Études de cas pratique

EGC

Compressibilité d’une Huile sous Pression

Compressibilité d’une Huile sous Pression

Compressibilité d’une Huile sous Pression

Comprendre la Compressibilité des Fluides Hydrauliques

Bien que les liquides soient souvent considérés comme incompressibles, ils subissent en réalité une légère réduction de volume sous l'effet de la pression. Cette propriété, appelée compressibilité, est particulièrement importante dans les systèmes hydrauliques opérant à haute pression. La compressibilité d'un fluide est caractérisée par son module de compressibilité volumique (ou module d'élasticité volumique), noté \(K\) (ou parfois \(\beta\)). Un module élevé indique une faible compressibilité. Cet exercice explore comment calculer la variation de volume d'une huile hydraulique due à un changement de pression.

Données de l'étude

Un volume d'huile hydraulique est contenu dans un cylindre fermé par un piston. On applique une pression sur cette huile.

Caractéristiques de l'huile et conditions initiales/finales :

Paramètre Valeur Symbole
Volume initial de l'huile 0.5 \(\text{m}^3\) \(V_0\)
Pression initiale 10 \(\text{bar}\) \(P_0\)
Pression finale 250 \(\text{bar}\) \(P_f\)
Module de compressibilité volumique de l'huile 15000 \(\text{bar}\) \(K\)

Hypothèse : La température reste constante durant la compression. 1 bar = \(10^5\) Pa.

Schéma : Huile dans un cylindre sous pression
Huile (V0) Pression (P) \(\Delta V\) V0

Représentation schématique d'un volume d'huile comprimé par un piston.

Questions à traiter

  1. Calculer la variation de pression (\(\Delta P\)) subie par l'huile.
  2. Calculer la variation de volume (\(\Delta V\)) de l'huile due à cette augmentation de pression.
  3. Déterminer le volume final (\(V_f\)) de l'huile.
  4. Calculer le pourcentage de réduction de volume.

Correction : Compressibilité d’une Huile sous Pression

Question 1 : Variation de pression (\(\Delta P\))

Principe :

La variation de pression est la différence entre la pression finale et la pression initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta P = P_f - P_0\]
Données spécifiques :
  • Pression finale (\(P_f\)) : \(250 \, \text{bar}\)
  • Pression initiale (\(P_0\)) : \(10 \, \text{bar}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta P &= P_f - P_0 \\ &= 250 \, \text{bar} - 10 \, \text{bar} \\ &= 240 \, \text{bar} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La variation de pression est \(\Delta P = 240 \, \text{bar}\).

Question 2 : Variation de volume (\(\Delta V\))

Principe :

Le module de compressibilité volumique \(K\) est défini par la relation \(K = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V_0}\), où \(\Delta V\) est la variation de volume et \(V_0\) est le volume initial. Le signe négatif indique que le volume diminue lorsque la pression augmente. On peut réarranger cette formule pour trouver \(\Delta V\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta V = - \frac{\Delta P \cdot V_0}{K}\]
Données spécifiques :
  • Variation de pression (\(\Delta P\)) : \(240 \, \text{bar}\)
  • Volume initial (\(V_0\)) : \(0.5 \, \text{m}^3\)
  • Module de compressibilité (\(K\)) : \(15000 \, \text{bar}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta V &= - \frac{\Delta P \cdot V_0}{K} \\ &= - \frac{240 \, \text{bar} \times 0.5 \, \text{m}^3}{15000 \, \text{bar}} \\ &= - \frac{120 \, \text{m}^3}{15000} \\ &= -0.008 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

La variation de volume est négative, ce qui signifie une réduction de volume.

Résultat Question 2 : La variation de volume est \(\Delta V = -0.008 \, \text{m}^3\).

Question 3 : Volume final (\(V_f\))

Principe :

Le volume final est le volume initial auquel on ajoute la variation de volume (qui est négative dans ce cas).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_f = V_0 + \Delta V\]
Données spécifiques :
  • Volume initial (\(V_0\)) : \(0.5 \, \text{m}^3\)
  • Variation de volume (\(\Delta V\)) : \(-0.008 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_f &= V_0 + \Delta V \\ &= 0.5 \, \text{m}^3 + (-0.008 \, \text{m}^3) \\ &= 0.5 \, \text{m}^3 - 0.008 \, \text{m}^3 \\ &= 0.492 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le volume final de l'huile est \(V_f = 0.492 \, \text{m}^3\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le module de compressibilité \(K\) de l'huile était plus élevé, la variation de volume \(\Delta V\) (en valeur absolue) pour la même \(\Delta P\) serait :

Question 4 : Pourcentage de réduction de volume

Principe :

Le pourcentage de réduction de volume exprime la variation de volume relative par rapport au volume initial, multipliée par 100.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Pourcentage de réduction} = \frac{|\Delta V|}{V_0} \times 100 \, \text{\%}\]
Données spécifiques :
  • Variation de volume (\(\Delta V\)) : \(-0.008 \, \text{m}^3\) \(\Rightarrow |\Delta V| = 0.008 \, \text{m}^3\)
  • Volume initial (\(V_0\)) : \(0.5 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Pourcentage de réduction} &= \frac{0.008 \, \text{m}^3}{0.5 \, \text{m}^3} \times 100 \, \text{\%} \\ &= 0.016 \times 100 \, \text{\%} \\ &= 1.6 \, \text{\%} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le pourcentage de réduction de volume est de \(1.6 \, \text{\%}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le module de compressibilité volumique \(K\) d'un fluide indique :

2. Si la pression appliquée à un volume d'huile augmente, son volume :

3. Une huile avec un module de compressibilité \(K\) très élevé est considérée comme :

Glossaire

Compressibilité
Propriété d'un fluide (ou d'un solide) à diminuer de volume sous l'effet d'une augmentation de pression.
Module de Compressibilité Volumique (\(K\))
Mesure de la résistance d'un fluide à la compression. Il est défini comme le rapport entre la variation de pression et la variation relative de volume. Un \(K\) élevé signifie que le fluide est peu compressible. Unité : Pascal (Pa) ou bar.
Pression (\(P\))
Force exercée par unité de surface. En hydraulique, souvent exprimée en bar ou en Pascal (Pa).
Volume (\(V\))
Espace occupé par une substance. Unité SI : mètre cube (\(\text{m}^3\)).
Huile Hydraulique
Fluide, généralement à base d'huile minérale ou synthétique, utilisé dans les systèmes hydrauliques pour transmettre la puissance.
Compressibilité d’une Huile - Application

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