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Exercice corrigé NF EN ISO 14688-2 NF EN 1997-1 NF P 94-074 Eurocode 7

Tracé du Cercle de Mohr et Contrainte à la Rupture

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 27 juillet 2026• 73 min de lecture• 4 vues
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Étude de cas · Note de calculs Réf. EGC-MDS-MOHR-10

Tracé du Cercle de Mohr et Contrainte à la Rupture

Essai triaxial consolidé non drainé sur sable argileux : de la contrainte de confinement au plan de glissement, par le cercle de Mohr et le critère de Mohr-Coulomb.

NiveauBUT · Licence · Master Génie Civil
DomaineMécanique des sols
ThèmeRésistance au cisaillement et états de contrainte
PrérequisPrincipe des contraintes effectives · Contraintes principales · Essai triaxial · Trigonométrie du cercle · Coefficients partiels de l'Eurocode 7
1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES
Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un élément de sable argileux situé sous une fondation projetée doit être caractérisé en résistance. Un échantillon intact est soumis à un essai triaxial consolidé non drainé avec mesure de la pression interstitielle : l'éprouvette est d'abord consolidée sous une pression de confinement, puis cisaillée sans drainage tandis qu'un capteur suit l'évolution de la pression de l'eau. La question posée au laboratoire est simple à énoncer : sous quelle charge axiale cet échantillon va-t-il rompre, et selon quel plan ?

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments gouvernent l'analyse et expliquent pourquoi la charge de rupture ne se lit pas directement sur la charge appliquée :

  • Enjeu Principal : La résistance d'un sol ne dépend pas des contraintes appliquées mais des contraintes effectives. L'eau des pores, en montant en pression pendant le cisaillement, allège les contacts entre grains et affaiblit le terrain sans que rien ne change à l'extérieur de l'éprouvette.
  • Environnement : L'essai est mené sans drainage. L'eau ne peut s'échapper, sa pression monte, et c'est cette montée mesurée au capteur qui permet de remonter aux contraintes réellement subies par le squelette solide.
  • L'objectif final : Prédire le déviateur de contrainte à la rupture, tracer le cercle de Mohr correspondant, et localiser précisément le plan sur lequel l'éprouvette va glisser ainsi que les contraintes qui s'y exercent.
  • L'astuce de l'ingénieur : La rupture ne se produit pas sur le plan de cisaillement maximal. Le terrain glisse là où le rapport entre la sollicitation et la résistance est le plus défavorable, c'est-à-dire là où le cercle touche l'enveloppe de rupture.
Votre Mission :

Vous rédigez la note d'interprétation de l'essai triaxial. Il vous faut établir la contrainte effective de confinement, prédire la contrainte principale majeure que l'éprouvette pourra supporter avant de rompre, construire le cercle de Mohr correspondant en vérifiant qu'il est bien tangent à l'enveloppe de rupture, puis localiser le plan de glissement et chiffrer les contraintes qui s'y exercent.

  • Le grand défi : Le point de rupture n'est ni le sommet du cercle, ni son extrémité droite. C'est le point de tangence avec l'enveloppe, et le localiser demande de raisonner sur la géométrie du cercle, non sur ses valeurs extrêmes.
  • Votre rôle : Passer des contraintes totales aux contraintes effectives, appliquer la condition de tangence pour prédire la rupture, contrôler la cohérence du cercle obtenu, et conclure en valeurs de calcul réglementaires.
DISPOSITIF D'ESSAI ET CONTRAINTES APPLIQUÉES
CELLULE TRIAXIALE SABLE ARGILEUX déviateur axial croissant jusqu'à la rupture σ₃ = 100 kPa pression de confinement u = 50 kPa à la rupture capteur de pression interstitielle Caractéristiques de cisaillement du terrain : c' = 15 kPa · φ' = 30° Essai consolidé non drainé (CU)
Livrables Attendus (Checklist) :
  • La contrainte effective de confinement et le coefficient de butée du terrain, préalables à toute prédiction de rupture.
  • La contrainte principale majeure effective à la rupture et le déviateur correspondant, exprimé aussi en contraintes totales.
  • Le cercle de Mohr en contraintes effectives, avec vérification explicite de sa tangence à l'enveloppe de rupture, et l'orientation du plan de glissement.
  • Les contraintes sur le plan de rupture, la démonstration que le plan de cisaillement maximal n'est pas celui qui rompt, et les valeurs de calcul réglementaires.
2. Données Techniques & Normes

Les données se répartissent en deux blocs de statut très différent. Le premier rassemble les grandeurs imposées ou mesurées pendant l'essai : la pression de confinement, fixée par l'opérateur, et la pression interstitielle relevée au capteur à l'instant de la rupture. Le second donne les caractéristiques de cisaillement du terrain, cohésion effective et angle de frottement effectif, issues d'une série d'essais antérieurs sur le même matériau. Le déviateur à la rupture, lui, ne figure pas dans les données : c'est précisément le résultat que la note doit prédire.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Huit relations couvrent l'exercice. La première donne les contraintes effectives, les trois suivantes prédisent la rupture, les deux d'après décrivent le cercle de Mohr, les deux dernières localisent le plan de glissement et les contraintes qui s'y exercent.

  • Principe des contraintes effectives \( \sigma' = \sigma - u \)
  • Coefficient de butée \( K_{\text{p}} = \tan^{2}\left(\text{45°} + \dfrac{\varphi'}{2}\right) \)
  • Contrainte principale majeure à la rupture \( \sigma'_{1} = \sigma'_{3} K_{\text{p}} + 2 c' \sqrt{K_{\text{p}}} \)
  • Déviateur de contrainte, invariant \( q = \sigma'_{1} - \sigma'_{3} = \sigma_{1} - \sigma_{3} \)
  • Centre et rayon du cercle de Mohr \( C = \dfrac{\sigma'_{1} + \sigma'_{3}}{2} \quad \text{et} \quad R = \dfrac{\sigma'_{1} - \sigma'_{3}}{2} \)
  • Condition de tangence à l'enveloppe de rupture \( R = C \sin \varphi' + c' \cos \varphi' \)
  • Orientation du plan de rupture \( \theta = \text{45°} + \dfrac{\varphi'}{2} \)
  • Contraintes au point de tangence \( \sigma'_{\text{f}} = C - R \sin \varphi' \quad \text{et} \quad \tau_{\text{f}} = R \cos \varphi' \)
Hypothèses et Paramètres de l'Étude
CARACTÉRISTIQUES DE CISAILLEMENT DU TERRAIN
Symbole Description Valeur Unité
c' Cohésion effective, valeur caractéristique déduite d'une série d'essais triaxiaux NF P 94-074 15 kPa
φ' Angle de frottement interne effectif, pente de l'enveloppe de rupture NF P 94-074 30 °
— Nature du terrain identifiée sur la carotte : sable argileux NF EN ISO 14688-2 sol grenu —
Grandeurs trigonométriques employées à plusieurs reprises
  • Sinus de l'angle de frottement : \( \sin \text{30°} = \mathbf{0,5000} \)
  • Cosinus de l'angle de frottement : \( \cos \text{30°} = \mathbf{0,8660} \)
  • Tangente de l'angle de frottement : \( \tan \text{30°} = \mathbf{0,5774} \)
CONDITIONS D'ESSAI ET MESURES
Symbole Description Valeur Unité
σ3 Pression de confinement appliquée dans la cellule, contrainte principale mineure totale NF P 94-074 100 kPa
u Pression interstitielle relevée au capteur à l'instant de la rupture 50 kPa
γφ' Coefficient partiel sur la tangente de l'angle de frottement, jeu M2 NF EN 1997-1 1,25 —
γc' Coefficient partiel sur la cohésion effective, jeu M2 NF EN 1997-1 1,25 —
Hypothèses de calcul retenues
  • Saturation : l'éprouvette est entièrement saturée, condition sans laquelle la mesure de pression interstitielle serait dépourvue de sens
  • Uniformité : la pression interstitielle est uniforme dans l'éprouvette au moment de la rupture, ce qu'assure une vitesse de cisaillement suffisamment lente
  • Milieu : sol supposé continu, homogène et isotrope, l'angle de frottement étant le même dans toutes les directions
  • Critère de rupture : enveloppe de Mohr-Coulomb linéaire dans le domaine de contraintes exploré
  • État de contrainte : axisymétrique, les deux contraintes principales mineures étant égales à la pression de confinement
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Trois tableaux d'appui. Le premier récapitule les types d'essais triaxiaux et les paramètres qu'ils fournissent. Le deuxième donne les ordres de grandeur des caractéristiques de cisaillement selon la nature du terrain. Le troisième reprend les coefficients partiels applicables aux propriétés des matériaux dans les vérifications aux états limites ultimes.

Types d'essais à l'appareil triaxial de révolution
Type d'essai Paramètres obtenus
Non consolidé non drainé cohésion non drainée, en contraintes totales
Consolidé non drainé, sans mesure de pression interstitielle caractéristiques en contraintes totales uniquement
Consolidé non drainé, avec mesure de pression interstitielle caractéristiques effectives c' et φ' ; cas du présent essai
Consolidé drainé caractéristiques effectives, pression interstitielle maintenue nulle
Ordres de grandeur des caractéristiques effectives de cisaillement
Nature du terrain φ' usuel · c' usuel
Sable propre lâche à dense 30 à 40° · c' nulle
Sable argileux, limon 25 à 33° · 0 à 20 kPa
Argile raide surconsolidée 20 à 28° · 10 à 40 kPa
Argile molle normalement consolidée 18 à 25° · c' quasi nulle
Coefficients partiels sur les propriétés des matériaux
Propriété du terrain Jeu M1 · Jeu M2
Tangente de l'angle de frottement effectif 1,0 · 1,25
Cohésion effective 1,0 · 1,25
Résistance au cisaillement non drainée 1,0 · 1,4
Poids volumique 1,0 · 1,0

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche part de ce qui est imposé à l'éprouvette et aboutit au plan sur lequel elle cédera. On établit d'abord la contrainte effective de confinement, seule grandeur que le squelette solide ressent réellement, ainsi que le coefficient qui traduit l'aptitude du terrain à résister. On prédit ensuite la contrainte axiale de rupture, puis on construit le cercle de Mohr correspondant en contrôlant sa tangence à l'enveloppe. On termine par la localisation du plan de glissement et par les contraintes qui s'y exercent, jusqu'aux valeurs de calcul réglementaires.

1

Question 1 : Contrainte effective de confinement et coefficient de butée

Principe de Terzaghi 15 min | Accessible
But de l'étape : Traduire la pression imposée à la cellule en la contrainte que ressentent réellement les grains, et calculer le coefficient qui résume l'aptitude du terrain à supporter un écart entre ses deux contraintes principales.
Énoncé Q1 : Calculez la contrainte principale mineure effective à la rupture, puis le coefficient de butée du terrain. Précisez ce que ce coefficient représente physiquement.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'eau des pores pousse dans toutes les directions avec la même intensité : elle se retranche de la contrainte de confinement comme de la contrainte axiale.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le coefficient de butée est le carré d'une tangente. Pour un angle de frottement de 30°, l'angle intérieur vaut 60° et le résultat tombe sur un nombre entier.

2

Question 2 : Contrainte principale majeure et déviateur à la rupture

Prédiction de la rupture 25 min | Intermédiaire
But de l'étape : Prédire la charge axiale que l'éprouvette supportera avant de céder. C'est le résultat attendu de l'essai, et il se déduit entièrement du confinement et des caractéristiques du terrain.
Énoncé Q2 : Calculez la contrainte principale majeure effective à la rupture, puis le déviateur de contrainte correspondant. Exprimez enfin la contrainte axiale totale que le piston devra appliquer, et justifiez que le déviateur ne dépende pas de la pression interstitielle.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La contrainte majeure de rupture comporte deux termes : l'un proportionnel au confinement, l'autre proportionnel à la cohésion. Le premier traduit le frottement, le second l'adhérence entre particules.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le terme de cohésion fait intervenir la racine carrée du coefficient de butée, et non le coefficient lui-même. Cette racine vaut ici environ 1,73.

3

Question 3 : Cercle de Mohr et orientation du plan de rupture

Construction graphique 25 min | Intermédiaire
But de l'étape : Construire la représentation graphique de l'état de contrainte, vérifier qu'elle est bien à la limite de rupture, et localiser l'orientation du plan de glissement.
Énoncé Q3 : Déterminez le centre et le rayon du cercle de Mohr en contraintes effectives. Vérifiez explicitement la condition de tangence à l'enveloppe de rupture, puis calculez l'orientation du plan de glissement par rapport au plan sur lequel s'exerce la contrainte principale majeure.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le centre est la moyenne des deux contraintes principales, le rayon leur demi-différence. Le rayon vaut donc la moitié du déviateur, et représente le cisaillement maximal.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La condition de tangence exprime que la distance du centre à la droite de rupture égale le rayon. Si le calcul redonne exactement le rayon obtenu par les contraintes principales, la cohérence est démontrée.

4

Question 4 (Finale) : Contraintes sur le plan de rupture et valeurs de calcul

Critère de Mohr-Coulomb 35 min | BOSS
But de l'étape : Chiffrer les contraintes qui règnent sur la future surface de glissement, démontrer que ce plan n'est pas celui du cisaillement maximal, et traduire le résultat en valeurs de calcul réglementaires.
La question qui décide du dimensionnement : Le terrain rompt-il là où le cisaillement est le plus fort, ou ailleurs ? Et que reste-t-il de sa résistance une fois affectée des coefficients partiels ?
Calculez la contrainte normale effective et la contrainte de cisaillement au point de tangence. Vérifiez que ce couple satisfait le critère de Mohr-Coulomb, puis montrez que le plan de cisaillement maximal n'est pas rompu. Terminez par la résistance de calcul obtenue en appliquant les coefficients partiels du jeu M2.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le point de tangence se situe à gauche du sommet du cercle. Sa position se déduit du centre et du rayon par une projection faisant intervenir l'angle de frottement.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Sur le plan de cisaillement maximal, la contrainte normale vaut le centre du cercle et le cisaillement vaut le rayon. Comparez ce cisaillement à la résistance disponible en ce point.

NOTE DE CALCULS

Tracé du Cercle de Mohr et Contrainte à la Rupture

1
Question 1 : Contrainte effective de confinement et coefficient de butée
Dans la tête de l'ingénieur

"La cellule affiche cent kilopascals, mais ce n'est pas ce que subissent les grains. L'eau des pores, coincée par l'absence de drainage, est montée à cinquante kilopascals et allège d'autant les contacts entre particules. Le squelette ne ressent donc que cinquante kilopascals de confinement. Ensuite je calcule le coefficient de butée : il condense en un seul nombre tout ce que l'angle de frottement autorise comme écart entre les deux contraintes principales. Pour trente degrés, il tombe sur une valeur remarquablement simple."

  • Observation : La pression interstitielle atteint la moitié de la pression de confinement. Le squelette perd donc la moitié de son confinement effectif, ce qui affaiblit considérablement l'éprouvette.
  • Analyse du risque : Oublier de retrancher la pression interstitielle conduirait à prédire une résistance deux fois trop élevée. C'est l'erreur la plus lourde de conséquences d'un essai non drainé.
  • Choix stratégique : Je calcule le coefficient de butée dès maintenant, avant toute autre chose. Il intervient deux fois dans la prédiction de la rupture, et l'isoler évite de le recalculer.
  • Alternative : J'aurais pu travailler directement avec la condition de tangence du cercle de Mohr. Passer par le coefficient de butée mène au même résultat par une voie plus lisible, et fournit un contrôle indépendant en fin de note.
  • Objectif visé : Disposer de la contrainte réellement subie par le squelette et du coefficient qui gouvernera toute la prédiction de rupture.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
σ'3 = 50 kPa · Kp = 3,000
Rappel Théorique : ce que l'essai impose et ce que le sol ressent

Un essai triaxial non drainé sépare nettement ce que l'opérateur applique de ce que le terrain subit. Cinq points l'expliquent.

  • Le dispositif : l'éprouvette cylindrique est enfermée dans une membrane étanche et placée dans une cellule remplie d'eau sous pression. Cette pression constitue la contrainte principale mineure, identique dans toutes les directions radiales.
  • Le cisaillement : un piston applique une charge axiale croissante. L'écart entre la contrainte axiale et la pression de confinement, appelé déviateur, est ce qui cisaille réellement le matériau.
  • L'absence de drainage : l'eau ne pouvant s'échapper, elle encaisse une part de la charge sous forme de surpression interstitielle, mesurée par un capteur en base d'éprouvette.
  • Le retour aux contraintes effectives : retrancher cette pression aux deux contraintes principales donne les contraintes que se transmettent réellement les grains, seules responsables de la résistance.
  • Le coefficient de butée : il exprime le rapport maximal que peuvent atteindre les deux contraintes principales effectives d'un terrain purement frottant. Il ne dépend que de l'angle de frottement.
Équations Fondamentales

Deux relations indépendantes. La première décrit l'état hydraulique, la seconde une propriété mécanique du terrain.

Principe des contraintes effectives :

Il isole la part de la contrainte que se transmettent effectivement les grains.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'eau des pores ne peut transmettre aucun cisaillement. Elle pousse identiquement dans toutes les directions et n'aide en rien à plaquer les grains les uns contre les autres. Seule la contrainte qui subsiste après avoir retiré sa pression produit du frottement, et donc de la résistance.

  • Contexte de validité : sol saturé. La mesure de pression interstitielle n'aurait aucun sens sur une éprouvette partiellement saturée.
  • Avantage : elle permet d'obtenir des caractéristiques effectives à partir d'un essai non drainé, bien plus rapide qu'un essai drainé.
  • Paramètre clé : la pression interstitielle, qui doit être mesurée et non estimée : elle évolue tout au long du cisaillement.
  • Vérification : la contrainte effective est toujours inférieure à la contrainte totale tant que la pression interstitielle est positive.
  • Limite : une pression interstitielle négative, possible dans un sable dense qui cherche à se dilater, augmenterait au contraire la contrainte effective.
\[ \begin{aligned} \sigma' = \sigma - u \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que l'eau porte une part de la charge sans rien serrer. Elle pousse sur chaque grain de tous les côtés à la fois, ce qui ne crée aucun contact supplémentaire. Faites-la monter en pression et le terrain s'affaiblit, sans qu'aucune charge extérieure n'ait changé.
Décomposition des termes :
  • σ' : contrainte effective, supportée par le squelette solide, unité : kPa
  • σ : contrainte totale appliquée, unité : kPa
  • u : pression interstitielle mesurée au capteur, unité : kPa
Coefficient de butée du terrain :

Il exprime l'écart maximal admissible entre les deux contraintes principales effectives.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle résume en un seul nombre tout ce que le frottement interne autorise. Un terrain ne peut pas supporter n'importe quel écart entre ses deux contraintes principales : au-delà d'un certain rapport, il glisse. Ce rapport limite ne dépend que de l'angle de frottement, et la forme en carré de tangente découle directement de la géométrie du cercle de Mohr tangent à l'enveloppe.

  • Contexte de validité : critère de Mohr-Coulomb, avec une enveloppe de rupture linéaire dans le plan des contraintes.
  • Avantage : il transforme un problème géométrique de tangence en une simple multiplication, sans passer par la construction du cercle.
  • Paramètre clé : l'angle de frottement effectif, unique donnée dont dépend ce coefficient. La cohésion n'y intervient pas.
  • Vérification : il vaut 1 pour un terrain sans frottement et croît très vite ensuite : 3 à trente degrés, plus de 4 à quarante.
  • Limite : il décrit la butée, c'est-à-dire l'état où la contrainte majeure est horizontale ou verticale selon le cas. Son inverse décrit la poussée.
\[ \begin{aligned} K_{\text{p}} = \tan^{2}\left(\text{45°} + \dfrac{\varphi'}{2}\right) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit jusqu'où l'on peut écarter les deux contraintes principales avant que le terrain ne cède. Plus les grains frottent, plus cet écart peut être grand. Un terrain de trente degrés supporte une contrainte majeure trois fois supérieure à sa contrainte mineure, avant même de compter la cohésion.
Décomposition des termes :
  • Kp : coefficient de butée, unité : sans dimension
  • φ' : angle de frottement interne effectif du terrain, unité : degré
  • 45° + φ'/2 : demi-angle intérieur, qui est aussi l'orientation du plan de rupture, unité : degré
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants ne retranchent la pression interstitielle qu'à la contrainte axiale, en laissant la pression de confinement inchangée..."

L'approche d'ingénieur : La pression de l'eau est isotrope : elle s'exerce avec la même intensité dans toutes les directions et se retranche donc de chacune des trois contraintes principales. Ne la retirer qu'à l'une d'elles reviendrait à supposer que l'eau pousse différemment selon l'orientation, ce qui est incompatible avec sa nature de fluide. Le confinement effectif passerait alors de 50 à 100 kPa, et la résistance prédite serait presque doublée.
  • L'erreur : traiter la pression interstitielle comme une force dirigée plutôt que comme une pression isotrope.
  • La bonne méthode : appliquer le principe des contraintes effectives à chaque contrainte principale séparément, sans exception.
  • L'astuce de pro : se rappeler que le déviateur reste inchangé : si la soustraction affecte les deux contraintes également, leur différence ne bouge pas.
  • Le moyen mnémotechnique : « l'eau ne choisit pas de direction ».
  • L'impact direct : une contrainte effective surestimée conduit à annoncer une résistance que le terrain ne possède pas, dans le sens contraire à la sécurité.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités
  • Toutes les contraintes exprimées en kPa, directement soustrayables
  • Angle en degrés : vérifier le mode de la calculatrice avant tout calcul trigonométrique
  • Le coefficient de butée est un carré de tangente, donc sans dimension

Deux calculs indépendants. Le premier ramène la pression imposée à la cellule à ce que subit réellement le squelette solide. Le second établit une propriété du terrain qui ne dépend d'aucune donnée d'essai, et qui servira à prédire la rupture.

1. Résolution Numérique Contrainte principale mineure effective

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le confinement réel du squelette solide, point de départ de toute prédiction de résistance.

Méthodologie du calcul :

Soustraction de la pression interstitielle mesurée à la pression de confinement appliquée dans la cellule.

  • Substitution : \( \sigma_{3} = \text{100 kPa} \) et \( u = \text{50 kPa} \).
  • Piège évité : conserver la pression de confinement totale, ce qui doublerait le confinement effectif.
  • Hypothèse validée : l'éprouvette est saturée et la pression interstitielle est uniforme au moment de la rupture.
  • Vérification croisée : le résultat doit être positif : une valeur négative signalerait une pression interstitielle supérieure au confinement, donc une éprouvette déjà rompue.
  • Finalité : fournir la contrainte à partir de laquelle sera prédite la rupture.
\[ \begin{aligned} \sigma'_{3} &= \sigma_{3} - u \\ &= \text{100 kPa} - \text{50 kPa} \\ &= \mathbf{50} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La montée de la pression interstitielle a divisé par deux le confinement effectif. L'éprouvette se comporte donc comme si l'opérateur n'avait appliqué que cinquante kilopascals, et sa résistance en sera d'autant réduite.

  • Ordre de grandeur : la valeur est positive et inférieure à la contrainte totale, comme l'impose une pression interstitielle positive.
  • Impact sur la suite : c'est cette valeur, et non les 100 kPa affichés par la cellule, qui entrera dans la prédiction de la contrainte de rupture.
  • Cohérence : une surpression atteignant la moitié du confinement traduit un terrain qui se contracte au cisaillement, comportement attendu d'un sable argileux peu dense.
  • Attention : cette valeur ne vaut qu'à l'instant de la rupture. La pression interstitielle a évolué tout au long du cisaillement.
  • Comparaison : dans un sable dense qui se dilate, la pression interstitielle deviendrait négative et le confinement effectif dépasserait la pression appliquée.

Remarque pédagogique : C'est tout l'intérêt d'un essai non drainé avec mesure de pression interstitielle : il livre les caractéristiques effectives du terrain en quelques heures, là où un essai drainé demanderait plusieurs jours sur une argile. Le prix à payer est la nécessité d'un capteur fiable et d'une vitesse de cisaillement assez lente pour que la pression s'uniformise.

2. Résolution Numérique Coefficient de butée du terrain

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il condense en un nombre unique tout ce que le frottement autorise, et qu'il interviendra deux fois dans la prédiction de rupture.

Méthodologie du calcul :

Carré de la tangente d'un angle valant quarante-cinq degrés augmenté de la moitié de l'angle de frottement.

  • Substitution : \( \varphi' = \text{30°} \), d'où l'angle intérieur \( \text{45°} + \text{15°} = \text{60°} \).
  • Piège évité : diviser la somme par deux au lieu du seul angle de frottement, ce qui donnerait 37,5° et un coefficient de 0,59.
  • Hypothèse validée : l'angle de frottement est constant dans le domaine de contraintes exploré, ce qui découle de la linéarité de l'enveloppe.
  • Vérification croisée : la tangente de soixante degrés vaut la racine de trois : son carré doit donc valoir exactement 3.
  • Finalité : disposer du multiplicateur qui permettra de prédire la contrainte de rupture.
\[ \begin{aligned} K_{\text{p}} &= \tan^{2}\left(\text{45°} + \dfrac{\text{30°}}{2}\right) \\ &= \tan^{2}(\text{60°}) \\ &= (\text{1,7321})^{2} \\ &= \mathbf{3,000} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Une valeur remarquablement ronde : le seul frottement permet à la contrainte majeure d'atteindre trois fois la contrainte mineure. La cohésion viendra s'ajouter à cette capacité, sans la remplacer.

  • Ordre de grandeur : la valeur exacte de 3 pour un angle de trente degrés est un repère classique, utile pour contrôler tout calcul de cette famille.
  • Impact sur la suite : ce coefficient multipliera le confinement effectif, et sa racine carrée multipliera la cohésion.
  • Cohérence : l'angle intérieur de soixante degrés est aussi celui du plan de rupture, ce que la troisième question confirmera.
  • Attention : ce coefficient ne dépend pas de la cohésion. Deux terrains de même angle de frottement partagent le même coefficient de butée, quelle que soit leur adhérence.
  • Comparaison : un sable dense à quarante degrés afficherait un coefficient de 4,60, un terrain sans frottement exactement 1.

Remarque pédagogique : Le coefficient de butée et son inverse, le coefficient de poussée, gouvernent tout le calcul des ouvrages de soutènement. Les rencontrer ici, dans l'interprétation d'un essai de laboratoire, souligne l'unité de la discipline : la même géométrie de rupture décrit une éprouvette de dix centimètres et un écran de dix mètres.

RÉSULTAT FINAL
σ'3 = 50 kPa · Kp = 3,000
"La cellule affiche cent kilopascals ; les grains n'en ressentent que cinquante."
2
Question 2 : Contrainte principale majeure et déviateur à la rupture
Dans la tête de l'ingénieur

"Je peux maintenant prédire la rupture. La contrainte que l'éprouvette supportera se compose de deux apports distincts : ce que le frottement permet, proportionnel au confinement, et ce que la cohésion ajoute par-dessus, indépendamment de toute pression. Le premier terme est de loin le plus important ici. Je terminerai en repassant en contraintes totales, car c'est en newtons sur le piston, pas en contraintes effectives, que l'opérateur lira la fin de l'essai."

  • Observation : La cohésion n'apportera qu'une cinquantaine de kilopascals sur les deux cents attendus. Le terrain tire l'essentiel de sa résistance de son frottement, comme il sied à un sable argileux.
  • Analyse du risque : Le terme de cohésion fait intervenir la racine carrée du coefficient de butée. Employer le coefficient lui-même majorerait ce terme de 73 % et fausserait la prédiction.
  • Choix stratégique : Je calcule les deux termes séparément avant de les additionner. Cela rend visible la part respective du frottement et de la cohésion, information utile au projeteur.
  • Alternative : J'aurais pu écrire directement la condition de tangence et résoudre en rayon. La voie par le coefficient de butée est équivalente et se prête mieux à un contrôle par étapes.
  • Objectif visé : Livrer le déviateur de rupture, résultat principal de l'essai, et la contrainte axiale totale correspondante.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
σ'1 = 202,0 kPa · q = 152,0 kPa · σ1 = 252,0 kPa
Rappel Théorique : d'où vient la résistance d'un sol

La contrainte de rupture d'un terrain se décompose en deux contributions de natures différentes. Cinq points les distinguent.

  • La part de frottement : elle est proportionnelle au confinement. Plus les grains sont serrés les uns contre les autres, plus il faut d'effort pour les faire glisser. C'est le mécanisme dominant des sols grenus.
  • La part de cohésion : elle existe même sous confinement nul et provient des liaisons entre particules fines. C'est ce qui permet à une motte d'argile de tenir toute seule, là qu'un tas de sable s'effondre.
  • La relation entre contraintes principales : à la rupture, la contrainte majeure vaut la contrainte mineure multipliée par le coefficient de butée, augmentée du double de la cohésion multipliée par la racine de ce coefficient.
  • Le déviateur : c'est l'écart entre les deux contraintes principales, et c'est lui qui cisaille le matériau. Il est identique en contraintes totales et effectives, la pression interstitielle se retranchant des deux termes.
  • La lecture sur l'essai : l'opérateur ne mesure pas des contraintes effectives mais une force sur le piston. Revenir aux contraintes totales est donc nécessaire pour confronter la prédiction à la mesure.
Équations Fondamentales

Deux relations. La première prédit la rupture, la seconde en tire le déviateur et fait le lien avec ce que mesure l'appareil.

Contrainte principale majeure à la rupture :

Elle donne la contrainte axiale effective que le terrain supportera avant de céder.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle traduit la condition de tangence du cercle de Mohr sous une forme directement exploitable. Ses deux termes ont des origines physiques distinctes : le premier vient du frottement et croît avec le confinement, le second vient de la cohésion et subsiste même sans confinement. Leur somme donne la limite au-delà de laquelle le terrain ne peut plus équilibrer l'écart imposé.

  • Contexte de validité : critère de Mohr-Coulomb, en contraintes effectives, avec des caractéristiques constantes sur le domaine exploré.
  • Avantage : elle permet de prédire le résultat d'un essai avant de le réaliser, ou de contrôler la cohérence d'un essai déjà mené.
  • Paramètre clé : la racine carrée du coefficient de butée dans le terme de cohésion, à ne pas confondre avec le coefficient lui-même.
  • Vérification : pour une cohésion nulle, elle se réduit au simple produit du confinement par le coefficient de butée.
  • Limite : elle suppose la cohésion effective réellement mobilisable. Les normes d'application françaises la négligent dans certaines vérifications de portance en conditions drainées, par prudence.
\[ \begin{aligned} \sigma'_{1} = \sigma'_{3} K_{\text{p}} + 2 c' \sqrt{K_{\text{p}}} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le terrain résiste de deux façons à la fois. Par le frottement, qui exige d'être confiné pour agir : sans pression latérale, il ne donne rien. Par la cohésion, qui agit toujours, même sur une éprouvette libre de toute pression. C'est pourquoi une argile tient debout et pas un sable sec.
Décomposition des termes :
  • σ'1 : contrainte principale majeure effective à la rupture, unité : kPa
  • σ'3 Kp : part due au frottement, proportionnelle au confinement, unité : kPa
  • 2 c' √Kp : part due à la cohésion, indépendante du confinement, unité : kPa
Déviateur de contrainte à la rupture :

Il mesure l'effort de cisaillement réellement imposé à l'éprouvette.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un confinement isotrope ne cisaille rien : il ne fait que comprimer uniformément. Seul l'écart entre les contraintes principales déforme le matériau en cisaillement. Cet écart possède en outre une propriété remarquable : la pression interstitielle se retranchant identiquement des deux termes, il prend la même valeur en contraintes totales et en contraintes effectives.

  • Contexte de validité : valable à tout instant de l'essai, pas seulement à la rupture.
  • Avantage : son invariance permet de passer sans erreur du monde effectif au monde total, et inversement.
  • Paramètre clé : c'est la grandeur directement mesurée par la cellule de charge du piston, une fois rapportée à la section de l'éprouvette.
  • Vérification : le déviateur vaut exactement deux fois le rayon du cercle de Mohr.
  • Limite : la section de l'éprouvette augmente au cours de l'essai ; le dépouillement doit en tenir compte pour convertir correctement la force en contrainte.
\[ \begin{aligned} q = \sigma'_{1} - \sigma'_{3} = \sigma_{1} - \sigma_{3} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que seul le déséquilibre cisaille. Comprimez une éprouvette également dans toutes les directions : elle se réduit de volume mais ne rompt pas. Créez un écart entre les directions, et le glissement devient possible dès que cet écart dépasse ce que le frottement peut retenir.
Décomposition des termes :
  • q : déviateur de contrainte à la rupture, unité : kPa
  • σ'1 − σ'3 : écart des contraintes principales effectives, unité : kPa
  • σ1 − σ3 : écart des contraintes principales totales, numériquement identique, unité : kPa
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants multiplient la cohésion par le coefficient de butée au lieu de sa racine carrée..."

L'approche d'ingénieur : Les deux termes de la relation n'ont pas la même dépendance au frottement : le terme de confinement fait intervenir le coefficient, le terme de cohésion sa racine carrée. Cette dissymétrie découle directement de la géométrie du cercle tangent. L'erreur porterait ici le terme de cohésion de 52,0 à 90,0 kPa et la contrainte de rupture à 240 kPa au lieu de 202, soit 19 % de surestimation.
  • L'erreur : appliquer le même facteur aux deux termes, par symétrie apparente de l'écriture.
  • La bonne méthode : retenir la formule sous sa forme complète, avec le coefficient au premier terme et sa racine au second.
  • L'astuce de pro : contrôler par la condition de tangence, qui donne le rayon du cercle sans passer par le coefficient de butée.
  • Le moyen mnémotechnique : « le frottement au carré, la cohésion à la racine ».
  • L'impact direct : la surestimation croît avec la cohésion : elle serait négligeable sur un sable propre, majeure sur une argile raide.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités
  • Le coefficient de butée et sa racine sont sans dimension : les deux termes restent en kPa
  • Contraintes effectives et totales s'expriment dans la même unité et se distinguent par la seule notation

Trois calculs. Le premier prédit la contrainte axiale effective de rupture en séparant les apports du frottement et de la cohésion. Le deuxième en déduit le déviateur, résultat principal de l'essai. Le troisième repasse en contraintes totales, seule forme comparable à la lecture du piston.

1. Résolution Numérique Contrainte principale majeure effective à la rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il donne la limite de résistance du squelette solide sous le confinement effectif établi.

Méthodologie du calcul :

Somme de deux termes : le confinement effectif multiplié par le coefficient de butée, puis le double de la cohésion multiplié par la racine de ce coefficient.

  • Substitution : \( \sigma'_{3} = \text{50 kPa} \), \( K_{\text{p}} = \text{3,000} \), \( \sqrt{K_{\text{p}}} = \text{1,7321} \) et \( c' = \text{15 kPa} \).
  • Piège évité : employer la contrainte de confinement totale, ce qui donnerait 352 kPa au lieu de 202.
  • Hypothèse validée : la cohésion effective est supposée entièrement mobilisable à la rupture, hypothèse propre à l'interprétation d'essai.
  • Vérification croisée : le premier terme doit valoir trois fois le confinement effectif, soit 150 kPa exactement.
  • Finalité : obtenir la contrainte axiale effective à laquelle l'éprouvette cédera.
\[ \begin{aligned} \sigma'_{1} &= \sigma'_{3} K_{\text{p}} + 2 c' \sqrt{K_{\text{p}}} \\ &= \text{50 kPa} \times \text{3,000} + 2 \times \text{15 kPa} \times \text{1,7321} \\ &= \text{150,0 kPa} + \text{52,0 kPa} \\ &= \mathbf{202,0} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux cent deux kilopascals, dont 150 dus au frottement et 52 à la cohésion. Le frottement apporte donc 74 % de la résistance, proportion caractéristique d'un sol grenu faiblement cohérent.

  • Ordre de grandeur : le premier terme vaut bien trois fois le confinement effectif, comme l'imposait le coefficient de butée.
  • Impact sur la suite : cette valeur fixera l'extrémité droite du cercle de Mohr en contraintes effectives.
  • Cohérence : le rapport des deux contraintes principales effectives vaut 4,04, supérieur au coefficient de butée de 3 grâce à l'apport de la cohésion.
  • Attention : sans cohésion, la rupture surviendrait dès 150 kPa. Les 52 kPa supplémentaires reposent entièrement sur un paramètre difficile à mesurer et sujet à caution.
  • Comparaison : sous un confinement effectif de 200 kPa, la même éprouvette tiendrait 652 kPa : la résistance croît linéairement avec le confinement.

Remarque pédagogique : La part relative des deux termes est une information de conception à part entière. Un terrain dont la résistance repose majoritairement sur la cohésion est fragile : cette cohésion peut disparaître avec le remaniement, la fissuration ou une variation de teneur en eau, alors que le frottement, lui, subsiste tant que le terrain reste confiné.

2. Résolution Numérique Déviateur de contrainte à la rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat principal de l'essai, celui que le laboratoire consigne et que l'ingénieur exploite.

Méthodologie du calcul :

Différence des deux contraintes principales effectives, égale par construction à celle des contraintes totales.

  • Substitution : \( \sigma'_{1} = \text{202,0 kPa} \) et \( \sigma'_{3} = \text{50 kPa} \).
  • Piège évité : croire que le déviateur diffère selon qu'on raisonne en contraintes totales ou effectives.
  • Hypothèse validée : la pression interstitielle est isotrope et se retranche identiquement des deux contraintes principales.
  • Vérification croisée : le déviateur doit valoir deux fois le rayon du cercle de Mohr, ce que la question suivante confirmera.
  • Finalité : livrer la grandeur que mesure directement la cellule de charge du piston.
\[ \begin{aligned} q &= \sigma'_{1} - \sigma'_{3} \\ &= \text{202,0 kPa} - \text{50 kPa} \\ &= \mathbf{152,0} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Cent cinquante-deux kilopascals de déviateur. Rapportée à ce déviateur, la surpression interstitielle développée vaut 0,33, valeur caractéristique d'un terrain qui se contracte modérément au cisaillement.

  • Ordre de grandeur : le déviateur vaut environ trois fois le confinement effectif, proportion attendue pour un terrain de cet angle de frottement.
  • Impact sur la suite : sa moitié donnera directement le rayon du cercle de Mohr.
  • Cohérence : le rapport de la surpression au déviateur, compris entre 0 et 1, situe le comportement du terrain entre dilatance et contractance marquées.
  • Attention : ce rapport suppose la pression interstitielle nulle en fin de consolidation, avant le début du cisaillement.
  • Comparaison : un sable dense développerait une surpression négative et le rapport deviendrait négatif, signe d'une dilatance empêchée.

Remarque pédagogique : Le rapport de la surpression interstitielle au déviateur à la rupture est un indicateur précieux du comportement volumique du terrain. Positif, il signale un matériau qui cherche à se contracter et dont l'eau reprend la charge ; négatif, un matériau dense qui cherche à se dilater et dont l'eau se met en dépression, gagnant temporairement en résistance.

3. Résolution Numérique Contrainte axiale totale à appliquer

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'opérateur ne pilote pas des contraintes effectives : il lit une force sur le piston.

Méthodologie du calcul :

Addition du déviateur à la pression de confinement totale, ou de façon équivalente addition de la pression interstitielle à la contrainte effective majeure.

  • Substitution : \( \sigma_{3} = \text{100 kPa} \) et \( q = \text{152,0 kPa} \).
  • Piège évité : additionner le déviateur à la contrainte de confinement effective, ce qui redonnerait la contrainte effective majeure et non la totale.
  • Hypothèse validée : la pression de confinement est maintenue constante pendant tout le cisaillement, ce qui est le protocole standard.
  • Vérification croisée : la voie par les contraintes effectives donne \( \text{202,0} + \text{50} \), soit la même valeur.
  • Finalité : fournir la contrainte axiale que le piston devra atteindre pour rompre l'éprouvette.
\[ \begin{aligned} \sigma_{1} &= \sigma_{3} + q \\ &= \text{100 kPa} + \text{152,0 kPa} \\ &= \mathbf{252,0} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Le piston devra porter la contrainte axiale à deux cent cinquante-deux kilopascals. Les deux voies de calcul concordent, ce qui valide l'ensemble du passage entre contraintes totales et effectives.

  • Ordre de grandeur : la contrainte totale majeure dépasse l'effective d'exactement la pression interstitielle, soit 50 kPa.
  • Impact sur la suite : le cercle de Mohr en contraintes totales serait le même cercle translaté de 50 kPa vers la droite.
  • Cohérence : les deux voies de calcul aboutissent au même résultat, ce qui exclut toute erreur de signe sur la pression interstitielle.
  • Attention : le cercle en contraintes totales n'est pas tangent à l'enveloppe effective : seul le cercle effectif décrit correctement la rupture.
  • Comparaison : la force à appliquer sur une éprouvette de 38 mm de diamètre correspondrait à environ 0,17 kN de déviateur.

Remarque pédagogique : Les deux cercles, total et effectif, ont exactement le même rayon et ne diffèrent que par la position de leur centre. C'est la traduction graphique de l'invariance du déviateur, et c'est ce qui permet de lire directement la surpression interstitielle comme l'écart horizontal entre les deux cercles.

ÉTAT DE CONTRAINTE SUR L'ÉLÉMENT DE SOL À LA RUPTURE
CONTRAINTES TOTALES σ₁ = 252,0 kPa contrainte axiale σ₃ = 100 kPa σ₃ = 100 kPa u = 50 kPa − u CONTRAINTES EFFECTIVES σ'₁ = 202,0 kPa supportée par les grains σ'₃ = 50 kPa σ'₃ = 50 kPa Déviateur invariant : q = 252,0 − 100 = 202,0 − 50 = 152,0 kPa frottement : 150,0 kPa · cohésion : 52,0 kPa, soit 74 % et 26 % de la résistance
RÉSULTAT FINAL
q = 152,0 kPa (σ'1 = 202,0 kPa · σ1 = 252,0 kPa)
"Trois quarts de la résistance viennent du frottement, un quart seulement de la cohésion."
3
Question 3 : Cercle de Mohr et orientation du plan de rupture
Dans la tête de l'ingénieur

"Je passe maintenant à la représentation graphique. Deux nombres suffisent à décrire entièrement l'état de contrainte : le centre du cercle, qui est la contrainte normale moyenne, et son rayon, qui est le cisaillement maximal. Mais je ne me contenterai pas de les calculer : je vais vérifier que ce cercle est bien tangent à l'enveloppe de rupture. Cette vérification n'est pas une formalité, c'est le contrôle qui prouve que ma prédiction est cohérente. Et je terminerai par l'orientation du plan de glissement, qui se lit directement sur la géométrie."

  • Observation : Le rayon vaut exactement la moitié du déviateur. Cette identité offre un contrôle immédiat, sans repasser par les contraintes principales.
  • Analyse du risque : Construire le cercle sur les contraintes totales le décalerait de 50 kPa vers la droite et il ne serait plus tangent à l'enveloppe effective : la rupture apparaîtrait alors comme impossible.
  • Choix stratégique : Je contrôle la tangence par une voie indépendante, qui ne fait intervenir ni le coefficient de butée ni les contraintes principales. Deux chemins convergents valent mieux qu'un chemin sûr.
  • Alternative : La construction graphique à la règle et au compas donnerait le même résultat. Elle reste précieuse pour visualiser, mais la voie analytique évite toute erreur de lecture.
  • Objectif visé : Établir la carte complète de l'état de contrainte, prouver qu'elle correspond bien à la rupture, et localiser le plan de glissement.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
C = 126,0 kPa · R = 76,0 kPa · tangence vérifiée · θ = 60°
Rappel Théorique : lire un état de contrainte sur un cercle

Le cercle de Mohr transforme un problème de trigonométrie en une lecture graphique. Cinq points en fixent la signification.

  • Ce que représente le cercle : chacun de ses points donne le couple contrainte normale et contrainte de cisaillement s'exerçant sur un plan particulier passant par le point étudié. Le cercle entier balaie tous les plans possibles.
  • Les intersections avec l'axe : elles correspondent aux plans principaux, sur lesquels le cisaillement est nul. Leurs abscisses sont les deux contraintes principales.
  • Le sommet du cercle : il donne le cisaillement maximal, égal au rayon, sur un plan incliné à quarante-cinq degrés du plan principal majeur.
  • L'enveloppe de rupture : c'est la droite qui borne le domaine des états possibles. Un cercle entièrement sous l'enveloppe décrit un terrain stable, un cercle tangent un terrain à la rupture, et un cercle sécant un état physiquement impossible.
  • Le point de tangence : il désigne le plan qui rompt, et ce n'est pas le sommet du cercle. Le glissement se produit là où le rapport entre la sollicitation et la résistance disponible atteint l'unité.
Équations Fondamentales

Quatre relations. Les deux premières construisent le cercle, la troisième vérifie qu'il est à la rupture, la quatrième localise le plan de glissement.

Centre du cercle de Mohr :

Il donne la contrainte normale moyenne de l'état de contrainte.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le cercle est symétrique par rapport à l'axe des contraintes normales : son centre se trouve nécessairement à mi-distance des deux points où il coupe cet axe, c'est-à-dire des deux contraintes principales. Cette abscisse représente aussi la contrainte normale s'exerçant sur le plan de cisaillement maximal.

  • Contexte de validité : état de contrainte plan, décrit par ses deux contraintes principales extrêmes.
  • Avantage : il ne dépend que des deux contraintes principales et se calcule sans aucune donnée du terrain.
  • Paramètre clé : le caractère effectif des contraintes employées, faute de quoi le cercle serait décalé.
  • Vérification : le centre doit se situer entre les deux contraintes principales, à égale distance de chacune.
  • Limite : il ne renseigne en rien sur la proximité de la rupture, qui dépend du rapport entre le rayon et la distance à l'enveloppe.
\[ \begin{aligned} C = \dfrac{\sigma'_{1} + \sigma'_{3}}{2} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit à quel niveau de compression moyenne se trouve le terrain. Déplacez le centre vers la droite sans changer le rayon : le terrain est plus comprimé mais tout aussi loin de la rupture en termes relatifs. C'est le rayon, non le centre, qui mesure la sollicitation de cisaillement.
Décomposition des termes :
  • C : abscisse du centre, contrainte normale moyenne, unité : kPa
  • σ'1 : contrainte principale majeure effective, unité : kPa
  • σ'3 : contrainte principale mineure effective, unité : kPa
Rayon du cercle de Mohr :

Il mesure la contrainte de cisaillement maximale subie par le terrain.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le rayon est la demi-distance entre les deux points d'intersection du cercle avec l'axe. Physiquement, c'est l'ordonnée du sommet du cercle, donc le cisaillement le plus élevé que subisse le terrain, tous plans confondus. C'est la mesure directe de la sollicitation, à comparer à ce que le terrain peut supporter.

  • Contexte de validité : même cadre que le centre : état de contrainte plan décrit par ses deux contraintes principales.
  • Avantage : il vaut la moitié du déviateur, ce qui permet de le lire directement sur le résultat de l'essai.
  • Paramètre clé : l'écart entre les deux contraintes principales, seule grandeur qui cisaille le matériau.
  • Vérification : il est identique en contraintes totales et effectives, le déviateur étant invariant.
  • Limite : un grand rayon ne signifie pas rupture imminente : tout dépend de la position du centre par rapport à l'enveloppe.
\[ \begin{aligned} R = \dfrac{\sigma'_{1} - \sigma'_{3}}{2} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit quelle est la plus forte sollicitation de cisaillement dans le terrain. Aucun plan ne subit davantage que cette valeur, et un plan précis la subit exactement. Mais ce n'est pas nécessairement lui qui rompt : il faut aussi regarder la résistance disponible en ce point.
Décomposition des termes :
  • R : rayon du cercle, cisaillement maximal, unité : kPa
  • σ'1 − σ'3 : déviateur de contrainte, égal au double du rayon, unité : kPa
Condition de tangence à l'enveloppe de rupture :

Elle exprime que le cercle touche exactement la droite de résistance, sans la couper.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un cercle est tangent à une droite lorsque la distance de son centre à cette droite égale son rayon. Appliquée à l'enveloppe de Mohr-Coulomb, cette condition géométrique donne directement le rayon maximal que le cercle peut atteindre pour un centre donné. Elle fournit un contrôle indépendant de toute la prédiction, sans passer par le coefficient de butée.

  • Contexte de validité : enveloppe de rupture linéaire, ce qui est l'hypothèse même du critère de Mohr-Coulomb.
  • Avantage : elle sert aussi de critère de sécurité : comparer le rayon réel au rayon résistant donne directement une marge.
  • Paramètre clé : la position du centre, qui fixe le rayon résistant : plus le terrain est comprimé, plus il peut supporter de cisaillement.
  • Vérification : appliquée aux valeurs obtenues, elle doit redonner exactement le rayon calculé à partir des contraintes principales.
  • Limite : un rayon supérieur au rayon résistant décrirait un état physiquement impossible : le terrain aurait déjà rompu.
\[ \begin{aligned} R = C \sin \varphi' + c' \cos \varphi' \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit jusqu'où le cercle peut grandir avant de heurter la barrière. Le premier terme croît avec la compression moyenne : plus le terrain est confiné, plus il encaisse de cisaillement. Le second est un apport fixe de la cohésion, indépendant de la compression.
Décomposition des termes :
  • C sin φ' : part du rayon résistant due au frottement, unité : kPa
  • c' cos φ' : part du rayon résistant due à la cohésion, unité : kPa
  • R : rayon du cercle à l'état de rupture, unité : kPa
Orientation du plan de rupture :

Elle donne l'inclinaison de la surface de glissement par rapport au plan principal majeur.

Pourquoi cette formule ?

Parce que sur le cercle de Mohr, les angles se lisent au double : un plan incliné d'un angle donné dans la réalité correspond à un point repéré par le double de cet angle sur le cercle. Le point de tangence étant repéré par un angle de quatre-vingt-dix degrés augmenté de l'angle de frottement, le plan réel s'incline de la moitié de cette valeur.

  • Contexte de validité : l'angle est mesuré par rapport au plan principal majeur, celui sur lequel s'exerce la contrainte la plus forte.
  • Avantage : elle prédit l'orientation des bandes de cisaillement observables sur l'éprouvette après essai, ce qui offre une validation visuelle directe.
  • Paramètre clé : l'angle de frottement seul : ni la cohésion, ni le niveau de contrainte n'interviennent.
  • Vérification : pour un terrain sans frottement, elle donne quarante-cinq degrés, c'est-à-dire le plan de cisaillement maximal.
  • Limite : deux plans symétriques satisfont la condition ; l'éprouvette rompt selon celui que favorisent ses défauts et ses conditions aux limites.
\[ \begin{aligned} \theta = \text{45°} + \dfrac{\varphi'}{2} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le terrain ne rompt pas là où on le cisaille le plus. Le plan à quarante-cinq degrés subit le cisaillement maximal, mais il subit aussi une forte compression qui le renforce. Le terrain glisse un peu plus haut, là où le cisaillement reste élevé alors que la compression a déjà diminué.
Décomposition des termes :
  • θ : inclinaison du plan de rupture sur le plan principal majeur, unité : degré
  • 45° : orientation du plan de cisaillement maximal, unité : degré
  • φ'/2 : écart dû au frottement, qui éloigne le plan de rupture du plan de cisaillement maximal, unité : degré
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants construisent le cercle de Mohr sur les contraintes totales et le comparent à l'enveloppe effective..."

L'approche d'ingénieur : Les caractéristiques de cisaillement fournies sont effectives : l'enveloppe qu'elles définissent ne peut être confrontée qu'à un cercle lui-même tracé en contraintes effectives. Le cercle total, de même rayon mais centré sur 176,0 kPa, resterait à 25,0 kPa de l'enveloppe et donnerait à croire que l'éprouvette n'est pas encore rompue, alors qu'elle vient de céder.
  • L'erreur : mélanger un cercle en contraintes totales et une enveloppe en contraintes effectives, deux objets qui ne vivent pas dans le même repère.
  • La bonne méthode : tracer les deux cercles si l'on veut, mais ne confronter à l'enveloppe effective que le cercle effectif.
  • L'astuce de pro : se souvenir que les deux cercles ont le même rayon et que leur écart horizontal vaut exactement la pression interstitielle.
  • Le moyen mnémotechnique : « enveloppe effective, cercle effectif ».
  • L'impact direct : l'erreur conduit à déclarer stable un état de contrainte qui correspond en réalité à la rupture.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités
  • Centre et rayon s'expriment en kPa, comme les contraintes dont ils dérivent
  • Sinus et cosinus sont sans dimension : la condition de tangence reste homogène
  • L'orientation du plan de rupture s'exprime en degrés

Quatre calculs. Les deux premiers construisent le cercle à partir des contraintes principales. Le troisième vérifie sa tangence à l'enveloppe par une voie qui n'emprunte ni le coefficient de butée ni les contraintes principales : c'est le contrôle central de la note. Le quatrième localise le plan de glissement.

1. Résolution Numérique Centre du cercle de Mohr

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il situe l'état de contrainte sur l'axe des compressions moyennes, et qu'il intervient dans la condition de tangence.

Méthodologie du calcul :

Demi-somme des deux contraintes principales effectives.

  • Substitution : \( \sigma'_{1} = \text{202,0 kPa} \) et \( \sigma'_{3} = \text{50 kPa} \).
  • Piège évité : employer les contraintes totales, ce qui placerait le centre à 176,0 kPa.
  • Hypothèse validée : l'état de contrainte est axisymétrique : les deux contraintes principales mineures sont égales et se confondent sur le cercle.
  • Vérification croisée : le centre doit se situer entre 50 et 202 kPa, à égale distance des deux.
  • Finalité : fixer la position du cercle sur l'axe des contraintes normales.
\[ \begin{aligned} C &= \dfrac{\sigma'_{1} + \sigma'_{3}}{2} \\ &= \dfrac{\text{202,0 kPa} + \text{50 kPa}}{2} \\ &= \dfrac{\text{252,0 kPa}}{2} \\ &= \mathbf{126,0} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Cent vingt-six kilopascals de compression moyenne. C'est aussi la contrainte normale qui s'exerce sur le plan de cisaillement maximal, information dont la dernière question fera usage.

  • Ordre de grandeur : le centre est bien à mi-distance des deux contraintes principales, à 76 kPa de chacune.
  • Impact sur la suite : il intervient directement dans la condition de tangence et dans la position du point de rupture.
  • Cohérence : la demi-somme des contraintes effectives vaut la demi-somme des contraintes totales diminuée de la pression interstitielle, soit 176,0 − 50.
  • Attention : le centre ne dit rien à lui seul de la proximité de la rupture : il faut le confronter au rayon.
  • Comparaison : le cercle en contraintes totales serait centré 50 kPa plus à droite, sur 176,0 kPa, avec le même rayon.

Remarque pédagogique : Le centre du cercle est parfois appelé contrainte moyenne dans le plan. Il ne faut pas le confondre avec la contrainte moyenne au sens tridimensionnel, qui fait intervenir les trois contraintes principales et vaut ici une valeur différente, la contrainte intermédiaire étant égale à la mineure dans un essai triaxial de révolution.

2. Résolution Numérique Rayon du cercle de Mohr

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la mesure de la sollicitation de cisaillement, celle que l'on comparera à la résistance disponible.

Méthodologie du calcul :

Demi-différence des deux contraintes principales effectives, égale à la moitié du déviateur.

  • Substitution : \( \sigma'_{1} = \text{202,0 kPa} \) et \( \sigma'_{3} = \text{50 kPa} \).
  • Piège évité : confondre le rayon avec le déviateur lui-même, erreur d'un facteur deux.
  • Hypothèse validée : les deux contraintes employées sont bien les contraintes principales extrêmes de l'état considéré.
  • Vérification croisée : le rayon doit valoir la moitié du déviateur, soit la moitié de 152,0 kPa.
  • Finalité : disposer de la sollicitation de cisaillement maximale à confronter à l'enveloppe.
\[ \begin{aligned} R &= \dfrac{\sigma'_{1} - \sigma'_{3}}{2} \\ &= \dfrac{\text{202,0 kPa} - \text{50 kPa}}{2} \\ &= \dfrac{\text{152,0 kPa}}{2} \\ &= \mathbf{76,0} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Soixante-seize kilopascals de cisaillement maximal, pour une compression moyenne de cent vingt-six. Le rapport du rayon au centre vaut 0,603, un peu supérieur au sinus de l'angle de frottement : c'est l'apport de la cohésion.

  • Ordre de grandeur : le rayon vaut bien la moitié du déviateur obtenu précédemment.
  • Impact sur la suite : cette valeur sera confrontée au rayon résistant déduit de la condition de tangence.
  • Cohérence : le rapport du rayon au centre dépasse le sinus de l'angle de frottement, ce qui n'est possible qu'en présence de cohésion.
  • Attention : pour un terrain sans cohésion, ce rapport ne pourrait jamais dépasser le sinus de l'angle de frottement, soit 0,5 ici.
  • Comparaison : le même terrain sans cohésion se serait rompu à un rayon de 50,0 kPa seulement, soit un déviateur de 100 kPa.

Remarque pédagogique : Le rapport du rayon au centre est une grandeur très employée sous le nom de rapport de contrainte. Pour un terrain purement frottant, il ne peut jamais dépasser le sinus de l'angle de frottement, ce qui en fait un indicateur immédiat de la proximité de la rupture.

3. Résolution Numérique Vérification de la condition de tangence

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le contrôle central de la note : il prouve que le cercle obtenu correspond bien à un état de rupture.

Méthodologie du calcul :

On calcule le rayon résistant à partir de la position du centre et des caractéristiques du terrain, puis on le compare au rayon réel du cercle.

  • Substitution : \( C = \text{126,0 kPa} \), \( \sin \varphi' = \text{0,5000} \), \( c' = \text{15 kPa} \) et \( \cos \varphi' = \text{0,8660} \).
  • Piège évité : intervertir sinus et cosinus, ce qui donnerait 116,6 kPa au lieu de 76,0.
  • Hypothèse validée : l'enveloppe de rupture est linéaire, condition sans laquelle la formule de tangence ne s'appliquerait pas.
  • Vérification croisée : le résultat doit reproduire le rayon de 76,0 kPa obtenu par les contraintes principales.
  • Finalité : valider l'ensemble de la prédiction par une voie indépendante du coefficient de butée.
\[ \begin{aligned} C \sin \varphi' + c' \cos \varphi' &= \text{126,0 kPa} \times \text{0,5000} + \text{15 kPa} \times \text{0,8660} \\ &= \text{63,0 kPa} + \text{13,0 kPa} \\ &= \mathbf{76,0} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Le rayon résistant égale exactement le rayon du cercle : la tangence est démontrée. Le cercle touche l'enveloppe sans la couper, ce qui est la définition même de l'état de rupture.

  • Ordre de grandeur : le frottement apporte 63,0 kPa de rayon résistant et la cohésion 13,0, soit 83 % et 17 %.
  • Impact sur la suite : la tangence étant établie, le point de contact peut être localisé et ses coordonnées calculées.
  • Cohérence : cette voie n'emploie ni le coefficient de butée ni les contraintes principales : le contrôle est réellement indépendant.
  • Attention : un rayon supérieur au rayon résistant décrirait un cercle sécant, état physiquement impossible qui signalerait une incohérence des données.
  • Comparaison : pour un déviateur de 120 kPa seulement, le rayon serait de 60,0 kPa et le cercle resterait sous l'enveloppe : l'éprouvette tiendrait encore.

Remarque pédagogique : Le rapport du rayon résistant au rayon réel constitue un coefficient de sécurité immédiat. Il vaut ici exactement l'unité, ce qui traduit un état de rupture ; il vaudrait 1,13 pour un déviateur de 120 kPa, et une valeur inférieure à 1 signalerait un état impossible.

4. Résolution Numérique Orientation du plan de glissement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il prédit l'inclinaison de la fissure que l'on observera sur l'éprouvette après l'essai.

Méthodologie du calcul :

Somme de quarante-cinq degrés et de la moitié de l'angle de frottement, l'angle étant mesuré par rapport au plan principal majeur.

  • Substitution : \( \varphi' = \text{30°} \).
  • Piège évité : diviser la somme entière par deux, ce qui donnerait 37,5° au lieu de 60°.
  • Hypothèse validée : le matériau est isotrope : l'angle de frottement est le même quelle que soit l'orientation du plan considéré.
  • Vérification croisée : cet angle est celui qui apparaissait déjà dans le calcul du coefficient de butée, soit 60°.
  • Finalité : prédire l'orientation de la surface de glissement observable après essai.
\[ \begin{aligned} \theta &= \text{45°} + \dfrac{\varphi'}{2} \\ &= \text{45°} + \dfrac{\text{30°}}{2} \\ &= \text{45°} + \text{15°} \\ &= \mathbf{60°} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La contrainte majeure étant axiale, le plan de glissement est incliné de soixante degrés sur l'horizontale, soit trente degrés sur l'axe de l'éprouvette. C'est exactement l'inclinaison des bandes de cisaillement que l'on observe en fin d'essai.

  • Ordre de grandeur : l'angle dépasse de quinze degrés celui du cisaillement maximal, écart qui vaut la moitié de l'angle de frottement.
  • Impact sur la suite : c'est sur ce plan que seront calculées les contraintes de la dernière question.
  • Cohérence : le même angle de 60° figurait dans le calcul du coefficient de butée : ce n'est pas une coïncidence mais la même géométrie.
  • Attention : cet angle ne dépend ni de la cohésion, ni du niveau de contrainte : deux éprouvettes du même terrain rompent selon la même inclinaison.
  • Comparaison : une argile cisaillée en conditions non drainées, sans frottement apparent, romprait à 45° exactement.

Remarque pédagogique : C'est l'une des rares prédictions directement observables de la mécanique des sols : après démontage de la cellule, l'éprouvette de sable montre une bande de cisaillement nette dont l'inclinaison se mesure au rapporteur et se compare à la théorie. L'accord est en général remarquable.

CERCLE DE MOHR EN CONTRAINTES EFFECTIVES ET ENVELOPPE DE RUPTURE
σ' (kPa) τ (kPa) 050100 150200250 50100 enveloppe de rupture τ = 15 + σ' tan 30° c' = 15 kPa R = 76,0 C = 126,0 σ'₃ = 50 σ'₁ = 202,0 sommet : τ_max = 76,0 non rompu point de rupture σ'_f = 88,0 · τ_f = 65,8 Tangence vérifiée : 126,0 × 0,5000 + 15 × 0,8660 = 76,0 kPa = R plan de glissement incliné de θ = 60° sur le plan principal majeur
RÉSULTAT FINAL
C = 126,0 kPa · R = 76,0 kPa · θ = 60°
"Le cercle touche l'enveloppe sans la couper : c'est la définition même de la rupture."
4
Question 4 : Contraintes sur le plan de rupture et valeurs de calcul
Dans la tête de l'ingénieur

"Reste à localiser le point de contact et à en lire les coordonnées. C'est là, sur ce plan précis, que le terrain va glisser. Je veux ensuite démontrer ce que j'ai affirmé plus haut : que le plan de cisaillement maximal n'est pas celui qui rompt. La démonstration est immédiate — il suffit de comparer, sur ce plan, le cisaillement subi à la résistance disponible. Et je terminerai par les valeurs de calcul, car une note d'essai qui ne dit rien de la marge réglementaire ne sert pas le projet."

  • Observation : Le point de rupture se situe à gauche du sommet du cercle : la contrainte normale y est plus faible et le cisaillement aussi. Ce n'est donc pas le plan le plus sollicité qui cède.
  • Analyse du risque : Confondre le point de tangence avec le sommet du cercle conduirait à annoncer 76,0 kPa de cisaillement de rupture au lieu de 65,8, soit 16 % de surestimation.
  • Choix stratégique : Je vérifie le couple obtenu directement sur l'équation de l'enveloppe. Si les coordonnées du point satisfont l'équation de la droite, c'est bien qu'il lui appartient.
  • Alternative : Les équations générales de transformation des contraintes, appliquées au plan à soixante degrés, donneraient le même couple. La voie géométrique est plus directe car elle part de l'angle de frottement, propriété du terrain.
  • Objectif visé : Chiffrer l'état de contrainte sur la surface de glissement, en démontrer l'unicité, et livrer la résistance de calcul exploitable par le projeteur.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
σ'f = 88,0 kPa · τf = 65,8 kPa · plan de τmax non rompu · τRd = 52,6 kPa
Rappel Théorique : pourquoi le terrain ne rompt pas où on le cisaille le plus

Le choix du plan de rupture résulte d'un arbitrage entre sollicitation et résistance. Cinq points l'éclairent.

  • La sollicitation varie d'un plan à l'autre : en parcourant le cercle, le cisaillement passe par un maximum au sommet, mais la contrainte normale varie elle aussi, et avec elle la résistance disponible.
  • La résistance varie de la même façon : l'enveloppe de Mohr-Coulomb est une droite croissante : plus un plan est comprimé, plus il résiste. Le plan le plus cisaillé est aussi l'un des plus comprimés.
  • L'arbitrage : le terrain cède là où la sollicitation rattrape la résistance en premier, c'est-à-dire au point de tangence, un peu à gauche du sommet du cercle.
  • Le cas particulier sans frottement : si l'enveloppe est horizontale, la résistance ne dépend plus de la compression et le plan le plus cisaillé devient bien celui qui rompt, à quarante-cinq degrés.
  • Le passage aux valeurs de calcul : la vérification réglementaire n'emploie pas les caractéristiques mesurées mais des valeurs de calcul, obtenues en divisant la tangente de l'angle de frottement et la cohésion par des coefficients partiels.
Équations Fondamentales

Trois relations. Les deux premières donnent les coordonnées du point de tangence, la troisième exprime la résistance disponible sur un plan quelconque.

Contrainte normale effective sur le plan de rupture :

Elle situe le point de tangence sur l'axe des contraintes normales.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le rayon menant au point de tangence est perpendiculaire à l'enveloppe. Il fait donc avec la verticale un angle égal à celui de l'enveloppe avec l'horizontale, et la projection de ce rayon sur l'axe des contraintes normales vaut le rayon multiplié par le sinus de l'angle de frottement. Le signe négatif traduit que le point est à gauche du centre.

  • Contexte de validité : cercle tangent à l'enveloppe : la relation n'a de sens qu'à l'état de rupture.
  • Avantage : elle donne directement la contrainte normale sur la future surface de glissement, sans passer par les équations générales de transformation.
  • Paramètre clé : le sinus de l'angle de frottement, à ne pas confondre avec sa tangente ou son cosinus.
  • Vérification : le résultat est toujours inférieur au centre, le point de tangence se situant à gauche du sommet.
  • Limite : pour un terrain sans frottement, elle donne la contrainte du centre : le point de tangence rejoint le sommet.
\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{f}} = C - R \sin \varphi' \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le plan qui rompt est moins comprimé que le plan le plus cisaillé. Le terrain trouve son point faible là où la compression, donc la résistance, a déjà commencé à diminuer. Plus le frottement est élevé, plus ce déplacement vers la gauche est marqué.
Décomposition des termes :
  • σ'f : contrainte normale effective sur le plan de rupture, unité : kPa
  • C : abscisse du centre du cercle, unité : kPa
  • R sin φ' : projection du rayon de tangence sur l'axe des contraintes normales, unité : kPa
Contrainte de cisaillement sur le plan de rupture :

Elle donne l'ordonnée du point de tangence, c'est-à-dire la résistance mobilisée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est la projection verticale du même rayon de tangence. Le rayon faisant un angle avec la verticale égal à l'angle de frottement, sa composante verticale vaut le rayon multiplié par le cosinus de cet angle. Cette valeur est à la fois la sollicitation subie par le plan et la résistance qu'il mobilise, puisqu'à la rupture les deux coïncident.

  • Contexte de validité : cercle tangent à l'enveloppe, comme pour la relation précédente.
  • Avantage : elle donne la résistance au cisaillement effectivement mobilisée, grandeur directement comparable à une valeur de calcul réglementaire.
  • Paramètre clé : le cosinus de l'angle de frottement, complémentaire du sinus employé pour la contrainte normale.
  • Vérification : le résultat est toujours inférieur au rayon, le cosinus étant inférieur à l'unité.
  • Limite : pour un terrain sans frottement, elle donne exactement le rayon : le cisaillement de rupture rejoint le cisaillement maximal.
\[ \begin{aligned} \tau_{\text{f}} = R \cos \varphi' \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le plan qui rompt ne subit pas le cisaillement maximal. Il en subit un peu moins, mais il est aussi bien moins comprimé, donc bien moins résistant. C'est ce compromis, et non le maximum brut, qui décide de l'endroit où le terrain cède.
Décomposition des termes :
  • τf : contrainte de cisaillement sur le plan de rupture, unité : kPa
  • R : rayon du cercle, cisaillement maximal, unité : kPa
  • cos φ' : facteur de réduction dû à l'inclinaison du rayon de tangence, unité : sans dimension
Critère de rupture de Mohr-Coulomb :

Il donne la résistance au cisaillement disponible sur un plan quelconque.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle exprime la résistance d'un sol comme la somme de deux termes : une part constante due à la cohésion, et une part proportionnelle à la compression due au frottement. Elle est l'équation même de l'enveloppe, et permet de tester n'importe quel plan : si le cisaillement subi lui est inférieur, le plan tient ; s'il l'égale, il rompt.

  • Contexte de validité : contraintes effectives, avec des caractéristiques constantes dans le domaine exploré.
  • Avantage : elle s'applique à n'importe quel plan, pas seulement au plan de rupture, ce qui en fait l'outil de vérification universel.
  • Paramètre clé : la tangente de l'angle de frottement, qui est la pente de l'enveloppe.
  • Vérification : appliquée au point de tangence, elle doit redonner exactement le cisaillement calculé géométriquement.
  • Limite : en vérification réglementaire, elle s'emploie avec des valeurs de calcul et non avec les caractéristiques mesurées.
\[ \begin{aligned} \tau = c' + \sigma' \tan \varphi' \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que plus on serre un sol, plus il résiste. Le terme de frottement croît avec la compression, exactement comme pour deux surfaces frottantes chargées l'une contre l'autre. Le terme de cohésion, lui, ne dépend de rien : il résiste même sans aucune compression.
Décomposition des termes :
  • τ : résistance au cisaillement disponible sur le plan considéré, unité : kPa
  • c' : cohésion effective, résistance sous compression nulle, unité : kPa
  • σ' tan φ' : part de résistance due au frottement, proportionnelle à la compression, unité : kPa
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants identifient le point de rupture au sommet du cercle, là où le cisaillement est maximal..."

L'approche d'ingénieur : Le sommet du cercle est le point le plus cisaillé, mais il est aussi fortement comprimé et dispose donc d'une résistance élevée : 87,8 kPa contre 76,0 kPa de sollicitation. Il tient. Le point de tangence, lui, subit moins de cisaillement, 65,8 kPa, mais ne dispose que de 65,8 kPa de résistance : il cède. Confondre les deux conduirait à annoncer un cisaillement de rupture surestimé de 16 % et un plan de glissement mal orienté de quinze degrés.
  • L'erreur : raisonner sur la sollicitation seule, en oubliant que la résistance varie elle aussi d'un plan à l'autre.
  • La bonne méthode : chercher le plan où la sollicitation rattrape la résistance, c'est-à-dire le point de tangence.
  • L'astuce de pro : sur le graphique, le rayon menant au point de rupture est perpendiculaire à l'enveloppe, jamais vertical.
  • Le moyen mnémotechnique : « on rompt où ça touche, pas où ça monte le plus ».
  • L'impact direct : l'écart croît avec l'angle de frottement : nul pour un terrain sans frottement, il atteindrait vingt degrés pour un sable dense à quarante degrés.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités
  • Contraintes normales et de cisaillement toutes deux en kPa
  • Sinus, cosinus et tangente sont sans dimension : les relations restent homogènes
  • Les coefficients partiels sont sans dimension et s'appliquent à la tangente de l'angle, non à l'angle lui-même

Cinq calculs. Les deux premiers donnent les coordonnées du point de tangence. Le troisième vérifie que ce couple satisfait l'équation de l'enveloppe. Le quatrième démontre que le plan de cisaillement maximal n'est pas rompu, ce qui est le point théorique le plus délicat de l'exercice. Le cinquième traduit le résultat en valeurs de calcul réglementaires.

1. Résolution Numérique Contrainte normale effective sur le plan de rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle situe le point de contact entre le cercle et l'enveloppe, donc le plan sur lequel le terrain va glisser.

Méthodologie du calcul :

On retranche à l'abscisse du centre la projection horizontale du rayon de tangence, qui vaut le rayon multiplié par le sinus de l'angle de frottement.

  • Substitution : \( C = \text{126,0 kPa} \), \( R = \text{76,0 kPa} \) et \( \sin \varphi' = \text{0,5000} \).
  • Piège évité : ajouter au lieu de retrancher, ce qui placerait le point à droite du centre, dans la zone la plus comprimée.
  • Hypothèse validée : le cercle est tangent à l'enveloppe, ce que la question précédente a démontré.
  • Vérification croisée : le résultat doit être compris entre 50 et 126 kPa, c'est-à-dire entre la contrainte mineure et le centre.
  • Finalité : obtenir l'abscisse du point de rupture, à reporter dans l'équation de l'enveloppe.
\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{f}} &= C - R \sin \varphi' \\ &= \text{126,0 kPa} - \text{76,0 kPa} \times \text{0,5000} \\ &= \text{126,0 kPa} - \text{38,0 kPa} \\ &= \mathbf{88,0} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Quatre-vingt-huit kilopascals, soit trente-huit de moins que sur le plan de cisaillement maximal. Le plan qui rompt est donc nettement moins comprimé, ce qui explique qu'il dispose de moins de résistance.

  • Ordre de grandeur : la valeur est bien comprise entre la contrainte mineure de 50 kPa et le centre de 126,0 kPa.
  • Impact sur la suite : c'est cette valeur qui sera reportée dans l'équation de l'enveloppe pour la vérification.
  • Cohérence : le point est bien à gauche du sommet, ce qui est la signature d'un terrain frottant.
  • Attention : cette contrainte est effective. Sur le plan de rupture, la contrainte totale vaudrait 138,0 kPa.
  • Comparaison : pour un terrain sans frottement, le point de tangence coïnciderait avec le sommet et la contrainte normale vaudrait 126,0 kPa.

Remarque pédagogique : Le décalage vers la gauche du point de rupture est directement proportionnel au sinus de l'angle de frottement. Un terrain très frottant rompt sur un plan beaucoup moins comprimé que le plan de cisaillement maximal, ce qui explique aussi que son plan de glissement s'incline davantage.

2. Résolution Numérique Contrainte de cisaillement sur le plan de rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la résistance au cisaillement effectivement mobilisée au moment où le terrain cède.

Méthodologie du calcul :

Projection verticale du rayon de tangence, égale au rayon multiplié par le cosinus de l'angle de frottement.

  • Substitution : \( R = \text{76,0 kPa} \) et \( \cos \varphi' = \text{0,8660} \).
  • Piège évité : employer le sinus, ce qui donnerait 38,0 kPa et confondrait les deux projections du rayon.
  • Hypothèse validée : le rayon de tangence est perpendiculaire à l'enveloppe, propriété géométrique du contact cercle-droite.
  • Vérification croisée : la somme des carrés des deux projections doit redonner le carré du rayon, soit 38,0² + 65,8² ≈ 76,0².
  • Finalité : obtenir l'ordonnée du point de rupture, à confronter à la résistance disponible.
\[ \begin{aligned} \tau_{\text{f}} &= R \cos \varphi' \\ &= \text{76,0 kPa} \times \text{0,8660} \\ &= \mathbf{65,8} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Soixante-cinq virgule huit kilopascals, soit 13,4 % de moins que le cisaillement maximal de 76,0 kPa. Le terrain cède donc sous une sollicitation qui n'est pas la plus forte qu'il subisse.

  • Ordre de grandeur : la vérification par le théorème de Pythagore donne 38,0² + 65,8² = 5 774, à comparer à 76,0² = 5 776 : l'accord est parfait aux arrondis près.
  • Impact sur la suite : cette valeur sera comparée à la résistance de calcul obtenue avec les coefficients partiels.
  • Cohérence : le cisaillement de rupture est bien inférieur au rayon, comme l'impose un cosinus inférieur à l'unité.
  • Attention : cette valeur est à la fois la sollicitation et la résistance sur ce plan : à la rupture, les deux coïncident par définition.
  • Comparaison : pour un terrain sans frottement, le cosinus vaudrait 1 et le cisaillement de rupture égalerait le rayon.

Remarque pédagogique : Les deux projections du rayon de tangence forment avec lui un triangle rectangle. C'est pourquoi la somme de leurs carrés redonne le carré du rayon : cette vérification par le théorème de Pythagore est le contrôle le plus rapide des deux coordonnées du point de rupture.

3. Résolution Numérique Vérification par le critère de Mohr-Coulomb

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour prouver que le point obtenu appartient bien à l'enveloppe, et non pour recalculer une valeur déjà connue.

Méthodologie du calcul :

On reporte l'abscisse du point de tangence dans l'équation de l'enveloppe et on compare le résultat à l'ordonnée obtenue géométriquement.

  • Substitution : \( c' = \text{15 kPa} \), \( \sigma'_{\text{f}} = \text{88,0 kPa} \) et \( \tan \varphi' = \text{0,5774} \).
  • Piège évité : employer le sinus ou le cosinus au lieu de la tangente, qui est la pente de l'enveloppe.
  • Hypothèse validée : l'enveloppe est une droite d'ordonnée à l'origine égale à la cohésion effective.
  • Vérification croisée : le résultat doit coïncider avec les 65,8 kPa obtenus par la projection du rayon.
  • Finalité : boucler la démonstration : le point de tangence appartient au cercle et à l'enveloppe.
\[ \begin{aligned} c' + \sigma'_{\text{f}} \tan \varphi' &= \text{15 kPa} + \text{88,0 kPa} \times \text{0,5774} \\ &= \text{15,0 kPa} + \text{50,8 kPa} \\ &= \mathbf{65,8} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Concordance exacte avec la projection géométrique. Le point de coordonnées 88,0 et 65,8 appartient simultanément au cercle et à la droite : c'est bien le point de tangence, et l'état de rupture est démontré sans ambiguïté.

  • Ordre de grandeur : la cohésion apporte 15,0 kPa de résistance et le frottement 50,8, soit 23 % et 77 %.
  • Impact sur la suite : la démonstration étant close, on peut examiner le plan de cisaillement maximal pour montrer qu'il ne rompt pas.
  • Cohérence : deux voies totalement différentes, l'une géométrique et l'autre algébrique, aboutissent à la même valeur.
  • Attention : cette égalité ne serait pas vérifiée si les données de l'essai étaient incompatibles avec les caractéristiques du terrain.
  • Comparaison : la part de la cohésion est ici plus faible dans la résistance mobilisée que dans la contrainte de rupture, la compression du plan de glissement étant modérée.

Remarque pédagogique : Cette vérification est le bouclage logique de toute la note : elle relie la géométrie du cercle, issue des contraintes mesurées, à l'équation de l'enveloppe, issue des caractéristiques du terrain. Leur concordance prouve que l'essai et les paramètres sont cohérents entre eux.

4. Résolution Numérique Le plan de cisaillement maximal ne rompt pas

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le point le plus contre-intuitif de la théorie, et qu'il mérite une démonstration chiffrée.

Méthodologie du calcul :

Sur le plan de cisaillement maximal, la contrainte normale vaut l'abscisse du centre et le cisaillement vaut le rayon. On compare ce cisaillement à la résistance que l'enveloppe accorde en ce point.

  • Substitution : contrainte normale \( C = \text{126,0 kPa} \), cisaillement subi \( R = \text{76,0 kPa} \).
  • Piège évité : comparer le cisaillement du sommet à la résistance calculée au point de tangence, ce qui n'aurait aucun sens : chaque plan a sa propre résistance.
  • Hypothèse validée : la résistance se calcule au niveau de contrainte normale du plan considéré, et non à celui du plan de rupture.
  • Vérification croisée : la résistance disponible doit dépasser le cisaillement subi, sans quoi le sommet romprait avant le point de tangence.
  • Finalité : démontrer que le plan à quarante-cinq degrés reste stable alors que celui à soixante degrés cède.
\[ \begin{aligned} \tau_{\text{disponible}} &= c' + C \tan \varphi' = \text{15,0} + \text{126,0} \times \text{0,5774} = \text{87,8 kPa} \\ \tau_{\text{subi}} &= R = \text{76,0 kPa} \\ \dfrac{\tau_{\text{disponible}}}{\tau_{\text{subi}}} &= \dfrac{\text{87,8}}{\text{76,0}} = \mathbf{1,16} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Sur le plan le plus cisaillé, la résistance disponible dépasse la sollicitation de 16 %. Ce plan ne rompt donc pas, alors même qu'il subit le cisaillement le plus élevé de tout l'élément de sol. La démonstration est faite.

  • Ordre de grandeur : la marge de 11,8 kPa provient de la forte compression du plan, 126,0 kPa contre 88,0 sur le plan de rupture.
  • Impact sur la suite : ce constat justifie que le plan de glissement observé soit incliné à 60° et non à 45°.
  • Cohérence : le rapport est supérieur à 1 pour le sommet et exactement égal à 1 au point de tangence : c'est bien ce dernier qui rompt en premier.
  • Attention : cette marge n'a rien d'un coefficient de sécurité de l'ouvrage : elle ne concerne qu'un plan particulier d'un élément déjà rompu.
  • Comparaison : pour un terrain sans frottement, la marge serait nulle et les deux plans coïncideraient.

Remarque pédagogique : Ce calcul illustre une idée qui dépasse la mécanique des sols : un maximum de sollicitation ne désigne pas nécessairement le point de rupture. Tout dépend de la façon dont la résistance varie au même endroit. C'est le rapport des deux, et non la sollicitation seule, qui décide.

5. Résolution Numérique Résistance de calcul selon l'Eurocode 7

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une vérification réglementaire n'emploie pas les caractéristiques mesurées mais des valeurs de calcul affectées de coefficients partiels.

Méthodologie du calcul :

On divise la tangente de l'angle de frottement et la cohésion par leurs coefficients partiels respectifs, puis on recalcule la résistance disponible sur le plan de rupture.

  • Substitution : \( \tan \varphi' = \text{0,5774} \), \( c' = \text{15 kPa} \) et des coefficients partiels égaux à \( \text{1,25} \).
  • Piège évité : diviser l'angle par le coefficient partiel au lieu de sa tangente, ce qui donnerait 24,0° au lieu de 24,8°.
  • Hypothèse validée : le jeu de coefficients retenu est celui applicable aux propriétés des matériaux dans les vérifications aux états limites ultimes.
  • Vérification croisée : la résistance de calcul doit être inférieure à la résistance caractéristique de 65,8 kPa.
  • Finalité : livrer la valeur exploitable directement dans une justification réglementaire.
\[ \begin{aligned} \tan \varphi'_{\text{d}} &= \dfrac{\text{0,5774}}{\text{1,25}} = \text{0,4619} \quad \text{soit} \quad \varphi'_{\text{d}} = \text{24,8°} \\ c'_{\text{d}} &= \dfrac{\text{15 kPa}}{\text{1,25}} = \text{12,0 kPa} \\ \tau_{\text{Rd}} &= \text{12,0} + \text{88,0} \times \text{0,4619} = \mathbf{52,6} \ \text{kPa} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La résistance de calcul ne représente que 80 % de la résistance mesurée. Autrement dit, sur ce plan et à ce niveau de contrainte, la réglementation ne permet de compter que sur 52,6 kPa là où l'essai en a mobilisé 65,8.

  • Ordre de grandeur : une division par 1,25 des deux termes ne divise pas la résistance par 1,25, la contrainte normale n'étant pas affectée.
  • Impact sur la suite : c'est cette valeur, et non la résistance mesurée, qui figurera dans une justification aux états limites ultimes.
  • Cohérence : la résistance de calcul est bien inférieure à la résistance caractéristique, comme l'exige tout jeu de coefficients partiels supérieurs à l'unité.
  • Attention : les coefficients s'appliquent à la tangente de l'angle, non à l'angle lui-même : la réduction de 30 à 24,8° n'est pas une division par 1,25.
  • Comparaison : pour une vérification en conditions non drainées, le coefficient partiel appliqué serait de 1,4 au lieu de 1,25.

Remarque pédagogique : Le choix de pondérer la tangente de l'angle plutôt que l'angle lui-même n'est pas arbitraire : c'est la tangente qui apparaît linéairement dans le critère de rupture, si bien que la réduction porte directement sur la résistance mobilisable. Une division de l'angle produirait une réduction de résistance différente et sans signification physique claire.

PLAN DE GLISSEMENT SUR L'ÉPROUVETTE ET CONTRAINTES ASSOCIÉES
plan de glissement θ = 60° plan principal majeur σ'₁ = 202,0 kPa σ'_f = 88,0 kPa contrainte normale τ_f = 65,8 kPa cisaillement mobilisé détail du plan POURQUOI CE PLAN, ET PAS CELUI DU CISAILLEMENT MAXIMAL plan à 60° : τ subi = 65,8 kPa · résistance = 65,8 kPa → il rompt plan à 45° : τ subi = 76,0 kPa · résistance = 87,8 kPa → il tient
RÉSULTAT FINAL
τf = 65,8 kPa sur σ'f = 88,0 kPa · τRd = 52,6 kPa
"Le terrain ne cède pas là où on le cisaille le plus, mais là où sa résistance s'épuise en premier."
SCHÉMA BILAN — CERCLE DE MOHR À LA RUPTURE ET PLAN DE GLISSEMENT
ÉTAT DE CONTRAINTE À LA RUPTURE σ' (kPa) τ (kPa) 050100 150200250 τ = 15 + σ' tan 30° c' = 15 C = 126,0 R = 76,0 σ'₃ = 50 σ'₁ = 202,0 point de rupture 88,0 ; 65,8 τ_max = 76,0 ne rompt pas θ = 60° ÉPROUVETTE APRÈS RUPTURE 60° σ'₁ = 202,0 kPa σ'₃ = 50 σ'_f = 88,0 τ_f = 65,8 bande de cisaillement observée RÉSULTATS DE L'ESSAI σ'₃ = 50 kPa · σ'₁ = 202,0 kPa · q = 152,0 kPa · σ₁ = 252,0 kPa C = 126,0 · R = 76,0 · σ'_f = 88,0 · τ_f = 65,8 kPa · θ = 60° VALEURS DE CALCUL — φ'_d = 24,8° · c'_d = 12,0 kPa · τ_Rd = 52,6 kPa le plan à 45° subit 76,0 kPa pour 87,8 disponibles : il tient, celui à 60° cède déviateur invariant : 152,0 kPa en contraintes totales comme effectives
SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

L'interprétation de l'essai est complète. La pression interstitielle ayant atteint 50 kPa à la rupture, le confinement effectif se réduit à 50 kPa, soit la moitié de la pression appliquée dans la cellule. Avec un coefficient de butée de 3,000, la contrainte principale majeure effective de rupture s'établit à 202,0 kPa, dont 150,0 apportés par le frottement et 52,0 par la cohésion. Le déviateur correspondant vaut 152,0 kPa et la contrainte axiale totale que devra atteindre le piston, 252,0 kPa. Le cercle de Mohr en contraintes effectives est centré sur 126,0 kPa avec un rayon de 76,0 kPa, et sa tangence à l'enveloppe est vérifiée par une voie indépendante. Le plan de glissement s'incline de 60° sur le plan principal majeur, et y règnent une contrainte normale effective de 88,0 kPa et un cisaillement de 65,8 kPa, couple qui satisfait exactement l'équation de l'enveloppe.

Trois enseignements dépassent le seul résultat chiffré. Le premier tient au rôle de l'eau : sans mesure de la pression interstitielle, cet essai n'aurait livré que des caractéristiques en contraintes totales, dépourvues de portée générale. Le second est que le terrain ne rompt pas là où on le cisaille le plus : le plan à quarante-cinq degrés subit 76,0 kPa pour une résistance disponible de 87,8 kPa et tient, tandis que le plan à soixante degrés cède sous 65,8 kPa seulement. C'est le rapport de la sollicitation à la résistance, et non la sollicitation seule, qui désigne la surface de glissement. Le troisième concerne l'exploitation en projet : affectée des coefficients partiels applicables aux propriétés des matériaux, la résistance de calcul tombe à 52,6 kPa, soit 80 % de la valeur mesurée. Une réserve doit enfin accompagner ces résultats : la cohésion effective apporte ici un quart de la résistance, mais c'est un paramètre difficile à mesurer et fragile — la norme d'application française pour les fondations superficielles la néglige d'ailleurs dans le calcul de la résistance nette en conditions drainées. Un essai isolé ne suffit pas à la valider, et seule une série d'essais à plusieurs confinements permet de tracer l'enveloppe avec confiance.

Tracé du Cercle de Mohr et Contrainte à la Rupture
Mécanique des SolsÉtape 39 sur 60

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