Études de cas pratique

EGC

Comportement en flexion d’une poutre

Comportement en Flexion d’une Poutre en Béton Armé

Introduction à l'Analyse des Poutres Fléchies

L'analyse du comportement en flexion d'une poutre en béton armé à l'État Limite de Service (ELS) est cruciale pour vérifier que les contraintes dans les matériaux (béton comprimé et acier tendu) restent dans des limites admissibles, afin de maîtriser la fissuration et d'assurer la durabilité et le bon fonctionnement de la structure. Cette analyse suppose généralement un comportement élastique linéaire des matériaux et l'hypothèse de Navier-Bernoulli (les sections planes restent planes après déformation).

Données de l'étude

On étudie une section rectangulaire d'une poutre en béton armé soumise à un moment fléchissant de service.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(25 \, \text{cm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(50 \, \text{cm}\)
  • Hauteur utile (\(d\)) : \(45 \, \text{cm}\) (distance fibre supérieure - centre aciers tendus)
  • Section d'aciers tendus (\(A_s\)) : 3 HA 16 (calculer la section)
  • Béton : C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Module d'Young de l'acier (\(E_s\)) : \(200 \, \text{GPa}\)
  • Module d'Young sécant du béton (\(E_{cm}\)) : \(31 \, \text{GPa}\) (valeur indicative pour C25/30)

Sollicitations (ELS) :

  • Moment fléchissant de service (combinaison fréquente) : \(M_{ser} = 100 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Hypothèse : On néglige les aciers comprimés. On considère la section fissurée (le béton tendu ne résiste pas à la traction). On utilise la méthode de la section homogénéisée.

Schéma : Section et Diagrammes Contraintes/Déformations (ELS)
Section As (3HA16) y b=25cm h=50cm d=45cm Contraintes ELS \(\sigma_{bc}\) \(\sigma_{s}\) y

Section de poutre et diagramme triangulaire des contraintes à l'ELS (béton tendu négligé).

Questions à traiter

  1. Calculer la section d'acier tendu \(A_s\) (3 HA 16).
  2. Calculer le coefficient d'équivalence acier-béton (\(n\)). On prendra \(n=15\) comme valeur forfaitaire simplifiée (ou calculer \(n = E_s / E_{cm}\)).
  3. Déterminer la position de l'axe neutre (\(y\)) par rapport à la fibre la plus comprimée, en résolvant l'équation du moment statique de la section homogénéisée par rapport à l'axe neutre : \(b \frac{y^2}{2} = n A_s (d-y)\).
  4. Calculer le moment d'inertie (\(I_{hom}\)) de la section homogénéisée fissurée par rapport à son axe neutre : \(I_{hom} = \frac{b y^3}{3} + n A_s (d-y)^2\).
  5. Calculer la contrainte maximale dans le béton comprimé (\(\sigma_{bc}\)) : \(\sigma_{bc} = \frac{M_{ser}}{I_{hom}} y\).
  6. Calculer la contrainte dans les aciers tendus (\(\sigma_s\)) : \(\sigma_s = n \frac{M_{ser}}{I_{hom}} (d-y)\).

Correction : Comportement en Flexion d'une Poutre

Question 1 : Section d'Acier Tendu (\(A_s\))

Principe :

La section totale d'acier est la somme des sections des barres individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :

Section d'une barre HA 16 (\(\phi=16\) mm) :

\[A_{\phi 16} = \frac{\pi \phi^2}{4} = \frac{\pi (16 \, \text{mm})^2}{4}\]

Section totale d'acier (\(A_s\)) :

\[A_s = \text{Nombre de barres} \times A_{\phi 16}\]
Données spécifiques :
  • Armatures : 3 HA 16
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\phi 16} &= \frac{\pi \times (16)^2}{4} \\ &\approx 201.06 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_s &= 3 \times 201.06 \, \text{mm}^2 \\ &= 603.18 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_s \approx 6.03 \, \text{cm}^2\)

Résultat Question 1 : La section d'acier tendu est \(A_s \approx 603.18 \, \text{mm}^2\) (ou 6.03 cm²).

Question 2 : Coefficient d'Équivalence (\(n\))

Principe :

Le coefficient d'équivalence \(n\) permet de transformer la section d'acier en une section équivalente de béton pour les calculs élastiques. Il est le rapport des modules d'Young.

Formule(s) utilisée(s) :
\[n = \frac{E_s}{E_{cm}}\]

Une valeur forfaitaire \(n=15\) est souvent utilisée en l'absence d'informations précises ou pour simplifier (correspondant à un fluage partiel).

Données spécifiques :
  • \(E_s = 200 \, \text{GPa} = 200000 \, \text{MPa}\)
  • \(E_{cm} = 31 \, \text{GPa} = 31000 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{200000 \, \text{MPa}}{31000 \, \text{MPa}} \\ &\approx 6.45 \end{aligned} \]

Nous utiliserons la valeur forfaitaire \(n=15\) comme demandé implicitement par les pratiques courantes simplifiées, bien que le calcul donne \(n \approx 6.45\).

\[ n = 15 \]
Résultat Question 2 : Le coefficient d'équivalence utilisé est \(n = 15\).

Question 3 : Position de l'Axe Neutre (\(y\))

Principe :

La position de l'axe neutre est déterminée en égalant les moments statiques de la section de béton comprimé et de la section d'acier tendu homogénéisée (\(n A_s\)) par rapport à cet axe neutre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[b \frac{y^2}{2} = n A_s (d-y)\]

Ceci est une équation du second degré en \(y\): \(\frac{b}{2} y^2 + n A_s y - n A_s d = 0\)

Données spécifiques (unités cm) :
  • \(b = 25 \, \text{cm}\)
  • \(n = 15\)
  • \(A_s \approx 6.03 \, \text{cm}^2\)
  • \(d = 45 \, \text{cm}\)
Calcul :

Termes de l'équation :

\[ \frac{b}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \, \text{cm} \]
\[ n A_s = 15 \times 6.03 = 90.45 \, \text{cm}^2 \]
\[ n A_s d = 90.45 \times 45 = 4070.25 \, \text{cm}^3 \]

Équation : \(12.5 y^2 + 90.45 y - 4070.25 = 0\)

Résolution (forme \(ay^2+by+c=0\)) : \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (90.45)^2 - 4 \times 12.5 \times (-4070.25) \]
\[ \begin{aligned} \Delta &= 8181.2 + 203512.5 \\ &= 211693.7 \end{aligned} \]
\[ \sqrt{\Delta} \approx 460.1 \]
\[ y = \frac{-90.45 \pm 460.1}{2 \times 12.5} = \frac{-90.45 \pm 460.1}{25} \]

On retient la solution positive :

\[ \begin{aligned} y &= \frac{-90.45 + 460.1}{25} \\ &= \frac{369.65}{25} \\ &\approx 14.79 \, \text{cm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La position de l'axe neutre est \(y \approx 14.79 \, \text{cm}\) (ou 147.9 mm).

Question 4 : Moment d'Inertie Homogénéisée (\(I_{hom}\))

Principe :

Le moment d'inertie de la section homogénéisée fissurée est calculé par rapport à l'axe neutre trouvé. Il est la somme de l'inertie de la zone de béton comprimé et de l'inertie de la section d'acier homogénéisée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{hom} = \frac{b y^3}{3} + n A_s (d-y)^2\]
Données spécifiques (unités cm) :
  • \(b = 25 \, \text{cm}\)
  • \(y \approx 14.79 \, \text{cm}\)
  • \(n = 15\)
  • \(A_s \approx 6.03 \, \text{cm}^2\)
  • \(d = 45 \, \text{cm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d-y &\approx 45 - 14.79 \\ &= 30.21 \, \text{cm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{hom} &\approx \frac{25 \times (14.79)^3}{3} + 15 \times 6.03 \times (30.21)^2 \\ &\approx \frac{25 \times 3235.6}{3} + 90.45 \times 912.64 \\ &\approx 26963 + 82544 \\ &\approx 109507 \, \text{cm}^4 \end{aligned} \]

Conversion en mm⁴ : \(I_{hom} \approx 1.095 \times 10^9 \, \text{mm}^4\)

Résultat Question 4 : Le moment d'inertie de la section homogénéisée fissurée est \(I_{hom} \approx 109507 \, \text{cm}^4\).

Question 5 : Contrainte Maximale dans le Béton (\(\sigma_{bc}\))

Principe :

La contrainte maximale de compression dans le béton se produit à la fibre supérieure (\(distance = y\)) et est calculée avec la formule de la flexion élastique.

Convention : Compression = négative.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{bc} = \frac{M_{ser}}{I_{hom}} y\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{ser} = 100 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 100 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(I_{hom} \approx 1.095 \times 10^9 \, \text{mm}^4\)
  • \(y \approx 147.9 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{bc} &= \frac{100 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{1.095 \times 10^9 \, \text{mm}^4} \times 147.9 \, \text{mm} \\ &\approx 0.0913 \times 147.9 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 13.50 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

La contrainte étant de compression, on note \(\sigma_{bc} \approx -13.50 \, \text{MPa}\).

Résultat Question 5 : La contrainte maximale de compression dans le béton est \(\sigma_{bc} \approx -13.50 \, \text{MPa}\).

Question 6 : Contrainte dans les Aciers Tendus (\(\sigma_s\))

Principe :

La contrainte dans l'acier tendu est calculée en utilisant le coefficient d'équivalence et la distance de l'acier à l'axe neutre (\(d-y\)).

Convention : Traction = positive.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_s = n \times \frac{M_{ser}}{I_{hom}} (d-y)\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(n = 15\)
  • \(M_{ser} = 100 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(I_{hom} \approx 1.095 \times 10^9 \, \text{mm}^4\)
  • \(d = 450 \, \text{mm}\)
  • \(y \approx 147.9 \, \text{mm}\)
  • \(d-y \approx 302.1 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_s &= 15 \times \frac{100 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{1.095 \times 10^9 \, \text{mm}^4} \times (302.1 \, \text{mm}) \\ &\approx 15 \times 0.0913 \times 302.1 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 1.3695 \times 302.1 \, \text{MPa} \\ &\approx 413.7 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La contrainte dans les aciers tendus est \(\sigma_s \approx +413.7 \, \text{MPa}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. À l'ELS, dans une section fléchie en béton armé, quelle partie est généralement négligée dans le calcul des contraintes (hypothèse de la section fissurée) ?

2. Que représente le coefficient d'équivalence \(n\) ?

3. La position de l'axe neutre (\(y\)) dans une section homogénéisée fissurée dépend de :

Glossaire

Flexion Simple
Sollicitation d'une poutre par un moment fléchissant, sans effort normal significatif.
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions normales d'utilisation (fissuration, déformations).
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface (MPa). Positive en traction, négative en compression.
Axe Neutre
Ligne dans la section où la contrainte normale due à la flexion est nulle.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des armatures tendues.
Coefficient d'Équivalence (n)
Rapport des modules d'Young (\(E_s/E_c\)) utilisé pour transformer la section d'acier en une section équivalente de béton dans les calculs élastiques.
Section Homogénéisée
Section fictive constituée uniquement de béton, où l'acier est remplacé par \(n\) fois sa section, utilisée pour les calculs élastiques.
Section Fissurée
Hypothèse de calcul à l'ELS où l'on considère que le béton tendu n'offre aucune résistance à la traction.
Moment d'Inertie Homogénéisée (\(I_{hom}\))
Moment d'inertie de la section homogénéisée fissurée par rapport à son axe neutre.
Module d'Young (E)
Module d'élasticité longitudinale d'un matériau, reliant la contrainte à la déformation en comportement élastique (\(\sigma = E \epsilon\)).
Comportement en Flexion d’une Poutre - Exercice d'Application

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