Von Mises ou Rankine : quel critère choisir ?
Rankine pour les matériaux fragiles, qui cassent net : il compare la plus grande contrainte principale à la limite de rupture. Von Mises pour les métaux, qui plastifient d'abord : il annonce le seuil au-delà duquel la déformation devient irréversible.
Deux ruines qui n'ont rien à voir
Un matériau fragile — une céramique, un verre, un béton non armé — emmagasine de l'énergie élastique puis rompt brutalement, sans prévenir. Un métal ductile, lui, se déforme de façon irréversible bien avant de casser. Deux comportements, deux critères : il ne s'agit pas de deux formules concurrentes entre lesquelles on choisirait par goût.
Rankine : la contrainte principale maximale
La mécanique de la rupture fragile établit que la fissure s'amorce et se propage perpendiculairement à la contrainte de traction maximale. Le critère en découle directement : on retient la plus grande des contraintes principales en valeur absolue et on la compare à la limite du matériau.
Avec une subtilité que les copies oublient : la limite n'est pas la même en traction et en compression. On note σf la contrainte de rupture en traction et σ′f celle en compression, et σ′f est généralement très supérieure à σf. C'est toute l'histoire du béton, et la raison d'être des armatures : on place l'acier là où le matériau travaillerait en traction.
Le signe décide donc du seuil à utiliser — une contrainte normale positive est une traction, une contrainte négative une compression.
Von Mises : un seuil de plasticité
Le critère de Von Mises s'applique aux métaux et ne décrit pas une rupture mais une entrée en plasticité : le matériau quitte le domaine élastique lorsque la contrainte de cisaillement atteint une valeur limite. Il se calcule à partir des trois contraintes principales :
√(½[(σXX − σYY)² + (σYY − σZZ)² + (σZZ − σXX)²]) < σe
Lisez la structure de la formule plutôt que la formule : ce sont des différences de contraintes principales. Conséquence importante — une compression hydrostatique, où les trois contraintes sont égales, donne un critère nul. Un métal enfermé sous pression égale dans toutes les directions ne plastifie pas, quelle que soit l'intensité.
L'erreur à éviter
Appliquer Von Mises à un béton ou à une céramique. Le critère suppose un matériau qui plastifie et qui a la même limite en traction et en compression : les deux hypothèses sont fausses pour un matériau fragile, et le résultat sera dangereusement optimiste du côté traction.
Textes de référence
- Damien André, université de Limoges — « Comportement mécanique des matériaux », § 4.9, critère de limite élastique et de résistance
Les références sont citées pour vous permettre de les consulter. Le texte des normes est protégé et n'est pas reproduit ici.
Mettre cette notion en pratique
Les exercices corrigés qui appliquent exactement ce qui précède.