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Choix de Profilés Métalliques

Choix de Profilés Métalliques en Structure Métallique

Choix de Profilés Métalliques en Structure

Contexte : L'art de choisir le bon profilé pour une structure optimisée.

En construction métalliqueDomaine du génie civil qui se concentre sur la conception et la construction de structures utilisant l'acier comme matériau principal., le choix du bon profilé (comme un IPE, HEA, etc.) est une décision critique qui influence la sécurité, le coût et l'efficacité d'une structure. Un profilé sous-dimensionné peut entraîner une rupture, tandis qu'un profilé surdimensionné gaspille du matériau et augmente inutilement le poids et le coût. L'ingénieur doit donc sélectionner le profilé le plus léger possible qui satisfait simultanément aux critères de résistanceCapacité d'une structure ou d'un de ses composants à supporter les charges appliquées sans subir de défaillance (rupture, plastification excessive). (ne pas casser) et de serviceAptitude d'une structure à remplir sa fonction dans des conditions normales d'utilisation. Cela inclut des critères de confort comme la limitation des vibrations ou de la flèche. (ne pas trop se déformer). Cet exercice vous guidera dans le processus de sélection d'un profilé IPE pour un plancher simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de dimensionnement fondamentale en génie des structures. À partir de charges définies (poids du plancher, charges d'exploitation), nous allons calculer les efforts internes (effort tranchant, moment fléchissant) pour ensuite choisir un élément structurel dans un catalogue qui peut résister à ces efforts tout en respectant les limites de déformation.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'effort tranchantEffort interne dans une poutre qui mesure la tendance des forces externes à la faire cisailler ou "couper" transversalement. Unité : N ou kN. et le moment fléchissantEffort interne dans une poutre qui mesure la tendance des forces externes à la faire fléchir. Il est maximal là où la contrainte de flexion est la plus forte. Unité : N·m ou kN·m. maximaux pour une charge répartie.
  • Déterminer le module de résistance plastiqueCaractéristique géométrique d'une section qui définit sa capacité à résister au moment fléchissant en régime plastique. Il est utilisé pour le calcul de la résistance ultime en flexion. Unité : cm³ ou mm³. requis pour un profilé.
  • Sélectionner un profilé approprié dans un catalogue (extrait).
  • Vérifier la résistance du profilé choisi vis-à-vis du moment fléchissant et de l'effort tranchant.
  • Vérifier que la flèche du profilé reste dans les limites admissibles.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner une solive de plancher en acier S235. La solive est modélisée comme une poutre sur deux appuis simples, soumise à une charge uniformément répartie \(q\). Cette charge inclut le poids propre du plancher et les charges d'exploitation.

Schéma de la poutre et son chargement
q L = 6.0 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée entre appuis \(L\) 6.0 \(\text{m}\)
Charge uniformément répartie \(q\) 5.0 \(\text{kN/m}\)
Nuance de l'acier - S235 -
Limite d'élasticité de l'acier \(f_y\) 235 \(\text{MPa}\)
Module de Young de l'acier \(E\) 210 \(\text{GPa}\)
Limite de flèche admissible \(f_{\text{adm}}\) \(L / 300\) -

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort tranchant maximal (\(V_{\text{Ed}}\)) et le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{Ed}}\)).
  2. Déterminer le module de résistance plastique requis (\(W_{\text{pl,y,req}}\)) pour résister au moment fléchissant.
  3. À l'aide de l'extrait du catalogue ci-dessous, choisir le profilé IPE le plus léger qui satisfait le critère de résistance en flexion.
  4. Vérifier la résistance à l'effort tranchant du profilé choisi.
  5. Vérifier que la flèche du profilé est inférieure à la limite admissible.
Extrait du Catalogue de Profilés IPE
Profilé Masse (kg/m) \(W_{\text{pl,y}}\) (cm³) \(I_y\) (cm⁴) \(A_v\) (cm²)
IPE 14012.992.3541.27.03
IPE 16015.8130.7869.38.77
IPE 18018.8179.8131710.4
IPE 20022.4239.5194312.4
IPE 22026.2306.9277214.4

Les bases du Calcul de Structures Métalliques

Avant de commencer, rappelons les formules essentielles pour une poutre sur appuis simples avec une charge répartie \(q\).

1. Efforts Internes (Tranchant et Moment) :
Pour une charge \(q\) sur une portée \(L\), les efforts maximaux se calculent comme suit : \[ V_{\text{max}} = \frac{q \cdot L}{2} \quad (\text{aux appuis}) \] \[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \quad (\text{à mi-portée}) \]

2. Résistance en Flexion (Eurocode 3) :
La résistance en flexion d'un profilé est vérifiée si : \(M_{\text{Ed}} \le M_{\text{pl,Rd}}\). Le moment résistant plastique est donné par : \[ M_{\text{pl,Rd}} = \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{M0}} \] Où \(W_{\text{pl,y}}\) est le module plastique, \(f_y\) la limite élastique et \(\gamma_{M0}\) un coefficient de sécurité (pris égal à 1.0 ici).

3. Flèche Maximale :
La flèche maximale pour ce cas de charge est donnée par la formule : \[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \] Où \(E\) est le module de Young et \(I_y\) le moment quadratique de la section. Il est crucial d'utiliser des unités cohérentes pour ce calcul.

Correction : Choix de Profilés Métalliques en Structure

Question 1 : Calculer les efforts maximaux (V_Ed et M_Ed)

Principe (le concept physique)

Les charges appliquées sur la poutre (poids propre, charges d'exploitation) génèrent des efforts internes. L'effort tranchant représente la tendance de la poutre à se "cisailler", tandis que le moment fléchissant représente sa tendance à se "plier". Pour dimensionner correctement la poutre, nous devons d'abord trouver les valeurs maximales de ces efforts, car c'est là que la poutre est la plus sollicitée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les diagrammes des efforts internes permettent de visualiser la variation de V et M le long de la poutre. Pour une charge répartie, le diagramme de l'effort tranchant est linéaire (il passe de +qL/2 à -qL/2) et le diagramme du moment fléchissant est parabolique, avec un sommet (le maximum) à mi-portée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que la poutre est une étagère chargée de livres. L'effort tranchant est maximal près des équerres qui la soutiennent (les appuis). Le moment fléchissant, lui, est maximal au centre, là où l'étagère a le plus envie de "plier" vers le bas.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules utilisées ici sont des résultats fondamentaux de la statique du solide. Les normes de calcul, comme l'Eurocode 1, définissent les valeurs des charges (q) à prendre en compte, tandis que l'Eurocode 3 définit comment calculer la résistance de la structure à ces efforts.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une charge uniformément répartie \(q\) sur une portée \(L\) :

\[ V_{\text{Ed}} = \frac{q \cdot L}{2} \quad \text{et} \quad M_{\text{Ed}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est parfaitement isostatique (appuis simples parfaits), que la charge est parfaitement répartie et que le poids propre du profilé est négligé dans un premier temps (il est généralement faible par rapport aux autres charges).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie, \(q = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs d'unités, il est pratique de travailler en kN et en mètres. Le résultat pour l'effort tranchant sera en kN et pour le moment fléchissant en kN·m. Ces unités sont standards dans le domaine du bâtiment.

Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes des Efforts (Forme Attendue)
Effort Tranchant (V)+V_max?-V_max?Moment Fléchissant (M)M_max?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'effort tranchant maximal :

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{5.0 \, \text{kN/m} \cdot 6.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 15 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{5.0 \, \text{kN/m} \cdot (6.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{5.0 \cdot 36}{8} \\ &= 22.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Efforts (Valeurs Calculées)
Effort Tranchant (V)+15 kN-15 kNMoment Fléchissant (M)22.5 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poutre doit être capable de résister à un effort de cisaillement de 15 kN à ses extrémités et à un moment de flexion de 22.5 kN·m en son centre. Ces deux valeurs sont les "efforts de conception" qui vont nous servir à choisir et à vérifier notre profilé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le carré sur la longueur L dans la formule du moment. C'est une erreur très fréquente. Le moment varie avec le carré de la portée, ce qui signifie qu'une petite augmentation de la longueur de la poutre a un impact très important sur le moment qu'elle doit supporter.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour une charge répartie : \(V_{\text{max}} = qL/2\) et \(M_{\text{max}} = qL^2/8\).
  • L'effort tranchant est maximal aux appuis.
  • Le moment fléchissant est maximal à mi-portée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La forme parabolique du diagramme du moment fléchissant est la raison pour laquelle les câbles d'un pont suspendu prennent naturellement cette forme. Le câble travaille en traction pure et sa forme épouse parfaitement le "diagramme inversé" des moments pour supporter la charge du tablier.

FAQ (pour lever les doutes)
Ces formules sont-elles toujours valables ?

Non, elles sont valables uniquement pour une poutre sur deux appuis simples avec une charge uniformément répartie. Si la poutre était encastrée à ses extrémités, par exemple, les moments maximaux seraient différents et apparaîtraient aux appuis.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les efforts de conception sont \(V_{\text{Ed}} = 15 \, \text{kN}\) et \(M_{\text{Ed}} = 22.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge \(q\) était de 8 kN/m, quel serait le nouveau moment maximal \(M_{\text{Ed}}\) en kN·m ?

Question 2 : Déterminer le module de résistance plastique requis

Principe (le concept physique)

Le module de résistance plastique (\(W_{\text{pl,y}}\)) est une propriété géométrique qui représente la capacité de la section à résister à la flexion jusqu'à sa plastification complète. Pour s'assurer que la poutre résiste au moment fléchissant calculé, nous devons choisir un profilé dont le module de résistance est au moins égal à une valeur minimale requise. C'est le critère de dimensionnement en flexion.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance d'une section est atteinte lorsque les contraintes atteignent la limite d'élasticité \(f_y\). En calcul élastique, on s'arrête dès que les fibres les plus éloignées atteignent \(f_y\). En calcul plastique, on considère que la section entière peut se plastifier, offrant une capacité supplémentaire. Le module plastique est toujours supérieur au module élastique, ce qui reflète cette réserve de capacité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au module de résistance comme à un "score de robustesse" géométrique. Chaque profilé a son propre score. Notre travail consiste à calculer le "score minimum requis" par la situation (le moment \(M_{\text{Ed}}\)), puis à aller chercher dans le catalogue un profilé dont le score est supérieur ou égal.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (EN 1993-1-1) formalise cette approche. Il stipule que pour les sections de Classe 1 ou 2 (ce qui est le cas des IPE), la résistance en flexion doit être vérifiée à l'aide du module de résistance plastique. Le coefficient de sécurité \(\gamma_{M0}\) est également défini par la norme (généralement 1.0 ou 1.05).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On part de la condition de résistance \(M_{\text{Ed}} \le M_{\text{pl,Rd}}\) et on isole \(W_{\text{pl,y}}\). En prenant \(\gamma_{M0} = 1.0\):

\[ W_{\text{pl,y,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{M0}}{f_y} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le profilé ne sera pas sujet à des instabilités comme le déversement, ce qui est généralement le cas pour une solive de plancher bien maintenue. On utilise la limite d'élasticité nominale de l'acier S235.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de conception, \(M_{\text{Ed}} = 22.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour passer rapidement de \(M_{\text{Ed}}\) en kN·m à \(W_{\text{pl,y,req}}\) en cm³, on peut utiliser un facteur de conversion. Multipliez \(M_{\text{Ed}}\) par 100 (pour passer en kN·cm) puis divisez par \(f_y\) en kN/cm² (soit \(f_y\)\([\text{MPa}]/10\)). La formule rapide est : \(W_{\text{pl,y,req}} \text{[cm³]} = (M_{\text{Ed}} \text{[kN·m]} \times 100) / (f_y \text{[MPa]} / 10)\).

Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Moment et Module de Résistance
Moment Appliqué (M_Ed)Module Requis (W_req)divisé parRésistance (f_y)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités pour être homogènes. Utilisons les kN et les cm :
\(M_{\text{Ed}} = 22.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 2250 \, \text{kN} \cdot \text{cm}\)
\(f_y = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2 = 23.5 \, \text{kN/cm}^2\)

2. Calculer le module requis :

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl,y,req}} &\ge \frac{2250 \, \text{kN} \cdot \text{cm}}{23.5 \, \text{kN/cm}^2} \\ &\ge 95.74 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Seuil de Sélection du Profilé
0W_pl,y (cm³)95.74 cm³Zone OK
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 95.74 cm³ est notre cible. C'est la valeur minimale que nous devons trouver dans la colonne \(W_{\text{pl,y}}\) du catalogue de profilés pour que la condition de résistance en flexion soit respectée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune ici est la gestion des unités. Le moment est en kN·m et la limite élastique en MPa (qui est équivalent à N/mm²). Il faut impérativement convertir les unités pour qu'elles soient cohérentes. Une bonne pratique est de tout convertir en N et mm, ou en kN et cm.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le module plastique \(W_{\text{pl,y}}\) caractérise la résistance géométrique à la flexion.
  • La condition de base est : \(W_{\text{pl,y,req}} \ge M_{\text{Ed}} / f_y\).
  • Une gestion rigoureuse des unités est essentielle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour une section rectangulaire, le module plastique \(W_{\text{pl}}\) vaut \(bh^2/4\), tandis que son module élastique \(W_{\text{el}}\) vaut \(bh^2/6\). Le ratio \(W_{\text{pl}}/W_{\text{el}}\) est de 1.5. Cela signifie qu'une section rectangulaire possède une réserve de capacité plastique de 50% par rapport à sa limite élastique. Pour les profilés en I, ce ratio est plus faible, de l'ordre de 1.12 à 1.18.

FAQ (pour lever les doutes)
Dois-je toujours utiliser le calcul plastique ?

Non. Le calcul plastique n'est autorisé que pour les sections dites "de Classe 1 ou 2", qui sont suffisamment compactes pour ne pas voiler localement avant d'atteindre leur pleine capacité plastique. Pour les sections plus élancées ("de Classe 3 ou 4"), on doit utiliser le module élastique ou des méthodes de calcul plus complexes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé IPE choisi doit avoir un module de résistance plastique \(W_{\text{pl,y}}\) d'au moins 95.74 cm³.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'on utilisait un acier plus résistant (S355, \(f_y = 355\) MPa), quel serait le nouveau module requis en cm³ ?

Question 3 : Choisir le profilé IPE adéquat

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons le module de résistance minimal requis, nous pouvons consulter un catalogue de profilés. L'objectif est de choisir le profilé le plus économique, c'est-à-dire celui qui est le plus léger (masse par mètre la plus faible) tout en respectant la condition \(W_{\text{pl,y}} \ge W_{\text{pl,y,req}}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les catalogues de profilés sont des outils essentiels pour les ingénieurs. Ils listent toutes les caractéristiques géométriques (hauteur, largeur, épaisseurs), les propriétés de section (aire, moments quadratiques, modules de résistance) et le poids par mètre pour chaque profilé standardisé. Le processus de sélection est itératif : on calcule une propriété requise, on choisit un profilé, puis on vérifie toutes les autres conditions.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme choisir des chaussures. Vous connaissez votre pointure minimale (le \(W_{\text{pl,y,req}}\)). Vous regardez les modèles disponibles et vous prenez le premier qui correspond à votre pointure ou juste au-dessus. Prendre une pointure beaucoup plus grande fonctionnerait, mais ce serait inconfortable et plus cher (analogie avec un profilé surdimensionné et plus lourd).

Normes (la référence réglementaire)

Les dimensions et propriétés des profilés en acier laminés à chaud sont standardisées au niveau européen par la norme EN 10365. Cela garantit que, quel que soit le fabricant, un "IPE 160" aura toujours les mêmes caractéristiques, assurant l'interchangeabilité et la fiabilité des calculs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il n'y a pas de formule ici, mais une condition de sélection :

\[ \text{Choisir le profilé avec la plus faible masse tel que } W_{\text{pl,y}} \ge W_{\text{pl,y,req}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les profilés listés dans l'extrait du catalogue sont disponibles et que leur coût est directement proportionnel à leur masse (ce qui est une bonne approximation).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Module requis, \(W_{\text{pl,y,req}} \ge 95.74 \, \text{cm}^3\)
  • Extrait du catalogue de profilés IPE.
Astuces(Pour aller plus vite)

Parcourez la colonne \(W_{\text{pl,y}}\) du tableau de haut en bas (du plus petit au plus grand profilé) et arrêtez-vous au premier qui dépasse votre valeur requise. C'est forcément le plus léger parmi ceux qui conviennent.

Schéma (Avant les calculs)
Processus de Sélection dans le Catalogue
CatalogueIPE 140 -> 92.3 (Trop petit)IPE 160 -> 130.7 (OK, le 1er !)IPE 180 -> 179.8 (OK, mais plus lourd)Seuil = 95.74
Calcul(s) (l'application numérique)

En regardant le tableau :
- IPE 140 : \(W_{\text{pl,y}} = 92.3 \, \text{cm}^3\) (Insuffisant, car 92.3 < 95.74)
- IPE 160 : \(W_{\text{pl,y}} = 130.7 \, \text{cm}^3\) (Suffisant, car 130.7 > 95.74)
Les profilés supérieurs (IPE 180, 200...) sont également suffisants mais plus lourds. Le choix optimal est donc l'IPE 160.

Schéma (Après les calculs)
Profilé IPE 160 Sélectionné
IPE 160
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le choix se porte sur l'IPE 160. C'est notre candidat. Nous devons maintenant procéder aux vérifications restantes (cisaillement et flèche) pour ce profilé spécifique afin de valider définitivement notre choix.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne vous arrêtez pas à la première vérification ! Un profilé peut être adéquat en flexion mais ne pas passer la vérification de flèche (comme nous le verrons plus tard). Le dimensionnement est un processus complet qui doit valider tous les critères pertinents.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le choix du profilé vise l'optimisation : le plus léger qui satisfait aux exigences.
  • La sélection se fait en comparant une propriété requise à celles listées dans un catalogue.
  • Le profilé choisi est un "candidat" qui doit encore être entièrement vérifié.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe des dizaines de types de profilés : HEA/HEB/HEM (plus larges, pour les poteaux), UPN (en U), cornières (en L)... Chacun est optimisé pour un type de sollicitation particulier. Le choix de la "famille" de profilés est la première étape du travail de l'ingénieur.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si ma valeur requise tombe exactement sur une valeur du tableau ?

En théorie, c'est acceptable. En pratique, les ingénieurs aiment avoir une petite marge de sécurité. Si le ratio d'utilisation est de 1.00, la moindre incertitude sur les charges pourrait rendre le calcul invalide. Il est courant de viser un ratio d'utilisation de 0.90-0.95 pour la flexion.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
On choisit le profilé IPE 160.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le moment \(M_{\text{Ed}}\) avait été de 40 kN·m, quel profilé auriez-vous choisi ?

Question 4 : Vérifier la résistance à l'effort tranchant

Principe (le concept physique)

Après avoir choisi un profilé sur la base de la flexion, il est impératif de vérifier qu'il peut aussi résister aux autres sollicitations, notamment l'effort tranchant. Cette vérification garantit que la poutre ne se cisaillera pas au niveau des appuis, là où cet effort est maximal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans un profilé en I, c'est principalement l'âme (la partie verticale) qui reprend l'effort tranchant. La formule de résistance au cisaillement plastique utilise donc l'aire de l'âme (notée \(A_v\), ou "aire de cisaillement") et un critère de résistance du matériau au cisaillement, qui, selon le critère de von Mises, est égal à \(f_y / \sqrt{3}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est une vérification de sécurité simple mais essentielle. On compare simplement la force de cisaillement que la poutre subit (\(V_{\text{Ed}}\)) à la force maximale de cisaillement qu'elle peut encaisser avant de céder (\(V_{\text{pl,Rd}}\)). La première doit être inférieure à la seconde.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de calcul de \(V_{\text{pl,Rd}}\) est donnée dans la section 6.2.6 de l'Eurocode 3 (EN 1993-1-1). La norme spécifie également comment calculer l'aire de cisaillement \(A_v\) pour différents types de profilés.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La résistance au cisaillement plastique est donnée par :

\[ V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_v \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}} \]

La condition à vérifier est : \(V_{\text{Ed}} \le V_{\text{pl,Rd}}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'âme du profilé ne sera pas sujette au voilement par cisaillement, ce qui est vérifié pour les profilés IPE standards dans la plupart des cas.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour l'IPE 160 :

  • Aire de cisaillement, \(A_v = 8.77 \, \text{cm}^2\)
  • Effort tranchant de calcul, \(V_{\text{Ed}} = 15 \, \text{kN}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 23.5 \, \text{kN/cm}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, la résistance au cisaillement \(f_y / \sqrt{3}\) est approximativement \(0.58 \cdot f_y\). Vous pouvez donc estimer la résistance en faisant \(A_v \cdot 0.58 \cdot f_y\).

Schéma (Avant les calculs)
Vérification au Cisaillement
V_EdEffort AppliquéV_pl,RdRésistance≤ ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} V_{\text{pl,Rd}} &= \frac{8.77 \, \text{cm}^2 \cdot (23.5 \, \text{kN/cm}^2 / \sqrt{3})}{1.0} \\ &\approx 118.9 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification :

\[ 15 \, \text{kN} \le 118.9 \, \text{kN} \quad (\text{OK}) \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification
15 kN118.9 kN≤ ✔
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance au cisaillement du profilé (118.9 kN) est très supérieure à l'effort appliqué (15 kN). Pour les profilés laminés comme les IPE, la résistance à la flexion est presque toujours le critère dimensionnant pour les poutres de portée courante. La vérification au cisaillement est une formalité nécessaire mais rarement critique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier le facteur \(1/\sqrt{3}\) qui est spécifique à la résistance au cisaillement. Utiliser \(f_y\) directement surestimerait la résistance de plus de 70%, ce qui est dangereux. Assurez-vous aussi d'utiliser l'aire de cisaillement \(A_v\) et non l'aire totale de la section.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au cisaillement dépend de l'aire de l'âme (\(A_v\)).
  • La limite d'élasticité en cisaillement est \(f_y / \sqrt{3}\).
  • La vérification est \(V_{\text{Ed}} \le V_{\text{pl,Rd}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres très hautes et fines (poutres à âme pleine soudées), le voilement de l'âme par cisaillement peut devenir le mode de ruine principal. Dans ce cas, des raidisseurs verticaux sont soudés sur l'âme pour l'empêcher de "gondoler", augmentant ainsi sa résistance au cisaillement.

FAQ (pour lever les doutes)
Y a-t-il une interaction entre le moment et l'effort tranchant ?

Oui. Lorsque l'effort tranchant est très élevé (typiquement plus de 50% de la résistance plastique au cisaillement), il peut réduire la capacité de la poutre à résister au moment fléchissant. L'Eurocode 3 fournit des formules pour prendre en compte cette interaction, mais dans la plupart des cas courants de poutres de bâtiment, l'effort tranchant est suffisamment faible pour que cette interaction puisse être négligée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de l'IPE 160 à l'effort tranchant est vérifiée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la résistance au cisaillement \(V_{\text{pl,Rd}}\) d'un IPE 220 en kN ?

Question 5 : Vérifier la flèche

Principe (le concept physique)

C'est la vérification à l'État Limite de Service (ELS). On s'assure que la poutre, bien que suffisamment résistante, ne se déforme pas excessivement au point de causer des désordres (fissuration des cloisons, inconfort des usagers). On compare la flèche maximale calculée à une limite réglementaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La flèche dépend de la charge (\(q\)), de la portée à la puissance 4 (\(L^4\)), et de la rigidité en flexion de la poutre (\(E \cdot I_y\)). La dépendance en \(L^4\) est énorme : doubler la portée d'une poutre multiplie sa flèche par 16 ! C'est pourquoi la flèche devient rapidement le critère le plus difficile à respecter pour les longues portées.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La vérification de la flèche est une question de confort et de durabilité, pas de sécurité immédiate. Une flèche trop importante peut donner une sensation d'insécurité, faire vibrer le plancher, ou endommager des éléments non-structuraux comme les carrelages ou les cloisons. C'est pourquoi les normes imposent des limites strictes.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de flèche sont définies dans les annexes nationales des Eurocodes. Une limite courante pour les planchers est L/250 ou L/300. Pour les consoles (balcons), les limites sont plus sévères (par exemple L/150). Le choix de la limite dépend de l'usage du bâtiment et des matériaux supportés.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \quad \text{et} \quad f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour le calcul de flèche, on utilise les charges de service (non pondérées), car on s'intéresse au comportement de la structure en conditions normales d'utilisation. On utilise les propriétés élastiques du matériau (E et I).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour l'IPE 160 :

  • Moment quadratique, \(I_y = 869.3 \, \text{cm}^4\)
  • Charge, \(q = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
  • Module de Young, \(E = 210 \, \text{GPa}\)
Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La formule de la flèche est très sensible aux unités à cause du terme \(L^4\). Il est indispensable de travailler avec un système d'unités parfaitement cohérent. Convertissons tout en N et mm.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Déformation
f_maxFlèche calculée ≤ Flèche adm ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités en N et mm :
\(q = 5.0 \, \text{kN/m} = 5.0 \, \text{N/mm}\)
\(L = 6.0 \, \text{m} = 6000 \, \text{mm}\)
\(E = 210 \, \text{GPa} = 210000 \, \text{MPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
\(I_y = 869.3 \, \text{cm}^4 = 8693000 \, \text{mm}^4\)

2. Calcul de la flèche maximale :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \cdot (5 \, \text{N/mm}) \cdot (6000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (8693000 \, \text{mm}^4)} \\ &\approx 46.2 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche admissible :

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{6000 \, \text{mm}}{300} \\ &= 20 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Vérification :

\[ 46.2 \, \text{mm} > 20 \, \text{mm} \quad (\text{NON OK}) \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification de Flèche
f_max (46.2 mm) vs f_adm (20 mm)DÉPASSEMENT !Limite
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'IPE 160, bien que parfaitement résistant, ne satisfait pas au critère de flèche. Sa déformation est plus du double de la limite autorisée. C'est un cas très fréquent où le dimensionnement est gouverné par la rigidité (le service) et non par la résistance. Il faut donc recommencer le processus en choisissant un profilé plus rigide (avec un \(I_y\) plus grand).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche est un critère de service (confort), pas de rupture.
  • La flèche est très sensible à la portée (\(L^4\)).
  • Un profilé résistant n'est pas forcément assez rigide.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour réduire la flèche sans changer de profilé, les ingénieurs peuvent utiliser la technique de la "contre-flèche". Cela consiste à fabriquer la poutre avec une courbure initiale vers le haut. Sous l'effet des charges permanentes, la poutre s'aplatit pour devenir (presque) horizontale, annulant ainsi une grande partie de la flèche.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle charge utiliser pour le calcul de flèche ?

Cela dépend de ce que l'on veut vérifier. La flèche due aux charges totales est comparée à une limite (ex: L/250). Mais on vérifie souvent aussi la flèche "active" (due uniquement aux charges variables comme les usagers ou la neige), qui est comparée à une limite plus stricte (ex: L/350) pour éviter les dommages aux éléments fragiles posés après la construction.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé IPE 160 n'est pas acceptable car sa flèche (46.2 mm) dépasse la limite admissible (20 mm). Le critère de déformation gouverne le dimensionnement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel profilé de la liste faudrait-il choisir pour que la flèche soit acceptable ?

Outil Interactif : Dimensionnement de Solive

Utilisez cet outil pour explorer l'influence des paramètres sur le choix du profilé.

Paramètres d'Entrée
5.0 kN/m
6.0 m
Vérifications (Ratio Utilisation)
Résistance en Flexion (M_Ed / M_pl,Rd) -
Résistance au Cisaillement (V_Ed / V_pl,Rd) -
Vérification de la Flèche (f_max / f_adm) -

Le Saviez-Vous ?

Le premier bâtiment à structure entièrement métallique fut le Ditherington Flax Mill en Angleterre, construit en 1797. Ses colonnes et poutres en fonte ont révolutionné la construction en permettant des espaces intérieurs beaucoup plus grands et résistants au feu, ouvrant la voie aux gratte-ciels modernes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on le module plastique (Wpl) et non le module élastique (Wel) ?

Le calcul aux états limites ultimes (pour la résistance) se base sur la capacité maximale de la section. L'acier étant un matériau ductile, il peut se déformer au-delà de sa limite élastique. Le module plastique représente la capacité totale de la section en flexion lorsque toutes ses fibres ont atteint la limite élastique, offrant ainsi une réserve de résistance par rapport au calcul purement élastique.

D'où viennent les coefficients de sécurité comme \(\gamma_{M0}\) ?

Ces coefficients sont définis dans les normes de construction (comme les Eurocodes) et visent à couvrir diverses incertitudes : variations dans les propriétés des matériaux, imprécisions dans les modèles de calcul, et écarts possibles dans la mise en œuvre sur chantier. Ils garantissent que la structure possède une marge de sécurité adéquate.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la portée (L) d'une poutre double, son moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)) est...

2. Le dimensionnement d'une poutre métallique de grande portée est le plus souvent gouverné par...

État Limite Ultime (ELU)
État qui correspond à la capacité portante maximale de la structure. Les vérifications à l'ELU garantissent la sécurité et la non-rupture de la structure.
État Limite de Service (ELS)
État au-delà duquel les critères d'exploitation ou de confort ne sont plus respectés (par exemple, flèche excessive, vibrations, etc.).
Profilé IPE
Type de profilé métallique en forme de "I" (Profilé Européen). Il est optimisé pour la flexion et est très couramment utilisé comme poutre ou solive.
Choix de Profilés Métalliques en Structure

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