EGC

Comportement en flexion d’une poutre

Comportement en Flexion d’une Poutre en Béton Armé

Comportement en Flexion d’une Poutre en Béton Armé

Contexte : Comment une poutre en béton armé résiste-t-elle à la flexion ?

Le béton est un excellent matériau pour résister à la compression, mais il est très fragile en traction. Lorsqu'une poutre fléchit, sa partie supérieure est comprimée et sa partie inférieure est tendue. Pour pallier la faiblesse du béton en traction, on place des barres d'acier (armatures) dans la zone tendue. L'acier, très résistant en traction, reprend ces efforts et permet à la poutre de supporter des charges importantes. Comprendre comment le béton et l'acier collaborent est la clé du dimensionnement en béton armé.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes de l'analyse d'une section de poutre à l'État Limite de Service (ELS). Nous allons d'abord vérifier si la section est fissurée sous les charges de service, puis, si c'est le cas, nous calculerons les contraintes réelles dans le béton comprimé et l'acier tendu.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le moment de fissuration d'une section en béton armé.
  • Comparer le moment de service au moment de fissuration pour déterminer l'état de la section.
  • Calculer la position de l'axe neutre et l'inertie de la section fissurée.
  • Déterminer les contraintes de service dans le béton et les aciers.
  • Vérifier la conformité de ces contraintes par rapport aux limites réglementaires.

Données de l'étude

On étudie une poutre de section rectangulaire en béton armé, soumise à un moment de flexion de service \(M_{\text{ser}}\). On souhaite vérifier les contraintes à l'ELS.

Schéma de la section rectangulaire
Aciers A_s b = 300 mm h = 500 mm d = 450 mm

Caractéristiques des matériaux et sollicitations :

  • Section rectangulaire : \(b = 30 \, \text{cm}\), \(h = 50 \, \text{cm}\)
  • Béton : Classe C25/30 (\(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Résistance en traction du béton : \(f_{\text{ctm}} = 2.6 \, \text{MPa}\)
  • Acier : nuance S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Armatures tendues : 3 HA 20 (\(A_s = 9.42 \, \text{cm}^2\))
  • Hauteur utile : \(d = 45 \, \text{cm}\)
  • Moment de flexion de service (combinaison quasi-permanente) : \(M_{\text{ser}} = 120 \, \text{kN.m}\)
  • Module d'élasticité de l'acier : \(E_s = 200000 \, \text{MPa}\)
  • Module d'élasticité du béton : \(E_{cm} = 31000 \, \text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le moment de fissuration \(M_{\text{cr}}\) de la section. La section est-elle fissurée à l'ELS ?
  2. En considérant la section fissurée, calculer la position de l'axe neutre \(y\).
  3. Calculer les contraintes maximales dans le béton (\(\sigma_c\)) et dans l'acier (\(\sigma_s\)) à l'ELS.
  4. Vérifier que ces contraintes respectent les limites admissibles.

Correction : Comportement en Flexion d’une Poutre en Béton Armé

Question 1 : Calcul du moment de fissuration (\(M_{\text{cr}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Fissuration ! M_ser > M_cr ?

Le béton peut résister à un petit peu de traction. Le moment de fissurationLe moment de flexion qui provoque l'apparition de la première fissure dans la zone tendue du béton. \(M_{\text{cr}}\) est le moment fléchissant qui provoque une contrainte de traction égale à la résistance en traction du béton (\(f_{\text{ctm}}\)) sur la fibre la plus tendue. Si le moment de service \(M_{\text{ser}}\) est supérieur à ce seuil, la poutre se fissure et son comportement change radicalement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Tant que \(M_{\text{ser}} < M_{\text{cr}}\), la section est considérée comme homogène (Stade I). On peut utiliser les caractéristiques géométriques de la section de béton seule pour calculer les contraintes. Dès que \(M_{\text{ser}} \ge M_{\text{cr}}\), on passe en Stade II : le béton tendu est considéré comme inefficace et seules les armatures reprennent la traction.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Cette vérification est la première étape de toute analyse à l'ELS. Elle détermine le modèle de calcul à utiliser pour la suite : section homogène (simple) ou section fissurée (plus complexe).

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2, section 7.1, traite de la maîtrise de la fissuration à l'ELS. Le calcul du moment de fissuration est une application directe de la formule de Navier pour la flexion simple.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour ce calcul, on considère la section de béton non fissurée (Stade I) et on néglige l'influence des aciers (section brute de béton).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment d'inertie de la section rectangulaire :

\[ I_g = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

Moment de fissuration :

\[ M_{\text{cr}} = \frac{f_{\text{ctm}} \cdot I_g}{y_{\text{inf}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(b = 300 \, \text{mm}\) ; \(h = 500 \, \text{mm}\)
  • \(f_{\text{ctm}} = 2.6 \, \text{MPa}\)
  • Distance à la fibre inférieure : \(y_{\text{inf}} = h/2 = 250 \, \text{mm}\)
  • \(M_{\text{ser}} = 120 \, \text{kN.m} = 120 \cdot 10^6 \, \text{N.mm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du moment d'inertie de la section brute :

\[ \begin{aligned} I_g &= \frac{300 \cdot 500^3}{12} \\ &= 3.125 \cdot 10^9 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Calcul du moment de fissuration :

\[ \begin{aligned} M_{\text{cr}} &= \frac{2.6 \, \text{N/mm}^2 \cdot 3.125 \cdot 10^9 \, \text{mm}^4}{250 \, \text{mm}} \\ &= 32.5 \cdot 10^6 \, \text{N.mm} \\ &= 32.5 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

Comparaison :

\[ M_{\text{ser}} = 120 \, \text{kN.m} > M_{\text{cr}} = 32.5 \, \text{kN.m} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment appliqué est presque quatre fois supérieur au moment qui provoque la fissuration. Cela signifie que la section en béton s'est fissurée en partie inférieure. Le béton tendu ne participe plus à la résistance et il faut passer à un modèle de calcul en section fissurée (Stade II).

Point à retenir : La comparaison entre le moment de service et le moment de fissuration est l'étape clé qui détermine si l'on doit considérer le béton tendu comme collaborant ou non.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette vérification est fondamentale car le comportement d'une section fissurée est très différent de celui d'une section non fissurée. L'inertie et la position de l'axe neutre changent, ce qui modifie complètement la distribution des contraintes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la section homogénéisée : Pour le calcul du moment de fissuration, on utilise la section de béton seule. L'influence des aciers est négligeable à ce stade et compliquerait inutilement le calcul.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La maîtrise de la fissuration est un enjeu majeur pour la durabilité des ouvrages. Une fissure trop large peut laisser passer l'eau et l'oxygène, provoquant la corrosion des armatures et la dégradation du béton. C'est pourquoi les normes imposent des limites strictes sur l'ouverture des fissures.

FAQ (pour lever les doutes)
La fissuration est-elle un signe de danger ?

Pas nécessairement. La fissuration du béton tendu est un phénomène normal et prévu dans le calcul du béton armé. Le danger apparaît si les fissures sont beaucoup plus larges que prévu, ce qui peut indiquer un défaut de conception ou de mise en œuvre.

Résultat Final : \(M_{\text{ser}} > M_{\text{cr}}\), la section est donc considérée comme fissurée à l'ELS.

À vous de jouer : Si la hauteur de la poutre était de 60 cm, le moment de fissuration serait-il plus grand ou plus petit ?

Question 2 : Position de l'axe neutre (\(y\)) en section fissurée

Principe avec image animée (le concept physique)
Axe Neutre Fc (Béton) Fs (Acier) Équilibre : Fc = Fs

En Stade II, le béton sous l'axe neutreLigne à l'intérieur d'une section fléchie où la contrainte et la déformation sont nulles. Elle sépare la zone comprimée de la zone tendue. est considéré comme fissuré et ne reprend aucun effort. La position de cet axe neutre (notée \(y\)) est déterminée par la condition d'équilibre : le moment statique de la section de béton comprimé par rapport à l'axe neutre doit être égal au moment statique de la section d'acier tendue (homogénéisée).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour rendre les matériaux comparables, on "homogénéise" la section d'acier en la remplaçant par une section équivalente de béton. Cette section équivalente est obtenue en multipliant la surface d'acier \(A_s\) par le coefficient d'équivalence \(n = E_s / E_{cm}\). L'équation d'équilibre des moments statiques devient alors une équation du second degré en \(y\), dont la solution positive donne la position de l'axe neutre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Dans une section fissurée, l'axe neutre remonte par rapport au centre de gravité de la section brute. Plus il y a d'acier, plus l'axe neutre descend ; moins il y en a, plus il remonte.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la section fissurée est une méthode standard de la Résistance des Matériaux appliquée au béton armé. Les principes sont décrits dans les manuels de béton armé et conformes à l'approche de l'Eurocode 2 pour l'analyse à l'ELS.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose une adhérence parfaite entre le béton et l'acier (les déformations sont les mêmes). On reste dans le domaine de comportement élastique-linéaire des deux matériaux.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Coefficient d'équivalence :

\[ n = \frac{E_s}{E_{cm}} \]

Équation d'équilibre des moments statiques :

\[ b \cdot y \cdot \frac{y}{2} = n \cdot A_s \cdot (d-y) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(b = 300 \, \text{mm}\)
  • \(A_s = 942 \, \text{mm}^2\)
  • \(d = 450 \, \text{mm}\)
  • \(E_s = 200000 \, \text{MPa}\)
  • \(E_{cm} = 31000 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du coefficient d'équivalence :

\[ \begin{aligned} n &= \frac{200000}{31000} \\ &= 6.45 \end{aligned} \]

Résolution de l'équation du second degré :

\[ \begin{aligned} \frac{300}{2} y^2 &= 6.45 \cdot 942 \cdot (450-y) \\ 150 y^2 &= 6075.9 (450-y) \\ 150 y^2 + 6075.9 y - 2734155 &= 0 \end{aligned} \]

La solution positive est :

\[ y = 116.4 \, \text{mm} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'axe neutre se situe à 11.6 cm du haut de la poutre. C'est une hauteur de béton comprimé assez faible par rapport à la hauteur totale de 50 cm, ce qui est typique d'une section en béton armé normalement sollicitée en flexion.

Point à retenir : La position de l'axe neutre en section fissurée dépend de l'équilibre entre la zone de béton comprimé et la section d'acier tendue.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La connaissance de la position de l'axe neutre est indispensable pour calculer le moment d'inertie de la section fissurée, qui est à son tour nécessaire pour calculer les contraintes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur dans la résolution de l'équation : Assurez-vous d'utiliser la bonne formule pour résoudre l'équation du second degré \(ax^2+bx+c=0\) et de ne prendre que la solution positive, car une position d'axe neutre négative n'a pas de sens physique.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le coefficient d'équivalence \(n\) n'est pas constant. À long terme, à cause du fluage du béton (déformation différée sous charge constante), le module d'élasticité effectif du béton diminue, et le coefficient \(n\) peut tripler ! Cela signifie que les aciers reprennent une part plus importante des efforts au fil du temps.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'équation est-elle du second degré ?

Parce que la zone de compression du béton est un rectangle de hauteur \(y\), et son centre de gravité est à une distance \(y/2\) de l'axe neutre. Le moment statique de cette zone est donc proportionnel à \(y \times y/2\), ce qui introduit le terme en \(y^2\).

Résultat Final : La position de l'axe neutre est à \(y = 116.4 \, \text{mm}\) de la fibre la plus comprimée.

À vous de jouer : Si on ajoutait plus d'acier (As plus grand), l'axe neutre \(y\) monterait ou descendrait ?

Question 3 : Calcul des contraintes à l'ELS (\(\sigma_c\) et \(\sigma_s\))

Principe avec image animée (le concept physique)
A.N. σ_c σ_s

Une fois la position de l'axe neutre connue, on peut calculer le moment d'inertie de la section fissurée. Ensuite, en utilisant la formule de Navier, on peut déterminer la contrainte maximale dans le béton (sur la fibre la plus comprimée) et la contrainte dans les aciers. Pour l'acier, on calcule d'abord la contrainte dans le béton "équivalent" à son niveau, puis on la multiplie par le coefficient d'équivalence \(n\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'inertie de la section fissurée \(I_{fiss}\) est calculée par rapport à l'axe neutre trouvé. Elle est la somme de l'inertie de la zone de béton comprimé (\(b \cdot y^3 / 3\)) et de l'inertie de la section d'acier homogénéisée transportée à sa position (\(n \cdot A_s \cdot (d-y)^2\)). Cette inertie est toujours inférieure à celle de la section brute, car le béton tendu ne participe plus.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La contrainte dans l'acier est \(n\) fois plus grande que celle du béton qui l'entoure. C'est logique, car l'acier est beaucoup plus rigide (son module d'Young \(E_s\) est plus grand) et doit donc subir une contrainte plus élevée pour avoir la même déformation que le béton.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de contraintes à l'ELS sont données à la section 7.2 de l'Eurocode 2. Pour le béton, \(\sigma_c \le 0.6 f_{ck}\). Pour l'acier, \(\sigma_s \le 0.8 f_{yk}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les calculs sont menés sous le moment de service \(M_{\text{ser}}\) et supposent un comportement élastique-linéaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Inertie de la section fissurée :

\[ I_{\text{fiss}} = \frac{b \cdot y^3}{3} + n \cdot A_s \cdot (d-y)^2 \]

Contrainte dans le béton :

\[ \sigma_c = \frac{M_{\text{ser}} \cdot y}{I_{\text{fiss}}} \]

Contrainte dans l'acier :

\[ \sigma_s = n \cdot \frac{M_{\text{ser}} \cdot (d-y)}{I_{\text{fiss}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(y = 116.4 \, \text{mm}\)
  • \(M_{\text{ser}} = 120 \cdot 10^6 \, \text{N.mm}\)
  • Les autres données restent inchangées.
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'inertie fissurée :

\[ \begin{aligned} I_{\text{fiss}} &= \frac{300 \cdot 116.4^3}{3} + 6.45 \cdot 942 \cdot (450-116.4)^2 \\ &= 1.57 \cdot 10^8 + 6075.9 \cdot (333.6)^2 \\ &= 1.57 \cdot 10^8 + 6.77 \cdot 10^8 \\ &= 8.34 \cdot 10^8 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte dans le béton :

\[ \begin{aligned} \sigma_c &= \frac{120 \cdot 10^6 \cdot 116.4}{8.34 \cdot 10^8} \\ &= 16.75 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte dans l'acier :

\[ \begin{aligned} \sigma_s &= 6.45 \cdot \frac{120 \cdot 10^6 \cdot (450-116.4)}{8.34 \cdot 10^8} \\ &= 6.45 \cdot \frac{120 \cdot 10^6 \cdot 333.6}{8.34 \cdot 10^8} \\ &= 309.4 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Sous l'effet du moment de service, le béton est comprimé à 16.75 MPa et l'acier est tendu à 309.4 MPa. Ces valeurs doivent maintenant être comparées aux limites admissibles pour s'assurer que la poutre ne subit pas de dommages irréversibles en service.

Point à retenir : En section fissurée, les contraintes sont calculées avec l'inertie de la section fissurée, qui est plus faible que l'inertie de la section brute.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le cœur de la vérification à l'ELS. Elle permet de connaître l'état de contrainte réel dans les matériaux sous les charges de service pour les comparer aux limites fixées par la réglementation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la mauvaise inertie : Une fois la section déclarée fissurée, il est impératif d'utiliser l'inertie de la section fissurée (\(I_{\text{fiss}}\)) pour le calcul des contraintes. Utiliser l'inertie de la section brute (\(I_g\)) conduirait à une sous-estimation importante des contraintes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le diagramme des contraintes n'est pas réellement triangulaire à l'approche de la ruine. Le béton a un comportement non-linéaire (plastique). L'Eurocode 2 utilise un diagramme "parabole-rectangle" pour modéliser plus fidèlement la distribution des contraintes dans le béton à l'État Limite Ultime (ELU).

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si on met aussi des aciers en partie supérieure ?

Les aciers en zone comprimée sont également pris en compte dans le calcul de l'axe neutre et de l'inertie. On les homogénéise aussi avec un coefficient \(n-1\) (car ils remplacent une surface de béton déjà prise en compte) et on les ajoute à l'équation d'équilibre.

Résultat Final : \(\sigma_c = 16.75 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_s = 309.4 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Si le moment de service \(M_{\text{ser}}\) était plus faible, la contrainte dans l'acier \(\sigma_s\) serait...

Question 4 : Vérification des contraintes

Principe avec image animée (le concept physique)
Limite (15 MPa) σ_c = 11.8 MPa < OK

La dernière étape consiste à comparer les contraintes calculées aux limites admissibles définies par les normes. Pour le béton, on vérifie que la compression ne dépasse pas une fraction de sa résistance caractéristique (\(f_{ck}\)) pour éviter des micro-fissurations excessives et le fluage. Pour l'acier, on s'assure qu'il reste bien dans son domaine élastique pour garantir un comportement réversible des déformations.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les limites de contraintes à l'ELS sont fixées pour garantir la durabilité et le bon fonctionnement de la structure, et non pour empêcher la ruine (ça, c'est le rôle de l'ELU). Limiter la compression du béton prévient le fluage excessif qui pourrait entraîner des déformations inacceptables à long terme. Limiter la traction de l'acier garantit que les fissures se referment lorsque la charge est retirée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Une section peut être parfaitement sûre à l'ELU (elle ne s'effondrera pas) mais ne pas être acceptable à l'ELS (elle se déforme trop ou se fissure de manière excessive). Les deux vérifications sont donc complémentaires et indispensables.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2, section 7.2, spécifie les limites de contraintes. Pour le béton, \(\sigma_c \le 0.6 f_{ck}\). Pour l'acier, \(\sigma_s \le 0.8 f_{yk}\). Ces valeurs peuvent être ajustées par l'Annexe Nationale de chaque pays.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les limites de contraintes standards de l'Eurocode 2 pour une situation de service quasi-permanente.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification du béton :

\[ \sigma_c \le 0.6 \cdot f_{ck} \]

Vérification de l'acier :

\[ \sigma_s \le 0.8 \cdot f_{yk} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_c = 16.75 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_s = 309.4 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la contrainte limite du béton :

\[ \begin{aligned} \sigma_{c, \text{lim}} &= 0.6 \times 25 \, \text{MPa} \\ &= 15.0 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de la contrainte limite de l'acier :

\[ \begin{aligned} \sigma_{s, \text{lim}} &= 0.8 \times 500 \, \text{MPa} \\ &= 400 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Vérifications finales :

  • Béton : \(\sigma_c = 16.75 \, \text{MPa} > \sigma_{c, \text{lim}} = 15.0 \, \text{MPa}\) (NON VÉRIFIÉ)
  • Acier : \(\sigma_s = 309.4 \, \text{MPa} \le \sigma_{s, \text{lim}} = 400 \, \text{MPa}\) (VÉRIFIÉ)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte dans l'acier est acceptable. Cependant, la contrainte de compression dans le béton dépasse la limite réglementaire. Cela indique un risque de déformations excessives à long terme dues au fluage. La section n'est donc pas validée à l'ELS. Il faudrait soit augmenter les dimensions de la poutre (surtout sa hauteur), soit utiliser un béton de classe de résistance supérieure (ex: C30/37).

Point à retenir : La vérification à l'ELS impose de contrôler les contraintes dans le béton et dans l'acier sous les charges de service.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape finale permet de juger de la qualité et de la durabilité de l'élément structurel. Une structure qui résiste à la ruine mais qui se déforme ou se fissure de manière visible n'est pas une bonne conception.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Confondre les résistances : Ne pas confondre \(f_{ck}\) (résistance caractéristique du béton) et \(f_{yk}\) (limite d'élasticité de l'acier). Utiliser la mauvaise valeur pour calculer les limites de contraintes est une erreur grave.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premières structures en "béton armé" ont été des barques et des bacs à fleurs construits par Joseph Monier et Joseph-Louis Lambot au milieu du 19ème siècle. Ils ont eu l'intuition de combiner la résistance à la compression du ciment avec la résistance à la traction d'un treillis métallique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la limite pour l'acier est-elle \(0.8 f_{yk}\) et pas \(f_{yk}\) ?

On limite la contrainte dans l'acier pour s'assurer qu'il reste bien dans son domaine de déformation élastique. Si l'acier atteignait sa limite d'élasticité \(f_{yk}\) en service, il subirait des déformations permanentes, et la poutre ne reviendrait pas à sa position initiale après déchargement, ce qui n'est pas souhaitable.

Résultat Final : La contrainte dans l'acier est vérifiée, mais la contrainte dans le béton (\(16.75 \, \text{MPa}\)) dépasse la limite de \(15 \, \text{MPa}\). La section n'est pas validée à l'ELS.

À vous de jouer : Si on utilisait un béton C30/37 (\(f_{ck} = 30\) MPa), la contrainte dans le béton serait-elle vérifiée ?

Mini Fiche Mémo : Analyse d'une Poutre en Flexion à l'ELS

Étape Formule Clé & Objectif
1. Fissuration \( M_{\text{cr}} = f_{\text{ctm}} \cdot I_g / y_{\text{inf}} \)
Vérifier si \(M_{\text{ser}} > M_{\text{cr}}\) pour déterminer si la section est fissurée.
2. Axe Neutre (si fissuré) \( \frac{b y^2}{2} = n A_s (d-y) \)
Trouver la hauteur de béton comprimé en résolvant l'équation d'équilibre.
3. Contraintes (si fissuré) \( \sigma_c = \frac{M_{\text{ser}} y}{I_{\text{fiss}}} \) ; \( \sigma_s = n \frac{M_{\text{ser}} (d-y)}{I_{\text{fiss}}} \)
Calculer les contraintes réelles dans les matériaux.
4. Vérification \( \sigma_c \le 0.6 f_{ck} \) ; \( \sigma_s \le 0.8 f_{yk} \)
Comparer les contraintes calculées aux limites réglementaires.

Outil Interactif : Contraintes en Flexion

Modifiez le moment et la section d'acier pour voir l'impact sur les contraintes.

Paramètres
120 kN.m
9.42 cm²
Résultats (ELS)
Contrainte Béton (σ_c) -
Contrainte Acier (σ_s) -

Le Saviez-Vous ?

Les premières structures en "béton armé" ont été des barques et des bacs à fleurs construits par Joseph Monier et Joseph-Louis Lambot au milieu du 19ème siècle. Ils ont eu l'intuition de combiner la résistance à la compression du ciment avec la résistance à la traction d'un treillis métallique.

Foire Aux Questions (FAQ)

La fissuration est-elle un signe de danger ?

Pas nécessairement. La fissuration du béton tendu est un phénomène normal et prévu dans le calcul du béton armé. Le danger apparaît si les fissures sont beaucoup plus larges que prévu, ce qui peut indiquer un défaut de conception ou de mise en œuvre.

Pourquoi la limite pour l'acier est-elle \(0.8 f_{yk}\) et pas \(f_{yk}\) ?

On limite la contrainte dans l'acier pour s'assurer qu'il reste bien dans son domaine de déformation élastique. Si l'acier atteignait sa limite d'élasticité \(f_{yk}\) en service, il subirait des déformations permanentes, et la poutre ne reviendrait pas à sa position initiale après déchargement, ce qui n'est pas souhaitable.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la quantité d'acier \(A_s\) dans une poutre, son moment de fissuration \(M_{\text{cr}}\) va :

2. Dans une section fissurée, si on augmente le moment de service \(M_{\text{ser}}\), la position de l'axe neutre \(y\) va :

Moment de Fissuration (\(M_{\text{cr}}\))
Moment de flexion qui provoque l'apparition de la première fissure dans la zone tendue du béton. C'est la frontière entre le Stade I (non fissuré) et le Stade II (fissuré).
Axe Neutre
Ligne à l'intérieur d'une section fléchie où la contrainte et la déformation sont nulles. Elle sépare la zone comprimée de la zone tendue.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée d'une section et le centre de gravité des armatures tendues. C'est une dimension clé pour le calcul en flexion.
État Limite de Service (ELS)
État correspondant aux conditions d'utilisation normales de la structure. Les vérifications à l'ELS portent sur la fissuration, les déformations et les contraintes dans les matériaux.
Fondamentaux du Génie Civil : Comportement en Flexion d’une Poutre en Béton Armé

D’autres exercices de béton armé:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *