EGC

Conception d’un Entrait Moisé

Conception d’un Entrait Moisé en Bois (Eurocode 5)

Conception d’un Entrait Moisé en Bois

Contexte : L'art des assemblages en charpente bois.

Dans les structures en bois, et notamment les fermes de charpente, la continuité des pièces est essentielle. L'entrait, la pièce horizontale inférieure d'une ferme, est soumis à un effort de traction important. Lorsqu'il est nécessaire de joindre deux pièces de bois pour former un entrait de grande longueur, on utilise un assemblage. L'assemblage par moisesPièces de bois ou de métal jumelées, placées de part et d'autre d'une autre pièce pour la renforcer ou réaliser un assemblage. métalliques et boulons est une solution classique, robuste et fiable. Cet exercice vous guidera dans la vérification de la résistance d'un tel assemblage selon les règles de l'Eurocode 5, la norme européenne pour la conception des structures en bois.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une démarche fondamentale de l'ingénieur structure : la vérification d'un point singulier. La solidité globale d'une structure dépend souvent de la résistance de ses points les plus faibles, qui sont les assemblages. Nous allons décomposer le problème en plusieurs modes de ruine potentiels (cisaillement des boulons, écrasement du bois, rupture du bois) pour nous assurer que l'assemblage est sûr sous toutes ses coutures.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les formules de l'Eurocode 5 pour un assemblage bois-métal.
  • Calculer la résistance au cisaillement d'un boulon dans un assemblage à double coupe.
  • Déterminer le nombre de boulons nécessaire pour reprendre un effort de traction donné.
  • Vérifier la résistance du bois à la pression diamétrale (écrasement).
  • Vérifier la résistance à la traction de la section nette de la pièce en bois.

Données de l'étude

On souhaite vérifier la conception d'un assemblage pour un entrait de ferme. L'entrait est constitué de deux pièces en bois lamellé-collé de classe GL24h. L'assemblage est réalisé par deux moises en acier S235 et des boulons de classe 4.6. L'effort de traction de calcul à l'ELU (État Limite Ultime) est de 150 kN.

Schéma de l'assemblage de l'entrait moisé
Vue de dessus Nd Nd Vue en coupe A-A t2=8mm t1=80mm
Paramètre Symbole Valeur Unité
Effort de traction de calcul \(N_d\) 150 \(\text{kN}\)
Épaisseur pièce de bois \(t_1\) 80 \(\text{mm}\)
Épaisseur moise acier \(t_2\) 8 \(\text{mm}\)
Diamètre des boulons \(d\) 16 \(\text{mm}\)
Classe de qualité du bois GL24h
Classe de qualité de l'acier S235
Classe de service 1 (local chauffé)

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance caractéristique à la pression diamétrale du bois \(f_{h,k}\) et le moment d'écoulement caractéristique des boulons \(M_{y,Rk}\).
  2. Déterminer la valeur de calcul de la résistance au cisaillement d'un boulon \(F_{v,Rd}\) pour cet assemblage.
  3. Calculer le nombre de boulons requis pour reprendre l'effort \(N_d\).
  4. Vérifier la résistance à la traction de la section nette de l'entrait en bois.

Les bases des assemblages bois (Eurocode 5)

Avant de commencer, voici quelques concepts essentiels pour les assemblages boulonnés bois-métal.

1. Théorie de Johansen (Modes de ruine) :
La résistance d'un boulon dans un assemblage bois est gouvernée par la théorie de Johansen (1949). Elle identifie plusieurs modes de ruine possibles, combinant la flexion du boulon (son "écoulement") et l'écrasement du bois sous le boulon (pression diamétrale). L'Eurocode 5 fournit des formules pour chaque mode, et la résistance réelle de l'assemblage est la plus faible de ces valeurs.

2. Pression Diamétrale (\(f_{h,k}\)) :
C'est la capacité du bois à résister à l'écrasement local sous le corps d'un boulon. Elle dépend de la masse volumique du bois et du diamètre du boulon. L'Eurocode 5 donne la formule : \[ f_{h,k} = 0.082 \cdot (1 - 0.01 \cdot d) \cdot \rho_k \] où \(\rho_k\) est la masse volumique caractéristique du bois.

3. Section Nette :
Lorsqu'on perce le bois pour y insérer des boulons, on affaiblit la section. La "section nette" est la surface de bois restante qui travaille réellement en traction. La vérification consiste à s'assurer que la contrainte de traction sur cette section réduite ne dépasse pas la résistance du bois. \[ \sigma_{t,0,d} = \frac{N_d}{A_{\text{net}}} \le f_{t,0,d} \]

Correction : Conception d’un Entrait Moisé en Bois

Question 1 : Calculer \(f_{h,k}\) et \(M_{y,Rk}\)

Principe (le concept physique)

Avant de calculer la résistance de l'assemblage, nous devons déterminer les propriétés de base de nos deux composants : le bois et l'acier. Pour le bois, la propriété clé est sa capacité à résister à l'écrasement par le boulon (\(f_{h,k}\)). Pour le boulon, c'est sa capacité à résister à la flexion, quantifiée par son moment d'écoulement (\(M_{y,Rk}\)), qui est le moment fléchissant qui provoque sa plastification.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La masse volumique \(\rho_k\) est une mesure de la quantité de matière bois par unité de volume. Une densité plus élevée implique des fibres de bois plus serrées et donc une meilleure résistance à l'écrasement. La résistance à la traction de l'acier \(f_{ub}\) est la contrainte maximale que l'acier du boulon peut supporter avant de rompre. La classe 4.6 signifie \(f_{ub} \approx 400\) MPa et \(f_{yb} \approx 0.6 \times 400 = 240\) MPa.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez ces deux valeurs comme les "cartes d'identité" de vos matériaux pour ce calcul. Tout comme vous ne pouvez pas construire un mur sans connaître la résistance de vos briques, vous ne pouvez pas concevoir un assemblage sans connaître ces propriétés fondamentales. Elles sont le point de départ de toute l'analyse.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules et les valeurs matérielles sont tirées de l'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1) pour le bois et de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-8) pour l'acier. Pour le bois lamellé-collé GL24h, la masse volumique caractéristique \(\rho_k\) est de 380 kg/m³. Pour les boulons de classe 4.6, la limite de rupture en traction \(f_{ub}\) est de 400 MPa.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pression diamétrale caractéristique du bois :

\[ f_{h,k} = 0.082 \cdot (1 - 0.01 \cdot d) \cdot \rho_k \]

Moment d'écoulement caractéristique du boulon :

\[ M_{y,Rk} = 0.3 \cdot f_{ub} \cdot d^{2.6} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les classes de matériaux spécifiées sont correctes et que les matériaux sont exempts de défauts. Le calcul est fait pour un chargement parallèle au fil du bois.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre du boulon, \(d = 16 \, \text{mm}\)
  • Masse volumique du bois GL24h, \(\rho_k = 380 \, \text{kg/m³}\)
  • Résistance à la traction de l'acier du boulon 4.6, \(f_{ub} = 400 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme \( (1 - 0.01 \cdot d) \) montre que, paradoxalement, un plus gros boulon exerce une pression légèrement moins efficace. Pour le moment d'écoulement, notez la puissance de 2.6 : la résistance du boulon en flexion augmente très rapidement avec son diamètre.

Schéma (Avant les calculs)
Propriétés des Matériaux
Bois GL24hρk = 380 kg/m³Boulon 4.6fub = 400 MPa
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(f_{h,k}\) :

\[ \begin{aligned} f_{h,k} &= 0.082 \cdot (1 - 0.01 \cdot d) \cdot \rho_k \\ &= 0.082 \cdot (1 - 0.01 \cdot 16) \cdot 380 \\ &= 0.082 \cdot (0.84) \cdot 380 \\ &\approx 26.15 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Calcul de \(M_{y,Rk}\) :

\[ \begin{aligned} M_{y,Rk} &= 0.3 \cdot f_{ub} \cdot d^{2.6} \\ &= 0.3 \cdot 400 \, \text{N/mm²} \cdot (16 \, \text{mm})^{2.6} \\ &= 120 \cdot 1304.9 \\ &\approx 156588 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs Caractéristiques Calculées
Résistance écrasementf_h,k ≈ 26.2 MPaMoment d'écoulementMy,Rk ≈ 156.6 kN·mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant les deux valeurs fondamentales qui décrivent le comportement de nos matériaux dans l'assemblage. \(f_{h,k}\) nous dit à quel point le bois est "dur" face au boulon, et \(M_{y,Rk}\) nous dit à quel point le boulon est "costaud" en flexion. Ces deux valeurs vont maintenant être utilisées dans les formules de Johansen pour déterminer la résistance globale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une erreur d'unité. La masse volumique \(\rho_k\) est donnée en kg/m³ dans les normes, mais doit être utilisée comme un nombre sans dimension dans la formule de \(f_{h,k}\). Le résultat final est bien en MPa (ou N/mm²). Assurez-vous également d'utiliser la bonne valeur de \(\rho_k\) pour la classe de bois spécifiée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance à l'écrasement du bois \(f_{h,k}\) dépend de sa densité et du diamètre du boulon.
  • Le moment d'écoulement du boulon \(M_{y,Rk}\) dépend de sa nuance d'acier et de son diamètre.
  • Ces deux valeurs sont les ingrédients de base pour les calculs de Johansen.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule du moment d'écoulement \(M_{y,Rk}\) est une simplification empirique. En réalité, elle est liée au module plastique de la section circulaire du boulon (\(W_{\text{pl}} = d^3/6\)) et à sa limite d'élasticité (\(f_{yb}\)). La formule de l'Eurocode donne une approximation sûre et pratique pour les calculs courants.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la formule de \(f_{h,k}\) inclut-elle le diamètre \(d\) ?

Des recherches ont montré qu'un boulon de plus grand diamètre a tendance à "fendre" le bois légèrement plus qu'un petit, ce qui réduit légèrement l'efficacité de la surface d'appui. Le terme \((1 - 0.01 \cdot d)\) est un facteur empirique qui prend en compte cet effet d'échelle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les valeurs caractéristiques sont : \(f_{h,k} \approx 26.15 \, \text{MPa}\) et \(M_{y,Rk} \approx 156588 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez \(f_{h,k}\) pour un bois plus dense de classe GL28h (\(\rho_k = 400 \, \text{kg/m³}\)) avec le même boulon de 16 mm.

Question 2 : Déterminer la résistance au cisaillement d'un boulon (\(F_{v,Rd}\))

Principe (le concept physique)

La résistance d'un boulon n'est pas une valeur unique, mais le minimum de plusieurs scénarios de rupture possibles. Dans notre cas (assemblage bois-métal à double coupe), l'Eurocode 5 définit plusieurs modes de ruine. On doit calculer la résistance pour chaque mode et retenir la plus faible, car c'est elle qui dictera la rupture. C'est le principe du "maillon le plus faible".

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les modes de ruine pour un assemblage bois-métal à double coupe sont :
- **Mode f :** Écrasement du bois dans la pièce centrale, sans flexion du boulon.
- **Mode h :** Flexion du boulon (formation de deux rotules plastiques) avec écrasement du bois. C'est un mode ductile.
La résistance est calculée par plan de cisaillement (nous en avons deux).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez le boulon comme un petit levier. Soit le bois est trop "mou" et s'écrase avant que le boulon ne plie (Mode f), soit le bois est assez "dur" pour forcer le boulon à plier (Mode h). La nature choisira toujours le chemin de moindre résistance, c'est pourquoi nous devons calculer les deux et prendre le plus petit.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules de Johansen pour les assemblages bois-métal à double coupe sont données dans l'Eurocode 5, section 8.2.3. Les coefficients de sécurité \(\gamma_M\) et de modification \(k_{\text{mod}}\) sont également définis dans la norme pour passer d'une valeur caractéristique (laboratoire) à une valeur de calcul (chantier).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La résistance caractéristique par plan de cisaillement, \(F_{v,Rk}\), est le minimum des modes pertinents. Pour un assemblage bois-métal, on vérifie :

\[ F_{v,Rk} = \min \begin{cases} \text{Mode f: } f_{h,k} \cdot t_1 \cdot d \\ \text{Mode h: } 2.3 \cdot \sqrt{M_{y,Rk} \cdot f_{h,k} \cdot d} \end{cases} \]

La résistance de calcul pour le boulon (2 plans de cisaillement) est :

\[ F_{v,Rd} = \frac{2 \cdot F_{v,Rk} \cdot k_{\text{mod}}}{\gamma_M} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les moises en acier sont suffisamment rigides et résistantes pour ne pas être le point faible (ce qui est généralement le cas). On néglige tout effet de frottement ou "effet corde" dû au serrage des boulons.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(f_{h,k} = 26.15 \, \text{MPa}\)
  • \(M_{y,Rk} = 156588 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(t_1 = 80 \, \text{mm}\), \(d = 16 \, \text{mm}\)
  • Coefficient de modification, \(k_{\text{mod}} = 0.9\) (Classe de service 1, charge de longue durée)
  • Coefficient partiel de sécurité, \(\gamma_M = 1.3\) (pour les assemblages bois)
Astuces(Pour aller plus vite)

Dans les assemblages bois-métal avec des moises fines, le mode "h" (flexion du boulon) est très souvent le mode déterminant. Si vous êtes pressé, un calcul rapide du mode "h" vous donnera une bonne première estimation de la résistance.

Schéma (Avant les calculs)
Modes de Ruine Possibles
Mode f (Écrasement)Mode h (Flexion boulon)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul des résistances caractéristiques par plan de cisaillement :

\[ \begin{aligned} \text{Mode f} &= f_{h,k} \cdot t_1 \cdot d \\ &= 26.15 \cdot 80 \cdot 16 \\ &= 33472 \, \text{N} = 33.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Mode h} &= 2.3 \cdot \sqrt{M_{y,Rk} \cdot f_{h,k} \cdot d} \\ &= 2.3 \cdot \sqrt{156588 \cdot 26.15 \cdot 16} \\ &= 2.3 \cdot \sqrt{65559859} \\ &= 2.3 \cdot 8097 \\ &= 18623 \, \text{N} = 18.6 \, \text{kN} \end{aligned} \]

La valeur caractéristique est le minimum : \(F_{v,Rk} = \min(33.5 \, \text{kN}, 18.6 \, \text{kN}) = 18.6 \, \text{kN}\) par plan de cisaillement.

Calcul de la résistance de calcul pour le boulon (2 plans) :

\[ \begin{aligned} F_{v,Rd} &= \frac{2 \cdot F_{v,Rk} \cdot k_{\text{mod}}}{\gamma_M} \\ &= \frac{2 \cdot 18623 \, \text{N} \cdot 0.9}{1.3} \\ &= \frac{33521.4}{1.3} \\ &\approx 25786 \, \text{N} \\ &\approx 25.8 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Mode de Ruine Déterminant
Le maillon le plus faibleMode f = 33.5 kNMode h = 18.6 kNFv,Rk = 18.6 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance d'un seul boulon est de 25.8 kN. Le mode de ruine déterminant est le mode 'h', ce qui signifie que la rupture se produirait par plastification du boulon et écrasement du bois simultanément. C'est un mode de rupture ductile, ce qui est préférable à une rupture fragile.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur 2 pour un assemblage à double coupe. Une autre erreur fréquente est d'oublier les coefficients \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_M\), ce qui reviendrait à comparer une sollicitation de calcul (majorée) à une résistance caractéristique (non minorée), une erreur grave en conception de sécurité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance d'un assemblage est le minimum des résistances de tous les modes de ruine possibles.
  • Pour les assemblages bois-métal, la flexion du boulon (mode h) est souvent déterminante.
  • On passe de la résistance caractéristique (\(R_k\)) à la résistance de calcul (\(R_d\)) via les coefficients \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_M\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L' "effet de groupe" est un phénomène où, dans une file de plusieurs boulons, les premiers de la file ont tendance à prendre plus de charge que les derniers. L'Eurocode 5 en tient compte en appliquant un coefficient réducteur (\(k_{\text{ef}} < 1\)) pour les files de plus de 10 boulons.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le mode "g" n'est-il pas calculé ?

Le mode "g" correspond à l'écrasement du bois dans les pièces latérales (les moises). Dans notre cas, les moises sont en acier, un matériau beaucoup plus résistant à l'écrasement que le bois. On peut donc considérer sa résistance à l'écrasement comme infinie par rapport à celle du bois, et ce mode de ruine ne sera jamais déterminant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul au cisaillement d'un boulon est \(F_{v,Rd} \approx 25.8 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'épaisseur du bois \(t_1\) était de 40 mm, quelle serait la nouvelle résistance \(F_{v,Rd}\) en kN ?

Question 3 : Calculer le nombre de boulons requis

Principe (le concept physique)

Le principe de base de la conception est que la résistance de la structure (ou de l'assemblage) doit être supérieure ou égale aux sollicitations appliquées (\(R_d \ge E_d\)). Ici, la résistance totale de notre groupe de boulons (\(n \cdot F_{v,Rd}\)) doit être supérieure à l'effort de traction de calcul \(N_d\). Le calcul est donc une simple division de l'effort total par la résistance d'un seul boulon.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette approche suppose une répartition égale de l'effort entre tous les boulons. Cette hypothèse est valable pour les assemblages courts et rigides. Pour les assemblages longs et flexibles, la déformation de l'assemblage peut entraîner une distribution inégale des charges, les boulons aux extrémités étant plus sollicités. L'Eurocode 5 gère cela avec un "coefficient d'efficacité" pour les longues files de boulons.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un groupe de personnes tirant sur une corde. Si tout le monde tire en même temps et avec la même force, on peut simplement additionner leur force individuelle. C'est ce que nous faisons ici. Le calcul est simple, mais il repose sur l'hypothèse cruciale que tous nos "boulons-tireurs" travaillent bien ensemble.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification fondamentale \(E_d \le R_d\) est la base de toutes les normes de calcul structurel de type Eurocodes, que ce soit pour le béton, l'acier ou le bois. C'est le principe de sécurité des états limites ultimes (ELU).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ n \ge \frac{N_d}{F_{v,Rd}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'effort est réparti uniformément entre tous les boulons. On néglige l'effet de groupe car le nombre de boulons sera probablement faible.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de traction de calcul, \(N_d = 150 \, \text{kN}\)
  • Résistance d'un boulon, \(F_{v,Rd} = 25.8 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Dans une phase de pré-dimensionnement, on peut estimer rapidement la résistance d'un boulon (souvent entre 20 et 40 kN pour les diamètres courants) pour avoir une idée du nombre de fixations. Si le nombre devient très élevé (plus de 10-12), il faut peut-être reconsidérer la conception : augmenter le diamètre des boulons, utiliser une meilleure classe de bois, ou changer de type d'assemblage.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des Forces
Nd = 150 kNn x Fv,Rd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} n &\ge \frac{N_d}{F_{v,Rd}} \\ &\ge \frac{150 \, \text{kN}}{25.8 \, \text{kN/boulon}} \\ &\ge 5.81 \end{aligned} \]

Puisqu'on ne peut pas mettre une fraction de boulon, on arrondit toujours au nombre entier supérieur.

\[ n = 6 \, \text{boulons} \]
Schéma (Après les calculs)
Solution : 6 Boulons
Résistance totale = 6 x 25.8 = 154.8 kN ≥ 150 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Il nous faut au minimum 6 boulons pour que l'assemblage puisse résister à la traction de 150 kN. Il faudra ensuite disposer ces 6 boulons de manière géométriquement correcte, en respectant les espacements minimaux définis par l'Eurocode 5 pour éviter les ruptures prématurées du bois.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais arrondir le nombre de boulons à l'inférieur ! Même pour un résultat de 5.1, il faut en mettre 6. La sécurité prime. Il faut aussi s'assurer que la pièce de bois est assez grande pour pouvoir placer ces 6 boulons en respectant les pinces et espacements réglementaires.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le dimensionnement de base est : \( \text{Nombre} = \text{Effort Total} / \text{Résistance Unitaire} \).
  • Toujours arrondir le nombre de fixations à l'entier supérieur.
  • Le calcul du nombre de fixations est une étape, mais leur disposition géométrique est tout aussi cruciale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les zones sismiques, les assemblages sont conçus pour être le point "fusible" de la structure. On les dimensionne pour qu'ils se déforment de manière ductile (comme notre mode 'h') en cas de séisme, dissipant ainsi l'énergie et empêchant un effondrement brutal de la structure principale.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si j'utilise 8 boulons au lieu de 6 ?

Utiliser plus de boulons que le minimum requis augmente la marge de sécurité de l'assemblage, ce qui est une bonne chose. Cependant, cela augmente aussi le coût et le temps de mise en œuvre. L'objectif de l'ingénieur est de trouver le juste équilibre entre sécurité, économie et faisabilité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le nombre de boulons requis est de 6.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'effort de traction \(N_d\) était de 200 kN, combien de boulons faudrait-il ?

Question 4 : Vérifier la résistance de la section nette

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous savons que les boulons tiendront, nous devons vérifier que le bois lui-même ne va pas casser. En perçant des trous pour les boulons, nous avons réduit la section de bois capable de résister à la traction. Nous devons nous assurer que la contrainte sur cette section affaiblie (la "section nette") ne dépasse pas la résistance à la traction du bois.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte est une mesure de la force par unité de surface (\(\sigma = F/A\)). En réduisant la surface \(A\) (en faisant des trous), on augmente mécaniquement la contrainte \(\sigma\) pour une même force \(F\). La vérification de la section nette s'assure que cette contrainte augmentée reste inférieure à la limite que le matériau peut supporter (\(f_{t,0,d}\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme une chaîne : sa solidité est celle de son maillon le plus faible. Pour notre entrait, la section la plus faible est celle qui passe par une rangée de trous de boulons. Cette vérification s'assure que ce "maillon faible" est encore assez solide pour tenir la charge.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la section nette en traction est définie à la section 8.1.3 de l'Eurocode 5. La norme précise que pour le diamètre des trous (\(d_0\)), il faut prendre le diamètre du boulon \(d\) pour les bois de faible densité, et jusqu'à \(d+1\text{mm}\) pour les bois plus denses. Nous utilisons \(d_0=d+1\text{mm}\) pour être conservatifs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La condition de vérification est :

\[ \sigma_{t,0,d} = \frac{N_d}{A_{\text{net}}} \le f_{t,0,d} \]

Avec \(A_{\text{net}} = (h - n_{\text{row}} \cdot d_0) \cdot t_1\) et \(f_{t,0,d} = \frac{f_{t,0,k} \cdot k_{\text{mod}}}{\gamma_M}\). On suppose 2 boulons par rangée.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les 6 boulons sont disposés en 3 rangées de 2 boulons. La section critique est donc une section passant par 2 trous de boulons. On suppose une hauteur totale de la pièce de bois \(h\) de 240 mm, ce qui est une dimension courante pour ce type d'élément.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur de l'entrait, \(h = 240 \, \text{mm}\) (supposée)
  • Diamètre du trou, \(d_0 = d + 1\,\text{mm} = 17 \, \text{mm}\)
  • Nombre de boulons par rangée, \(n_{\text{row}} = 2\)
  • Résistance caractéristique en traction du GL24h, \(f_{t,0,k} = 19.2 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut inverser la formule pour trouver la hauteur minimale requise : \(h_{\text{min}} = n_{\text{row}} \cdot d_0 + \frac{N_d}{f_{t,0,d} \cdot t_1}\). Cela permet de dimensionner directement la hauteur de la pièce de bois pour qu'elle résiste à la traction en section nette. C'est une approche de "conception" plutôt que de "vérification".

Schéma (Avant les calculs)
Section Brute vs Section Nette
Section BruteSection Nette
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance de calcul du bois en traction :

\[ \begin{aligned} f_{t,0,d} &= \frac{f_{t,0,k} \cdot k_{\text{mod}}}{\gamma_M} \\ &= \frac{19.2 \cdot 0.9}{1.3} \\ &\approx 13.29 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'aire nette :

\[ \begin{aligned} A_{\text{net}} &= (h - n_{\text{row}} \cdot d_0) \cdot t_1 \\ &= (240 - 2 \cdot 17) \cdot 80 \\ &= (206) \cdot 80 \\ &= 16480 \, \text{mm²} \end{aligned} \]

3. Calcul de la contrainte de calcul dans la section nette :

\[ \begin{aligned} \sigma_{t,0,d} &= \frac{N_d}{A_{\text{net}}} \\ &= \frac{150000 \, \text{N}}{16480 \, \text{mm²}} \\ &\approx 9.1 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ 9.1 \, \text{MPa} \le 13.29 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \text{OK !} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Contrainte
σ_d = 9.1 MPaRésistance f_t,d = 13.3 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification est satisfaite. La contrainte dans la section la plus faible de l'entrait est inférieure à la résistance du matériau. L'assemblage est donc correctement dimensionné à la fois pour la résistance des boulons et pour la résistance du bois.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de soustraire les trous de TOUS les boulons situés sur la même section de coupe. Si les boulons sont décalés (en quinconce), les règles de calcul de la section nette sont plus complexes et doivent être appliquées avec soin.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La présence de trous affaiblit la section et augmente la contrainte.
  • La contrainte dans la section nette (\(\sigma_{t,0,d}\)) doit être inférieure à la résistance de calcul du matériau (\(f_{t,0,d}\)).
  • Cette vérification est souvent dimensionnante pour les pièces en bois tendues.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les assemblages de très haute performance, on peut utiliser des "broches" (des tiges d'acier lisses) insérées dans des trous très précis, souvent avec un diamètre inférieur de quelques dixièmes de millimètres. L'insertion en force garantit un ajustement parfait, sans jeu, ce qui rend l'assemblage beaucoup plus rigide.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si cette vérification ne passe pas ?

Si la contrainte dans la section nette est trop élevée, il y a plusieurs solutions : augmenter la hauteur de la pièce de bois (h), utiliser une classe de bois plus résistante (par exemple GL28h), ou réorganiser les boulons pour avoir moins de trous sur la même ligne de coupe (par exemple, passer de 3 rangées de 2 à 2 rangées de 3).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La section nette du bois résiste à l'effort de traction (\(9.1 \, \text{MPa} \le 13.29 \, \text{MPa}\)). La conception est validée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la force de traction maximale (en kN) que cet entrait pourrait supporter avant de rompre en section nette ?

Outil Interactif : Paramètres d'Assemblage

Modifiez les paramètres de l'assemblage pour voir leur influence sur la résistance.

Paramètres d'Entrée
16 mm
80 mm
Résultats Clés (par boulon)
Résistance Calcul Fv,Rd (kN) -
Mode de Ruine Déterminant -
Nb. Boulons pour 150kN -

Le Saviez-Vous ?

Les assemblages traditionnels japonais, appelés "tsugite" pour les jonctions en longueur, sont réalisés sans aucune fixation métallique (ni clou, ni vis, ni boulon). Ils reposent sur des découpes extrêmement précises du bois qui s'emboîtent parfaitement. Certains de ces assemblages, utilisés dans la construction de temples depuis des siècles, sont d'une complexité et d'une ingéniosité qui fascinent encore les ingénieurs et architectes modernes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utiliser des moises en acier plutôt qu'en bois ?

Les moises en acier sont beaucoup plus minces et plus résistantes que des moises en bois équivalentes. Cela rend l'assemblage moins encombrant et plus efficace. L'acier a une résistance à l'écrasement bien supérieure à celle du bois, ce qui élimine un des modes de ruine potentiels et augmente la performance globale de l'assemblage.

Que signifie la "Classe de service" ?

La classe de service (1, 2 ou 3) définit l'environnement humide dans lequel la structure en bois sera utilisée. La classe 1 correspond à un milieu sec (intérieur chauffé), la 2 à un milieu humide (hangar ouvert) et la 3 à un milieu exposé aux intempéries. L'humidité affecte la résistance du bois, c'est pourquoi on applique un coefficient \(k_{\text{mod}}\) qui réduit la résistance du matériau pour les classes de service plus sévères.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un assemblage bois-métal, si on augmente uniquement le diamètre des boulons, la résistance de l'assemblage...

2. Le mode de ruine le plus souhaitable pour un assemblage boulonné est...

Entrait Moisé
Assemblage de deux pièces de bois mises bout à bout, connectées par des plaques (moises) de chaque côté et des organes d'assemblage (boulons, broches).
Eurocode 5
Norme européenne de référence pour la conception, le calcul et la justification des structures en bois.
Pression Diamétrale
Contrainte d'écrasement du bois perpendiculairement au fil, exercée par un organe d'assemblage cylindrique comme un boulon.
Conception d’un Entrait Moisé en Bois

D’autres exercices de Structure en bois:

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