Contraintes et Déformations en Traction Simple
Contexte : L'ossature invisible des grandes structures.
En Résistance des Matériaux (RdM), la traction est l'une des sollicitations les plus fondamentales. Les tirants, barres de treillis, haubans de ponts ou câbles de suspension sont des exemples d'éléments conçus pour travailler en traction. Comprendre comment calculer la contrainteForce interne par unité de surface à l'intérieur d'un matériau. En traction, c'est la force qui tend à "étirer" la matière. Unité : Pascal (Pa). (l'effort interne) et la déformationModification de la forme ou de la taille d'un corps sous l'effet d'une charge. L'allongement est une déformation. (l'allongement) de ces éléments est vital pour garantir qu'une structure est non seulement capable de supporter les charges prévues, mais aussi qu'elle ne se déforme pas excessivement. Cet exercice vous guidera dans le dimensionnement et la vérification d'un tirant en acier, une tâche courante pour tout ingénieur en génie civil.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de base du dimensionnement en RdM. À partir d'une force externe (la charge), nous allons déterminer la force interne par unité de surface (la contrainte), puis vérifier si le matériau est capable de la supporter (comparaison à la limite élastique). Nous calculerons également l'effet visible de cette charge : l'allongement de la barre.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'aire d'une section circulaire.
- Déterminer la contrainte normale dans un tirant soumis à une force de traction.
- Appliquer la loi de Hooke pour calculer l'allongement total d'un élément.
- Vérifier la sécurité d'un élément en comparant la contrainte de service à la limite d'élasticité du matériau.
- Maîtriser les unités (N, mm, MPa, GPa) dans les calculs de traction.
Données de l'étude
Schéma du Tirant en Traction
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur initiale du tirant | \(L\) | 3000 | \(\text{mm}\) |
| Diamètre de la section | \(d\) | 20 | \(\text{mm}\) |
| Force de traction appliquée | \(F\) | 50 000 | \(\text{N}\) |
| Module d'élasticité (Acier) | \(E\) | 210 | \(\text{GPa}\) |
| Limite d'élasticité (Acier) | \(\sigma_{\text{e}}\) | 355 | \(\text{MPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'aire (ou section) \(A\) de la section transversale du tirant.
- Calculer la contrainte normale \(\sigma\) dans le tirant.
- Calculer l'allongement total \(\Delta L\) du tirant sous l'effet de la charge.
- Vérifier la sécurité du tirant en comparant la contrainte \(\sigma\) à la limite d'élasticité \(\sigma_{\text{e}}\).
Les bases de la Traction Simple
Avant de plonger dans la correction, revoyons les trois concepts clés de la traction.
1. La Contrainte Normale (\(\sigma\)) :
La contrainte est une mesure de la force interne répartie sur la section du matériau. En traction simple, la force est perpendiculaire (normale) à la section. La contrainte est supposée uniforme sur toute l'aire.
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Où \(F\) est la force de traction et \(A\) est l'aire de la section. Son unité est le Pascal (\(\text{Pa}\)), mais on utilise plus souvent le Mégapascal (\(\text{MPa}\)), où 1 \(\text{MPa}\) = 1 \(\text{N/mm}^2\).
2. La Déformation Relative (\(\varepsilon\)) :
Aussi appelée "strain" en anglais, la déformation relative mesure l'allongement par unité de longueur. C'est une valeur sans dimension (souvent exprimée en \(\text{mm/mm}\) ou en %).
\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} \]
Où \(\Delta L\) est l'allongement total et \(L\) est la longueur initiale.
3. La Loi de Hooke :
Cette loi fondamentale stipule que, dans le domaine élastique, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation. Le coefficient de proportionnalité est le Module d'Élasticité \(E\).
\[ \sigma = E \cdot \varepsilon \]
C'est cette loi qui lie le comportement du matériau (\(E\)) à la charge appliquée (\(\sigma\)) et à sa conséquence géométrique (\(\varepsilon\)).
Correction : Contraintes et Déformations en Traction Simple
Question 1 : Calculer l'aire de la section (A)
Principe (le concept physique)
L'aire de la section transversale est la surface sur laquelle la force de traction se répartit. C'est la surface qui "résiste" à l'effort. Pour un tirant, plus cette aire est grande, plus la matière est présente pour supporter la charge, et donc plus la contrainte interne sera faible.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'aire est une grandeur scalaire qui représente la mesure d'une surface. En RdM, pour les problèmes de traction/compression, on s'intéresse à l'aire de la section droite, c'est-à-dire la surface obtenue en coupant l'élément perpendiculairement à son axe principal. Le calcul de cette aire est la première étape indispensable avant de pouvoir déterminer la contrainte.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le choix de la forme et de la taille de la section est une décision fondamentale de l'ingénieur. Une plus grande section réduit la contrainte pour une même force, augmentant la sécurité, mais elle augmente aussi le poids et le coût de la structure. C'est un arbitrage constant entre sécurité, économie et performance.
Normes (la référence réglementaire)
Les diamètres des barres d'acier et autres profilés sont normalisés. Les ingénieurs consultent des catalogues (souvent basés sur des normes comme les Eurocodes) qui fournissent directement l'aire des sections pour les diamètres standards, ce qui évite de la recalculer à chaque fois et limite les erreurs.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une section circulaire de diamètre \(d\) (ou de rayon \(r = d/2\)) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la section est parfaitement circulaire et constante sur toute la longueur du tirant, et que le matériau ne présente pas de défauts (vides, inclusions) qui pourraient réduire l'aire effective.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Diamètre de la section, \(d = 20 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour une estimation rapide, on peut approcher \(\pi/4\) par 0.785. Ainsi, \(A \approx 0.785 \times d^2\). Cela permet de vérifier rapidement un ordre de grandeur. Aussi, rappelez-vous que si vous doublez le diamètre, vous quadruplez l'aire !
Schéma (Avant les calculs)
Section Circulaire du Tirant
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec le diamètre en mm. L'unité de l'aire sera des mm².
Schéma (Après les calculs)
Aire de la Section Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette aire de 314.16 mm² est la surface effective qui reprend l'effort de traction. C'est une valeur fondamentale qui sera utilisée pour calculer la contrainte et l'allongement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier de diviser le diamètre par 2 pour obtenir le rayon si on utilise la formule \(A = \pi r^2\), ou d'oublier le facteur 4 au dénominateur si on utilise la formule avec le diamètre. Vérifiez toujours votre formule !
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'aire est la surface qui résiste à la force.
- Pour une section circulaire, la formule est \(A = \pi d^2 / 4\).
- L'aire est proportionnelle au carré du diamètre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les sections creuses (tubes) sont souvent plus efficaces que les sections pleines. Pour un même poids (donc même quantité de matière), un tube a une plus grande rigidité en torsion et en flexion. En traction pure, l'efficacité est la même, mais les tubes sont souvent préférés pour leur polyvalence structurelle.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le diamètre était de 10 mm, quelle serait la nouvelle aire en \(\text{mm}^2\) ?
Question 2 : Calculer la contrainte normale (\(\sigma\))
Principe (le concept physique)
La contrainte normale est la mesure de l'intensité de la force qui s'exerce à l'intérieur du matériau. C'est la force de traction \(F\) "diluée" sur toute l'aire \(A\) de la section. C'est cette contrainte que le matériau doit être capable de supporter sans se rompre ni se déformer de façon permanente.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Selon le principe de Saint-Venant, si l'on est suffisamment éloigné des points d'application de la charge, la manière exacte dont la force est appliquée n'a pas d'importance, et la contrainte peut être considérée comme uniformément répartie sur la section. C'est l'hypothèse fondamentale qui nous permet d'utiliser la formule simple \(\sigma = F/A\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Visualisez la contrainte comme une pression. Tout comme la pression dans un pneu est la force de l'air répartie sur la surface interne, la contrainte est la force de traction répartie sur la surface de coupe du matériau. Une force concentrée sur une petite surface crée une contrainte énorme (comme la pointe d'une aiguille).
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de calcul (comme l'Eurocode) définissent les "contraintes de calcul" qui doivent être utilisées. Celles-ci sont obtenues en majorant les forces de service par des coefficients de sécurité. La contrainte calculée ici (\(\sigma\)) est une "contrainte de service", basée sur les charges réelles non-majorées.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La contrainte normale en traction simple est donnée par :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la force de traction est appliquée au centre de gravité de la section (charge centrée), ce qui évite l'apparition de moments de flexion. On suppose également que la contrainte est uniforme sur toute la section (principe de Saint-Venant).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force de traction, \(F = 50000 \, \text{N}\)
- Aire de la section, \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
En utilisant la force en Newtons (N) et l'aire en millimètres carrés (mm²), le résultat du calcul sera directement en Mégapascals (MPa). C'est une convention très pratique en génie civil et mécanique (1 \(\text{MPa}\) = 1 \(\text{N/mm}^2\)).
Schéma (Avant les calculs)
Force Répartie sur la Section
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec les unités N et mm².
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Normale Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Chaque millimètre carré de la section d'acier subit une force interne de 159.15 Newtons. Cette valeur est celle que nous devons comparer à la résistance du matériau pour savoir si le tirant est suffisamment dimensionné.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est une mauvaise gestion des unités. Si vous convertissez la force en kiloNewtons (kN) ou l'aire en mètres carrés (m²), assurez-vous de la cohérence de vos calculs pour obtenir un résultat en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa). Le couple N/mm² est le plus sûr pour éviter les erreurs de puissance de 10.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte est la force divisée par l'aire (\(\sigma = F/A\)).
- Elle représente la sollicitation interne du matériau.
- L'utilisation des N et mm² donne directement des MPa.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La contrainte n'est pas toujours une contrainte "normale". Si la force est parallèle à la section (comme dans un rivet ou un boulon cisaillé), on parle de "contrainte de cisaillement", notée \(\tau\) (tau). La plupart des situations réelles impliquent une combinaison de contraintes normales et de cisaillement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la force était doublée (100 000 N), quelle serait la nouvelle contrainte en \(\text{MPa}\) ?
Question 3 : Calculer l'allongement total (\(\Delta L\))
Principe (le concept physique)
Sous l'effet de la contrainte de traction, les liaisons atomiques du matériau s'étirent. Cet étirement microscopique, cumulé sur toute la longueur du tirant, produit un allongement macroscopique, visible, noté \(\Delta L\). La loi de Hooke nous permet de calculer cet allongement en reliant la contrainte au Module de Young, qui est une mesure de la "raideur" du matériau.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(\Delta L = FL/AE\) est l'une des plus importantes de la RdM. Le terme \(AE\) est appelé "rigidité axiale" de l'élément. Il représente la capacité de la barre à résister à l'allongement et dépend à la fois de sa géométrie (\(A\)) et du matériau qui la compose (\(E\)). Une grande rigidité axiale signifie un faible allongement pour une charge donnée.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à un élastique. Plus vous tirez fort (\(F\)), plus il s'allonge. Plus il est long au départ (\(L\)), plus l'allongement total sera grand. Inversement, s'il est plus épais (\(A\)) ou fait d'un caoutchouc plus "raide" (\(E\)), il s'allongera moins. La formule \(\Delta L = FL/AE\) modélise parfaitement cette intuition.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction ne limitent pas seulement la résistance (contrainte), mais aussi la déformation. On parle d' "États Limites de Service" (ELS). Par exemple, une flèche excessive dans une poutre ou un allongement trop important d'un câble peuvent rendre une structure inutilisable ou inconfortable, même si elle n'est pas sur le point de rompre. Le calcul de \(\Delta L\) est donc essentiel pour les vérifications aux ELS.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On combine la loi de Hooke (\(\sigma = E \cdot \varepsilon\)) et la définition de la déformation (\(\varepsilon = \Delta L / L\)).
On peut aussi utiliser une formule directe en remplaçant \(\sigma\) par \(F/A\):
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le calcul est valide uniquement si le matériau reste dans son domaine élastique (c'est-à-dire \(\sigma < \sigma_{\text{e}}\)), là où la loi de Hooke s'applique. On suppose également que le Module d'Élasticité \(E\) est constant sur toute la longueur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte normale, \(\sigma \approx 159.15 \, \text{MPa}\) (du calcul Q2)
- Longueur initiale, \(L = 3000 \, \text{mm}\)
- Module d'élasticité, \(E = 210 \, \text{GPa} = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Assurez-vous que la contrainte et le module d'élasticité sont dans la même unité (ici, MPa) avant de faire le calcul. Le rapport \(\sigma/E\) sera alors sans dimension, et en le multipliant par une longueur en mm, on obtient bien un allongement en mm.
Schéma (Avant les calculs)
Allongement du Tirant
Calcul(s) (l'application numérique)
On utilise la première formule, plus directe car nous avons déjà calculé \(\sigma\).
Schéma (Après les calculs)
Allongement Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le tirant de 3 mètres de long s'allonge de 2.27 mm sous l'effet de la charge de 50 kN. C'est une déformation faible mais non négligeable. Dans la conception d'une structure, il faut tenir compte de ces déformations pour éviter des tassements ou des géométries non prévues une fois la structure chargée.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus courante est la conversion entre GPa et MPa. Souvenez-vous que 1 GPa = 1000 MPa. Une erreur ici conduirait à un allongement 1000 fois trop grand ou 1000 fois trop petit. Écrivez toujours les unités dans vos calculs pour vous vérifier.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'allongement dépend de la contrainte, de la longueur et du module d'élasticité.
- La formule clé est \(\Delta L = \sigma L / E\).
- Un matériau plus rigide (E élevé) s'allonge moins.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'allongement dû à la charge n'est pas la seule déformation. Les variations de température provoquent aussi une dilatation ou une contraction des matériaux. L'allongement thermique est calculé par \(\Delta L_T = \alpha \cdot \Delta T \cdot L\), où \(\alpha\) est le coefficient de dilatation thermique. Les ingénieurs doivent concevoir des joints de dilatation dans les ponts et les bâtiments pour accommoder ces mouvements.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le tirant était en aluminium (E ≈ 70 GPa), quel serait son allongement en \(\text{mm}\) ?
Question 4 : Vérifier la sécurité du tirant
Principe (le concept physique)
La vérification de la sécurité consiste à s'assurer que la sollicitation interne (la contrainte \(\sigma\)) reste inférieure à la capacité de résistance du matériau. Pour un comportement ductile comme celui de l'acier, la première limite à ne pas dépasser est la limite d'élasticité \(\sigma_{\text{e}}\). Au-delà de cette limite, le matériau subit des déformations permanentes et ne revient pas à sa forme initiale après déchargement. On définit un coefficient de sécurité pour quantifier la marge entre la contrainte de service et cette limite.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le diagramme contrainte-déformation d'un matériau est sa "carte d'identité" mécanique. Pour l'acier, il montre une première phase linéaire (domaine élastique, pente E), suivie d'un plateau (domaine plastique, où la déformation augmente sans que la contrainte n'augmente), puis d'une phase d'écrouissage où la résistance augmente à nouveau jusqu'à la rupture. Le dimensionnement usuel (en service) vise à ne jamais sortir de la première phase linéaire.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le coefficient de sécurité est une "assurance" pour l'ingénieur. Il couvre les petites imperfections du matériau, les surcharges imprévues, les simplifications du modèle de calcul, etc. Un coefficient de 1 signifierait que la structure est à la limite exacte de sa résistance élastique, ce qui est inacceptable en pratique. Les normes imposent des coefficients de sécurité minimaux en fonction du type de structure et des conséquences d'une défaillance.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction comme l'Eurocode 3 imposent des coefficients de sécurité partiels (sur les charges et sur les matériaux) plutôt qu'un coefficient global. La vérification se fait à l' "État Limite Ultime" (ELU) en comparant une contrainte de calcul (majorée par les coefficients) à une résistance de calcul (minorée). L'approche ici est une simplification pédagogique mais le principe reste le même : garder une marge de sécurité.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le critère de résistance s'écrit :
Le coefficient de sécurité (\(CS\)) est le rapport entre la résistance et la sollicitation :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la limite d'élasticité de 355 MPa est une valeur caractéristique garantie pour l'acier utilisé. En pratique, cette valeur serait minorée par un coefficient de sécurité sur le matériau (\(\gamma_M\)) dans les calculs normatifs.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte normale, \(\sigma \approx 159.15 \, \text{MPa}\) (du calcul Q2)
- Limite d'élasticité, \(\sigma_{\text{e}} = 355 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour un dimensionnement rapide, on peut inverser la logique : on se fixe un coefficient de sécurité (ex: 1.5), on calcule la contrainte admissible (\(\sigma_{\text{adm}} = \sigma_{\text{e}} / 1.5\)), puis on calcule l'aire minimale requise (\(A_{\text{min}} = F / \sigma_{\text{adm}}\)). Cela permet de choisir directement le bon diamètre de barre dans un catalogue.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Contrainte-Déformation (Acier)
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Comparer les contraintes :
2. Calculer le coefficient de sécurité :
Schéma (Après les calculs)
Marge de Sécurité
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte dans le tirant est bien inférieure à la limite d'élasticité. Le coefficient de sécurité de 2.23 indique que l'on pourrait appliquer une charge 2.23 fois plus grande avant d'atteindre la limite élastique. C'est une marge de sécurité confortable et typique pour de nombreux éléments de structure, qui tient compte des incertitudes sur les charges et la résistance des matériaux.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais concevoir une structure avec un coefficient de sécurité proche de 1. Une telle conception n'aurait aucune marge pour les imprévus et serait considérée comme dangereuse. Toujours s'assurer que la contrainte de service est significativement inférieure à la limite d'élasticité.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La sécurité est vérifiée en comparant la contrainte à la limite d'élasticité (\(\sigma \le \sigma_{\text{e}}\)).
- Le coefficient de sécurité (\(CS = \sigma_{\text{e}} / \sigma\)) quantifie la marge de sécurité.
- Un coefficient de sécurité supérieur à 1 est indispensable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour les structures très critiques, comme en aéronautique ou dans le nucléaire, la vérification ne s'arrête pas à la résistance statique. On doit aussi étudier la "résistance à la fatigue" : la capacité du matériau à supporter des millions de cycles de chargement/déchargement sans se rompre, même si la contrainte maximale reste bien en dessous de la limite d'élasticité.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle force maximale (en N) pourrait-on appliquer pour avoir un coefficient de sécurité de 1.5 ?
Outil Interactif : Paramètres de Traction
Modifiez les paramètres du tirant pour voir leur influence sur l'allongement et la contrainte.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le concept de la précontrainte, inventé par l'ingénieur français Eugène Freyssinet, utilise la traction à son avantage. Dans le béton précontraint, on tend des câbles d'acier à l'intérieur du béton. En se relâchant, ces câbles compriment le béton. Ainsi, lorsque la structure est soumise à des charges qui créent de la traction (que le béton supporte mal), cette traction sert d'abord à "annuler" la compression initiale. La structure peut alors supporter des charges bien plus importantes.
Foire Aux Questions (FAQ)
La contrainte est-elle toujours uniforme dans une section ?
En traction simple, on suppose la contrainte uniforme, loin des points d'application de la force. Cependant, près des points d'ancrage (boulons, soudures), il existe des "concentrations de contraintes" où la contrainte locale peut être bien plus élevée que la valeur moyenne \(\sigma = F/A\). C'est un point crucial dans la conception des assemblages.
Que se passe-t-il si on dépasse la limite d'élasticité ?
Le matériau entre dans le domaine plastique. Il continue de s'allonger mais pour une augmentation de charge très faible (c'est le "pallier de plasticité" pour l'acier). La déformation devient permanente. Si on continue de tirer, le matériau finit par atteindre sa résistance maximale avant de s'amincir localement (striction) et de rompre. En génie civil, on s'assure de toujours rester bien en deçà de cette limite.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double le diamètre d'un tirant, sa contrainte sous une même charge F sera...
2. Pour un même tirant (même A, L, E) soumis à la même force F, l'allongement \(\Delta L\) est...
- Contrainte Normale (\(\sigma\))
- Force interne par unité de surface, agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. Elle mesure l'intensité de l'effort de traction ou de compression. Unité : Pascal (Pa).
- Déformation Relative (\(\varepsilon\))
- Rapport de l'allongement (\(\Delta L\)) sur la longueur initiale (\(L\)). C'est une mesure adimensionnelle de l'étirement ou du raccourcissement relatif du matériau.
- Limite d'Élasticité (\(\sigma_{\text{e}}\))
- Valeur de contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à se déformer de manière permanente (déformation plastique). C'est la limite de résistance utilisée pour le dimensionnement en service.
D’autres exercices de Rdm :
0 commentaires