À quoi sert le cercle de Mohr ?

Le problème qu'il résout

En un point d'une pièce, la contrainte dépend de l'orientation de la facette qu'on examine. Une même sollicitation donne de la traction pure sur une facette, du cisaillement pur sur une autre. Calculer facette par facette est fastidieux ; le cercle de Mohr donne toutes les réponses à la fois, en une figure.

Le cas où il s'applique

Il se trace dans le plan de Mohr (M, σ⃗, τ⃗). Le cas courant est celui des contraintes planes, où τ_xz = τ_yz = σ_zz = 0 : l'état de contrainte se réduit alors à σ_xx, σ_yy et τ_xy.

Comment on le construit

Comme tout cercle : il suffit du centre et d'un point. Le centre se trouve sur l'axe des contraintes normales, à l'abscisse (σ_xx + σ_yy) / 2 — la demi-somme des contraintes normales, qui ne dépend pas de l'orientation choisie. Le point du cercle se lit sur la facette dont on connaît déjà les composantes.

Ce qu'on y lit directement

• Les contraintes principales : les deux intersections du cercle avec l'axe horizontal. Ce sont les valeurs extrêmes de la contrainte normale, obtenues sur les facettes où le cisaillement s'annule.
• Le cisaillement maximal : le rayon du cercle, atteint au sommet — donc sur des facettes tournées de 45° par rapport aux directions principales.

Ce 45° explique une observation de chantier : un matériau qui cède par cisaillement casse en biais, pas perpendiculairement à la charge.

Le même outil, deux métiers

Le cercle de Mohr n'appartient pas qu'à la RDM. En mécanique des sols, on trace le cercle des contraintes et on regarde s'il touche la droite intrinsèque de Mohr-Coulomb : le sol est stable tant que le cercle reste sous la droite, et rompt quand il la touche. Même figure, même lecture — c'est pourquoi vous le retrouvez en géotechnique comme en RDM.