Descente des charges sur une poutre
Contexte : Dimensionnement d'une poutre porteuse dans un bâtiment d'habitation (R+2).
La Descente de chargesAnalyse gravitaire consistant à cumuler les poids du haut vers le bas de la structure. (ou DDC) est l'acte fondateur de toute note de calcul de structure. Avant de calculer la quantité d'acier nécessaire (le ferraillage), l'ingénieur doit savoir exactement combien pèse la structure et ce qu'elle va porter.
Dans cet exercice, nous allons isoler une PoutreÉlément horizontal fléchi. spécifique (P1). Nous allons suivre le cheminement des efforts : les charges s'appliquent sur le plancher (dalle), le plancher repose sur la poutre, et la poutre transmettra ensuite ces efforts aux poteaux (ce qui fera l'objet d'un autre exercice).
🎓 Remarque Pédagogique Approfondie : Pourquoi cet exercice est-il fondamental ?
Cet exercice ne se limite pas à appliquer des formules. Il vise à vous faire acquérir la "logique structurelle" de l'ingénieur béton armé. Voici les enjeux clés que nous allons décortiquer :
- Le "Load Path" (Cheminement des efforts) : Vous devez visualiser la gravité comme un fluide qui ruisselle. La charge tombe sur la dalle (surface), la dalle la déverse sur la poutre (ligne), et la poutre la concentre sur les poteaux (points). Comprendre cette cascade est plus important que le calcul lui-même.
- La Ségrégation des Charges (G vs Q) : En génie civil, "tout ce qui pèse" n'est pas égal. On distingue scrupuleusement ce qui est certain et permanent (G : le poids du béton) de ce qui est aléatoire et statistique (Q : les habitants, le vent, la neige). Cette distinction est vitale car nous appliquerons des coefficients de sécurité plus sévères sur ce qui est incertain.
- La Rigueur Dimensionnelle : L'erreur numéro 1 de l'étudiant est l'homogénéité des unités. Vous allez manipuler des densités (\(kN/m^3\)), des pressions (\(kN/m^2\)) et des charges linéiques (\(kN/m\)). Si vous mélangez des centimètres et des mètres, votre bâtiment virtuel s'effondrera ou sera surdimensionné de manière grotesque.
Abordez cet exercice comme une simulation réelle : vous êtes responsable de la stabilité de cette poutre P1.
Objectifs Pédagogiques
À la fin de ce module, vous serez capable de maîtriser les compétences clés suivantes, indispensables pour tout ingénieur structure :
1. Maîtriser l'évaluation gravitaire des structures
Comprendre comment un volume de matière (béton, acier) se traduit en une force physique.
- Identifier les matériaux : Savoir utiliser les normes (Eurocode 1) pour trouver les poids volumiques.
- Calculer le poids propre : Passer du volume (\(m^3\)) au poids linéaire (\(kN/m\)) pour des éléments prismatiques comme les poutres.
- Ne rien oublier : Acquérir le réflexe d'inclure systématiquement le poids de l'élément porteur lui-même dans le bilan.
2. Comprendre le cheminement des efforts (Load Path)
Visualiser comment les charges traversent le bâtiment du plancher jusqu'aux fondations.
- Transfert Dalle \(\rightarrow\) Poutre : Comprendre le concept de surface tributaire et de largeur d'influence.
- Conversion d'unités : Transformer une pression surfacique (charge d'exploitation sur un plancher) en une charge linéique répartie sur une poutre.
- Distinguer les natures de charges : Séparer rigoureusement ce qui est permanent (G) de ce qui est variable (Q).
3. Appliquer la philosophie de sécurité des Eurocodes
L'ingénierie moderne ne se base pas sur le déterminisme absolu mais sur la gestion du risque via des coefficients de sécurité partiels.
- L'État Limite Ultime (ELU) : Comprendre pourquoi on majore les charges (1.35G + 1.5Q) pour garantir la stabilité et éviter la ruine de l'ouvrage.
- L'État Limite de Service (ELS) : Comprendre pourquoi on utilise les charges non pondérées (G + Q) pour vérifier le confort (flèche, fissuration) et la durabilité.
Dossier Technique : Étude de la Poutre P1
1. Présentation du Projet
Le projet concerne la construction d'un immeuble d'habitation collective en R+4 (Rez-de-chaussée + 4 étages) situé en zone urbaine non sismique. La structure est réalisée en ossature béton armé traditionnelle (Poteaux-Poutres-Dalles).
Nous nous intéressons spécifiquement au dimensionnement d'une poutre porteuse principale, repérée P1, située au plancher haut du 1er étage. Cette poutre supporte une partie courante du plancher d'habitation.
2. Description de l'élément structurel (P1)
La poutre P1 est une poutre isostatique reposant sur deux appuis simples (les poteaux). Ses caractéristiques géométriques ont été prédimensionnées selon les critères de flèche (L/12 à L/15) :
- Portée (L) : La distance entre les axes des poteaux est de 6.00 m.
- Section Transversale : Rectangulaire, de largeur b = 20 cm et de hauteur totale (retombée incluse) h = 50 cm.
- Matériau : Béton de classe C25/30 armé d'acier B500B. La masse volumique conventionnelle du béton armé est fixée à \(\rho = 25 \text{ kN/m}^3\).
3. Analyse de l'environnement de charge
La poutre P1 reprend les charges d'une bande de plancher. Cette zone d'influence est déterminée par la trame structurelle du bâtiment.
Largeur d'influence (\(l_{\text{inf}}\))
La poutre P1 est située entre deux poutres parallèles distantes de 3.50 m de part et d'autre. Elle reprend donc la moitié de la portée de chaque travée de dalle adjacente.
Calcul de la largeur d'influence : Dans ce cas simplifié (travées égales), \(l_{\text{inf}}\) est simplement l'entraxe entre les poutres voisines. Ici, nous considérons une largeur tributaire totale de 3.50 m.
Composition du Plancher (Charges Permanentes \(G\))
Le plancher supporté par la poutre n'est pas qu'une simple dalle brute. Il est composé de plusieurs couches qui contribuent au poids mort :
- Dalle pleine en béton armé : Épaisseur 16 cm (Poids surfacique env. 4.0 kN/m²).
- Chape de ravoirage + Mortier de pose : Pour le passage des gaines et la planéité.
- Revêtement de sol : Carrelage grès cérame standard.
- Sous-face : Enduit plâtre ou faux-plafond suspendu.
Pour cet exercice, l'ensemble de ces charges permanentes surfaciques (Dalle + Finitions) est regroupé sous la valeur moyenne pondérée : \(g_{\text{dalle}} = 4.0 \text{ kN/m}^2\).
Usage des locaux (Charges d'Exploitation \(Q\))
Le local situé au-dessus de la poutre est à usage d'habitation privée (séjour, chambres). Selon l'Eurocode 1, cela correspond à la Catégorie A.
La charge d'exploitation conventionnelle inclut : les habitants, les meubles, les cloisons légères mobiles et une part de dynamisme mineur. Elle est fixée à : \(q_{\text{expl}} = 2.5 \text{ kN/m}^2\).
1. Vue en Plan Structurelle (Niveau R+1)
Identification de la Poutre P1 et de sa surface d'influence.
2. Coupe Transversale A-A (Détail des Charges)
Visualisation de l'empilement des charges sur la poutre.
4. Synthèse des Données Numériques
| Type de Donnée | Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|---|
| Géométrie | Portée entre nus | \(L\) | 6.00 | m |
| Largeur de la section | \(b\) | 0.20 | m | |
| Hauteur de la section | \(h\) | 0.50 | m | |
| Largeur d'influence | \(l_{\text{inf}}\) | 3.50 | m | |
| Charges | Poids volumique BA | \(\rho\) | 25.0 | kN/m³ |
| Charge Perm. Plancher | \(g_{\text{dalle}}\) | 4.0 | kN/m² | |
| Charge Exploitation | \(q_{\text{expl}}\) | 2.5 | kN/m² |
5. Mission de l'Ingénieur Structure
Contexte Professionnel :
Vous êtes ingénieur calculateur dans un bureau d'études structures. L'architecte a fourni les plans du bâtiment et validé les dimensions esthétiques. Votre responsabilité est maintenant d'assurer la stabilité, la sécurité et la pérennité de l'ouvrage.
Pour la poutre P1, votre mission ne consiste pas seulement à trouver des chiffres, mais à modéliser le comportement mécanique réel de l'élément pour permettre son ferraillage futur.
Votre feuille de route se décompose en 5 étapes critiques, simulant le processus réel de dimensionnement :
- Étape 1 : Analyse Gravitaire de l'Élément (Poids Propre)
-
Avant même de porter quoi que ce soit, la poutre doit se porter elle-même. Dans les structures en béton, le poids propre représente souvent une part énorme des contraintes (30% à 50%).
Votre tâche : Calculer la charge linéique générée par le volume de béton de la poutre P1 (\(g_{\text{poutre}}\)). Vous devez transformer un volume (b x h x 1m) en une force par mètre linéaire.
- Étape 2 : Bilan des Charges Permanentes (G)
-
La poutre P1 est le "squelette" qui supporte la "chair" du bâtiment (dalles, chapes, carrelages, plafonds). Ces éléments sont immobiles et leur poids est constant.
Votre tâche : Faire la somme de toutes ces charges mortes. Vous devrez convertir la charge surfacique de la dalle en charge linéaire sur la poutre (via la largeur d'influence) et l'ajouter au poids propre calculé à l'étape 1. Le résultat (\(G\)) sera la charge que la poutre subira 100% du temps, jour et nuit, pendant 50 ans.
- Étape 3 : Analyse des Charges d'Exploitation (Q)
-
Le bâtiment va vivre : des gens vont marcher, déplacer des meubles, organiser des réceptions. Ces charges sont aléatoires et mouvantes. L'Eurocode définit des valeurs statistiques "enveloppes".
Votre tâche : Déterminer l'impact maximal de l'utilisation du bâtiment sur la poutre. Vous convertirez la charge d'exploitation surfacique réglementaire (\(q_{\text{expl}}\)) en une charge linéaire (\(Q\)) appliquée sur la poutre.
- Étape 4 : Vérification à la Rupture (ELU)
-
C'est le calcul de sécurité pure. "Si le bâtiment est plein à craquer et que les matériaux sont un peu moins bons que prévu, est-ce que ça tient ?".
Votre tâche : Calculer la combinaison fondamentale à l'État Limite Ultime (\(p_{\text{u}}\)). Vous devrez appliquer les coefficients de sécurité réglementaires (\(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\)) pour majorer les charges et définir l'effort maximal de dimensionnement pour les aciers.
- Étape 5 : Vérification du Confort (ELS)
-
Un bâtiment qui ne s'écroule pas, c'est bien. Un bâtiment qui ne se fissure pas et dont les planchers ne penchent pas, c'est mieux. C'est le domaine du "Service".
Votre tâche : Calculer la charge de service (\(p_{\text{ser}}\)) sans majoration de sécurité. Cette valeur servira ultérieurement à vérifier les flèches (déformations) et l'ouverture des fissures du béton.
Questions à traiter
- Calculer le poids propre linéique de la poutre P1 (\(g_{\text{poutre}}\)) en isolant son volume.
- Déterminer la charge linéaire permanente totale (\(G\)) en ajoutant l'apport de la dalle au poids propre.
- Déterminer la charge linéaire d'exploitation (\(Q\)) en convertissant la charge surfacique.
- Calculer la combinaison à l'ELU (\(p_{\text{u}}\)) pour le dimensionnement de la résistance (Sécurité).
- Calculer la combinaison à l'ELS (\(p_{\text{ser}}\)) pour la vérification des déformations (Confort).
Les bases théoriques fondamentales
Pour dimensionner correctement une poutre en béton armé, il est essentiel de comprendre comment les charges sont générées et transmises. Nous ne manipulons pas de simples chiffres, mais des forces physiques réelles qui s'appliquent sur la structure.
1. Le Poids Propre : La charge gravitationnelle intrinsèque
Le "poids propre" désigne la force de gravité exercée par la masse de l'élément structurel lui-même. C'est souvent la première charge qu'une structure doit porter !
Pour une poutre linéaire, on cherche à connaître le poids d'un tronçon de 1 mètre de longueur. On multiplie donc la surface de sa section (le volume d'un mètre linéaire) par la masse volumique du matériau.
Formule du Poids Propre Linéique
Où :
- \(S_{\text{section}} = b \times h\) : Aire de la section transversale en m².
- \(\rho\) : Poids volumique du matériau (kN/m³). Pour le béton armé, \(\rho \approx 25 \text{ kN/m}^3\).
Analogie : Imaginez une barre de chocolat. Si vous connaissez le poids d'un carré (densité x volume), vous pouvez déduire le poids de toute la barre.
2. Le Transfert de Charge : De la Surface à la Ligne
Dans un bâtiment, les charges (personnes, meubles, poids du sol) s'appliquent sur une surface horizontale : le plancher (la dalle). Or, la poutre est un élément linéaire qui soutient ce plancher. Il faut donc convertir une charge surfacique (\(\text{kN/m}^2\)) en charge linéique (\(\text{kN/m}\)).
Pour cela, on utilise la notion de Largeur d'Influence (\(l_{\text{inf}}\)). C'est la largeur de la bande de plancher qui "repose" sur la poutre.
Conversion Surface \(\rightarrow\) Ligne
Où :
- \(p_{\text{surf}}\) : Charge répartie sur la surface (kN/m²).
- \(l_{\text{inf}}\) : Largeur de la bande de plancher reprise par la poutre (m).
Analogie de la pluie : Si la pluie (charge surfacique) tombe sur un toit, toute l'eau qui tombe sur une certaine largeur finira dans la gouttière (la poutre). Plus le toit est large, plus la gouttière reçoit d'eau par mètre.
3. La Philosophie de la Sécurité : Les Combinaisons d'Actions
En ingénierie, on ne se contente pas d'additionner les charges. On applique des coefficients de sécurité pour couvrir les incertitudes. C'est la méthode semi-probabiliste des Eurocodes.
On distingue deux scénarios principaux (États Limites) :
État Limite Ultime (ELU) - Sécurité des personnes
On vérifie que la structure ne s'effondre pas. On majore les charges pour simuler un scénario "catastrophe".
On multiplie le poids mort (G) par 1.35 et les charges variables (Q) par 1.5 car elles sont plus incertaines.
État Limite de Service (ELS) - Confort et Durabilité
On vérifie que la structure ne se déforme pas trop (flèche) et ne fissure pas excessivement en usage normal. On prend les charges réelles (non majorées).
Correction : Descente des charges sur une poutre
Question 1 : Poids propre de la poutre (\(g_{\text{poutre}}\))
Principe
Le premier effort que doit supporter n'importe quelle structure est son propre poids. C'est la force de gravité qui s'applique sur la masse des matériaux constituant la poutre.
En mécanique des structures, on ne modélise pas ce poids comme une masse globale (en kg ou tonnes), mais comme une charge linéique (en kN/m) répartie uniformément le long de l'axe de la poutre. Cela revient à poser la question : "Combien pèse une tranche de 1 mètre de longueur de cette poutre ?".
Mini-Cours : Le Béton Armé
De quoi est fait le poids ?
Le béton armé est un matériau composite :
- Le Béton (Matrice) : Mélange de ciment, sable, graviers et eau. Sa masse volumique est d'environ \(2400 \text{ kg/m}^3\).
- L'Acier (Armatures) : Barres métalliques noyées dans le béton pour reprendre la traction. L'acier est très dense (\(7850 \text{ kg/m}^3\)).
Pour simplifier les calculs sans avoir à peser chaque barre d'acier, la norme définit une masse volumique forfaitaire pour le béton armé : on ajoute environ 100 kg d'acier par m³ de béton, ce qui porte le total à \(2500 \text{ kg/m}^3\).
En poids (force), cela donne : \(2500 \times 9.81 \approx 25000 \text{ N/m}^3 = \mathbf{25 \text{ kN/m}^3}\).
Remarque Pédagogique
L'obsession des unités : C'est la source de 90% des erreurs. Les plans d'architecte sont en centimètres (cm), les hauteurs en mètres (m), mais les forces sont en Newton (N) ou KiloNewton (kN).
Règle d'or : Convertissez TOUTES vos dimensions géométriques en mètres (m) dès le début du calcul. Ne calculez jamais avec des cm mélangés à des kN/m³.
Normes
Eurocode 1 (NF EN 1991-1-1) : "Actions sur les structures - Poids volumiques, poids propres, charges d'exploitation".
Cette norme impose la valeur de référence : \(\gamma_{\text{beton}} = 25 \text{ kN/m}^3\).
Formule(s)
Le poids linéique \(g\) s'obtient en multipliant le volume d'un mètre linéaire (qui correspond à la surface de la section \(S\)) par le poids volumique \(\rho\).
Où :
- \(b\) : Largeur de la section (m)
- \(h\) : Hauteur de la section (m)
- \(\rho_{\text{BA}}\) : Poids volumique du béton armé (kN/m³)
Hypothèses
On suppose que la poutre est prismatique (sa section \(20\times50\) est constante sur toute la longueur \(L=6.00m\)). On néglige les variations locales comme les goussets ou les réservations (trous) pour le passage de gaines, sauf si elles sont très grandes.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur brute | Valeur convertie (SI) |
|---|---|---|---|
| Largeur | \(b\) | 20 cm | 0.20 m |
| Hauteur | \(h\) | 50 cm | 0.50 m |
| Poids Volumique | \(\rho\) | 25 kN/m³ | 25.0 kN/m³ |
Astuces
Le test du "Carré de 1m" :
Si votre poutre faisait 1m x 1m, elle pèserait 25 kN par mètre. Votre poutre fait 0.20 x 0.50 = 0.10 m². C'est 10 fois moins qu'un mètre carré. Votre résultat doit donc être 10 fois plus petit que 25, soit 2.5. Si vous trouvez 250 ou 0.025, il y a un problème !
Schémas Avant Calculs (Géométrie)
1. Vue en Plan (Poutre isolée)
On visualise l'élément linéaire entre ses appuis.
2. Coupe Transversale (La Section)
C'est cette surface de matière qui génère le poids.
Calcul(s)
Calcul intermédiaire
1. On convertit d'abord les dimensions de la section en mètres pour être homogène avec la masse volumique : \( b = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m} \) et \( h = 50 \text{ cm} = 0.50 \text{ m} \).
2. On calcule ensuite l'aire de la section transversale \(S\) de la poutre en multipliant sa largeur par sa hauteur. Cette surface représente la quantité de matière par mètre de longueur :
La poutre a donc une section de \(0.10 \text{ m}^2\).
Calcul Principal
Application numérique
3. Enfin, on multiplie cette section par la masse volumique du béton armé (\(\rho_{\text{BA}} = 25 \text{ kN/m}^3\)) pour obtenir le poids par mètre linéaire. Cela revient à dire "combien pèse un tronçon de 1 mètre de cette poutre" :
Interprétation physique : Chaque mètre de cette poutre pèse 250 kg (puisque \(1 \text{ kN} \approx 100 \text{ kg}\)). C'est une charge constante répartie sur toute la longueur \(L\).
Schémas Après Calculs (Résultat)
1. Modélisation Longitudinale
On représente le poids par des flèches uniformes (charge répartie).
2. Coupe (Résultante)
La matière (hachures) crée la force (flèche).
Réflexions
Ce résultat de 2.5 kN/m peut sembler faible comparé aux charges d'un bâtiment, mais pour une poutre de 6 mètres, cela représente un poids total de \(2.5 \times 6 = 15 \text{ kN}\) soit 1.5 tonnes ! C'est le poids d'une grosse voiture.
Si l'on néglige ce poids dans les calculs (ce que font parfois les débutants), on sous-estime gravement les contraintes dans la structure.
Points de vigilance
Erreur fréquente : Confondre \(g\) (linéique, en kN/m) avec la charge totale \(P\) (en kN). Ici, \(g\) ne dépend PAS de la longueur de la poutre. Une poutre de section 20x50 pèse 2.5 kN/m, qu'elle mesure 1 mètre ou 100 mètres de long.
Points à Retenir
- La formule magique : \(g = \text{Section} \times \text{Densité}\).
- L'unité du résultat est toujours une force par unité de longueur (kN/m).
- La densité du béton armé est toujours prise à 25 kN/m³.
Le saviez-vous ?
Le béton armé est plus lourd que le béton simple (24 kN/m³) à cause de l'acier (78.5 kN/m³). Même si l'acier ne représente qu'un petit volume (1 à 2%), sa très haute densité suffit à alourdir l'ensemble d'environ 100 kg par m³.
FAQ
Pourquoi ignore-t-on la longueur L=6.00m dans ce calcul ?
Parce que nous calculons une charge répartie (linéique). C'est une valeur "par mètre". La longueur totale L n'interviendra que plus tard, pour calculer les moments fléchissants (en \(L^2/8\)) et les réactions d'appuis.
Est-ce que je dois déduire le volume des aciers ?
Non, la valeur de 25 kN/m³ est une valeur "moyenne homogénéisée" qui tient déjà compte de la présence de l'acier. On calcule comme si la poutre était faite d'un matériau unique de densité 25.
A vous de jouer
Si la poutre faisait 60 cm de hauteur au lieu de 50 cm, quel serait son poids propre linéaire ? (b=0.20m, h=0.60m)
📝 Mémo
\(b [m] \times h [m] \times 25 [kN/m^3] = g [kN/m]\).
Le poids propre est une charge Permanente (G).
Question 2 : Charge permanente totale (G)
Principe
La poutre ne travaille pas seule : son rôle principal est de porter le plancher (la dalle). La poutre supporte donc son propre poids (calculé en Q1) ainsi que le poids de la portion de dalle qu'elle soutient. Il faut additionner ces deux composantes pour obtenir la charge permanente totale (G). On fait ici une descente de charges verticale : Dalle \(\rightarrow\) Poutre.
Mini-Cours : La Largeur d'Influence (\(l_{\text{inf}}\))
Comment savoir quelle partie de la dalle pèse sur la poutre ?
Imaginez que l'on coupe le bâtiment avec une scie géante à mi-distance entre chaque poutre. C'est une approche géométrique simple mais efficace :
- Tout ce qui est à gauche de la ligne de coupe est repris par la poutre de gauche.
- Tout ce qui est à droite est repris par la poutre de droite.
La Largeur d'Influence (\(l_{\text{inf}}\)) est la largeur totale de la bande de plancher qui "repose" sur la poutre étudiée. Dans notre cas, avec des travées régulières, \(l_{\text{inf}}\) correspond exactement à l'entraxe entre les poutres voisines (3.50 m). Cela signifie que chaque mètre de poutre porte 3.50 m² de dalle.
Remarque Pédagogique
Ne rien oublier dans G !
Le terme "Charge Permanente" englobe tout ce qui est immobile et fixé à la structure. Cela inclut :
- Le poids propre de la structure (béton).
- Les chapes de ravoirage et de ciment.
- Les revêtements de sol (carrelage, parquet, colle).
- Les cloisons de distribution fixes (souvent comptées en charge répartie équivalente).
- Les plafonds suspendus et les gaines techniques fixes.
Normes
Les poids surfaciques des matériaux de construction (chapes, carrelages, etc.) sont définis dans la norme NF P 06-004. C'est là que l'on trouve que le béton armé pèse 25 kN/m³ ou qu'un carrelage pèse environ 0.20 kN/m².
Formule(s)
La charge totale \(G\) est la somme des charges linéiques :
Hypothèses
On suppose que la répartition des charges est unidirectionnelle (la dalle porte principalement dans le sens perpendiculaire aux poutres). On considère que la largeur d'influence est constante sur toute la longueur de la poutre.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Poids propre poutre (Calculé en Q1) | \(g_{\text{poutre}}\) | 2.50 | kN/m |
| Poids surfacique dalle (Donné) | \(g_{\text{dalle}}\) | 4.0 | kN/m² |
| Largeur d'influence (Donnée) | \(l_{\text{inf}}\) | 3.50 | m |
Astuces
L'analogie de la "Tranche" :
Pour visualiser le calcul, imaginez que vous découpez une tranche de bâtiment de 1 mètre d'épaisseur.
- Vous avez un morceau de poutre de 1m de long (c'est \(g_{\text{poutre}}\)).
- Posé dessus, vous avez une bande de dalle de 1m de large sur 3.50m de long.
Calculez le poids de cette bande de dalle et ajoutez-le au morceau de poutre. C'est tout !
Schémas Avant Calculs (Le Problème)
1. Vue en Plan (Surface Reprise)
La zone hachurée représente la surface de plancher portée par la poutre P1.
2. Coupe Transversale (Transfert de Charges)
La charge est initialement étalée sur la surface (flèches rouges).
Calcul(s) Détaillés
Étape 1 : Conversion de la charge surfacique en linéique
On calcule d'abord quelle charge la dalle transmet à la poutre par mètre linéaire. La charge donnée est surfacique (\(4.0 \text{ kN/m}^2\)). Pour la transformer en charge linéique (\(\text{kN/m}\)), on la multiplie par la largeur de la bande que la poutre supporte (\(3.50 \text{ m}\)).
Interprétation : La dalle appuie sur la poutre avec une force de 14.0 kN sur chaque mètre.
Étape 2 : Addition du poids propre
La charge permanente totale \(G\) est la somme de ce que la poutre porte (la dalle) et de ce qu'elle pèse elle-même (son poids propre \(g_{\text{poutre}}\) calculé en Question 1). Les deux forces agissent dans la même direction (vers le bas), donc elles s'ajoutent.
Interprétation finale : La charge permanente totale \(G\) s'élève à 16.50 kN/m. C'est le poids "mort" total de la structure brute (gros œuvre + second œuvre fixe) ramené sur l'axe de la poutre.
Schémas Après Calculs (Résultats)
1. Modélisation Longitudinale
On obtient une charge uniforme G sur toute la portée L.
2. Coupe (Résultante G)
La somme des charges est concentrée sur l'axe.
Réflexions
Observez les valeurs : la dalle pèse 14.0 kN/m alors que la poutre ne pèse que 2.50 kN/m.
La dalle représente ici environ 85% de la charge permanente.
Cela montre que le dimensionnement de la poutre dépend énormément de ce qu'elle porte (la largeur d'influence), et pas seulement de sa propre taille.
Points de vigilance
Erreur classique : Oublier d'ajouter le poids propre de la poutre (\(g_{\text{poutre}}\)) à celui de la dalle ! Il faut toujours vérifier si l'énoncé inclut ou non le poids propre dans les charges données. Ici, il fallait le calculer à part en Q1.
Points à Retenir
G = Somme de TOUTES les charges permanentes
(Poids propre élément porteur + Poids propre éléments portés + Revêtements + Équipements fixes).
Le saviez-vous ?
Dans les bâtiments anciens (ex: Haussmanniens à Paris), les planchers sont souvent constitués de poutrelles métalliques avec remplissage en plâtre (hourdis) et tomettes lourdes. Ces planchers pèsent souvent plus lourd que nos dalles béton modernes ! Le calcul de G y est donc critique pour la rénovation.
FAQ
Faut-il compter le poids des poteaux ici ?
Non, pas pour le calcul de la poutre. Les poteaux sont situés SOUS la poutre, ils la supportent. La poutre ne "porte" pas les poteaux, c'est l'inverse. Le poids des poteaux sera ajouté plus tard, lors de la descente de charge sur les fondations.
Pourquoi la largeur d'influence est-elle de 3.50m ?
C'est la distance milieu-à-milieu entre les travées adjacentes. Si les travées étaient inégales (ex: 3m à gauche, 5m à droite), la largeur d'influence serait (3/2) + (5/2) = 1.5 + 2.5 = 4.0m.
A vous de jouer
Si la largeur d'influence était de 4.00m (au lieu de 3.50m), quel serait G total (en gardant le même poids propre de poutre de 2.50 kN/m et le même poids de dalle de 4.0 kN/m²) ?
📝 Mémo
G comprend tout ce qui ne bouge pas : le béton, le carrelage, la colle, les cloisons fixes.
Question 3 : Charge d'exploitation (Q)
Principe
Contrairement aux charges permanentes (\(G\)) qui sont fixes et connues (poids des matériaux), la charge d'exploitation (\(Q\)) est variable et aléatoire. Elle représente tout ce qui "entre et sort" du bâtiment ou qui peut bouger : les personnes, le mobilier, les cloisons mobiles, les véhicules, etc.
Le principe est de convertir cette charge, définie par une pression sur le sol (en \(kN/m^2\)), en une charge linéaire équivalente sur la poutre (en \(kN/m\)). On cherche à répondre à la question : "Quel poids de personnes et de meubles chaque mètre de poutre doit-il supporter au maximum ?".
Mini-Cours : Les Catégories d'Usage (Eurocode 1)
D'où vient la valeur de 2.5 kN/m² ?
On ne pèse pas les gens un par un ! L'Eurocode 1 (NF EN 1991-1-1) définit des valeurs forfaitaires basées sur des statistiques. Ces valeurs sont des valeurs caractéristiques, c'est-à-dire qu'elles ont une probabilité très faible (5%) d'être dépassées sur une période de 50 ans.
Les bâtiments sont classés par catégories :
- Catégorie A (Habitation) : \(1.5\) à \(2.5 \text{ kN/m}^2\) (Chambres, Séjours). C'est notre cas ici.
- Catégorie B (Bureaux) : \(2.0\) à \(3.0 \text{ kN/m}^2\).
- Catégorie C (Lieux de réunion) : \(3.0\) à \(5.0 \text{ kN/m}^2\) (Écoles, Théâtres, Musées). La foule y est plus dense.
- Catégorie D (Commerces) : \(4.0\) à \(5.0 \text{ kN/m}^2\).
Note : 1 kN/m² correspond environ à 100 kg par m², soit l'équivalent d'une personne un peu costaud par mètre carré, ou une armoire remplie.
Remarque Pédagogique
Distinction fondamentale G vs Q :
Il est crucial de ne pas mélanger ces deux familles de charges car elles ne seront pas traitées de la même manière lors des combinaisons (ELU). On appliquera un coefficient de sécurité plus fort sur \(Q\) (1.5) que sur \(G\) (1.35) car \(Q\) est beaucoup plus incertaine et fluctuante.
Normes
Référence : NF EN 1991-1-1 (Actions générales).
Pour la France, l'Annexe Nationale précise que pour les planchers d'habitation, la valeur recommandée est souvent \(q_k = 1.5 \text{ kN/m}^2\), mais peut monter à \(2.5 \text{ kN/m}^2\) selon les spécifications du maître d'ouvrage (CCTP). Ici, nous prenons la valeur sécuritaire de 2.5 kN/m².
Formule(s)
La conversion est purement géométrique :
Où :
- \(q_{\text{expl}}\) : Charge surfacique d'exploitation (kN/m²).
- \(l_{\text{inf}}\) : Largeur d'influence de la poutre (m).
Hypothèses
1. Chargement total : On suppose que toute la surface d'influence est chargée simultanément au maximum (fête dans tout l'appartement).
2. Répartition uniforme : On considère que la charge est "lissée" (pas de concentration ponctuelle comme un piano à queue, qui ferait l'objet d'un calcul spécifique).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge surfacique d'exploitation | \(q_{\text{expl}}\) | 2.5 | kN/m² |
| Largeur d'influence | \(l_{\text{inf}}\) | 3.50 | m |
Astuces
Vérification d'ordre de grandeur :
Dans le bâtiment courant (hors stockage), les charges \(Q\) dépassent rarement les charges \(G\). Si vous trouvez \(Q > G\) pour une habitation classique en béton, vérifiez vos calculs (ou alors le plancher est très léger, type bois).
Schémas Avant Calculs (Situation)
1. Vue en Plan (Occupation des locaux)
La zone rouge représente l'espace occupé par les habitants au-dessus de la poutre.
2. Coupe (Action sur la Dalle)
L'exploitation agit comme une pression sur le revêtement de sol.
Calcul(s) Détaillés
Application de la formule
Nous allons transformer la pression surfacique (\(2.5 \text{ kN/m}^2\)) en force par mètre de poutre. Cela revient à "ramasser" toute la charge présente sur la largeur d'influence pour la concentrer sur l'axe de la poutre.
Interprétation : La poutre doit être capable de supporter, en plus de son poids et de la dalle, une file de personnes ou de meubles représentant 8.75 kN (environ 875 kg) sur chaque mètre de sa longueur. C'est une valeur maximale normative.
Schémas Après Calculs (Résultat)
1. Modélisation Longitudinale
La charge Q devient une charge linéique uniforme sur la poutre.
2. Coupe (Résultante Q)
Réflexions
Comparons : \(G = 16.50 \text{ kN/m}\) et \(Q = 8.75 \text{ kN/m}\).
La charge d'exploitation représente ici environ 35% de la charge totale (non pondérée). Dans les bâtiments en béton, le poids propre est presque toujours prépondérant. C'est moins vrai pour les structures légères (acier, bois) où Q peut devenir dominant.
Points de vigilance
Attention au coefficient : Même si Q est plus faible que G ici, elle sera multipliée par 1.5 à l'ELU (contre 1.35 pour G). Son impact relatif augmentera donc lors du calcul de dimensionnement final.
Points à Retenir
- \(Q\) est une charge surfacique transformée en linéaire.
- Sa valeur dépend uniquement de l'usage du local (Habitation = 1.5 à 2.5).
- Elle est considérée comme une charge variable.
Le saviez-vous ?
Il existe une loi de dégression des charges horizontales : si un poteau porte 10 étages, on considère qu'il est statistiquement impossible que les 10 étages soient bondés en même temps. On a donc le droit de réduire Q pour le calcul des poteaux du bas (mais pas pour les poutres d'un étage seul !).
FAQ
Est-ce que je dois ajouter le poids des cloisons dans Q ?
Non ! Les cloisons fixes (maçonnerie) sont dans G. Les cloisons légères mobiles (amovibles) sont parfois incluses forfaitairement dans Q ou ajoutées en G selon les normes nationales. En général, on considère que la valeur de 2.5 kN/m² inclut une marge pour le cloisonnement léger.
Et la neige ?
La neige est une charge climatique variable, distincte de l'exploitation. Elle s'applique sur la toiture. Ici nous sommes à l'intérieur (étage courant), donc pas de neige.
A vous de jouer
Si c'était des bureaux (\(q_{\text{expl}}=3.0 \text{ kN/m}^2\)) avec une largeur d'influence plus petite de 3.00m, combien vaudrait Q ?
📝 Mémo
Q = Usage (Gens + Meubles). Variable.
Question 4 : Charge à l'ELU (\(p_{\text{u}}\))
Principe
L'État Limite Ultime (ELU) est un calcul de vérification de la sécurité pure. On cherche à s'assurer que la structure ne va pas s'effondrer, rompre ou devenir instable, même si les charges réelles dépassent les prévisions ou si les matériaux sont moins résistants que prévu.
Pour cela, on applique des coefficients de sécurité partiels (\(\gamma\)) aux charges que nous avons calculées précédemment (\(G\) et \(Q\)). On crée artificiellement un "scénario catastrophe" (charges majorées) pour dimensionner la résistance de la poutre.
Mini-Cours : La Sécurité Semi-Probabiliste
Pourquoi 1.35 et 1.5 ?
Les Eurocodes utilisent une approche statistique :
- \(\gamma_G = 1.35\) pour les charges permanentes : Le poids du béton ou du carrelage est connu avec une assez bonne précision. L'incertitude est faible (écart d'épaisseur, densité légèrement variable). On majore donc "modérément" de 35%.
- \(\gamma_Q = 1.50\) pour les charges variables : Il est beaucoup plus difficile de prédire combien de personnes seront dans la pièce dans 20 ans, ou s'il y aura un stockage abusif. L'incertitude est forte. On majore donc plus sévèrement de 50%.
Note : Si les charges permanentes étaient favorables (ex: un poids qui empêche le basculement), on les minorerait (\(\gamma_G = 1.0\) ou \(0.9\)), mais ici elles sont défavorables (elles pèsent sur la poutre), donc on les majore.
Remarque Pédagogique
Le sens de l'ELU : Ce calcul ne représente pas la réalité de tous les jours ! Votre poutre ne pèsera jamais réellement 1.35 fois son poids. C'est une charge de calcul virtuelle qui sert uniquement à dimensionner les aciers pour garantir une marge de sécurité fiable (environ 1 chance sur 1 million de ruine par an).
Normes
Référence : Eurocode 0 (EN 1990) - Bases de calcul des structures.
Formule de la combinaison fondamentale (Situation durable ou transitoire) :
\(\sum \gamma_{G,j} G_{k,j} + \gamma_{Q,1} Q_{k,1} + \sum \gamma_{Q,i} \psi_{0,i} Q_{k,i}\).
Dans notre cas simple (une seule charge variable dominante), cela se simplifie en \(1.35 G + 1.5 Q\).
Formule(s)
Hypothèses
1. Combinaison fondamentale STR (Structure) : On vérifie la résistance des éléments structuraux.
2. Charges défavorables : Le poids propre et l'exploitation agissent dans le même sens (vers le bas), tendant à faire rompre la poutre en flexion.
Donnée(s)
| Type | Paramètre | Valeur Caractéristique (k) | Coeff. Sécurité (\(\gamma\)) |
|---|---|---|---|
| Permanent | \(G\) | 16.50 kN/m | 1.35 |
| Variable | \(Q\) | 8.75 kN/m | 1.50 |
Astuces
Moyen mnémotechnique :
- 1.35 pour ce qui est "lourd et certain" (Béton).
- 1.50 pour ce qui est "mobile et incertain" (Gens/Vent).
Le coefficient le plus fort punit l'incertitude la plus grande.
Schémas Avant Calculs (Les composantes)
1. Vue en Plan (Charges distinctes)
Avant pondération, on identifie les deux types de charges agissant sur la zone d'influence.
2. Coupe (Vecteurs de force)
On visualise les intensités relatives avant majoration.
Calcul(s) Détaillés
Étape 1 : Majoration des charges permanentes
On applique le coefficient \(\gamma_G = 1.35\) à la charge \(G\). Cela revient à augmenter la charge permanente de 35% pour couvrir les éventuelles sous-estimations du poids ou sur-épaisseurs de matériaux.
Étape 2 : Majoration des charges variables
On applique le coefficient \(\gamma_Q = 1.50\) à la charge \(Q\). On augmente la charge d'exploitation de 50% pour couvrir les cas extrêmes d'utilisation (foule compacte, stockage temporaire).
Étape 3 : Combinaison (Somme)
On additionne ces deux valeurs pondérées pour obtenir la charge totale de calcul à l'ELU.
Interprétation : La poutre sera calculée comme si elle supportait 3.54 tonnes par mètre linéaire. C'est cette valeur qui déterminera la quantité d'armatures principales (aciers tendus).
Schémas Après Calculs (Résultat)
1. Modélisation Longitudinale (ELU)
La charge pondérée \(p_u\) est appliquée uniformément sur la portée L.
2. Coupe (Vecteur Résultant Unique)
G et Q sont fusionnés en une seule force de calcul.
Réflexions
La charge ELU (35.40 kN/m) est nettement supérieure à la simple somme G+Q (16.50 + 8.75 = 25.25 kN/m). Cette différence de +40% environ représente la "marge de sécurité" que l'ingénieur prend pour dormir tranquille. Si la poutre est calculée pour 35.40, elle tiendra sans problème les 25.25 réels.
Points de vigilance
Ne jamais utiliser \(p_{\text{u}}\) pour calculer une flèche !
Calculer la déformation sous charge ultime donnerait des résultats effrayants et irréalistes. L'ELU sert uniquement à la résistance (pas de casse), l'ELS sert à la déformation (pas de pliure).
Points à Retenir
- ELU = Sécurité / Résistance / Rupture.
- Coefficients : 1.35 (G) et 1.5 (Q).
- C'est la charge maximale virtuelle que la poutre doit pouvoir porter avant de rompre.
Le saviez-vous ?
Il existe aussi des combinaisons "accidentelles" (coefficient 1.0 partout) pour les incendies ou les séismes. Dans ces cas, on accepte des dégâts majeurs, tant que le bâtiment ne tombe pas sur ses occupants.
FAQ
Peut-on avoir 1.5 sur G et 1.35 sur Q ?
Non, jamais en combinaison fondamentale standard. Les coefficients sont fixés par la norme pour refléter la fiabilité respective des matériaux et des usages.
Et si Q = 0 ?
Dans ce cas, \(p_u = 1.35 G\). Mais attention, il faut parfois vérifier la situation où G est favorable (0.9 G) pour le soulèvement, mais ce n'est pas le cas pour une poutre sur deux appuis.
A vous de jouer
Si G=20 et Q=5, que vaut \(p_{\text{u}}\) ?
📝 Mémo
ELU = 1.35G + 1.5Q (Fondamental).
Question 5 : Charge à l'ELS (\(p_{\text{ser}}\))
Principe
L'État Limite de Service (ELS) ne concerne pas la sécurité immédiate des personnes (la poutre ne va pas casser), mais le confort d'utilisation et la durabilité de l'ouvrage.
On cherche à vérifier le comportement de la poutre dans sa vie de tous les jours ("Service"). Dans cette situation normale, il n'y a pas de raison de majorer les charges comme à l'ELU. On additionne simplement les charges réelles estimées.
Les critères vérifiés à l'ELS sont :
1. La déformation (Flèche) : La poutre ne doit pas plier excessivement pour ne pas fissurer les cloisons ou empêcher les portes de fermer.
2. La fissuration du béton : Les fissures doivent rester microscopiques pour ne pas laisser l'eau corroder les aciers.
3. La contrainte dans les matériaux : On vérifie que le béton n'est pas écrasé en compression pure.
Mini-Cours : Les 3 Combinaisons ELS
C'est plus subtil qu'une simple addition !
L'Eurocode 0 définit en réalité trois niveaux de vérification à l'ELS, selon ce qu'on veut vérifier :
- 1. Combinaison Caractéristique (\(G + Q\)) : C'est la charge maximale "normale". On l'utilise pour vérifier les contraintes irréversibles (ex: fissuration traversante). C'est celle que nous calculons ici.
- 2. Combinaison Fréquente (\(G + \psi_1 Q\)) : Une charge qui revient souvent (environ 5% du temps). Utilisée pour la fissuration courante. Pour l'habitation, \(\psi_1 = 0.5\).
- 3. Combinaison Quasi-permanente (\(G + \psi_2 Q\)) : La charge moyenne dans le temps. Utilisée pour le calcul des flèches nuisibles (fluage du béton). Pour l'habitation, \(\psi_2 = 0.3\).
Pour cet exercice de descente de charges standard, on demande la valeur "enveloppe" maximale, donc la combinaison Caractéristique.
Remarque Pédagogique
L'erreur du débutant : "L'ELS sert à rien car c'est plus petit que l'ELU".
Faux ! Imaginez une règle en plastique. Vous pouvez appuyer fort dessus (ELU OK, elle ne casse pas), mais elle plie de 10 cm (ELS KO, c'est inutilisable). En béton armé, c'est souvent la flèche (ELS) qui impose d'augmenter la hauteur de la poutre, pas la résistance (ELU).
Normes
Référence : Eurocode 2 (EN 1992-1-1) - Section 7 : États limites de service (Maîtrise de la fissuration et des déformations).
Formule(s)
Pour la combinaison caractéristique (la plus défavorable des ELS) :
Les coefficients partiels de sécurité \(\gamma\) valent tous 1.00.
Hypothèses
On considère que les charges G et Q sont concomitantes (elles agissent en même temps). On néglige ici les effets de longue durée (fluage) qui seraient traités dans un calcul de flèche spécifique.
Donnée(s)
| Type | Paramètre | Valeur Caractéristique | Coeff. ELS |
|---|---|---|---|
| Permanent | \(G\) | 16.50 kN/m | 1.00 |
| Variable | \(Q\) | 8.75 kN/m | 1.00 |
Astuces
Calcul mental : C'est la somme brute sans calculatrice. \(16.5 + 8.75\) est plus facile à faire de tête que \(1.35 \times 16.5\)... Profitez-en pour vérifier l'ordre de grandeur de votre ELU : \(p_{\text{u}}\) doit être environ 1.4 fois plus grand que \(p_{\text{ser}}\).
Schémas Avant Calculs (Les composantes non pondérées)
1. Vue en Plan (Charges Réelles)
On visualise la superposition de G et Q sans majoration de sécurité.
2. Coupe (Vecteurs Unitaires)
Les vecteurs représentent les intensités réelles.
Calcul(s) Détaillés
Application de la combinaison caractéristique
Le calcul est une simple sommation vectorielle. Les deux forces agissent verticalement vers le bas. Il n'y a pas de pondération.
Interprétation : La charge de service est de 25.25 kN/m (soit environ 2.5 tonnes par mètre). C'est la charge maximale que la poutre subira réellement au cours de sa vie (hors événements exceptionnels).
Schémas Après Calculs (Résultat)
1. Modélisation Longitudinale (ELS)
Cette charge sert à calculer la flèche \(f\) (courbure).
2. Coupe (Vecteur Résultant Unique)
Vecteur vert, plus petit que le vecteur ELU violet.
Réflexions
Notez que la charge ELS (25.25) est toujours inférieure à la charge ELU (35.40).
Le ratio \(\frac{\text{ELU}}{\text{ELS}} = \frac{35.40}{25.25} \approx 1.40\).
Ce ratio de 1.4 est une valeur très courante dans le bâtiment. Si vous trouvez un ratio proche de 1 (G très grand devant Q) ou proche de 1.5 (Q très grand devant G), cela reste cohérent.
Points de vigilance
Ne jamais utiliser \(p_{\text{ser}}\) pour calculer la rupture !
Si vous calculez vos aciers de résistance avec cette charge, votre bâtiment aura un coefficient de sécurité de 1.0. À la moindre surcharge imprévue ou défaut de matériau, il s'écroulera. Danger de mort !
Points à Retenir
- ELS = Confort & Durabilité.
- Coefficients : 1.0 partout (pour la combinaison caractéristique).
- Sert à calculer la flèche (déformation) et l'ouverture des fissures.
Le saviez-vous ?
Le "fluage" est un phénomène où le béton continue de se déformer dans le temps sous charge constante. Une poutre chargée à l'ELS verra sa flèche tripler au bout de 5 ans par rapport à sa flèche instantanée ! C'est pour cela que le calcul ELS est critique.
FAQ
Est-ce grave si la poutre fissure à l'ELS ?
Le béton armé est conçu pour fissurer en zone tendue (le béton ne tient pas la traction). Ce qui compte, c'est de limiter l'ouverture de ces fissures (par exemple < 0.3 mm) pour que l'air humide n'atteigne pas l'acier.
Pourquoi ne pas utiliser les combinaisons ψ (psi) ici ?
Pour dimensionner la section d'acier, on utilise l'ELU. Pour vérifier la contrainte max du béton, on utilise l'ELS Caractéristique (G+Q). Les combinaisons avec \(\psi\) (0.5 ou 0.3) servent spécifiquement aux calculs fins de flèche et de fissuration.
A vous de jouer
Quel est le ratio de sécurité global ELU/ELS ici ? C'est-à-dire le rapport \(\frac{p_{\text{u}}}{p_{\text{ser}}}\).
📝 Mémo
ELS = Service = G + Q (Charges non pondérées).
Schéma Bilan : De la Réalité au Modèle Mécanique
Nous avons calculé une charge de \(p_u = 35.40 \text{ kN/m}\). Mais comment l'utiliser ?
L'étape suivante consiste à traduire la réalité physique (une poutre en béton de 20x50 reposant sur des poteaux) en un modèle mathématique simplifié (RDM) qui permettra de calculer les efforts internes (Moment fléchissant \(M\) et Effort tranchant \(V\)).
DÉCRYPTAGE DU MODÈLE :
- La Poutre (Ligne) : En RDM, la poutre est réduite à son axe neutre (fibre moyenne). On néglige son épaisseur pour le calcul des efforts globaux.
- Les Appuis (Triangles/Cercles) :
- À gauche : Appui simple (ou Rotule). Il bloque les déplacements verticaux et horizontaux, mais laisse la poutre tourner (fléchir).
- À droite : Appui glissant (Rouleau). Il bloque le déplacement vertical mais autorise le mouvement horizontal (dilatation thermique, retrait du béton).
- La Charge (Peigne) : Les flèches bleues représentent \(p_u\). Elles sont de hauteur constante car la charge est uniformément répartie (UDL).
À quoi sert ce schéma pour la suite ?
Ce modèle permet d'appliquer les formules de la RDM pour trouver les sollicitations maximales qui serviront à calculer le nombre de barres d'acier :
C'est l'effort qui fait "plier" la poutre. Il est maximal au milieu (à 3m). C'est lui qui détermine les aciers longitudinaux en bas de poutre.
C'est l'effort qui veut "cisailer" la poutre près des appuis. Il détermine les cadres (étriers) transversaux.
📝 Grand Mémo : Synthèse et Méthodologie Complète
Pour réussir une descente de charges, il ne suffit pas d'appliquer des formules, il faut adopter une démarche intellectuelle rigoureuse. Voici les piliers fondamentaux à maîtriser absolument :
-
🔑
1. La Ségrégation des Charges (G vs Q)
C'est l'étape la plus critique. Vous devez impérativement séparer ce qui est Permanent (G) de ce qui est Variable (Q) dès le début.
Pourquoi ? Parce que la sécurité n'est pas la même. Le poids du béton est connu avec une faible incertitude (on ne va pas couler 30cm au lieu de 20cm par erreur), alors que le poids de la foule ou de la neige est statistique (forte incertitude). On ne peut pas les additionner n'importe comment avant la combinaison finale. Gardez-les séparés tout au long du calcul. -
📐
2. La Maîtrise Dimensionnelle (Le jeu des unités)
L'ingénieur structure passe son temps à convertir des volumes en forces. La clé est de visualiser la dimension de la charge :
• Matériau (Volume) : \(\text{kN/m}^3\) (Densité - Force par volume).
• Dalle (Surface) : \(\text{kN/m}^2\) (Pression - Force par surface).
• Poutre (Ligne) : \(\text{kN/m}\) (Charge linéique - Force par longueur).
• Poteau (Point) : \(\text{kN}\) (Force concentrée).
Si vous multipliez une charge surfacique (\(m^2\)) par une largeur d'influence (\(m\)), vous obtenez mathématiquement une charge linéique. Vérifiez toujours vos unités ! -
⚠️
3. L'Oubli Fatal : Le Poids Propre
Une poutre en béton pèse lourd (2500 kg/m³). Sur de grandes portées, le poids propre de la poutre peut représenter 30% à 50% de la contrainte totale qu'elle subit. L'oublier, c'est sous-dimensionner gravement la structure et risquer la rupture.
Rappel de la formule : \(g_{\text{pp}} = b \times h \times 25\). C'est une charge G à ajouter systématiquement. -
💡
4. La Philosophie des États Limites (ELU vs ELS)
On ne calcule pas pour une seule situation, mais pour deux scénarios distincts :
• ELU (1.35G + 1.5Q) : Le scénario "Fin du monde". On majore tout pour être sûr que ça ne casse pas. C'est pour dimensionner la Résistance (Quantité d'Acier, Qualité du Béton).
• ELS (G + Q) : Le scénario "Vie quotidienne". On prend les charges réelles. C'est pour vérifier la Déformation (Flèche) et la Durabilité (Fissuration).
🎛️ Simulateur : Influence de la portée et de la charge
Modifiez la portée et la charge d'exploitation pour voir l'évolution du Moment Fléchissant à l'ELU (\(M_{\text{u}}\)).
Le moment maximum est donné par \(M_{\text{u}} = \frac{p_{\text{u}} L^2}{8}\).
Paramètres
📝 Quiz final : Validation des compétences
Testez votre compréhension de la descente de charges. Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
1. Parmi les éléments suivants, lequel est considéré comme une Charge Permanente (G) ?
2. Quelle est la combinaison fondamentale de charges à l'État Limite Ultime (ELU) pour une habitation ?
3. Quel est le poids propre linéique d'une poutre BA de section 20x50 cm ?
4. Que permet de vérifier l'État Limite de Service (ELS) ?
5. Si une poutre est située entre deux travées de 4m et 6m, quelle est sa largeur d'influence ?
📚 Glossaire Technique Approfondi
Ce glossaire reprend les concepts fondamentaux du génie civil abordés dans cet exercice. Il est essentiel de maîtriser ces définitions pour comprendre la mécanique des structures.
- Charge Permanente (G)
-
Désigne l'ensemble des forces exercées par le poids des éléments de construction qui sont fixes, inamovibles et durables dans le temps. C'est le poids "mort" de la structure.
Composition : Elle comprend le poids propre de la structure porteuse (poutres, poteaux, dalles en béton) ainsi que tous les équipements fixes (superstructures) : revêtements de sol (carrelage, parquet), chapes, cloisons de distribution, menuiseries, façades, et équipements techniques lourds ancrés.
Sécurité : Comme cette charge est constante et quantifiable avec précision (on connait le volume et la densité des matériaux), l'incertitude est faible. Le coefficient de sécurité appliqué à l'ELU est donc modéré : \(\gamma_G = 1.35\).
- Charge d'Exploitation (Q)
-
Représente les forces variables liées à l'usage, à l'occupation et à la fonction du bâtiment. C'est une charge "libre" qui peut varier en intensité et en position au cours du temps.
Composition : Elle englobe le poids des personnes, du mobilier, des matériels de bureau, des véhicules (dans les parkings), des cloisons mobiles et des matériaux stockés.
Nature Probabiliste : Contrairement à G, la valeur de Q est statistique. L'Eurocode 1 définit des valeurs caractéristiques (ex: 2.5 kN/m² pour l'habitat) qui ont une probabilité de 95% de ne pas être dépassées sur 50 ans. L'incertitude étant forte, le coefficient de sécurité à l'ELU est plus élevé : \(\gamma_Q = 1.50\).
- État Limite Ultime (ELU)
-
C'est un état critique de la structure au-delà duquel elle n'est plus capable de résister aux charges : c'est le point de rupture, de basculement ou d'effondrement.
Objectif : La vérification à l'ELU vise exclusivement la sécurité des personnes. On accepte que le bâtiment subisse des dégâts irréversibles (fissures importantes, déformations plastiques) tant qu'il ne s'écroule pas sur ses occupants.
Calcul : On utilise des charges majorées (pondérées) pour couvrir les risques d'erreur de modèle, de défaut de matériaux ou de surcharge exceptionnelle. La combinaison fondamentale est : \(1.35 G + 1.5 Q\).
- État Limite de Service (ELS)
-
C'est un état limite au-delà duquel les critères de confort, de fonctionnement ou de durabilité ne sont plus satisfaits, bien que la structure ne risque pas de s'effondrer.
Objectif : Assurer le confort des usagers (pas de plancher qui vibre ou qui penche) et la pérennité de l'ouvrage (pas de fissures laissant passer l'eau corrosive pour les aciers).
Calcul : On utilise les charges "en service", c'est-à-dire les valeurs réelles non majorées. La combinaison caractéristique est : \(G + Q\). Les vérifications portent sur la contrainte du béton (ne pas l'écraser localement) et l'ouverture des fissures.
- Largeur d'influence (\(l_{\text{inf}}\))
-
Concept géométrique fondamental pour la descente de charges. C'est la largeur fictive de plancher (dalle) dont le poids est intégralement supporté par l'élément étudié (la poutre).
Méthode : Dans une structure classique poteaux-poutres avec des dalles portant dans un seul sens, la largeur d'influence d'une poutre correspond à la distance entre les lignes médianes des travées adjacentes. Si une poutre a une travée de 4m à sa gauche et une travée de 4m à sa droite, elle "récupère" 2m de chaque côté, soit \(l_{\text{inf}} = 4.00 \text{ m}\).
- Poids Volumique (\(\rho\) ou \(\gamma\))
-
Grandeur physique représentant la force de gravité exercée par un matériau par unité de volume. C'est ce qui permet de passer du volume (m³) à la force (kN).
Unité : KiloNewton par mètre cube (\(\text{kN/m}^3\)).
Distinction Masse/Poids : En physique, la masse volumique est en \(\text{kg/m}^3\). En génie civil, pour les calculs de force, on multiplie cette masse par l'accélération de la pesanteur (\(g \approx 9.81 \approx 10 \text{ m/s}^2\)).
Exemple du béton armé : \(2500 \text{ kg/m}^3 \times 10 \text{ m/s}^2 = 25000 \text{ N/m}^3 = \mathbf{25 \text{ kN/m}^3}\). - Charge Linéique (\(p\))
-
Force répartie uniformément le long d'une ligne (l'axe de la poutre). Elle s'exprime en kN/m.
Visualisation : Imaginez un rideau lourd. Son poids est réparti sur toute la longueur de la tringle. Si la tringle fait 2m et le rideau pèse 10kg, la charge linéique est de 5 kg/m. Pour une poutre, c'est le même principe, mais avec des tonnes de béton !
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