Études de cas pratique

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Critère de Rupture de Von Mises

Critère de Rupture de Von Mises

Comprendre le Critère de Von Mises

Le critère de Von Mises, également connu sous le nom de critère de l'énergie de distorsion maximale, est un critère de plastification utilisé pour prédire le début de la déformation plastique des matériaux ductiles soumis à un état de contrainte multiaxial. Il stipule que la plastification commence lorsque la contrainte équivalente de Von Mises (\(\sigma_{VM}\)) atteint la limite d'élasticité du matériau (\(\sigma_y\)) obtenue lors d'un essai de traction uniaxiale. Ce critère est largement utilisé en ingénierie pour la conception et la vérification des structures et des composants mécaniques.

Données de l'étude

Un point dans un composant en acier est soumis à un état de contrainte plane défini par les contraintes suivantes :

  • Contrainte normale selon l'axe x (\(\sigma_x\)) : \(180 \, \text{MPa}\) (Traction)
  • Contrainte normale selon l'axe y (\(\sigma_y\)) : \(60 \, \text{MPa}\) (Traction)
  • Contrainte de cisaillement dans le plan xy (\(\tau_{xy}\)) : \(40 \, \text{MPa}\)

Propriétés du matériau (Acier) :

  • Limite d'élasticité (\(\sigma_y\)) : \(280 \, \text{MPa}\)

On considère que la contrainte normale selon l'axe z (\(\sigma_z\)) est nulle (état de contrainte plane).

Schéma : État de Contrainte Plane sur un Élément
σx σx σy σy τxy τyx

État de contrainte plane sur un élément de matériau.

Questions à traiter

  1. Calculer les contraintes principales \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) pour cet état de contrainte plane (on prendra \(\sigma_3 = 0\)).
  2. Calculer la contrainte équivalente de Von Mises (\(\sigma_{VM}\)).
  3. Appliquer le critère de Von Mises : comparer \(\sigma_{VM}\) à la limite d'élasticité \(\sigma_y\).
  4. Conclure si le matériau a atteint la limite d'élasticité (plastification) en ce point selon le critère de Von Mises.
  5. Si la contrainte \(\sigma_y\) était de \(100 \, \text{MPa}\) au lieu de \(60 \, \text{MPa}\), comment cela affecterait-il le résultat ?

Correction : Critère de Rupture de Von Mises

Question 1 : Calcul des Contraintes Principales (\(\sigma_1, \sigma_2\))

Principe :

Pour un état de contrainte plane, les contraintes principales \(\sigma_1\) (majeure) et \(\sigma_2\) (mineure) sont données par les formules issues de l'analyse du cercle de Mohr ou de la diagonalisation du tenseur des contraintes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]

La troisième contrainte principale \(\sigma_3 = 0\) car c'est un état de contrainte plane.

Données spécifiques :
  • \(\sigma_x = 180 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_y = 60 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = 40 \, \text{MPa}\)
Calcul :

Terme moyen :

\[ \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{180 + 60}{2} = \frac{240}{2} = 120 \, \text{MPa} \]

Terme sous la racine (rayon du cercle de Mohr, R) :

\[ \begin{aligned} \left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 &= \left(\frac{180 - 60}{2}\right)^2 + (40)^2 \\ &= \left(\frac{120}{2}\right)^2 + 1600 \\ &= (60)^2 + 1600 \\ &= 3600 + 1600 = 5200 \, \text{MPa}^2 \end{aligned} \]
\[ R = \sqrt{5200} \approx 72.11 \, \text{MPa} \]

Contraintes principales :

\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= 120 \, \text{MPa} + 72.11 \, \text{MPa} \\ &\approx 192.11 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \sigma_2 &= 120 \, \text{MPa} - 72.11 \, \text{MPa} \\ &\approx 47.89 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Et \(\sigma_3 = 0 \, \text{MPa}\) (contrainte plane).

Résultat Question 1 : Les contraintes principales sont \(\sigma_1 \approx 192.11 \, \text{MPa}\), \(\sigma_2 \approx 47.89 \, \text{MPa}\), et \(\sigma_3 = 0 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Calcul de la Contrainte Équivalente de Von Mises (\(\sigma_{VM}\))

Principe :

La contrainte équivalente de Von Mises est calculée à partir des contraintes principales ou directement à partir des composantes du tenseur des contraintes.

Formule(s) utilisée(s) :

À partir des contraintes principales (\(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\)) :

\[ \sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]} \]

Pour un état de contrainte plane (\(\sigma_3 = 0\)) :

\[ \sigma_{VM} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2} \]

Ou directement à partir de \(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}\) pour un état de contrainte plane :

\[ \sigma_{VM} = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2} \]
Calcul (en utilisant \(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}\)) :
\[ \begin{aligned} \sigma_{VM} &= \sqrt{(180)^2 - (180)(60) + (60)^2 + 3(40)^2} \\ &= \sqrt{32400 - 10800 + 3600 + 3(1600)} \\ &= \sqrt{32400 - 10800 + 3600 + 4800} \\ &= \sqrt{21600 + 3600 + 4800} \\ &= \sqrt{25200 + 4800} \\ &= \sqrt{30000} \\ &\approx 173.205 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul (en utilisant les contraintes principales \(\sigma_1 \approx 192.11\), \(\sigma_2 \approx 47.89\), \(\sigma_3 = 0\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{VM} &= \sqrt{(192.11)^2 - (192.11)(47.89) + (47.89)^2} \\ &\approx \sqrt{36906.25 - 9200.19 + 2293.45} \\ &\approx \sqrt{27706.06 + 2293.45} \\ &\approx \sqrt{29999.51} \\ &\approx 173.203 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis des contraintes principales.

Résultat Question 2 : La contrainte équivalente de Von Mises est \(\sigma_{VM} \approx 173.21 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Application du Critère de Von Mises

Principe :

Le critère de Von Mises stipule que la plastification (début de la déformation permanente) se produit lorsque la contrainte équivalente de Von Mises (\(\sigma_{VM}\)) atteint la limite d'élasticité du matériau (\(\sigma_y\)).

Condition de plastification :
\[ \sigma_{VM} \geq \sigma_y \]

Si \(\sigma_{VM} < \sigma_y\), le matériau reste dans le domaine élastique.

Données spécifiques :
  • \(\sigma_{VM} \approx 173.21 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité (\(\sigma_y\)) : \(280 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 173.21 \, \text{MPa} < 280 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 3 : Puisque \(\sigma_{VM} < \sigma_y\), le critère de Von Mises indique que le matériau n'a pas atteint sa limite d'élasticité.

Question 4 : Conclusion sur la Plastification

Analyse :

Basé sur la comparaison de la Question 3, la contrainte équivalente de Von Mises (\(173.21 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la limite d'élasticité du matériau (\(280 \, \text{MPa}\)).

Résultat Question 4 : Le matériau n'a pas atteint la limite d'élasticité (ne plastifie pas) en ce point selon le critère de Von Mises. Il reste dans le domaine élastique.

Question 5 : Effet d'une Modification de \(\sigma_y\)

Principe :

Si la contrainte normale \(\sigma_y\) (sur la face y) était de \(100 \, \text{MPa}\) au lieu de \(60 \, \text{MPa}\), nous devons recalculer les contraintes principales et la contrainte de Von Mises.

Nouvelles données :
  • \(\sigma_x = 180 \, \text{MPa}\)
  • Nouvelle \(\sigma_y = 100 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{xy} = 40 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité (\(\sigma_y\)) : \(280 \, \text{MPa}\) (inchangée pour le matériau)
Calculs avec nouvelle \(\sigma_y\) :

Nouveau terme moyen \(C'\) :

\[ C' = \frac{180 + 100}{2} = \frac{280}{2} = 140 \, \text{MPa} \]

Nouveau terme sous la racine \(R'\) :

\[ \begin{aligned} \left(\frac{180 - 100}{2}\right)^2 + (40)^2 &= \left(\frac{80}{2}\right)^2 + 1600 \\ &= (40)^2 + 1600 \\ &= 1600 + 1600 = 3200 \, \text{MPa}^2 \end{aligned} \]
\[ R' = \sqrt{3200} \approx 56.57 \, \text{MPa} \]

Nouvelles contraintes principales :

\[ \sigma'_1 = C' + R' \approx 140 + 56.57 = 196.57 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma'_2 = C' - R' \approx 140 - 56.57 = 83.43 \, \text{MPa} \]

Nouvelle contrainte de Von Mises (\(\sigma'_{VM}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{VM} &= \sqrt{(180)^2 - (180)(100) + (100)^2 + 3(40)^2} \\ &= \sqrt{32400 - 18000 + 10000 + 3(1600)} \\ &= \sqrt{14400 + 10000 + 4800} \\ &= \sqrt{24400 + 4800} \\ &= \sqrt{29200} \\ &\approx 170.88 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(\sigma_y = 280 \, \text{MPa}\) :

\[ 170.88 \, \text{MPa} < 280 \, \text{MPa} \]

Même avec cette modification de \(\sigma_y\) (la contrainte appliquée, pas la limite d'élasticité), la contrainte de Von Mises reste inférieure à la limite d'élasticité du matériau. Le matériau ne plastifierait toujours pas.

Résultat Question 5 : Si \(\sigma_y\) (appliquée) était de \(100 \, \text{MPa}\), la nouvelle contrainte de Von Mises serait \(\sigma'_{VM} \approx 170.88 \, \text{MPa}\). Comme \(170.88 \, \text{MPa} < 280 \, \text{MPa}\), le matériau ne plastifierait toujours pas.

Quiz Intermédiaire 1 : Le critère de Von Mises est principalement utilisé pour :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte équivalente de Von Mises est une valeur :

2. Si \(\sigma_{VM} > \sigma_y\), cela signifie que :

Glossaire

Critère de Von Mises
Critère de plastification basé sur l'énergie de distorsion, utilisé pour prédire le début de la déformation plastique des matériaux ductiles sous un état de contrainte multiaxial.
Contrainte Équivalente de Von Mises (\(\sigma_{VM}\))
Valeur scalaire représentant l'état de contrainte multiaxial, qui est comparée à la limite d'élasticité uniaxiale du matériau.
Limite d'Élasticité (\(\sigma_y\) ou \(\sigma_e\))
Contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à subir des déformations permanentes (plastiques) lorsqu'il est soumis à un essai de traction uniaxiale.
Plastification
Déformation permanente d'un matériau qui se produit lorsque la contrainte appliquée dépasse la limite d'élasticité.
Contraintes Principales (\(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\))
Contraintes normales agissant sur des plans où les contraintes de cisaillement sont nulles. \(\sigma_1\) est la contrainte principale majeure (la plus grande) et \(\sigma_3\) est la mineure (la plus petite).
État de Contrainte Plane
Condition où les contraintes agissent uniquement dans un plan, la contrainte normale perpendiculaire à ce plan et les contraintes de cisaillement associées étant nulles (par exemple, \(\sigma_z = \tau_{zx} = \tau_{zy} = 0\)).
Critère de Rupture de Von Mises - Exercice d'Application

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