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Cisaillement simple d’un axe

Cisaillement Simple d’un Axe en RdM

Calcul de Cisaillement Simple d’un Axe

Contexte : La résistance des assemblages, un point critique en Génie Civil.

En Résistance des Matériaux (RdM), la contrainte de cisaillementNotée τ (tau), elle représente une force agissant parallèlement à une surface. Imaginez couper une feuille de papier avec des ciseaux : les lames exercent une contrainte de cisaillement. est une sollicitation fondamentale, particulièrement dans les assemblages (boulons, rivets, axes). Un axe ou un boulon peut céder non pas par étirement, mais en étant "cisaillé" en deux. Comprendre et calculer cette contrainte est essentiel pour garantir la sécurité des liaisons dans les charpentes métalliques, les ponts suspendus ou les machines. Cet exercice se concentre sur le cas d'un axe en double cisaillement, une configuration très courante et efficace.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment une force externe de traction sur un assemblage se traduit par un effort interne de cisaillement dans l'axe. Nous allons passer de l'effort global (la force) à la contrainte locale (la pression interne sur la matière) pour vérifier si le matériau de l'axe est suffisamment résistant. C'est le cœur du métier d'ingénieur structure : s'assurer que chaque composant résiste aux efforts qu'il subit.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier une situation de double cisaillement.
  • Calculer l'effort tranchant dans un axe à partir d'une force extérieure.
  • Déterminer la section cisaillée d'un axe circulaire.
  • Calculer la contrainte de cisaillement moyenne.
  • Appliquer un coefficient de sécurité pour valider le dimensionnement d'un assemblage.

Données de l'étude

On étudie l'assemblage d'un tirant sur une platine via une chape et un axe. Le tirant est soumis à une force de traction F. L'axe qui réalise la liaison est donc sollicité en double cisaillement. On cherche à vérifier la résistance de cet axe.

Schéma de l'assemblage à double cisaillement
F F/2 F/2 Plan 1 Plan 2
Paramètre Symbole Valeur Unité
Force de traction \(F\) 50 \(\text{kN}\)
Diamètre de l'axe \(d\) 20 \(\text{mm}\)
Limite élastique au cisaillement \(\tau_{\text{e}}\) 150 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Déterminer l'effort tranchant \(T\) qui sollicite l'axe.
  2. Calculer la surface \(S\) de la section cisaillée de l'axe.
  3. Calculer la contrainte de cisaillement moyenne \(\tau_{\text{moy}}\) dans l'axe.
  4. Vérifier la sécurité de l'assemblage en calculant le coefficient de sécurité.

Les bases de la Résistance des Matériaux

Avant de résoudre l'exercice, familiarisons-nous avec les concepts du cisaillement.

1. L'Effort Tranchant (T) :
C'est une force interne qui agit parallèlement à la section d'une pièce. Dans notre cas, la force de traction \(F\) sur le tirant cherche à "couper" l'axe. L'effort tranchant est la mesure de cette action de "coupe" à l'intérieur de l'axe.

2. La Contrainte de Cisaillement (\(\tau\)) :
Comme pour la traction, la contrainte est la force divisée par la surface sur laquelle elle s'applique. La contrainte de cisaillement est donc l'effort tranchant \(T\) divisé par l'aire de la section cisaillée \(S\). \[ \tau = \frac{T}{S} \] Elle s'exprime en Pascals (\(\text{Pa}\)) ou Mégapascals (\(\text{MPa}\)).

3. Simple vs. Double Cisaillement :
- Simple cisaillement : L'axe n'est coupé qu'en un seul endroit (une seule section reprend l'effort). L'effort tranchant est \(T = F\).
- Double cisaillement : L'axe est coupé en deux endroits (deux sections reprennent l'effort). C'est le cas de notre chape. L'effort est réparti sur deux sections, donc l'effort tranchant dans chaque section est divisé par deux : \(T = F/2\). Cette configuration est beaucoup plus résistante.

Correction : Calcul de Cisaillement d'un Axe

Question 1 : Déterminer l'effort tranchant (T)

Principe (le concept physique)

L'effort tranchant est la force interne que la matière doit générer pour résister à la "coupe". Dans un assemblage en double cisaillement, la force externe \(F\) est équilibrée par deux sections de l'axe. Par symétrie, chaque section reprend la moitié de l'effort total. L'effort tranchant \(T\) est donc la moitié de la force appliquée \(F\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En appliquant le Principe Fondamental de la Statique à un tronçon isolé de l'axe, on constate que pour maintenir l'équilibre, la somme des forces doit être nulle. La force \(F\) tirant sur la partie centrale doit être contrebalancée par deux efforts internes \(T\) dans les sections coupées, d'où \(F - 2T = 0\), ce qui mène à \(T = F/2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous essayez de couper une carotte. La force que vous appliquez avec le couteau est la force externe. La résistance interne de la carotte à la coupe est l'effort tranchant. Le double cisaillement, c'est comme utiliser deux couteaux en même temps (un dessus, un dessous) : chaque couteau n'a besoin que de la moitié de l'effort pour couper.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (EN 1993-1-8), qui régit le calcul des assemblages en acier, définit précisément comment calculer la résistance au cisaillement des boulons et des axes. Le principe de répartir la charge sur le nombre de sections cisaillées est un fondement de cette norme.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un cas de double cisaillement :

\[ T = \frac{F}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge F est appliquée sans excentricité, que la chape est rigide et que la charge se répartit équitablement sur les deux sections de l'axe. On néglige les frottements entre les pièces.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force de traction, \(F = 50 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Convertissez toujours les kiloNewtons (\(\text{kN}\)) en Newtons (\(\text{N}\)) pour les calculs afin d'être cohérent avec les Mégapascals (\(\text{MPa}\)), qui sont des \(\text{N/mm}^2\). 1 \(\text{kN}\) = 1000 \(\text{N}\).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Corps Isolé de l'Axe
FT = ?T = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Convertir la force en Newtons :

\[ \begin{aligned} F &= 50 \, \text{kN} \\ &= 50 \times 1000 \\ &= 50000 \, \text{N} \end{aligned} \]

2. Calculer l'effort tranchant :

\[ \begin{aligned} T &= \frac{50000 \, \text{N}}{2} \\ &= 25000 \, \text{N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Équilibre des Forces sur l'Axe
50000 NT = 25000 NT = 25000 N
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque section de l'axe doit résister à un effort de "coupe" de 25 000 N (ou 25 kN). C'est cette force interne, et non la force externe de 50 kN, qui sera utilisée pour calculer la contrainte dans le matériau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de diviser la force par deux dans un cas de double cisaillement. Cela mènerait à une contrainte deux fois trop élevée et à un sous-dimensionnement dangereux de la pièce.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Identifier le nombre de sections cisaillées (1 pour simple, 2 pour double).
  • L'effort tranchant T est la force externe F divisée par le nombre de sections.
  • Pour une chape, T = F/2.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les rivets, massivement utilisés pour construire la Tour Eiffel ou le Titanic, travaillaient principalement en cisaillement. Posés à chaud, ils se contractaient en refroidissant, créant une forte précontrainte qui serrait les tôles l'une contre l'autre, améliorant encore la résistance de l'assemblage.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la force F était appliquée dans l'autre sens (compression) ?

Pour l'axe, cela ne changerait absolument rien. Il serait toujours sollicité en double cisaillement avec un effort tranchant T = F/2. La direction de la force externe ne change pas la nature du cisaillement dans l'axe de liaison.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort tranchant dans chaque section cisaillée de l'axe est de 25 000 N.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la force F était de 80 kN, quel serait l'effort tranchant T en N ?

Question 2 : Calculer la surface cisaillée (S)

Principe (le concept physique)

La surface cisaillée est l'aire de la section transversale de l'axe. C'est sur cette surface que l'effort tranchant agit. Pour un axe cylindrique, cette section est un disque. Son aire dépend uniquement du diamètre de l'axe.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'aire d'un cercle est une formule géométrique de base, \(A = \pi r^2\). Comme le diamètre \(d\) est deux fois le rayon (\(d = 2r\)), on peut substituer \(r = d/2\) dans la formule, ce qui donne \(A = \pi (d/2)^2 = \pi d^2 / 4\). Cette dernière forme est souvent plus directe à utiliser car les diamètres sont généralement les données d'entrée en ingénierie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que l'axe se rompe sous l'effet du cisaillement. La surface de rupture que vous verriez serait un cercle parfait. C'est l'aire de ce cercle que nous calculons. Plus cette surface est grande, plus il y a de "matière" pour résister à l'effort de coupe.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul (comme l'Eurocode 3) précisent quelle aire utiliser. Pour un axe lisse comme ici, on utilise l'aire brute de la section. Pour des boulons filetés, la rupture se produit à la section la plus faible, c'est-à-dire au fond des filets. On doit alors utiliser une "aire résistante" (\(A_{\text{s}}\)) plus petite, fournie par les fabricants.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'aire S d'un disque de diamètre d est :

\[ S = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'axe est parfaitement cylindrique, plein et que sa section est constante sur toute sa longueur. Le matériau est considéré comme homogène.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre de l'axe, \(d = 20 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, on peut approximer \(\pi\) par 3.14. L'aire serait \(3.14 \times 20^2 / 4 = 314\) mm². C'est souvent suffisant pour une première estimation, mais utilisez la valeur de \(\pi\) de votre calculatrice pour le résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Section Cisaillée de l'Axe
d = 20 mmS = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec le diamètre en mm. Le résultat sera en mm².

\[ \begin{aligned} S &= \frac{\pi \cdot (20 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 400}{4} \\ &= 100\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 314.16 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Aire de la Section Cisaillée
S ≈ 314 mm²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette surface de 314 mm² est le "champ de bataille" sur lequel l'effort tranchant de 25 000 N est réparti. La relation entre cette force et cette surface va nous donner la contrainte, qui est l'indicateur clé de la sollicitation du matériau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de confondre le rayon et le diamètre dans la formule. Si vous utilisez \(\pi r^2\) avec le diamètre, votre surface sera 4 fois trop grande et votre contrainte 4 fois trop faible, ce qui est très dangereux. Utilisez toujours la formule cohérente avec votre donnée d'entrée (\(d\) ou \(r\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La surface cisaillée d'un axe est l'aire de sa section transversale.
  • Pour un cercle, \(S = \pi d^2 / 4\).
  • Cette surface est perpendiculaire à l'axe de la pièce.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le "poinçonnement" est un mode de rupture par cisaillement. C'est ce qui se passe quand une colonne traverse une dalle en béton. La surface de cisaillement n'est plus un disque, mais la surface latérale d'un cylindre : le périmètre de la colonne multiplié par l'épaisseur de la dalle.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne prend-on pas en compte la surface latérale de l'axe ?

La surface latérale de l'axe est en contact avec la chape et le tirant (pression de contact ou "matage"), mais elle n'est pas la surface qui résiste à la "coupe". La rupture par cisaillement se produit à travers la section de l'axe, perpendiculairement à sa longueur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La surface de chaque section cisaillée est d'environ 314.16 mm².
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le diamètre de l'axe était de 10 mm, quelle serait la surface cisaillée en mm² (arrondir à 2 décimales) ?

Question 3 : Calculer la contrainte de cisaillement moyenne (\(\tau_{\text{moy}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte de cisaillement est la "densité" de l'effort sur la section. Elle représente la force interne par unité de surface. En divisant l'effort tranchant \(T\) par la surface sur laquelle il s'applique \(S\), on obtient la contrainte moyenne. C'est cette valeur que l'on comparera à la résistance du matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte est un concept fondamental qui permet de s'affranchir de la taille de la pièce. Deux axes de diamètres différents soumis à des forces différentes peuvent avoir la même contrainte interne. C'est la contrainte, et non la force, qui est directement comparable à la résistance intrinsèque du matériau (exprimée aussi en contrainte, comme la limite élastique).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la contrainte comme à une pression. Si 10 personnes (force) se tiennent sur une petite planche (surface), la pression sur la planche est élevée. Si les mêmes 10 personnes se répartissent sur une grande terrasse, la pression est faible. La contrainte de cisaillement, c'est la "pression de coupe" à l'intérieur de la matière.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de conception, comme les Eurocodes, sont entièrement basées sur la comparaison des contraintes de calcul (\(\tau_{\text{Ed}}\), incluant les coefficients de sécurité sur les charges) avec les contraintes de résistance de calcul (\(\tau_{\text{Rd}}\), incluant les coefficients de sécurité sur les matériaux).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \tau_{\text{moy}} = \frac{T}{S} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse principale est que la contrainte est uniformément répartie sur toute la section cisaillée. C'est une simplification, car en réalité la contrainte est maximale au centre de la section, mais c'est l'approche standard et sécuritaire pour le dimensionnement des assemblages.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort tranchant, \(T = 25000 \, \text{N}\) (de Q1)
  • Surface cisaillée, \(S \approx 314.16 \, \text{mm}^2\) (de Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Si vous utilisez la force en Newtons (N) et la surface en millimètres carrés (mm²), le résultat de la contrainte sera directement en Mégapascals (MPa), car 1 MPa = 1 N/mm². C'est l'unité la plus pratique pour les calculs de structure.

Schéma (Avant les calculs)
Effort Tranchant sur la Section
T = 25000 Nτ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \tau_{\text{moy}} &= \frac{25000 \, \text{N}}{314.16 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 79.58 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 79.6 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Moyenne sur la Section
τ ≈ 79.6 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La matière de l'axe, au niveau des deux plans de cisaillement, subit une "pression de coupe" interne de près de 80 MPa. Cette valeur, en elle-même, ne signifie rien si on ne la compare pas à la capacité de résistance du matériau, ce qui est l'objet de la dernière question.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande source d'erreur est la gestion des unités. Si vous mélangez des kN avec des mm², vous obtiendrez un résultat en GPa, soit 1000 fois trop grand. Soyez méthodique : convertissez toutes les forces en N et toutes les longueurs en mm.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de cisaillement est la force par unité de surface : \(\tau = T/S\).
  • Elle mesure l'intensité de la sollicitation interne du matériau.
  • L'utilisation d'unités cohérentes (N, mm) donne un résultat directement en MPa.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les fluides ont aussi une contrainte de cisaillement, qui est liée à leur viscosité. Quand le vent souffle sur un lac, il exerce une contrainte de cisaillement à la surface de l'eau, ce qui crée les vagues. C'est le même concept physique, appliqué à un autre domaine.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette contrainte est-elle la seule dans l'axe ?

Non. L'axe est aussi soumis à de la flexion entre les points d'application des forces, ce qui génère des contraintes normales (traction/compression). De plus, il y a des contraintes de contact (matage) là où l'axe appuie sur la chape et le tirant. Pour un axe court, le cisaillement est souvent prédominant, mais une analyse complète vérifierait tous ces modes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement moyenne dans l'axe est d'environ 79.6 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec un effort tranchant T de 30 000 N et une surface S de 500 mm², quelle serait la contrainte \(\tau\) en MPa ?

Question 4 : Vérifier la sécurité de l'assemblage

Principe (le concept physique)

La vérification de la sécurité consiste à s'assurer qu'il existe une marge suffisante entre la contrainte que subit la pièce et la contrainte maximale que le matériau peut endurer avant de céder. Cette marge est quantifiée par le coefficient de sécurité. Un coefficient supérieur à 1 est nécessaire, et les normes imposent souvent des valeurs minimales (par exemple 1.5 ou 2) pour tenir compte des incertitudes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le coefficient de sécurité est un concept clé de l'ingénierie qui permet de gérer les incertitudes. Celles-ci peuvent être liées aux charges (seront-elles plus élevées que prévu ?), à la résistance du matériau (sera-t-elle plus faible que la valeur nominale ?), ou aux imperfections du modèle de calcul (notre formule de contrainte moyenne est une simplification).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au coefficient de sécurité comme à une "marge de manœuvre". Si votre budget pour une course est de 100€ (résistance) et que vous prévoyez de dépenser 80€ (sollicitation), votre coefficient de sécurité est de 100/80 = 1.25. Vous avez une marge de 25%. En ingénierie, on veut s'assurer que cette marge est suffisante pour couvrir les imprévus.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction (Eurocodes, etc.) définissent des approches de calcul aux "états limites". On vérifie que la sollicitation de calcul (\(\tau_{\text{Ed}}\), incluant les coefficients de sécurité sur les charges) est inférieure à la résistance de calcul (\(\tau_{\text{Rd}}\), incluant les coefficients de sécurité sur les matériaux).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le coefficient de sécurité (s) est le rapport entre la résistance du matériau et la contrainte appliquée :

\[ s = \frac{\text{Résistance du matériau}}{\text{Contrainte appliquée}} = \frac{\tau_{\text{e}}}{\tau_{\text{moy}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la limite élastique au cisaillement \(\tau_{\text{e}}\) fournie est une valeur caractéristique fiable pour le matériau de l'axe et que le mode de rupture prédominant est bien le cisaillement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Limite élastique au cisaillement, \(\tau_{\text{e}} = 150 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte calculée, \(\tau_{\text{moy}} \approx 79.6 \, \text{MPa}\) (de Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)

Un coefficient de sécurité inférieur à 1 signifie que la rupture est théoriquement atteinte. Un coefficient entre 1 et 1.5 est souvent considéré comme faible ou risqué dans de nombreuses applications de génie civil. Un bon design vise un coefficient qui respecte les exigences normatives et garantit la tranquillité d'esprit.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte / Résistance
Contrainte τRésistance τe?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} s &= \frac{150 \, \text{MPa}}{79.6 \, \text{MPa}} \\ &\approx 1.88 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Validation de la Sécurité
τ ≈ 79.6 MPaτe = 150 MPas=1.88 > 1 ✔
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le coefficient de sécurité est de 1.88. Puisque \(s > 1\), l'axe résiste à la charge sans rupture. Cette valeur est généralement considérée comme acceptable pour de nombreuses applications en génie civil, offrant une marge de sécurité raisonnable. L'axe pourrait supporter une charge jusqu'à \(50 \times 1.88 = 94\) kN avant d'atteindre sa limite élastique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier de vérifier que le coefficient de sécurité est bien supérieur à 1. Une erreur courante est d'inverser le rapport (\(\tau_{\text{moy}} / \tau_{\text{e}}\)), ce qui conduirait à une conclusion erronée. Le coefficient de sécurité doit toujours être la résistance divisée par la sollicitation.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le coefficient de sécurité mesure la marge entre la résistance et la sollicitation.
  • Formule : \(s = \text{Résistance} / \text{Contrainte}\).
  • Un assemblage est sûr si son coefficient de sécurité est supérieur à la valeur minimale requise (et toujours > 1).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans des domaines comme l'aéronautique, on parle parfois de "marge de sécurité" (MS = s - 1). Une marge de sécurité de 0.5 équivaut à un coefficient de sécurité de 1.5. Une marge de sécurité positive indique que la conception est sûre.

FAQ (pour lever les doutes)
Un coefficient de sécurité de 10 est-il meilleur qu'un de 2 ?

Pas nécessairement. Un coefficient de 10 signifie que la pièce est très surdimensionnée. Elle est très sûre, mais aussi beaucoup plus lourde et plus chère que nécessaire. L'art de l'ingénieur est de trouver le juste équilibre : un dimensionnement qui garantit la sécurité requise par les normes, sans gaspillage de matière.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de sécurité est de 1.88. L'assemblage est considéré comme sûr.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la limite élastique \(\tau_{\text{e}}\) était de 200 MPa et la contrainte \(\tau_{\text{moy}}\) de 100 MPa, quel serait le coefficient de sécurité ?

Outil Interactif : Paramètres de Cisaillement

Modifiez la force et le diamètre de l'axe pour voir leur influence sur la contrainte et la sécurité.

Paramètres d'Entrée
50 kN
20 mm
Résultats Clés
Contrainte de Cisaillement (MPa) -
Coefficient de Sécurité -

Le Saviez-Vous ?

La distinction entre les contraintes normales (traction/compression) et les contraintes de cisaillement a été formalisée par l'ingénieur et physicien français Charles-Augustin de Coulomb au 18ème siècle. Ses travaux sur la friction et la cohésion des sols sont les fondations de la géotechnique moderne, un domaine où le cisaillement est la principale cause de rupture (glissements de terrain).

Foire Aux Questions (FAQ)

La contrainte de cisaillement est-elle vraiment uniforme sur la section ?

Non, pas exactement. La formule \(\tau = T/S\) donne la contrainte *moyenne*. En réalité, la distribution de la contrainte de cisaillement sur une section circulaire est parabolique, avec un maximum au centre (valant 4/3 de la contrainte moyenne) et nulle sur les bords. Cependant, pour le dimensionnement des assemblages, l'approche par la contrainte moyenne est universellement acceptée car elle est simple et suffisamment sûre.

Quelle est la relation entre la limite élastique en traction (\(\sigma_{\text{e}}\)) et en cisaillement (\(\tau_{\text{e}}\)) ?

Pour les matériaux métalliques ductiles (comme l'acier), on utilise souvent le critère de von Mises qui prédit que la limite en cisaillement est environ 57.7% de la limite en traction. Une règle simplifiée courante est d'utiliser \(\tau_{\text{e}} \approx 0.6 \cdot \sigma_{\text{e}}\). Donc, pour un acier avec \(\sigma_{\text{e}} = 250 \, \text{MPa}\), on estimerait \(\tau_{\text{e}} \approx 150 \, \text{MPa}\), la valeur utilisée dans notre exercice.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on remplace l'axe par un autre de diamètre deux fois plus grand, la contrainte de cisaillement sera...

2. Dans un assemblage en simple cisaillement, avec la même force F et le même axe, la contrainte serait...

Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Force interne par unité de surface agissant parallèlement à la section. Elle tend à faire glisser les plans de matière les uns sur les autres. Unité : Pascal (Pa).
Effort Tranchant (T)
Résultante des forces de cisaillement sur une section. C'est l'effort interne qui s'oppose à la "coupe" de la pièce. Unité : Newton (N).
Double Cisaillement
Configuration d'assemblage où un élément de liaison (axe, boulon) est cisaillé simultanément dans deux sections transversales distinctes, répartissant ainsi l'effort.
Cisaillement Simple d’un Axe en RdM

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