Quel lien entre le module d'Young, le coefficient de Poisson et le module de cisaillement ?

Ce que chacun mesure

• E, le module d'Young — la raideur en traction : de combien le matériau s'allonge sous une contrainte normale.
• ν, le coefficient de Poisson — le couplage transversal : de combien il s'amincit quand on l'étire.
• G, le module de cisaillement — la raideur au glissement, sous une contrainte tangentielle.

Pourquoi ils sont liés

La démonstration tient en une idée. Prenez un état de contrainte plane où l'on tire dans une direction et où l'on comprime autant dans la direction perpendiculaire. Vu dans un repère tourné de 45°, ce même état est du cisaillement pur. C'est physiquement la même sollicitation décrite deux fois.

En écrivant la loi de Hooke dans les deux repères et en identifiant, on obtient τ_xy = E / (2(1 + ν)) · γ_xy. Comme par définition τ = G·γ, il vient :

G = E / (2(1 + ν))

Ce que ça change en pratique

Vous n'avez jamais besoin de mesurer G. Un essai de traction suffit : il donne E par la pente de la courbe et ν par le rapport des déformations transversale et longitudinale. G s'en déduit.

Ordre de grandeur utile : avec un ν voisin de 0,3, courant pour les métaux, G vaut environ E / 2,6, soit un peu moins de 40 % de E. Un matériau est toujours nettement plus souple au cisaillement qu'à la traction.

La limite à connaître

Cette relation ne vaut que pour un matériau isotrope. Le bois ne l'est pas : ses modules diffèrent selon qu'on sollicite dans le fil ou en travers, et G n'y est pas déductible de E et ν. C'est aussi vrai des matériaux composites. Appliquer la formule à une poutre en bois donne un chiffre sans signification.