permet de caractériser le niveau de sollicitation du béton en compression.
Axe Neutre (\(x_u\))
Position de la ligne dans la section où la déformation est nulle à l'ELU.
Bras de Levier (z)
Distance entre la résultante des forces de compression dans le béton (\(F_c\)) et la résultante des forces de traction dans l'acier (\(F_s\)).
Section d'Acier Requise (\(A_s\))
Quantité d'armatures longitudinales nécessaires pour reprendre les efforts de traction dus à la flexion.
Condition de Non-Fragilité (\(A_{s,min}\))
Exigence d'une section minimale d'armatures pour assurer une rupture ductile (plastification de l'acier avant écrasement du béton).
Dimensionnement à l’ELU d’une Dalle - Exercice d'Application

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