Études de cas pratique

EGC

Contraintes et déformations en traction

Calcul des Contraintes et Déformations en Traction

Contraintes et Déformations en Traction

Comprendre les Contraintes et Déformations en Traction Simple

Lorsqu'un élément structural, tel qu'une barre ou un tirant, est soumis à une force de traction axiale, il subit un allongement et des contraintes internes se développent. Dans le domaine élastique, la relation entre la contrainte normale (\(\sigma\)) et la déformation relative (\(\epsilon\)) est linéaire et définie par le module de Young (\(E\)) du matériau (Loi de Hooke). La contrainte est la force par unité d'aire, et la déformation relative est l'allongement par unité de longueur. Cet exercice vise à calculer ces grandeurs pour une barre en aluminium et à vérifier sa sécurité par rapport à une contrainte admissible.

Données de l'étude

Une barre en alliage d'aluminium de section rectangulaire est soumise à une force de traction axiale.

Caractéristiques de la barre et de la sollicitation :

  • Longueur initiale de la barre (\(L_0\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Largeur de la section (\(b\)) : \(40 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de la section (\(h\)) : \(5 \, \text{mm}\)
  • Force de traction axiale appliquée (\(F\)) : \(20 \, \text{kN}\)
  • Module de Young de l'aluminium (\(E\)) : \(70 \, \text{GPa}\)
  • Contrainte admissible en traction de l'aluminium (\(\sigma_{adm}\)) : \(120 \, \text{MPa}\)
Schéma : Barre Rectangulaire Soumise à une Traction
Fixation Barre d'aluminium F L0 = 1.5 m b=40mm h=5mm Section

Barre rectangulaire en aluminium fixée à une extrémité et soumise à une force de traction à l'autre extrémité. La section transversale est également illustrée.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale (\(A\)) de la barre.
  2. Calculer la contrainte normale de traction (\(\sigma\)) dans la barre.
  3. Vérifier si la barre est correctement dimensionnée en comparant la contrainte calculée à la contrainte admissible.
  4. Calculer la déformation axiale relative (ou unitaire) (\(\epsilon\)) de la barre.
  5. Calculer l'allongement total (\(\delta\)) de la barre sous l'effet de la force \(F\).

Correction : Calcul des Contraintes et Déformations en Traction

Question 1 : Aire de la Section Transversale (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section rectangulaire est le produit de sa base (largeur) par sa hauteur (épaisseur).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = b \cdot h \]
Données spécifiques :
  • Largeur (\(b\)) : \(40 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(5 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= (40 \, \text{mm}) \cdot (5 \, \text{mm}) \\ &= 200 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale de la barre est \(A = 200 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte Normale de Traction (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est la force axiale (\(F\)) divisée par l'aire de la section transversale (\(A\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Données spécifiques (unités N, mm\(^2\) pour obtenir des MPa) :
  • Force de traction (\(F\)) : \(20 \, \text{kN} = 20000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(200 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{20000 \, \text{N}}{200 \, \text{mm}^2} \\ &= 100 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 100 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale de traction dans la barre est \(\sigma = 100 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Vérification du Dimensionnement

Principe :

Pour que la barre soit correctement dimensionnée, la contrainte normale calculée (\(\sigma\)) doit être inférieure ou égale à la contrainte admissible du matériau (\(\sigma_{adm}\)).

Condition :
\[ \sigma \leq \sigma_{adm} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte calculée (\(\sigma\)) : \(100 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte admissible (\(\sigma_{adm}\)) : \(120 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 100 \, \text{MPa} \leq 120 \, \text{MPa} \]

La condition est respectée.

Résultat Question 3 : La barre est correctement dimensionnée pour cette charge, car la contrainte normale calculée (\(100 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la contrainte admissible (\(120 \, \text{MPa}\)).

Question 4 : Déformation Axiale Relative (\(\epsilon\))

Principe :

Selon la loi de Hooke, dans le domaine élastique, la déformation axiale relative (\(\epsilon\)) est le rapport entre la contrainte normale (\(\sigma\)) et le module de Young (\(E\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \epsilon = \frac{\sigma}{E} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte (\(\sigma\)) : \(100 \, \text{MPa}\)
  • Module de Young (\(E\)) : \(70 \, \text{GPa} = 70 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{100 \, \text{MPa}}{70 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &= \frac{100}{70000} \\ &\approx 0.00142857 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La déformation axiale relative est \(\epsilon \approx 0.001429\).

Question 5 : Allongement Total (\(\delta\))

Principe :

L'allongement total (ou déformation élastique) est le produit de la déformation axiale relative et de la longueur initiale du tirant (\(\delta = \epsilon \cdot L_0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \delta = \epsilon \cdot L_0 \]
Données spécifiques (unités m pour \(L_0\), ou mm pour \(\delta\) cohérent avec \(\epsilon\)) :
  • \(\epsilon \approx 0.001429\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(1.5 \, \text{m} = 1500 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \delta &= 0.001429 \cdot 1500 \, \text{mm} \\ &\approx 2.1435 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'allongement total de la barre est \(\delta \approx 2.14 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la force F appliquée était doublée (et que le matériau restait dans son domaine élastique), l'allongement \(\delta\) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte normale de traction est définie comme :

2. L'allongement élastique total d'un tirant est inversement proportionnel à :

Glossaire

Déformation Élastique (\(\delta\))
Changement de forme ou de taille d'un corps sous l'effet d'une charge, qui disparaît complètement lorsque la charge est retirée.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne par unité d'aire agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. En traction ou compression simple, \(\sigma = F/A\).
Déformation Axiale Relative (ou Unitaire, \(\epsilon\))
Rapport de l'allongement (ou du raccourcissement, \(\delta L\)) à la longueur initiale (\(L_0\)) de l'élément (\(\epsilon = \delta L / L_0\)). C'est une grandeur sans dimension.
Module de Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale. C'est une mesure de la rigidité d'un matériau, définie comme le rapport de la contrainte normale à la déformation relative dans le domaine élastique.
Loi de Hooke
Principe stipulant que, pour des déformations élastiques, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation (\(\sigma = E \epsilon\)).
Tirant
Élément structural conçu pour résister principalement à des forces de traction axiales.
Contrainte Admissible (\(\sigma_{adm}\))
Valeur maximale de la contrainte qu'un matériau ou un élément structural est autorisé à supporter en service, généralement déterminée en divisant la limite d'élasticité ou la limite de rupture par un facteur de sécurité.
Calcul des Contraintes et Déformations en Traction - Exercice d'Application

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