Le béton résiste très bien à la compression (ex: 25 MPa) mais très mal à la traction (~2.5 MPa).
Comportement en flexion d’une poutre
📝 Situation du Projet et Nature de l'Ouvrage
Le projet concerne la construction d'un immeuble de bureaux en R+4 (Rez-de-chaussée + 4 étages courants) situé dans la région lyonnaise. La structure porteuse est de type poteaux-poutres en béton armé avec des planchers constitués de dalles pleines coulées en place.
La poutre étudiée, référencée B101, est une poutre maîtresse située au niveau du plancher haut du Rez-de-chaussée. Elle franchit une portée de 6,00 mètres entre deux poteaux principaux et supporte une bande de chargement de 4,00 mètres de large. Son rôle est crucial car elle reprend les charges du plancher du premier étage (bureaux) pour les transmettre aux fondations via les poteaux.
L'environnement est classé XC1 (intérieur de bâtiment, sec), ce qui implique un risque de corrosion par carbonatation faible, mais nécessite tout de même un enrobage minimal pour assurer la durabilité à 50 ans.
En tant qu'Ingénieur Structure Junior au sein du bureau d'études, votre responsabilité est de produire la note de calcul justificative pour le ferraillage de cette poutre.
Vous devez :
- Vérifier la descente de charges et établir le chargement ELU.
- Calculer le moment de flexion maximal sollicitant la poutre.
- Déterminer la section d'aciers longitudinaux (lit inférieur) nécessaire pour garantir la stabilité.
- Proposer un schéma de ferraillage réaliste et constructible.
- Localisation
Lyon (69) - Zone de sismicité faible (2) - Maître d'Ouvrage
SCI Immo-Bureau - Lot Concerné
Lot 02 - Gros Œuvre (GO)
- 🟦 Poutre B101 : Éléments porteur principal en béton armé (Section 25x50 ht).
- ⬛ Poteaux P1 & P2 : Appuis simples transmettant les charges aux fondations.
- ⬜ Zone Hachurée : Poteaux en béton armé (coupe).
- 🟦 Zone Bleue Claire : Surface de plancher (dalle) dont le poids est repris par la poutre (Bande de chargement).
"Attention aux unités ! Les moments sont souvent en kNm, mais les formules de béton armé nécessitent souvent des conversions en MNm ou des contraintes en MPa. Vérifiez bien la hauteur utile (d) qui est inférieure à la hauteur totale (h)."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif, matériel et géométrique du projet. Ces données sont extraites du CCTP (Cahier des Clauses Techniques Particulières) et des plans d'architecte.
📚 Référentiel Normatif
Le dimensionnement doit être effectué conformément aux Eurocodes structuraux en vigueur, avec leurs Annexes Nationales pour la France :
[Art. 3.1] BÉTON DE STRUCTURE
Le béton pour les éléments horizontaux (poutres, dalles) sera de classe de résistance C25/30.
- Résistance caractéristique cylindrique : \( f_{ck} = 25 \) MPa.
- Granulats courants : \( D_{max} = 20 \) mm.
[Art. 3.2] ACIERS POUR BÉTON ARMÉ
Utilisation exclusive de barres à Haute Adhérence (HA) de nuance B500B.
- Limite d'élasticité : \( f_{yk} = 500 \) MPa.
- Classe de ductilité : B (moyenne).
[Art. 4.5] DURABILITÉ & ENROBAGE
Les poutres intérieures sont situées en classe d'exposition XC1 (sec ou humide en permanence).
- Enrobage nominal requis : \( c_{nom} = 30 \) mm.
Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par des coefficients partiels de sécurité (\(\gamma\)) définis par l'Annexe Nationale.
| BÉTON C25/30 (Situation Durable) | |
| Résistance caract. (\(f_{ck}\)) | 25 MPa |
| Coeff. sécurité (\(\gamma_c\)) | 1.5 |
| ACIER B500B (Situation Durable) | |
| Limite élastique (\(f_{yk}\)) | 500 MPa |
| Coeff. sécurité (\(\gamma_s\)) | 1.15 |
📐 Géométrie et Prédimensionnement
La section de la poutre a été prédimensionnée selon la règle empirique \( L/12 \approx 50 \) cm pour limiter les flèches nuisibles.
- Portée de calcul (L) : 6.00 m (entre axes des poteaux)
- Largeur de la section (b) : 25 cm (imposée par l'architecte pour s'aligner avec les murs)
- Hauteur totale (h) : 50 cm (hauteur sous plafond compatible)
⚖️ Détail de la Descente de Charges (G + Q)
Les charges sont ramenées au mètre linéaire de poutre. La poutre reprend une bande de plancher de 4,00 m de large.
- Dalle BA (20cm) : \( 0,20 \times 4,00 \times 25 = 20,0 \) kN/m
- Revêtements & Faux-plafond : \( 1,5 \times 4,00 = 6,0 \) kN/m
(Note: Pour simplifier l'exercice, nous prendrons une valeur forfaitaire de 15 kN/m)
- ⬜ Béton Armé : Section rectangulaire.
- 🟥 Pointillés : Encombrement estimé des cadres (étriers).
- ❓ Zone Tendue : Emplacement des aciers longitudinaux à calculer.
E. Protocole de Résolution
Voici la méthodologie séquentielle pour dimensionner les aciers longitudinaux :
Calcul des Sollicitations
Déterminer la charge ultime (pu) et le Moment Fléchissant Ultime (MEd).
Paramètres de Calcul
Définir les résistances de calcul (fcd, fyd) et la hauteur utile (d).
Calcul de la Section d'Acier
Utiliser la méthode du moment réduit (mu) pour trouver As théorique.
Choix & Vérifications
Choisir le nombre de barres et vérifier la condition de non-fragilité.
Comportement en flexion d’une poutre
🎯 Objectif
L'objectif de cette étape est de déterminer les sollicitations maximales que la poutre devra supporter. Contrairement aux calculs de déformation (ELS), nous nous plaçons ici à l'État Limite Ultime (ELU), c'est-à-dire dans le scénario le plus défavorable possible avant la ruine de la structure. Nous cherchons à calculer le Moment Fléchissant de Dimensionnement \( M_{\text{Ed}} \), qui servira de base pour déterminer la quantité d'acier nécessaire.
📚 Référentiel
NF EN 1990 (Bases de calcul) NF EN 1991-1-1 (Charges)En tant qu'ingénieur structure, votre priorité est la sécurité. Vous ne dimensionnez pas la poutre pour les charges "moyennes" de tous les jours, mais pour une combinaison de charges extrêmes et rares. C'est pourquoi nous appliquons des coefficients de sécurité partiels :
- 1,35 sur les charges permanentes (\(G\)), car on connaît assez bien le poids des matériaux, mais une légère variation d'épaisseur est possible.
- 1,50 sur les charges d'exploitation (\(Q\)), car l'occupation des locaux est très variable et incertaine.
Pour une poutre isostatique (reposant librement sur deux appuis simples) de portée \( L \), soumise à une charge uniformément répartie \( p \), la déformée prend la forme d'une parabole. Les réactions d'appuis sont égales à \( pL/2 \). Le diagramme du moment fléchissant est parabolique, nul aux appuis et maximal à mi-travée (x = L/2). La valeur de ce maximum est une formule fondamentale de la RDM à connaître par cœur.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Unité | Description |
|---|---|---|---|
| G | 15 | kN/m | Charge Permanente (Poids propre + Charges fixes) |
| Q | 10 | kN/m | Charge d'Exploitation (Occupants, Mobilier) |
| L | 6.0 | m | Portée de la poutre (distance entre nus d'appuis) |
Pour éviter les erreurs d'ordre de grandeur plus tard, il est souvent judicieux de travailler directement en MN.m (MégaNewton-mètre) pour le moment, car les résistances des matériaux (fcd, fyd) seront en MPa (qui équivaut à MN/m²).
Rappel : 1 kN = 0.001 MN. Donc 100 kN.m = 0.1 MN.m.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous procédons en deux temps : d'abord le calcul de la charge linéique pondérée, puis le calcul du moment fléchissant.
1. Calcul de la charge linéique ELU (\(p_{\text{ELU}}\))On remplace G et Q par leurs valeurs en appliquant les coefficients de sécurité (1,35 et 1,5) :
La poutre subit donc une charge répartie de calcul de 35,25 kN par mètre linéaire.
2. Calcul du Moment Ultime (\(M_{\text{Ed}}\))On injecte la charge calculée ci-dessus et la portée au carré :
Interprétation : La poutre doit être capable de résister à un couple de flexion interne de 158,6 kN.m au milieu de sa portée sans se rompre.
Vérifions l'ordre de grandeur. Pour une poutre de bâtiment classique de 6m, avec une charge totale de ~3.5 tonnes par mètre linéaire, un moment autour de 150-160 kNm est standard. Si vous aviez trouvé 15 kNm ou 1500 kNm, il y aurait eu une erreur probable (facteur 10 ou oubli du carré sur L).
Une erreur fréquente est d'oublier de convertir le résultat final en MN.m pour la suite.
Règle d'or : 1 MN.m = 1000 kN.m.
Ici : \( 158,625 \text{ kN.m} \div 1000 = 0,158625 \text{ MN.m} \), arrondi à 0,159 MN.m.
❓ Question Fréquente : Pourquoi 1.35G et 1.5Q ?
Ce sont les coefficients partiels de sécurité définis par l'Eurocode pour les états limites ultimes (ELU) en situation durable. Ils couvrent les incertitudes statistiques : on est plus sûr du poids propre (G) que des charges d'exploitation (Q), d'où un coefficient plus élevé pour Q (1.5) que pour G (1.35).
🎯 Objectif
Préparer toutes les données nécessaires au calcul de ferraillage. Il faut passer des résistances "commerciales" ou caractéristiques (\(f_k\)) aux résistances de "calcul" (\(f_d\)) en intégrant la sécurité sur les matériaux. Il faut également estimer la hauteur utile \(d\), paramètre géométrique clé.
📚 Référentiel
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2 - Matériaux)Les matériaux réels sur chantier ne sont jamais parfaits. Le béton peut être mal vibré, l'acier peut avoir des défauts microscopiques. Pour s'en prémunir, l'Eurocode impose de diviser la résistance théorique par un coefficient de sécurité \( \gamma \) (gamma) :
- Béton (\( \gamma_c = 1,5 \)) : Matériau hétérogène, fabriqué in-situ, sujet aux aléas climatiques. Incertitude élevée.
- Acier (\( \gamma_s = 1,15 \)) : Matériau industriel, contrôlé en usine, homogène. Incertitude faible.
Pour le calcul, on utilise des modèles simplifiés :
- Pour le béton : Diagramme "Parabole-Rectangle" ou "Rectangulaire simplifié". La résistance de calcul est notée \( f_{cd} \).
- Pour l'acier : Diagramme bilinéaire avec palier plastique. La résistance de calcul est notée \( f_{yd} \).
Résistance de calcul du béton (compression) :
Résistance de calcul de l'acier (limite élastique) :
Étape 1 : Données
| Matériau | Résistance Caractéristique (\(f_k\)) | Coeff. Sécurité (\(\gamma\)) |
|---|---|---|
| Béton C25/30 | \( f_{ck} = 25 \) MPa | \( \gamma_c = 1,5 \) |
| Acier B500B | \( f_{yk} = 500 \) MPa | \( \gamma_s = 1,15 \) |
La hauteur utile \(d\) est la distance de la fibre la plus comprimée (haut de la poutre) au centre de gravité des aciers tendus.
En phase de pré-dimensionnement, on ne connaît pas encore le diamètre exact des barres. Une approximation standard très fiable est :
\( d \approx 0,9 \times h \)
Ou plus précisément : \( d = h - (\text{enrobage} + \text{étrier} + \text{∅barre}/2) \).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Résistance de calcul du Béton (\(f_{\text{cd}}\))La résistance de calcul du béton en compression est obtenue en divisant sa résistance caractéristique à 28 jours par le coefficient de sécurité partiel du béton :
De même pour l'acier, la limite d'élasticité de calcul est obtenue en divisant la limite caractéristique par le coefficient de sécurité de l'acier :
La hauteur utile \( d \) correspond à la distance entre la fibre la plus comprimée (haut de la poutre) et le centre de gravité des armatures tendues. Nous déduisons les enrobages et encombrements estimés :
- L'enrobage nominal (\(c_{\text{nom}}\)) = 3 cm = 0,03 m
- Le diamètre estimé des cadres (\(\phi_{\text{cadre}}\)) = 8 mm = 0,008 m
- Le demi-diamètre estimé des barres (\(\phi_{\text{long}}/2\)) = 20mm/2 = 0,010 m
Nous retiendrons cette valeur de 0,45 m pour le bras de levier effectif dans les calculs de flexion.
Vérifiez toujours que vos résistances de calcul sont inférieures aux résistances caractéristiques.
\( f_{cd} = 16,67 < 25 \) (Cohérent).
\( f_{yd} = 435 < 500 \) (Cohérent).
Si vous trouvez \( f_{yd} > 500 \), vous avez multiplié par le coefficient de sécurité au lieu de diviser !
Ne jamais utiliser \( f_{ck} \) ou \( f_{yk} \) directement dans les formules de dimensionnement des aciers. Cela reviendrait à supprimer toute marge de sécurité sur les matériaux, ce qui est dangereux et interdit.
🎯 Objectif
C'est le cœur du problème : déterminer la section d'acier théorique \( A_s \) (en cm²) qui, placée en zone tendue, permettra d'équilibrer exactement le moment fléchissant \( M_{\text{Ed}} \) calculé en étape 1.
📚 Référentiel
Eurocode 2 - Section 6.1 (Flexion simple)Plutôt que de résoudre des équations complexes d'équilibre à chaque fois, les ingénieurs utilisent une méthode adimensionnelle.
On calcule un coefficient \( \mu_u \) ("mu ultime") qui représente le rapport entre le moment appliqué et la capacité maximale de la section en béton seul.
Ce coefficient permet de savoir instantanément :
- Si le béton est capable de reprendre la compression.
- Si des aciers comprimés sont nécessaires.
- La position de l'axe neutre (zone de séparation traction/compression).
Le comportement de la section est décrit par des domaines appelés "Pivots".
Pivot A : L'acier s'allonge beaucoup, le béton travaille peu (Traction prépondérante).
Pivot B : Le béton atteint sa limite de compression, l'acier travaille bien. C'est le domaine optimal pour une poutre.
La frontière entre le domaine optimal (sans aciers comprimés) et le domaine critique se situe à \( \mu_{lu} = 0,371 \) (pour les aciers courants).
Si \( \mu_{\text{u}} < 0,371 \), alors pas d'aciers comprimés (\(A'_s = 0\)). On calcule :
1. Position relative de l'axe neutre :
2. Bras de levier interne :
3. Section d'acier :
Étape 1 : Données
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Moment \(M_{\text{Ed}}\) | 0,159 | MN.m |
| Largeur \(b\) | 0,25 | m |
| Hauteur utile \(d\) | 0,45 | m |
| Résistance béton \(f_{\text{cd}}\) | 16,67 | MPa |
Vérifiez que toutes vos unités sont homogènes avant de commencer. Mettez le moment en MN.m et les longueurs en m. Le résultat de \( \mu_u \) n'a pas d'unité.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Attention aux unités : MN.m pour le moment, mètres pour les longueurs, MPa (MN/m²) pour les contraintes.
1. Calcul du Moment Réduit (\(\mu_{\text{u}}\))Calculons le moment réduit ultime \( \mu_u \). Ce coefficient adimensionnel compare le moment agissant à la capacité résistante de la section de béton seul :
La valeur obtenue est inférieure à la valeur limite de 0,371. Cela confirme que nous sommes dans le Pivot B (domaine optimal) et qu'aucune armature de compression n'est nécessaire. Le béton suffit à reprendre l'effort de compression.
2. Calcul de l'Axe Neutre (\(\alpha\)) et du Bras de Levier (\(z\))Nous déterminons la position relative de l'axe neutre \( \alpha \), qui indique la hauteur de la zone comprimée :
L'axe neutre se situe donc à environ 26% de la hauteur utile en partant du haut de la section.
Le bras de levier du couple interne \( z \) (distance entre la résultante de compression et la résultante de traction) se déduit de \( \alpha \) :
Le bras de levier réel est de 40,3 cm.
3. Calcul de la Section d'Acier Théorique (\(A_s\))Enfin, la section d'acier théorique est obtenue en divisant le moment agissant par le couple résistant (bras de levier \( \times \) résistance de l'acier) :
Il faudra donc mettre en place au minimum 9,07 cm² d'acier en partie basse de la poutre.
Vérifions le taux de ferraillage : \( \rho = A_s / (b \cdot h) = 9,07 / (25 \times 50) = 0,72 \% \).
Pour une poutre, on s'attend généralement à un taux entre 0,5% et 1,5% (jusqu'à 2% pour les très fortes charges). 0,72% est une valeur très standard et économique. Le résultat est physiquement logique.
L'erreur la plus courante est l'oubli de la conversion \( m^2 \to cm^2 \). Le calcul donne souvent \( 9.10^{-4} \). Si vous trouvez 0,0009 cm², c'est microscopique, c'est que vous êtes resté en m². Si vous trouvez 907 cm², c'est énorme, c'est que vous avez un problème d'unités (probablement kN au lieu de MN).
🎯 Objectif
Transformer le chiffre théorique (9,07 cm²) en une solution concrète de chantier (nombre et diamètre de barres). Il faut ensuite vérifier que cette section respecte la condition de non-fragilité, une règle de sécurité imposant une quantité minimale d'acier pour éviter une rupture brutale sans fissuration préalable.
📚 Référentiel
Eurocode 2 - Tableaux de section des armaturesLe calcul théorique nous donne un minimum strict. En réalité, on doit choisir des barres existantes (diamètres normalisés : 10, 12, 14, 16, 20, 25, 32 mm).
Le choix doit respecter deux contraintes contradictoires :
1. Assez de section (\( A_{\text{s,réel}} \geq A_{\text{s,théorique}} \)).
2. Assez d'espace pour couler le béton (espacement entre barres > taille des granulats).
De plus, la norme interdit de mettre "trop peu" d'acier, même si le calcul théorique le permettait (cas des poutres très peu chargées), pour garantir la ductilité.
Pour une poutre de largeur \( b = 25 \) cm :
- Enrobage latéral : 3 cm x 2 = 6 cm.
- Diamètre cadres : ~1 cm x 2 = 2 cm.
- Reste utile : ~17 cm.
Il est difficile de placer plus de 3 ou 4 barres de gros diamètre sur une seule couche (lit). On privilégie donc des gros diamètres (HA20) plutôt que beaucoup de petits.
La section minimale absolue à mettre en œuvre est :
Où \( f_{\text{ctm}} \) est la résistance moyenne en traction du béton (2,6 MPa pour du C25/30).
Étape 1 : Choix des Barres (Abaque)
| Combinaison | Section Totale (cm²) | Écart / Requis (+/-) | Analyse de mise en œuvre |
|---|---|---|---|
| 6 HA 14 | 9,23 | +1,7% | ❌ Trop de barres (nécessite 2 lits), encombré. |
| 5 HA 16 | 10,05 | +10,8% | ❌ Difficile à placer sur un lit dans 25cm. |
| 3 HA 20 | 9,42 | +3,8% | ✅ Idéal. Tient sur un lit. Économique. |
Toujours privilégier la symétrie pour faciliter le ferraillage des cadres. 3 barres permettent d'avoir une barre dans chaque angle et une au milieu.
Étape 2 : Vérification de la Non-Fragilité
Calculons la quantité minimale imposée par la norme pour éviter que la poutre ne casse "comme du verre".
Facteur béton/acier : \( 2,6 / 500 = 0,0052 \). Section géométrique utile : \( 0,25 \times 0,45 = 0,1125 \) m².
Conversion en cm² (x 10 000) :
Nous comparons maintenant notre choix constructif (3 barres HA 20) avec le calcul théorique et le minimum normatif :
La section réelle mise en œuvre (9,42 cm²) couvre le besoin théorique (9,07 cm²) et respecte le minimum de non-fragilité. Le dimensionnement est validé. ✅
Nous fournissons 9,42 cm² pour un besoin de 9,07 cm². Le "gaspillage" est minime (moins de 4%). C'est une optimisation excellente. De plus, 3 HA 20 sont des barres robustes, faciles à manipuler et à bétonner.
Si la condition de non-fragilité n'était pas vérifiée (par exemple pour une poutre très peu chargée où le calcul donnerait \( A_s = 0,5 \) cm²), il faudrait obligatoirement mettre \( A_{\text{s,min}} \) (1,52 cm²) et non la valeur calculée. Ici, le calcul l'emporte largement.
❓ Question Fréquente : Et les cadres ?
Cette étape ne concerne que les aciers longitudinaux (flexion). Les cadres et épingles (aciers transversaux) seront calculés dans une étape ultérieure pour résister à l'effort tranchant (\( V_{\text{Ed}} \)). Ils serviront aussi à maintenir les 3 barres HA20 en place.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
69000 LYON - FRANCE
Tél : 04 78 00 00 00 | contact@structura.ing
| Affaire N° : | 2024-B101 |
| Ouvrage : | Immeuble R+4 |
| Élément : | Poutre PH RDC |
| Date : | 24/10/2024 |
NOTE DE CALCULS : FERRAILLAGE FLEXION
| Rubrique | Paramètre | Valeur Retenue |
|---|---|---|
| 1. HYPOTHÈSES GÉNÉRALES | ||
| Matériaux | Béton (fck / fcd) | C25/30 (16,67 MPa) |
| Acier (fyk / fyd) | B500B (435 MPa) | |
| Géométrie | Section (b x h) / Portée | 25 x 50 cm / 6,00 m |
| 2. CHARGEMENT (ELU) | ||
| Charges | Permanentes (G) | 15,00 kN/m |
| Exploitation (Q) | 10,00 kN/m | |
| Charge de Calcul (pu) | 35,25 kN/m | |
| 3. RÉSULTATS DE CALCUL | ||
| Sollicitation | Moment Ultime (\(M_{Ed}\)) | 0,159 MN.m |
| Dimensionnement | Hauteur utile (d) | 0,45 m |
| Pivot | Moment réduit (\(\mu_u\)) | 0,188 (Pivot B - OK) |
| Besoins | Section Théorique (\(A_s\)) | 9,07 cm² |
| 4. DÉCISION TECHNIQUE & FERRAILLAGE | ||
| SECTION RETENUE (Lit Inférieur) | 3 HA 20 | |
| Section Réelle | 9,42 cm² | |
| Taux de travail | 96% (Optimisé) | |
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