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Exercice corrigé EN 1990

Calcul l'effort tranchant et le moment

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 59 min de lecture
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Étude de cas · Note de calculs Réf. RDM-STA-04

Calcul de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Sollicitations internes d'une poutre de passerelle sous charge répartie et charge ponctuelle décentrée

NiveauLicence 2 / Licence 3
DomaineRésistance des matériaux
ThèmeStatique des poutres et diagrammes des efforts internes
PrérequisÉquilibre d'un solide plan, méthode des coupures, combinaisons d'actions
1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES
Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : La poutre longitudinale d'une passerelle piétonne franchit 10,00 m entre deux appuis. Elle supporte une charge répartie permanente — son poids propre et celui du tablier — et une charge ponctuelle d'exploitation représentant un véhicule de service, appliquée à 6,00 m de l'appui gauche. Cette position décentrée rompt la symétrie du problème et impose de traiter la poutre en deux zones distinctes.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

  • Deux natures de charges : L'une permanente, l'autre variable. Elles ne reçoivent pas le même coefficient partiel, et ce sont les valeurs pondérées qui servent au dimensionnement.
  • Une discontinuité à traiter : La charge ponctuelle introduit un saut dans l'effort tranchant. La poutre doit donc être étudiée par zones, de part et d'autre de son point d'application.
  • Un maximum à localiser, non à supposer : Le moment culmine là où l'effort tranchant change de signe — ce qui peut se produire par annulation ou par saut, et il faut établir lequel.
Votre Mission :

Déterminer les sollicitations internes de calcul de la poutre et localiser les sections critiques.

  • Charges et réactions : Pondérer les deux actions selon leur nature, puis établir les réactions d'appui par le théorème des moments.
  • Effort tranchant : Établir son expression dans chaque zone par la méthode des coupures, et vérifier la discontinuité sous la charge.
  • Moment fléchissant : Localiser rigoureusement le maximum avant de le calculer, puis établir l'expression du moment dans chaque zone.
  • Contrôles et portée : Recouper le moment maximal par superposition, et mesurer ce que coûterait un calcul mené sans pondération.
PLAN DE REPÉRAGE — PASSERELLE ET CHARGEMENT
PASSERELLE PIETONNE — POUTRE LONGITUDINALE SUR DEUX APPUIS P = 20 kN véhicule de service q = 5 kN/m — poids propre et tablier A B articulation appui glissant a = 6,00 m L = 10,00 m DEUX CHARGES DE NATURES DIFFERENTES charge répartie — permanente 5,0 kN/m charge ponctuelle — variable 20,0 kN valeurs caractéristiques : elles doivent être pondérées avant tout calcul de dimensionnement
Livrables Attendus (Checklist) :
  • Les charges pondérées et les deux réactions d'appui.
  • L'expression de l'effort tranchant dans chaque zone et sa valeur maximale.
  • La localisation démontrée du maximum de moment et sa valeur.
  • Le contrôle par superposition et l'écart au calcul non pondéré.
2. Données Techniques & Normes

La géométrie et les charges caractéristiques proviennent du dossier d'avant-projet. Les coefficients partiels appliqués à chacune sont ceux que le règlement retient pour la combinaison fondamentale, selon que l'action est permanente ou variable.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

  • Combinaison fondamentale \( \gamma_{\text{G}} G_{\text{k}} + \gamma_{\text{Q}} Q_{\text{k}} \)
  • Théorème des moments \( \sum M_{/\text{A}} = 0 \)
  • Effort tranchant par coupure \( V(x) = \sum F_{y,\text{gauche}} \)
  • Moment par coupure \( M(x) = \sum \left( x - x_i \right) F_{y,i} \)
  • Relation entre les deux \( \dfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = V(x) \)
Hypothèses et Paramètres de l'Étude
La travée et son chargement
Symbole Description Valeur Unité
\( L \) Portée entre les axes des deux appuis 10,00 m
\( q_{\text{k}} \) Charge répartie caractéristique : poids propre de la poutre et du tablier — action permanente 5,00 kN/m
\( P_{\text{k}} \) Charge ponctuelle caractéristique : essieu du véhicule de service — action variable 20,00 kN
\( a \) Distance de la charge ponctuelle à l'appui gauche, position fixée par le dossier de conception 6,00 m
Modélisation retenue
  • Systeme : poutre isostatique sur deux appuis
  • Appui gauche : articulation
  • Appui droit : appui glissant
Les coefficients partiels de la combinaison fondamentale
Symbole Description Valeur Unité
\( \gamma_{\text{G}} \) Coefficient partiel appliqué à l'action permanente défavorable, ici la charge répartie EN 1990 § 6.4.3.2, expression (6.10) 1,35 —
\( \gamma_{\text{Q}} \) Coefficient partiel appliqué à l'action variable défavorable, ici la charge ponctuelle, seule action variable du problème EN 1990 § 6.4.3.2, expression (6.10) 1,50 —
Ce que l'énoncé ne fournit pas
  • Profile de la poutre : non fourni
  • Nuance d'acier : non fournie
  • Critere de fleche : non fourni
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Les deux zones d'étude imposées par la charge ponctuelle
Zone Intervalle
Zone 1 0 ≤ x < 6,00 m
Discontinuité x = 6,00 m
Zone 2 6,00 m < x ≤ 10,00 m
Où se situe le maximum du moment, et pourquoi il faut le démontrer
Le moment fléchissant est la primitive de l'effort tranchant : sa pente en chaque section est la valeur de l'effort tranchant en cette section. Le moment est donc croissant tant que l'effort tranchant est positif, décroissant lorsqu'il est négatif, et il atteint son maximum au changement de signe. Ce changement peut se produire de deux façons, qu'il ne faut pas confondre. Sous une charge uniquement répartie, l'effort tranchant varie continûment et s'annule en un point intérieur : c'est là que le moment culmine, et l'abscisse se trouve en résolvant une équation. En présence d'une charge concentrée, l'effort tranchant peut au contraire sauter d'une valeur positive à une valeur négative sans jamais passer par zéro : le maximum se situe alors exactement au droit de la charge, et le diagramme du moment y présente un point anguleux. Rien ne permet de deviner lequel des deux cas s'applique : cela dépend de l'intensité relative des deux chargements et de la position de la charge concentrée. La démarche rigoureuse consiste donc à écrire l'expression de l'effort tranchant dans chaque zone, à chercher si elle s'y annule, et à constater que la solution tombe ou non dans l'intervalle de validité de cette expression. Une solution située hors de sa zone n'a aucun sens physique : elle signale simplement que le maximum n'est pas dans cette zone. Sauter cette vérification revient à supposer le résultat, et l'oubli passe d'autant plus facilement inaperçu que la réponse obtenue est souvent la bonne — ce qui n'en fait pas une démonstration.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

L'étude pondère d'abord les deux actions selon leur nature, puis établit les réactions d'appui. Elle décrit ensuite l'effort tranchant zone par zone, localise rigoureusement le maximum du moment avant de le calculer, et s'achève par un recoupement indépendant du résultat.

1

Question 1 : Charges pondérées et réactions d'appui

Actions et statique 30 min | Application directe
But de l'étape : Établir les efforts que les culées transmettent à la poutre, sous les charges de dimensionnement.
Travail demandé : Établir la combinaison fondamentale et son application à des actions de natures différentes, puis établir les réactions d'appui par le théorème des moments. Calculer les charges pondérées, les deux réactions, et contrôler l'équilibre vertical.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une charge permanente et une charge variable ne reçoivent pas le même coefficient.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Écrire l'équilibre des moments en un appui élimine la réaction de cet appui.

2

Question 2 : Effort tranchant dans les deux zones

Méthode des coupures 30 min | Raisonnement
But de l'étape : Décrire la variation de l'effort de cisaillement sur toute la longueur de la poutre.
Travail demandé : Établir l'expression de l'effort tranchant par isolement du tronçon de gauche, puis établir la nature de la discontinuité qu'introduit une charge concentrée. Calculer l'effort tranchant dans chaque zone et vérifier le saut ainsi que la valeur à l'appui droit.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'effort tranchant est la somme algébrique des forces situées à gauche de la coupure.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La charge répartie n'agit que sur la longueur effectivement située à gauche.

3

Question 3 : Localisation et calcul du moment fléchissant maximal

Torseur de cohésion 35 min | Raisonnement
But de l'étape : Obtenir la sollicitation qui gouvernera le choix du profilé.
Travail demandé : Établir l'expression du moment par coupure, puis la relation qui le lie à l'effort tranchant. Rechercher d'abord si l'effort tranchant s'annule à l'intérieur de l'une des deux zones, en déduire la position du maximum, et calculer le moment dans chaque zone.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le moment est la primitive de l'effort tranchant.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Une solution trouvée hors de la zone où l'expression est valable ne compte pas.

4

Question 4 (Finale) : Contrôle par superposition et portée du résultat

Analyse critique 30 min | BOSS
But de l'étape : Confirmer le moment maximal et établir ce qu'un calcul non pondéré aurait donné.
Point d'attention pour cette dernière question : Un résultat de dimensionnement doit être recoupé par une voie indépendante, et l'on doit savoir ce qu'il représente exactement.
Établir le principe de superposition et le moment maximal d'une charge ponctuelle de position quelconque. Recouper le moment obtenu en traitant séparément les deux chargements, puis mesurer l'écart avec un calcul mené sur les charges caractéristiques.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les effets de deux chargements s'additionnent en comportement linéaire.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le moment d'une charge ponctuelle fait intervenir le produit de ses deux distances aux appuis.

NOTE DE CALCULS DÉTAILLÉE (PAS-À-PAS)

Calcul de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

1
Question 1 : Charges pondérées et réactions d'appui
Dans la tête de l'ingénieur

"Avant toute chose, je dois établir avec quelles charges je travaille. Le dossier me donne des valeurs caractéristiques, c'est-à-dire les charges telles qu'on les estime ; le dimensionnement se conduit sur des valeurs de calcul, majorées. Et les deux charges ne sont pas de même nature : l'une est permanente, l'autre non."

  • Ce que je distingue : La charge répartie, qui est le poids propre de l'ouvrage, de la charge ponctuelle, qui est une charge d'exploitation.
  • Ce que j'applique : Un coefficient partiel propre à chaque nature, conformément à la combinaison fondamentale.
  • Ce que j'établis ensuite : Les deux réactions d'appui, par le théorème des moments puis par l'équilibre vertical.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
\( R_{\text{A}} = 45{,}75 \) et \( R_{\text{B}} = 51{,}75 \text{ kN} \).
Rappel Théorique : Des charges estimées aux charges de calcul

Le dimensionnement ne s'appuie jamais sur les charges telles qu'on les estime. Le règlement les majore par des coefficients partiels dont la valeur dépend de la nature de l'action, ce qui traduit l'inégale confiance que l'on peut leur accorder.

  • Pourquoi deux coefficients : Un poids propre se calcule à partir de volumes et de masses volumiques connus : on le majore de 35 %. Une charge d'exploitation dépend de l'usage et reste bien plus incertaine : on la majore de 50 %.
  • Ce qui classe une charge : Son caractère permanent ou variable, non son mode d'application. Une charge répartie peut être variable, une charge ponctuelle peut être permanente.
  • Ce que la pondération change : Tout ce qui en découle — réactions, efforts internes, dimensionnement. Une sollicitation calculée sur des charges non pondérées n'est pas une valeur de calcul.
Équations Fondamentales

Deux résultats sont établis : la combinaison fondamentale appliquée à deux actions de natures différentes, puis les réactions d'appui par le théorème des moments.

Étape 1 — Combinaison fondamentale des actions :

Elle transforme les charges estimées en charges de dimensionnement.

Pourquoi cette formule ?

Le règlement affecte à chaque action un coefficient partiel qui couvre l'écart possible entre la valeur retenue et celle qui se produira réellement. Ce coefficient dépend de la nature de l'action : les actions permanentes, dont l'estimation repose sur des grandeurs mesurables, en reçoivent un plus faible que les actions variables, dont l'intensité dépend de l'usage. Le problème ne comportant qu'une seule action variable, celle-ci est nécessairement l'action dominante et aucun coefficient d'accompagnement n'intervient.

  • Contexte de validité : Situation de projet durable, vérification de la résistance, et toutes les actions défavorables.
  • Pourquoi aucun coefficient d'accompagnement : Il n'y a qu'une seule action variable. La réduction des actions d'accompagnement ne s'applique qu'à partir de la deuxième.
  • L'erreur de classement : Appliquer 1,35 à la charge ponctuelle et 1,50 à la charge répartie inverserait les deux coefficients. C'est la nature de l'action qui décide, non sa forme.
\[ \begin{aligned} q_{\text{Ed}} &= \gamma_{\text{G}}\,q_{\text{k}} \\ P_{\text{Ed}} &= \gamma_{\text{Q}}\,P_{\text{k}} \\ \gamma_{\text{G}} &= 1{,}35 \quad \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? La charge de calcul est plus lourde que la charge attendue. C'est le prix de la couverture des aléas.
Décomposition des termes :
  • \( q_{\text{Ed}} \) : charge repartie de calcul, unité : kN/m
  • \( P_{\text{Ed}} \) : charge ponctuelle de calcul, unité : kN
  • \( \gamma_{\text{G}} \) : coefficient partiel des actions permanentes, unité : —
  • \( \gamma_{\text{Q}} \) : coefficient partiel des actions variables, unité : —
Étape 2 — Réactions d'appui par le théorème des moments :

Elles donnent les efforts transmis aux culées et les valeurs de départ des diagrammes.

Pourquoi cette formule ?

La poutre est en équilibre : la somme des moments de toutes les forces extérieures, calculée par rapport à n'importe quel point, est nulle. En choisissant l'appui gauche comme point de calcul, la réaction de cet appui a un bras de levier nul et disparaît de l'équation. Y subsistent le moment de la réaction droite, dont le bras de levier est la portée entière, celui de la charge ponctuelle à sa propre distance, et celui de la charge répartie — dont la résultante est son produit par la portée, appliquée à mi-portée. L'équation ne contient plus qu'une inconnue. L'équilibre vertical donne ensuite la seconde réaction.

  • Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis simples, charges verticales uniquement. Aucune force horizontale n'étant appliquée, la réaction horizontale est nulle.
  • La résultante de la charge répartie : Elle vaut le produit de l'intensité par la longueur chargée, et s'applique au milieu de cette longueur, par symétrie de la répartition.
  • Pourquoi ce point de calcul : Choisir un appui élimine une inconnue et donne l'autre directement. Tout autre point conduirait à un système de deux équations.
\[ \begin{aligned} \sum M_{/\text{A}} &= 0 \\ R_{\text{B}}\,L - P_{\text{Ed}}\,a - q_{\text{Ed}}\,L \cdot \frac{L}{2} &= 0 \\ R_{\text{B}} &= \frac{P_{\text{Ed}}\,a}{L} + \frac{q_{\text{Ed}}\,L}{2} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Les culées retiennent exactement ce que la poutre reçoit. Leur somme égale nécessairement la charge totale appliquée.
Décomposition des termes :
  • \( R_{\text{A}} \) : reaction verticale de l'appui gauche, unité : kN
  • \( R_{\text{B}} \) : reaction verticale de l'appui droit, unité : kN
  • \( a \) : distance de la charge ponctuelle a l'appui gauche, unité : m
  • \( L \) : portee entre appuis, unité : m
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Conduire toute l'étude sur les charges caractéristiques et présenter le résultat comme une valeur de calcul."

L'approche d'ingénieur : Les charges du dossier sont données sans indice, et rien dans le calcul ne rappelle qu'elles doivent être majorées. L'oubli est d'autant plus facile que le calcul reste entièrement cohérent :
  • Ce que la combinaison impose : Les valeurs caractéristiques sont des estimations ; les valeurs de calcul s'en déduisent par les coefficients partiels. Une sollicitation issue des premières n'a pas le statut d'une valeur de dimensionnement.
  • Ce que l'erreur change numériquement : Le moment maximal tomberait à 108,00 kN·m au lieu de 153,00, soit une sous-estimation de 29,4 pour cent. L'effort tranchant tomberait de 51,75 à 37,00 kN, soit 28,5 pour cent de moins.
  • Comment on la détecte : Par le rapport à la somme brute des charges. La charge répartie de calcul doit valoir exactement 1,35 fois la charge caractéristique, et la charge ponctuelle 1,50 fois. Obtenir les valeurs d'origine signale que la pondération n'a pas été faite.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités (Optionnel)
  • Les charges sont exprimées en kilonewtons et kilonewtons par mètre, les longueurs en mètres.
  • Les moments s'expriment alors en kilonewtons multipliés par des mètres.
  • Les coefficients partiels sont des nombres sans dimension.

Chaque charge est pondérée séparément selon sa nature, puis la réaction de l'appui droit est établie par le théorème des moments et celle de l'appui gauche par l'équilibre vertical.

1. Résolution Numérique Pondération de la charge répartie permanente

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette charge alimente tous les calculs de sollicitations, et qu'une erreur sur elle s'y propagerait proportionnellement.

Méthodologie du calcul :

La charge caractéristique répartie est multipliée par le coefficient partiel des actions permanentes.

  • Nature de cette action : Elle représente le poids propre de la poutre et du tablier, grandeurs qui ne varient pas dans le temps : c'est une action permanente.
  • Coefficient correspondant : \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \), applicable puisque cette action est défavorable — elle augmente les sollicitations dont on cherche le maximum.
\[ \begin{aligned} q_{\text{Ed}} &= \gamma_{\text{G}}\,q_{\text{k}} \\ &= 1{,}35 \times 5{,}00 \text{ kN/m} \\ &= \mathbf{6{,}75} \text{ kN/m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge répartie de calcul vaut 6,75 kN/m, soit 1,75 kN/m de plus que la charge caractéristique.

  • Contrôle du rapport : \( 6{,}75/5{,}00 = 1{,}35 \) : le coefficient se retrouve exactement, ce qui écarte une confusion avec celui des actions variables.
  • Ce que cette majoration couvre : L'écart possible entre le poids réellement mis en œuvre et celui qui a été estimé : surépaisseurs de coffrage, tolérances de fabrication, revêtements ultérieurs.

Remarque pédagogique : C'est cette valeur, et non les 5,00 kN/m du dossier, qui doit apparaître dans toute la suite de l'étude. La valeur caractéristique n'y a plus sa place, sauf à titre de comparaison explicite — ce que la dernière question fera.

Pondération de la charge ponctuelle d'exploitation

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette charge reçoit un coefficient différent du précédent, et que l'inversion des deux est l'erreur la plus courante à cette étape.

Méthodologie du calcul :

La charge caractéristique ponctuelle est multipliée par le coefficient partiel des actions variables.

  • Nature de cette action : Elle représente un véhicule de service, dont la présence et l'intensité dépendent de l'usage : c'est une action variable.
  • Coefficient correspondant : \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \), sans coefficient d'accompagnement puisque c'est la seule action variable du problème, donc nécessairement l'action dominante.
\[ \begin{aligned} P_{\text{Ed}} &= \gamma_{\text{Q}}\,P_{\text{k}} \\ &= 1{,}50 \times 20{,}00 \text{ kN} \\ &= \mathbf{30{,}00} \text{ kN} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge ponctuelle de calcul vaut 30,00 kN, soit 10,00 kN de plus que la charge caractéristique.

  • Contrôle du rapport : \( 30{,}00/20{,}00 = 1{,}50 \) : le coefficient se retrouve exactement, ce qui écarte une inversion avec celui de la charge répartie.
  • Effet de la majoration différenciée : Cette charge est majorée de 11 pour cent de plus que la charge répartie, car son intensité est plus incertaine. Son poids relatif dans le chargement total s'en trouve accru.

Remarque pédagogique : Les deux coefficients ne se distinguent pas par le mode d'application de la charge mais par sa nature. Une charge répartie d'exploitation recevrait 1,50, et un poids propre concentré recevrait 1,35.

Calcul de la réaction de l'appui droit

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le théorème des moments écrit à l'appui gauche la donne directement, sans passer par un système d'équations.

Méthodologie du calcul :

Les moments des trois forces sont formés par rapport à l'appui gauche, puis l'équation est résolue pour l'unique inconnue qu'elle contient.

  • Bras de levier de chaque force : La portée de 10,00 m pour la réaction droite, 6,00 m pour la charge ponctuelle, 5,00 m pour la résultante de la charge répartie.
  • Résultante de la charge répartie : \( 6{,}75 \times 10{,}00 = 67{,}50 \text{ kN} \), appliquée à mi-portée.
\[ \begin{aligned} 10\,R_{\text{B}} &= 30{,}00 \times 6{,}00 + 67{,}50 \times 5{,}00 \\ &= 180{,}00 + 337{,}50 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= 517{,}50 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ R_{\text{B}} &= \frac{517{,}50}{10{,}00} = \mathbf{51{,}75} \text{ kN} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

L'appui droit reprend 51,75 kN. La charge ponctuelle, plus proche de lui que de l'appui gauche, lui transmet la plus grande part de son effet.

  • Part de chaque chargement : La charge répartie contribue pour \( 337{,}50/517{,}50 = 65 \) pour cent au moment, la charge ponctuelle pour 35 pour cent.
  • Vraisemblance du résultat : La réaction droite doit dépasser la moitié de la charge totale, soit 48,75 kN, puisque la charge ponctuelle est décentrée vers la droite. C'est bien le cas.

Remarque pédagogique : Le choix de l'appui gauche comme point de calcul n'est pas indifférent : il élimine la réaction gauche de l'équation et donne la réaction droite en une seule ligne. Choisir un point quelconque de la poutre aurait conduit à un système de deux équations à deux inconnues.

Calcul de la réaction de l'appui gauche

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'équilibre vertical donne la seconde réaction, et parce que la somme des deux doit restituer la charge totale.

Méthodologie du calcul :

La charge totale descendante est formée, puis la réaction droite lui est retranchée.

  • Charge totale descendante : La charge ponctuelle de 30,00 kN augmentée de la résultante de la charge répartie, soit \( 6{,}75 \times 10{,}00 = 67{,}50 \text{ kN} \).
  • Ce que l'équilibre vertical impose : Que la somme des deux réactions égale cette charge totale, aucune force horizontale n'étant appliquée.
\[ \begin{aligned} R_{\text{A}} &= 30{,}00 + 67{,}50 - 51{,}75 \text{ kN} \\ &= 97{,}50 - 51{,}75 \text{ kN} \\ &= \mathbf{45{,}75} \text{ kN} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

L'appui gauche reprend 45,75 kN, contre 51,75 kN pour l'appui droit. La dissymétrie de 6,00 kN traduit le décentrement de la charge ponctuelle vers la droite.

  • Contrôle de l'équilibre vertical : \( 45{,}75 + 51{,}75 = 97{,}50 \text{ kN} \), soit exactement la charge totale descendante. Le bilan est complet.
  • Origine de la dissymétrie : La charge répartie se partage également, à 33,75 kN par appui. Toute la dissymétrie vient de la charge ponctuelle, qui donne 12,00 kN à gauche et 18,00 kN à droite.

Remarque pédagogique : Ce contrôle par la charge totale n'est pas une vérification indépendante — il découle de l'équation même qui a servi à trouver la réaction. Il détecte néanmoins une erreur de calcul, ce qui suffit à le justifier avant d'aborder les efforts internes.

DIAGRAMME DU CORPS LIBRE ET ÉQUILIBRE
EQUILIBRE DE LA POUTRE SOUS CHARGES PONDEREES 30,00 kN 6,75 kN/m 45,75 kN 51,75 kN 67,50 kN à mi-portée résultante de la charge répartie CONTROLE DE L'EQUILIBRE VERTICAL charges descendantes 97,50 kN somme des réactions 97,50 kN
RÉSULTAT FINAL
\( R_{\text{B}} \) = 51,75 kN
"Les réactions d'appui valent 45,75 kN à gauche et 51,75 kN à droite, pour une charge totale de calcul de 97,50 kN."
2
Question 2 : Effort tranchant dans les deux zones
Dans la tête de l'ingénieur

"La charge ponctuelle coupe le problème en deux. À gauche de son point d'application, le tronçon isolé ne voit que la réaction d'appui et une part de la charge répartie ; à droite, la charge ponctuelle entre dans le bilan. Je dois donc établir deux expressions, et je m'attends à une discontinuité entre les deux."

  • Ce que j'établis : L'expression de l'effort tranchant par isolement du tronçon situé à gauche de la coupure.
  • Ce que je démontre : Que le saut sous une charge concentrée vaut exactement l'intensité de cette charge.
  • Ce que je contrôle : La valeur à l'appui droit, qui doit restituer la réaction correspondante changée de signe.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
\( V \) passe de \( +5{,}25 \) à \( -24{,}75 \text{ kN} \) sous la charge, et vaut \( -51{,}75 \text{ kN} \) à l'appui droit.
Rappel Théorique : L'effort tranchant par la méthode des coupures

Couper virtuellement la poutre et isoler l'un des deux tronçons fait apparaître, sur la face de coupure, les efforts que l'autre tronçon lui transmet. L'effort tranchant est la composante verticale de ces efforts.

  • Le principe de la coupure : Le tronçon isolé doit être en équilibre. L'effort tranchant est donc la somme algébrique des forces verticales appliquées à ce tronçon.
  • La charge répartie tronquée : Seule la part effectivement située sur le tronçon isolé intervient : son intensité multipliée par la longueur du tronçon, et non par la portée totale.
  • La discontinuité : Une charge concentrée fait sauter l'effort tranchant. L'expression change donc de part et d'autre de son point d'application.
Équations Fondamentales

Deux résultats sont établis : l'expression de l'effort tranchant par isolement du tronçon gauche, puis l'amplitude du saut sous une charge concentrée.

Étape 1 — Effort tranchant par isolement du tronçon gauche :

Il fournit l'expression valable dans chaque zone.

Pourquoi cette formule ?

Coupons la poutre à une abscisse courante et isolons la partie gauche. Ce tronçon est en équilibre sous l'action des forces extérieures qui s'y appliquent et de l'effort que la partie droite lui transmet à travers la coupure. L'équilibre vertical impose que cet effort compense exactement la somme des forces extérieures du tronçon. L'effort tranchant, défini comme cette somme comptée positivement vers le haut, vaut donc la réaction d'appui diminuée de la charge répartie sur la longueur du tronçon, et diminuée en outre de la charge ponctuelle si celle-ci a été franchie.

  • Contexte de validité : L'expression obtenue ne vaut que sur l'intervalle où la composition des forces du tronçon reste inchangée, c'est-à-dire entre deux discontinuités.
  • Convention de signe : Sur le tronçon gauche, une force dirigée vers le haut compte positivement, une force vers le bas négativement.
  • Nature de la variation : La charge répartie étant constante, l'effort tranchant varie linéairement avec l'abscisse, de pente égale à l'opposé de cette charge.
\[ \begin{aligned} V(x) &= \sum F_{y,\text{gauche}} \\ &= R_{\text{A}} - q_{\text{Ed}}\,x \quad \text{pour} \; x < a \\ &= R_{\text{A}} - q_{\text{Ed}}\,x - P_{\text{Ed}} \quad \text{pour} \; x > a \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? L'effort tranchant mesure la tendance des deux tronçons à glisser l'un sur l'autre. Il est repris par l'âme du profilé.
Décomposition des termes :
  • \( V(x) \) : effort tranchant a l'abscisse x, unité : kN
  • \( R_{\text{A}} \) : reaction de l'appui gauche, unité : kN
  • \( q_{\text{Ed}} \) : charge repartie de calcul, unité : kN/m
  • \( a \) : abscisse de la charge ponctuelle, unité : m
Étape 2 — Amplitude du saut sous une charge concentrée :

Elle fournit un contrôle exact de la transition entre les deux zones.

Pourquoi cette formule ?

Évaluons les deux expressions au point d'application de la charge concentrée : celle de la zone amont donne la réaction diminuée de la charge répartie sur cette longueur, celle de la zone aval donne la même quantité diminuée en outre de la charge concentrée. Leur différence est donc exactement l'intensité de cette charge, indépendamment de la valeur de la réaction et de la charge répartie. Le diagramme de l'effort tranchant présente ainsi une discontinuité verticale dont la hauteur est mesurable et vérifiable.

  • Contexte de validité : Charge concentrée, c'est-à-dire idéalement appliquée en un point. Une charge répartie sur une courte longueur donnerait une transition raide mais continue.
  • Force du contrôle : Il ne dépend d'aucune autre grandeur du problème : le saut vaut la charge, un point c'est tout. Toute autre valeur signale une erreur.
  • Ce que la discontinuité implique : L'effort tranchant n'est pas défini au point d'application : il y possède une valeur à gauche et une valeur à droite, différentes.
\[ \begin{aligned} V(a^-) &= R_{\text{A}} - q_{\text{Ed}}\,a \\ V(a^+) &= R_{\text{A}} - q_{\text{Ed}}\,a - P_{\text{Ed}} \\ V(a^-) - V(a^+) &= P_{\text{Ed}} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Une charge concentrée coupe le diagramme d'un seul trait. La hauteur de la coupure est la charge elle-même.
Décomposition des termes :
  • \( V(a^-) \) : effort tranchant juste avant la charge, unité : kN
  • \( V(a^+) \) : effort tranchant juste apres la charge, unité : kN
  • \( P_{\text{Ed}} \) : charge ponctuelle de calcul, unité : kN
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Employer la résultante totale de la charge répartie dans l'expression d'une coupure."

L'approche d'ingénieur : La résultante de la charge répartie, calculée pour les réactions d'appui, vaut 67,50 kN sur toute la portée. La réutiliser dans une coupure est une erreur, car le tronçon isolé n'en supporte qu'une part :
  • Ce que l'isolement impose : Seules les forces appliquées au tronçon isolé entrent dans son équilibre. La charge répartie n'y agit que sur la longueur de ce tronçon, soit l'abscisse de la coupure.
  • Ce que l'erreur change numériquement : À l'abscisse 6,00 m, l'effort tranchant deviendrait \( 45{,}75 - 67{,}50 = -21{,}75 \text{ kN} \) au lieu de \( +5{,}25 \). Le signe serait inversé, et le maximum de moment placé au mauvais endroit.
  • Comment on la détecte : Par la valeur à l'origine. En \( x = 0 \), aucun tronçon n'est isolé et l'effort tranchant doit valoir exactement la réaction d'appui, soit 45,75 kN. Avec la résultante totale on obtiendrait \( 45{,}75 - 67{,}50 = -21{,}75 \), ce qui est manifestement faux.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités (Optionnel)
  • Les charges sont en kilonewtons et kilonewtons par mètre, les abscisses en mètres.
  • L'effort tranchant s'exprime donc en kilonewtons.
  • La pente du diagramme, en kilonewtons par mètre, est l'opposé de la charge répartie.

L'effort tranchant est établi dans la zone amont, puis dans la zone aval, et les deux contrôles sont enfin conduits.

1. Résolution Numérique Effort tranchant dans la zone amont

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la zone où l'effort tranchant est positif, et parce que sa valeur à l'extrémité de la zone conditionne la position du maximum de moment.

Méthodologie du calcul :

L'expression est écrite avec la réaction gauche et la charge répartie sur la longueur du tronçon, puis évaluée aux deux bornes de la zone.

  • Intervalle de validité : De l'appui gauche jusqu'au point d'application de la charge, soit \( 0 \le x < 6{,}00 \text{ m} \).
  • Forces du tronçon isolé : La réaction de 45,75 kN vers le haut, et la charge répartie de 6,75 kN/m sur la longueur x vers le bas.
\[ \begin{aligned} V(x) &= 45{,}75 - 6{,}75\,x \\ V(0) &= 45{,}75 - 0 = \mathbf{45{,}75} \text{ kN} \\ V(6^-) &= 45{,}75 - 6{,}75 \times 6{,}00 \text{ kN} \\ &= 45{,}75 - 40{,}50 = \mathbf{5{,}25} \text{ kN} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

L'effort tranchant décroît linéairement de 45,75 kN à l'appui jusqu'à 5,25 kN juste avant la charge ponctuelle. Il reste positif sur toute la zone.

  • Contrôle à l'origine : \( V(0) = 45{,}75 \text{ kN} \), soit exactement la réaction d'appui. C'est la vérification la plus immédiate de l'expression.
  • Pente du diagramme : \( -6{,}75 \text{ kN/m} \), soit l'opposé de la charge répartie. La droite descend régulièrement sur toute la zone.

Remarque pédagogique : Le fait que l'effort tranchant reste positif jusqu'au bout de la zone est un renseignement essentiel : il signifie que le moment croît sur toute cette longueur et n'atteint pas son maximum avant la charge. La question suivante en tirera parti.

Effort tranchant dans la zone aval

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la charge ponctuelle entre désormais dans le bilan du tronçon isolé, ce qui change l'expression.

Méthodologie du calcul :

La charge ponctuelle est retranchée de l'expression précédente, puis le résultat est évalué aux deux bornes de la zone.

  • Intervalle de validité : Du point d'application de la charge jusqu'à l'appui droit, soit \( 6{,}00 < x \le 10{,}00 \text{ m} \).
  • Ce qui change par rapport à la zone amont : Seule l'ordonnée à l'origine, la pente restant celle de la charge répartie.
\[ \begin{aligned} V(x) &= 45{,}75 - 6{,}75\,x - 30{,}00 \\ &= 15{,}75 - 6{,}75\,x \text{ kN} \\ V(6^+) &= 15{,}75 - 40{,}50 = \mathbf{-24{,}75} \text{ kN} \\ V(10) &= 15{,}75 - 67{,}50 = \mathbf{-51{,}75} \text{ kN} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

L'effort tranchant est négatif sur toute la zone aval et atteint son maximum en valeur absolue à l'appui droit, avec 51,75 kN.

  • Contrôle à l'appui droit : \( V(10) = -51{,}75 \text{ kN} \), soit exactement l'opposé de la réaction droite. La poutre se referme correctement sur son second appui.
  • Valeur dimensionnante : C'est cette valeur absolue de 51,75 kN qui servira à vérifier la résistance au cisaillement de l'âme du profilé.

Remarque pédagogique : La pente est identique dans les deux zones, ce qui est logique : elle ne dépend que de la charge répartie, laquelle est la même partout. Seule l'ordonnée à l'origine a changé, du montant exact de la charge ponctuelle.

Contrôle du saut sous la charge ponctuelle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce contrôle est indépendant de toutes les autres grandeurs du problème et détecte immédiatement une erreur sur l'une des deux expressions.

Méthodologie du calcul :

La différence entre les valeurs de part et d'autre du point d'application est formée, puis comparée à l'intensité de la charge.

  • Valeurs comparées : \( V(6^-) = 5{,}25 \) et \( V(6^+) = -24{,}75 \text{ kN} \).
  • Valeur attendue : La charge ponctuelle de calcul, soit 30,00 kN, quelle que soit la valeur des réactions.
\[ \begin{aligned} V(6^-) - V(6^+) &= 5{,}25 - \left( -24{,}75 \right) \\ &= 5{,}25 + 24{,}75 \text{ kN} \\ &= \mathbf{30{,}00} \text{ kN} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Le saut vaut exactement 30,00 kN, soit la charge ponctuelle de calcul. Les deux expressions sont donc cohérentes entre elles.

  • Ce que ce contrôle établit : Que la charge ponctuelle a été correctement introduite dans la seconde expression, et avec le bon signe. Une erreur de signe donnerait un saut de zéro ou de 60,00 kN.
  • Le changement de signe : L'effort tranchant passe de positif à négatif par ce saut, sans jamais prendre la valeur zéro. Cette observation sera décisive pour localiser le maximum de moment.

Remarque pédagogique : Ce contrôle est le plus robuste de l'étude : il ne fait intervenir ni les réactions, ni la charge répartie, ni la portée. Le saut vaut la charge, et rien d'autre ne peut le modifier.

DIAGRAMME DE L'EFFORT TRANCHANT
EFFORT TRANCHANT — LE SIGNE CHANGE PAR SAUT, NON PAR PASSAGE A ZERO x +45,75 +5,25 −24,75 −51,75 0 x = 6,00 m saut de 30,00 kN égal à la charge ponctuelle CE QUE LE DIAGRAMME MONTRE l'effort tranchant ne s'annule jamais : il passe du positif au négatif d'un seul coup le moment est donc maximal exactement au droit de la charge
RÉSULTAT FINAL
\( V_{\text{max}} \) = 51,75 kN
"L'effort tranchant atteint 51,75 kN en valeur absolue à l'appui droit, et change de signe par un saut de 30,00 kN sous la charge ponctuelle."
3
Question 3 : Localisation et calcul du moment fléchissant maximal
Dans la tête de l'ingénieur

"Le moment est la primitive de l'effort tranchant : il croît tant que celui-ci est positif et décroît ensuite. Le maximum se situe donc au changement de signe — mais ce changement peut se produire par annulation ou par saut, et je ne peux pas le supposer. Je dois chercher si l'effort tranchant s'annule quelque part avant de conclure."

  • Ce que je cherche d'abord : Si l'effort tranchant s'annule à l'intérieur de l'une des deux zones, ce qui placerait le maximum ailleurs qu'au droit de la charge.
  • Ce que j'établis : L'expression du moment dans chaque zone, par la même méthode des coupures.
  • Ce que je vérifie enfin : Que le moment s'annule bien sur les deux appuis, ce qu'impose la nature des liaisons.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
\( M_{\text{max}} = 153{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \), au droit de la charge.
Rappel Théorique : Le moment fléchissant et sa relation à l'effort tranchant

Le moment fléchissant en une section est le moment, par rapport à cette section, des forces situées d'un même côté. Il est relié à l'effort tranchant par une relation différentielle qui en détermine les extremums.

  • La relation différentielle : La dérivée du moment le long de la poutre est l'effort tranchant. Le moment est donc croissant là où celui-ci est positif.
  • Les deux façons de changer de signe : Par annulation, lorsque l'effort tranchant varie continûment, ou par saut, sous une charge concentrée. Le maximum se situe dans les deux cas au changement de signe.
  • Les conditions aux extrémités : Sur un appui simple, aucun moment ne peut être transmis : le moment y est nul. C'est un contrôle immédiat des expressions obtenues.
Équations Fondamentales

Deux résultats sont établis : l'expression du moment par coupure, puis la relation qui le lie à l'effort tranchant et localise ses extremums.

Étape 1 — Moment fléchissant par isolement du tronçon gauche :

Il fournit l'expression du moment dans chaque zone.

Pourquoi cette formule ?

Isolons de nouveau le tronçon situé à gauche de la coupure et écrivons l'équilibre de ses moments par rapport à la section de coupure. La réaction d'appui y agit avec un bras de levier égal à l'abscisse de la coupure. La charge répartie sur ce tronçon a pour résultante son intensité multipliée par la longueur du tronçon, appliquée au milieu de celui-ci : son bras de levier vaut donc la moitié de l'abscisse. Si la charge concentrée a été franchie, elle agit en outre avec un bras de levier égal à la distance qui la sépare de la coupure.

  • Contexte de validité : Comme pour l'effort tranchant, l'expression ne vaut que sur l'intervalle où la composition des forces du tronçon reste inchangée.
  • Le bras de levier de la charge répartie : C'est la moitié de l'abscisse, non la moitié de la portée. La résultante se déplace avec la coupure, puisque la longueur chargée du tronçon varie.
  • Nature de la variation : Le terme de la charge répartie fait intervenir le carré de l'abscisse : le moment varie donc paraboliquement.
\[ \begin{aligned} M(x) &= R_{\text{A}}\,x - \left( q_{\text{Ed}}\,x \right) \cdot \frac{x}{2} \\ &= R_{\text{A}}\,x - \frac{q_{\text{Ed}}\,x^2}{2} \quad \text{pour} \; x \le a \\ &= R_{\text{A}}\,x - \frac{q_{\text{Ed}}\,x^2}{2} - P_{\text{Ed}}\left( x - a \right) \quad \text{pour} \; x \ge a \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Le moment mesure la tendance de la poutre à se courber. Il est repris par les fibres extrêmes du profilé, tendues d'un côté et comprimées de l'autre.
Décomposition des termes :
  • \( M(x) \) : moment flechissant a l'abscisse x, unité : kN·m
  • \( R_{\text{A}} \) : reaction de l'appui gauche, unité : kN
  • \( q_{\text{Ed}} \) : charge repartie de calcul, unité : kN/m
  • \( P_{\text{Ed}} \) : charge ponctuelle de calcul, unité : kN
Étape 2 — Localisation des extremums du moment :

Elle indique où chercher le maximum, sans le supposer.

Pourquoi cette formule ?

Dérivons l'expression du moment par rapport à l'abscisse : le terme de la réaction donne la réaction elle-même, et celui de la charge répartie donne son intensité multipliée par l'abscisse, avec un signe négatif. On retrouve exactement l'expression de l'effort tranchant. Le moment est donc extremal là où l'effort tranchant s'annule. Encore faut-il que la solution de cette équation appartienne à l'intervalle où l'expression est valable : une racine située hors de sa zone n'a pas de sens physique et indique simplement que le moment ne culmine pas dans cette zone.

  • Contexte de validité : Chaque expression a son intervalle propre. Une racine doit y être confrontée avant d'être retenue.
  • Le cas où aucune racine n'est valable : Le moment est alors monotone dans chaque zone, et son maximum se situe à la frontière entre les deux, c'est-à-dire au droit de la charge concentrée.
  • Pourquoi cette vérification est nécessaire : Selon l'intensité relative des deux chargements et la position de la charge, le maximum peut se situer dans une zone ou à la frontière. Rien ne permet de le deviner.
\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} &= R_{\text{A}} - q_{\text{Ed}}\,x = V(x) \\ V(x) &= 0 \quad \text{donne} \quad x = \frac{R_{\text{A}}}{q_{\text{Ed}}} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Le moment cesse de croître quand l'effort tranchant change de camp. C'est là que la poutre est le plus sollicitée en flexion.
Décomposition des termes :
  • \( \mathrm{d}M/\mathrm{d}x \) : derivee du moment le long de la poutre, unité : kN
  • \( V(x) \) : effort tranchant a l'abscisse x, unité : kN
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Retenir une racine de l'effort tranchant située hors de la zone où son expression est valable."

L'approche d'ingénieur : Chacune des deux expressions de l'effort tranchant s'annule pour une certaine abscisse. Ces racines n'ont pourtant de sens que si elles tombent dans l'intervalle où l'expression a cours :
  • Ce que la méthode des coupures impose : Une expression n'est valable que sur l'intervalle où la composition des forces du tronçon isolé reste inchangée. Hors de cet intervalle, elle décrit un chargement qui n'existe pas.
  • Ce que les deux racines donnent ici : L'expression amont s'annule en \( 45{,}75/6{,}75 = 6{,}78 \text{ m} \), au-delà de sa zone qui s'arrête à 6,00 m. L'expression aval s'annule en \( 15{,}75/6{,}75 = 2{,}33 \text{ m} \), en deçà de sa zone qui commence à 6,00 m. Aucune des deux n'est recevable.
  • Ce qu'il faut en conclure : L'effort tranchant ne s'annule nulle part : il change de signe par le saut sous la charge. Le maximum du moment se situe donc exactement au droit de celle-ci, à 6,00 m — et c'est démontré, non supposé.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités (Optionnel)
  • Les charges sont en kilonewtons et kilonewtons par mètre, les abscisses en mètres.
  • Le moment s'exprime donc en kilonewtons multipliés par des mètres.
  • Le quotient d'une réaction par une charge répartie donne bien une longueur, en mètres.

La position du maximum est d'abord établie par la recherche des racines de l'effort tranchant, puis le moment y est calculé par l'expression de la zone amont, et enfin contrôlé deux fois par celle de la zone aval.

1. Résolution Numérique Recherche des racines de l'effort tranchant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la position du maximum de moment doit être démontrée avant d'être employée, et parce qu'elle dépend du chargement.

Méthodologie du calcul :

Chacune des deux expressions de l'effort tranchant est annulée, puis la racine obtenue est confrontée à l'intervalle de validité de cette expression.

  • Expressions employées : \( V(x) = 45{,}75 - 6{,}75\,x \) sur \( [0 \, ; 6{,}00[ \) et \( V(x) = 15{,}75 - 6{,}75\,x \) sur \( ]6{,}00 \, ; 10{,}00] \).
  • Ce que la confrontation décide : Une racine hors de son intervalle est rejetée : elle décrit un chargement qui n'existe pas sur cette portion.
\[ \begin{aligned} x_1 &= \frac{45{,}75}{6{,}75} = 6{,}78 \text{ m} \quad \text{hors de } [0 \, ; 6{,}00[ \\ x_2 &= \frac{15{,}75}{6{,}75} = 2{,}33 \text{ m} \quad \text{hors de } ]6{,}00 \, ; 10{,}00] \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Aucune des deux racines n'appartient à sa zone de validité. L'effort tranchant ne s'annule donc en aucun point de la poutre : il change de signe uniquement par le saut sous la charge.

  • Conclusion sur la position du maximum : Le moment croît sur toute la zone amont et décroît sur toute la zone aval. Son maximum est donc exactement à la frontière, en \( x = 6{,}00 \text{ m} \).
  • Ce qui aurait changé la conclusion : Une charge ponctuelle plus faible aurait laissé l'effort tranchant s'annuler dans la zone aval. Le maximum se serait alors situé en un point intérieur, et non sous la charge.

Remarque pédagogique : Cette vérification est le point de méthode le plus important de la question. Elle demande deux divisions et deux comparaisons ; l'omettre revient à supposer un résultat qui, selon le chargement, peut être faux.

Calcul du moment maximal au droit de la charge

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la valeur qui gouvernera le choix du profilé, la position étant désormais établie.

Méthodologie du calcul :

L'expression de la zone amont est évaluée à l'abscisse de la charge ponctuelle.

  • Expression employée : Celle de la zone amont, valable jusqu'en 6,00 m inclus par continuité du moment.
  • Termes à former : Le moment de la réaction, puis celui de la charge répartie sur les six premiers mètres.
\[ \begin{aligned} M(6) &= 45{,}75 \times 6{,}00 - \frac{6{,}75 \times 6{,}00^2}{2} \\ &= 274{,}50 - \frac{6{,}75 \times 36{,}00}{2} \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= 274{,}50 - \frac{243{,}00}{2} \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= 274{,}50 - 121{,}50 = \mathbf{153{,}00} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Le moment fléchissant maximal atteint 153,00 kN·m au droit de la charge ponctuelle. C'est cette valeur qui dimensionnera le profilé en flexion.

  • Part de chaque terme : La réaction apporte 274,50 kN·m et la charge répartie en retranche 121,50. Le solde positif de 153,00 traduit la flexion effective de la poutre.
  • Signe du résultat : Positif, ce qui signifie que la fibre inférieure est tendue et la fibre supérieure comprimée — comportement attendu d'une poutre sur deux appuis simples.

Remarque pédagogique : Le diagramme du moment présente en ce point un point anguleux et non un sommet arrondi : les deux paraboles se raccordent en valeur mais non en pente, puisque l'effort tranchant y est discontinu. C'est la signature graphique d'une charge concentrée.

Contrôle de la continuité du moment au droit de la charge

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'expression de la zone aval doit restituer exactement la même valeur que celle de la zone amont au point où les deux se rejoignent.

Méthodologie du calcul :

L'expression de la zone aval est développée, puis évaluée au droit de la charge ponctuelle.

  • Expression à développer : Celle de la zone amont diminuée du moment de la charge ponctuelle, dont le bras de levier vaut \( x - 6{,}00 \).
  • Termes de l'évaluation en 6,00 m : \( 15{,}75 \times 6{,}00 = 94{,}50 \) et \( 3{,}375 \times 6{,}00^2 = 121{,}50 \).
\[ \begin{aligned} M(x) &= 45{,}75\,x - 3{,}375\,x^2 - 30{,}00\left( x - 6{,}00 \right) \\ &= 45{,}75\,x - 3{,}375\,x^2 - 30{,}00\,x + 180{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= 15{,}75\,x - 3{,}375\,x^2 + 180{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ M(6) &= 94{,}50 - 121{,}50 + 180{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= \mathbf{153{,}00} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

L'expression de la zone aval redonne exactement 153,00 kN·m au droit de la charge : les deux paraboles se raccordent bien en valeur.

  • Ce que la continuité établit : Que le terme de la charge ponctuelle a été introduit avec le bon bras de levier. Un bras erroné romprait le raccordement des deux expressions.
  • Ce que la continuité n'établit pas : La continuité de la pente. Celle-ci reste discontinue, puisque l'effort tranchant saute de 30,00 kN en ce point : le raccordement est anguleux.

Remarque pédagogique : Le moment fléchissant est toujours continu, même sous une charge concentrée : une discontinuité de moment supposerait un couple appliqué en ce point, ce qui n'est pas le cas ici.

Contrôle de l'annulation du moment sur l'appui droit

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la nature des appuis impose un moment nul aux deux extrémités, ce qui offre un contrôle indépendant du précédent.

Méthodologie du calcul :

L'expression développée de la zone aval est évaluée à l'abscisse de l'appui droit.

  • Termes de l'évaluation en 10,00 m : \( 15{,}75 \times 10{,}00 = 157{,}50 \) et \( 3{,}375 \times 10{,}00^2 = 337{,}50 \).
  • Valeur attendue : Zéro exactement, un appui simple ne pouvant transmettre aucun moment à la poutre.
\[ \begin{aligned} M(10) &= 15{,}75 \times 10{,}00 - 3{,}375 \times 10{,}00^2 + 180{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= 157{,}50 - 337{,}50 + 180{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= \mathbf{0{,}00} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Le moment s'annule exactement sur l'appui droit, conformément à la nature de la liaison. L'ensemble des expressions est donc cohérent avec les conditions aux limites.

  • Ce que ce contrôle couvre : Toutes les erreurs qui affecteraient les réactions d'appui ou les bras de levier : elles laisseraient un moment résiduel non nul à l'extrémité.
  • Le second appui, également : En \( x = 0 \), l'expression de la zone amont donne elle aussi zéro, tous ses termes étant proportionnels à l'abscisse. Les deux extrémités sont donc vérifiées.

Remarque pédagogique : Ce contrôle est indépendant du précédent : le premier teste le raccordement des deux zones entre elles, celui-ci teste la conformité aux conditions aux limites. Ensemble, ils couvrent la quasi-totalité des erreurs possibles sur les expressions du moment.

DIAGRAMME DU MOMENT FLÉCHISSANT
MOMENT FLECHISSANT — UN POINT ANGULEUX SOUS LA CHARGE 0 0 153,00 kN·m au droit de la charge, à 6,00 m arc de parabole zone 1 arc de parabole zone 2 les deux paraboles se raccordent en valeur mais non en pente ce point anguleux est la signature d'une charge concentrée
RÉSULTAT FINAL
\( M_{\text{max}} \) = 153,00 kN·m
"Le moment fléchissant maximal atteint 153,00 kN·m au droit de la charge ponctuelle, position établie par la recherche des racines de l'effort tranchant."
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Question 4 : Contrôle par superposition et portée du résultat
Dans la tête de l'ingénieur

"Le résultat est établi, mais il repose sur une seule chaîne de calcul. Je veux le recouper par une voie qui n'en reprenne aucune étape : traiter séparément les deux chargements et additionner leurs effets. Je veux aussi savoir ce que représente exactement ce chiffre, et ce qu'aurait donné un calcul mené sans pondération."

  • Ce que j'établis : Le principe de superposition, et le moment maximal d'une charge ponctuelle de position quelconque.
  • Ce que je recoupe : Le moment maximal, par addition des deux contributions calculées séparément.
  • Ce que je mesure enfin : L'écart avec un calcul conduit sur les charges caractéristiques, pour savoir ce que la pondération apporte.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
\( 81{,}00 + 72{,}00 = 153{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \), et 29,4 pour cent de plus que sans pondération.
Rappel Théorique : Le principe de superposition

En comportement linéaire, l'effet de plusieurs chargements appliqués simultanément est la somme des effets de chacun appliqué seul. Cette propriété fournit une voie de calcul et une voie de contrôle.

  • Ce qui la fonde : La linéarité des équations d'équilibre et du comportement du matériau. Doubler une charge double ses effets, et deux charges n'interagissent pas.
  • Ce qu'elle autorise : De décomposer un chargement complexe en cas élémentaires connus, puis d'additionner — à condition que les maxima se produisent à la même abscisse.
  • Sa limite : Elle cesse de valoir en comportement non linéaire, et l'addition des maxima serait fausse s'ils se produisaient en des sections différentes.
Équations Fondamentales

Deux résultats sont établis : le principe de superposition appliqué au moment, puis le moment maximal d'une charge ponctuelle de position quelconque.

Étape 1 — Superposition des effets de deux chargements :

Elle fournit une voie de calcul indépendante de la méthode des coupures.

Pourquoi cette formule ?

Les équations d'équilibre sont linéaires en les charges : les réactions produites par la somme de deux chargements sont la somme des réactions produites par chacun. Le moment fléchissant, qui s'exprime linéairement en fonction des réactions et des charges, hérite de cette propriété. Le moment total en une section est donc la somme des moments qu'y produiraient séparément la charge répartie et la charge ponctuelle. L'addition des valeurs maximales n'est en revanche légitime que si ces maxima se produisent à la même abscisse, ce qu'il faut vérifier.

  • Contexte de validité : Comportement linéaire, ce qui est acquis pour une poutre isostatique en petites déformations.
  • La condition d'addition des maxima : Ils doivent se produire à la même abscisse. Ici les deux maxima sont évalués en 6,00 m, ce qui rend l'addition légitime.
  • Pourquoi c'est un vrai contrôle : Cette voie n'emprunte aucune étape de la méthode des coupures : ni les expressions par zone, ni la recherche des racines. Une concordance a donc valeur de vérification.
\[ \begin{aligned} M_{\text{total}}(x) &= M_{\text{q}}(x) + M_{\text{P}}(x) \\ M_{\text{q}}(x) &= \frac{q_{\text{Ed}}\,x}{2}\left( L - x \right) \\ M_{\text{P}}(x) &= \frac{P_{\text{Ed}}\left( L - a \right)}{L}\,x \quad \text{pour} \; x \le a \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Deux chargements ne se gênent pas. Chacun produit son effet comme s'il était seul, et les effets s'ajoutent.
Décomposition des termes :
  • \( M_{\text{q}} \) : moment du a la seule charge repartie, unité : kN·m
  • \( M_{\text{P}} \) : moment du a la seule charge ponctuelle, unité : kN·m
  • \( L \) : portee entre appuis, unité : m
  • \( a \) : abscisse de la charge ponctuelle, unité : m
Étape 2 — Moment maximal d'une charge ponctuelle selon sa position :

Il indique dans quelle mesure la position retenue est défavorable.

Pourquoi cette formule ?

Sous une charge ponctuelle seule, les réactions se partagent en raison inverse des distances aux appuis. Le moment maximal se produit au droit de la charge et vaut le produit de la réaction du côté considéré par la distance correspondante, soit le produit de la charge par ses deux distances aux appuis, divisé par la portée. Ce produit, à somme des distances fixée, est maximal lorsque les deux distances sont égales : la position la plus défavorable est donc le milieu de la travée, où le moment vaut le quart du produit de la charge par la portée.

  • Contexte de validité : Charge ponctuelle seule sur une poutre isostatique sur deux appuis simples.
  • Pourquoi le milieu est le pire : Le produit de deux nombres de somme fixée est maximal lorsqu'ils sont égaux. C'est une propriété élémentaire, indépendante de la valeur de la charge.
  • Ce que cela permet d'apprécier : De situer la position réelle de la charge par rapport à la position la plus défavorable, et donc de savoir si le dossier a retenu un cas sévère.
\[ \begin{aligned} M_{\text{P,max}} &= \frac{P_{\text{Ed}}\,a\left( L - a \right)}{L} \\ M_{\text{P,max}} &\le \frac{P_{\text{Ed}}\,L}{4} \quad \text{pour} \; a = \frac{L}{2} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Une charge centrée fléchit le plus la poutre. Rapprochée d'un appui, elle s'y reporte davantage et fléchit moins.
Décomposition des termes :
  • \( M_{\text{P,max}} \) : moment maximal sous la seule charge ponctuelle, unité : kN·m
  • \( a \) : distance de la charge a l'appui gauche, unité : m
  • \( L - a \) : distance de la charge a l'appui droit, unité : m
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Additionner les maxima de deux chargements sans vérifier qu'ils se produisent au même endroit."

L'approche d'ingénieur : La superposition autorise l'addition des effets, mais l'addition des maxima demande une condition supplémentaire que l'on oublie facilement :
  • Ce que la superposition permet exactement : D'additionner les moments en une même section. Rien n'assure a priori que les deux chargements atteignent leur maximum dans la même section.
  • Ce que l'erreur donnerait ici : La charge répartie seule culmine à mi-portée, avec \( 6{,}75 \times 100/8 = 84{,}38 \text{ kN} \cdot \text{m} \), et non 81,00 comme en 6,00 m. Additionner ce maximum aux 72,00 de la charge ponctuelle donnerait 156,38 kN·m au lieu de 153,00, soit 2,2 pour cent de trop pour une section qui n'existe pas.
  • Comment on l'évite : En évaluant les deux contributions à la même abscisse, celle du maximum du moment total. Ici les deux termes sont calculés en 6,00 m, et leur somme est bien le moment maximal réel.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités (Optionnel)
  • Les charges sont en kilonewtons et kilonewtons par mètre, les distances en mètres.
  • Les moments s'expriment en kilonewtons multipliés par des mètres.
  • Les rapports de moments sont des nombres sans dimension.

Chaque chargement élémentaire est traité séparément, réaction puis moment, leur somme est comparée au résultat de la question précédente, et l'écart au calcul non pondéré est enfin chiffré.

1. Résolution Numérique Réaction d'appui produite par la seule charge répartie

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le calcul du moment de ce chargement isolé exige d'abord sa propre réaction d'appui, laquelle diffère de celle du chargement complet.

Méthodologie du calcul :

La résultante de la charge répartie est formée, puis partagée également entre les deux appuis.

  • Résultante de la charge répartie : Son intensité multipliée par la portée, soit \( 6{,}75 \times 10{,}00 \), appliquée à mi-portée.
  • Pourquoi un partage égal : La résultante s'applique au milieu de la travée : les deux appuis sont à égale distance et reprennent donc la même part.
\[ \begin{aligned} R_{\text{A,q}} &= \frac{6{,}75 \times 10{,}00}{2} \\ &= \frac{67{,}50}{2} \text{ kN} \\ &= \mathbf{33{,}75} \text{ kN} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge répartie seule produirait une réaction de 33,75 kN sur chacun des deux appuis, le chargement étant symétrique.

  • Contrôle par le chargement complet : La réaction gauche du chargement complet vaut 45,75 kN. L'écart de 12,00 kN correspond exactement à la part que la charge ponctuelle transmet à cet appui.
  • Ce que ce partage égal signale : Que ce chargement pris isolément est symétrique, contrairement au chargement complet. Son diagramme de moment sera donc symétrique lui aussi.

Remarque pédagogique : Cette réaction n'a pas de réalité physique isolée : elle ne s'exerce pas sur l'ouvrage. Elle n'est qu'un intermédiaire de calcul du cas de charge élémentaire, dont l'effet sera ensuite ajouté à celui de l'autre.

Moment produit par la seule charge répartie au droit de la charge ponctuelle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il constitue le premier terme de la superposition, et qu'il se calcule sans recourir aux expressions par zone.

Méthodologie du calcul :

Le moment de la réaction et celui de la charge répartie tronquée sont formés à l'abscisse de six mètres.

  • Abscisse d'évaluation : 6,00 m, celle du maximum du moment total, et non celle du maximum de ce chargement pris isolément.
  • Terme de la charge répartie : Sa résultante sur les six premiers mètres, appliquée au milieu de ce tronçon, soit \( 6{,}75 \times 6{,}00^2/2 \).
\[ \begin{aligned} M_{\text{q}}(6) &= 33{,}75 \times 6{,}00 - \frac{6{,}75 \times 36{,}00}{2} \\ &= 202{,}50 - \frac{243{,}00}{2} \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= 202{,}50 - 121{,}50 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= \mathbf{81{,}00} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge répartie seule produirait 81,00 kN·m à l'abscisse de six mètres. Ce n'est pas son maximum, qui se situerait à mi-portée.

  • Comparaison à son propre maximum : À mi-portée, la charge répartie seule donnerait \( 6{,}75 \times 100/8 = 84{,}38 \text{ kN} \cdot \text{m} \). La valeur en 6,00 m en représente 96 pour cent.
  • Pourquoi évaluer ici et non à son maximum : Parce que la superposition additionne des moments en une même section. Additionner deux maxima situés en des sections différentes n'aurait aucun sens.

Remarque pédagogique : Cette contribution se calcule directement à partir de la réaction et des bras de levier, sans passer par les expressions par zone établies précédemment. C'est ce qui donne au recoupement sa valeur : les deux voies ne partagent aucune étape.

Contribution de la charge ponctuelle seule

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle constitue le second terme de la superposition, et qu'elle permet en outre de situer la position retenue par rapport au cas le plus défavorable.

Méthodologie du calcul :

Le moment maximal d'une charge ponctuelle est formé à partir de ses deux distances aux appuis, puis comparé à celui d'une charge centrée.

  • Distances aux appuis : 6,00 m à gauche et \( 10{,}00 - 6{,}00 = 4{,}00 \text{ m} \) à droite.
  • Comparaison prévue : Avec le moment qu'une charge centrée produirait, soit le quart du produit de la charge par la portée.
\[ \begin{aligned} M_{\text{P}}(6) &= \frac{30{,}00 \times 6{,}00 \times 4{,}00}{10{,}00} \\ &= \frac{720{,}00}{10{,}00} \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= \mathbf{72{,}00} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge ponctuelle seule produit 72,00 kN·m, valeur qui est aussi son maximum puisque le moment d'une charge ponctuelle culmine à son point d'application.

  • Comparaison au cas le plus défavorable : Centrée, la charge donnerait \( 30{,}00 \times 10{,}00/4 = 75{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \). La position retenue en représente 96 pour cent : elle est presque la plus défavorable.
  • Ce que cette proximité signifie : Déplacer la charge vers le centre n'aggraverait le moment que de 3,00 kN·m. Le dossier a donc retenu une position pratiquement enveloppe.

Remarque pédagogique : Cette faible sensibilité tient à la forme du produit des deux distances : il varie peu au voisinage de son maximum. Un décentrement de 1,00 m ne coûte ici que 4 pour cent de moment.

Recoupement du moment maximal par superposition

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un résultat de dimensionnement doit être confirmé par une voie qui ne reprenne aucune étape de celle qui l'a produit.

Méthodologie du calcul :

Les deux contributions élémentaires sont additionnées, puis leur somme est comparée au moment obtenu par la méthode des coupures.

  • Contributions à additionner : 81,00 kN·m pour la charge répartie et 72,00 kN·m pour la charge ponctuelle, toutes deux évaluées à la même abscisse de 6,00 m.
  • Valeur de comparaison : Les 153,00 kN·m obtenus à la question précédente par la méthode des coupures.
\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= M_{\text{q}}(6) + M_{\text{P}}(6) \\ &= 81{,}00 + 72{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= \mathbf{153{,}00} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La superposition confirme exactement les 153,00 kN·m obtenus par la méthode des coupures. Le résultat est donc établi par deux voies indépendantes.

  • Valeur du recoupement : Les deux voies ne partagent aucune étape : l'une passe par les expressions par zone et la recherche des racines, l'autre par deux cas de charge élémentaires. Leur concordance est une véritable vérification.
  • Part de chaque chargement : \( 81{,}00/153{,}00 = 52{,}9 \) pour cent pour la charge répartie et 47,1 pour cent pour la charge ponctuelle : les deux pèsent presque également.

Remarque pédagogique : Cet équilibre entre les deux contributions signifie qu'aucune ne peut être négligée. Une étude qui n'aurait retenu que le poids propre aurait manqué près de la moitié du moment.

Le même moment calculé sur les charges caractéristiques

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut savoir ce que la pondération apporte, et donc ce que coûterait son omission.

Méthodologie du calcul :

Le calcul du moment au droit de la charge est repris à l'identique, mais avec les charges caractéristiques du dossier.

  • Réaction gauche sous charges caractéristiques : \( \left( 20{,}00 \times 4{,}00 + 50{,}00 \times 5{,}00 \right)/10{,}00 = 33{,}00 \text{ kN} \), obtenue par le même théorème des moments.
  • Terme de la charge répartie : \( 5{,}00 \times 6{,}00^2/2 \), avec la charge caractéristique de 5,00 kN/m.
\[ \begin{aligned} M_{\text{caract}} &= 33{,}00 \times 6{,}00 - \frac{5{,}00 \times 36{,}00}{2} \\ &= 198{,}00 - \frac{180{,}00}{2} \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= 198{,}00 - 90{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= \mathbf{108{,}00} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Conduit sur les charges caractéristiques, le même calcul donne 108,00 kN·m. Toutes les étapes en sont identiques : seules les valeurs de départ diffèrent.

  • Pourquoi cette valeur n'est pas une valeur de calcul : Parce qu'elle repose sur des charges estimées et non majorées. Elle décrit ce que la poutre subira probablement, non ce contre quoi elle doit être dimensionnée.
  • Cohérence interne malgré l'erreur : Ce calcul est parfaitement cohérent : les réactions s'équilibrent, le moment s'annule aux appuis. Aucun contrôle interne ne peut détecter l'oubli de la pondération.

Remarque pédagogique : C'est précisément cette cohérence apparente qui rend l'oubli dangereux. Seule la confrontation aux charges d'origine et à leurs coefficients partiels révèle la faute.

Écart entre le moment de calcul et le moment non pondéré

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la portée de cet écart doit être chiffrée pour être comprise, et non seulement constatée.

Méthodologie du calcul :

La différence entre les deux valeurs est formée, puis rapportée au moment de calcul.

  • Valeurs comparées : 153,00 kN·m avec les charges pondérées, 108,00 kN·m avec les charges caractéristiques.
  • Référence du rapport : Le moment de calcul, puisque c'est lui qui constitue l'exigence réglementaire à laquelle la valeur non pondérée est comparée.
\[ \begin{aligned} \Delta M &= 153{,}00 - 108{,}00 \text{ kN} \cdot \text{m} \\ &= \mathbf{45{,}00} \text{ kN} \cdot \text{m} \\ \frac{\Delta M}{M_{\text{max}}} &= \frac{45{,}00}{153{,}00} \\ &= \mathbf{0{,}294} \text{ soit } 29{,}4 \text{ %} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Un calcul mené sans pondération sous-estime le moment de dimensionnement de 45,00 kN·m, soit 29,4 pour cent du moment de calcul.

  • Ce que représente cet écart : La marge de sécurité qu'introduisent les coefficients partiels. Un profilé dimensionné sur 108,00 kN·m serait sous-dimensionné de près de trente pour cent au regard du règlement.
  • Pourquoi 29,4 et non 35 ou 50 : Parce que l'écart est une moyenne pondérée des deux coefficients, dans la proportion où chaque chargement contribue au moment. La charge répartie pesant 52,9 pour cent, le résultat se situe entre 1,35 et 1,50.

Remarque pédagogique : Cet écart mesure exactement ce que la pondération apporte. Il rappelle qu'une sollicitation calculée sur des charges caractéristiques n'est pas une valeur de dimensionnement, quel que soit le soin apporté au reste du calcul.

SUPERPOSITION DES DEUX CHARGEMENTS
CONTROLE PAR SUPERPOSITION DES DEUX CHARGEMENTS CHARGE REPARTIE SEULE 81,00 kN·m + CHARGE PONCTUELLE SEULE 72,00 kN·m = 153,00 PART DE CHAQUE CHARGEMENT DANS LE MOMENT MAXIMAL 52,9 47,1 en pour cent — les deux chargements pèsent presque également CE QUE COUTE L'OUBLI DE LA PONDERATION moment sous charges caractéristiques 108,00 kN·m moment de calcul, charges pondérées 153,00 kN·m une sous-estimation de 29,4 pour cent
RÉSULTAT FINAL
\( M_{\text{max}} \) = 153,00 kN·m
"La superposition confirme les 153,00 kN·m, valeur supérieure de 29,4 pour cent à celle qu'aurait donnée un calcul sur les charges caractéristiques."
SCHÉMA BILAN — SOLLICITATIONS INTERNES ET CONTRÔLES
PASSERELLE — SOLLICITATIONS INTERNES DE CALCUL 45,75 51,75 réactions d'appui, en kilonewtons charge répartie pondérée 6,75 kN/m charge ponctuelle pondérée 30,00 kN charge totale descendante 97,50 kN position de la charge 6,00 m EFFORT TRANCHANT à l'appui gauche +45,75 kN juste avant la charge +5,25 kN juste après la charge −24,75 kN maximum en valeur absolue : 51,75 kN MOMENT FLECHISSANT 153,00 kilonewtons-mètres, au droit de la charge dont charge répartie 81,00 LES QUATRE CONTROLES DE COHERENCE somme des réactions 97,50 = 97,50 saut de l'effort tranchant 30,00 = 30,00 effort tranchant à l'appui droit −51,75 kN moment à l'appui droit 0,00 kN·m superposition des deux charges 81,00 + 72,00 soit 153,00 kN·m quatre voies indépendantes, quatre concordances
SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

Les deux actions sont d'abord pondérées selon leur nature : la charge répartie permanente passe à 6,75 kN/m et la charge ponctuelle variable à 30,00 kN. Le théorème des moments écrit à l'appui gauche donne une réaction droite de 51,75 kN, et l'équilibre vertical une réaction gauche de 45,75 kN, dont la somme restitue exactement les 97,50 kN de charge totale. L'effort tranchant décroît linéairement de 45,75 à 5,25 kN jusqu'à la charge, chute de 30,00 kN — exactement l'intensité de celle-ci — puis poursuit sa décroissance jusqu'à −51,75 kN à l'appui droit, valeur qui restitue l'opposé de la réaction. La position du maximum de moment est ensuite démontrée et non supposée : les deux expressions de l'effort tranchant s'annulent respectivement en 6,78 m et 2,33 m, toutes deux hors de leur zone de validité. L'effort tranchant ne s'annule donc nulle part et change de signe par le seul saut, ce qui place le maximum exactement au droit de la charge. Le moment y vaut 153,00 kN·m, valeur confirmée par l'expression de la zone aval qui redonne la même valeur et s'annule bien sur l'appui droit. La superposition, qui ne partage aucune étape avec la méthode des coupures, fournit un recoupement complet : 81,00 + 72,00 = 153,00 kN·m. Le même calcul mené sur les charges caractéristiques n'aurait donné que 108,00 kN·m, soit 29,4 pour cent de moins.

Trois enseignements se dégagent de cette étude. Le premier concerne le statut des charges. Les valeurs d'un dossier d'avant-projet sont des estimations, et le dimensionnement se conduit sur des valeurs majorées par des coefficients partiels dont la valeur dépend de la nature de l'action. Cette étape est facile à omettre parce que son oubli laisse le calcul entièrement cohérent : les réactions s'équilibrent, les diagrammes se referment, tous les contrôles internes passent. Seule la confrontation aux charges d'origine révèle la faute — et elle coûte ici près de trente pour cent sur le moment de dimensionnement. Le deuxième enseignement porte sur la localisation du maximum. Le moment culmine là où l'effort tranchant change de signe, mais ce changement peut se produire par annulation ou par saut, et rien dans l'énoncé ne dit lequel. La démarche rigoureuse consiste à chercher les racines de l'effort tranchant zone par zone et à les confronter à leur intervalle de validité. Ici aucune n'est recevable, ce qui établit que le maximum est à la frontière ; avec une charge ponctuelle plus faible, l'une des racines serait tombée dans sa zone et le maximum se serait situé ailleurs. Supposer la position revient à jouer sur un chargement particulier. Le troisième enseignement tient à la valeur d'un recoupement. Le contrôle du saut, celui de l'effort tranchant à l'appui, celui de l'annulation du moment aux extrémités et celui de la superposition ne testent pas la même chose : les trois premiers vérifient la cohérence interne d'une même chaîne de calcul, le dernier emprunte une chaîne entièrement distincte. C'est ce dernier qui a la plus grande valeur probante, et c'est celui que l'on omet le plus souvent.

Calcul de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant
Exercices résistances des matériauxÉtape 31 sur 80

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Commentaires4

Échanges des lecteurs et réponses de l'équipe — nouveaux commentaires publiés après validation.

E

Evariste Kouame

13 avril 2024

J’aime bien ce gens d’exercice

A

Aurélien B.

19 mai 2024

Bonjour,
Je suis en BUT GCCD 1ère année et j’ai du mal avec mes exercices de mécanique des structures, pour déterminer Vy ainsi que Mz à toute distance sur la poutre il nous est demandé de les déterminer en fonction de « x », je n’y arrive pas.
On arrive en fin de semestre et je n’ai plus TD mais les partiels arrivent à grand pas, serait-il possible d’en discuter par mail ?

Merci.
Cordialement Aurélien B.

E

EGC - Génie Civil✓ Équipe

19 mai 2024

Bonjour, vous pouvez nous écrire directement sur Contact@etudiantgeniecivil.com, Nous serons ravis de vous aider!!!

ع

عبد العاطي السعيدي

15 mars 2025

Bien explication dans le calculer de genie civile

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