Études de cas pratique

EGC

Calculer la variation de longueur des poutres

Calcul de la Variation de Longueur des Poutres

Calcul de la Variation de Longueur des Poutres

Comprendre la Variation de Longueur due à un Effort Axial

Lorsqu'une poutre ou une barre est soumise à un effort axial (traction ou compression), sa longueur change. Si la contrainte résultante reste dans le domaine élastique du matériau, cette variation de longueur est proportionnelle à la contrainte et à la longueur initiale, et inversement proportionnelle au module d'Young (ou module d'élasticité longitudinale) du matériau. Ce phénomène est décrit par la loi de Hooke. Le calcul de l'allongement ou du raccourcissement est fondamental pour la conception et la vérification des structures.

Données de l'étude

Une barre cylindrique en acier est sollicitée en traction par un effort axial \(N = 50 \, \text{kN}\).

Caractéristiques de la barre et du matériau :

  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la section circulaire (\(D_0\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young de l'acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\)

Objectif : Déterminer la variation de longueur (\(\Delta L\)) de la barre sous l'effet de la charge de traction.

Schéma : Barre en Traction et Variation de Longueur
État initial N N L0 = 2 m D0 État déformé (allongé) ΔL

Barre cylindrique soumise à une traction axiale N, montrant l'allongement \(\Delta L\).

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la section transversale de la barre.
  2. Calculer la contrainte axiale (\(\sigma\)) dans la barre.
  3. Calculer la déformation axiale (ou allongement relatif, \(\epsilon\)) de la barre.
  4. Déterminer la variation de longueur totale (\(\Delta L\)) de la barre.

Correction : Calcul de la Variation de Longueur

Question 1 : Aire (\(A\)) de la Section Transversale

Principe :

L'aire d'une section circulaire de diamètre \(D_0\) est donnée par la formule \(A = \pi D_0^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi D_0^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre initial (\(D_0\)) : \(20 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot (20 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 400 \, \text{mm}^2}{4} \\ &= 100\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 314.159 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale est \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte Axiale (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte axiale (\(\sigma\)) est le rapport de l'effort axial normal (\(N\)) à l'aire de la section transversale (\(A\)) sur laquelle il s'applique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{N}{A}\]
Données spécifiques :
  • Effort axial (\(N\)) : \(50 \, \text{kN} = 50000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(100\pi \, \text{mm}^2 \approx 314.159 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{50000 \, \text{N}}{100\pi \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{500}{\pi} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 159.155 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 159.16 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte axiale dans la barre est \(\sigma \approx 159.16 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation Axiale (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale (\(\epsilon\)), ou allongement relatif, est reliée à la contrainte axiale (\(\sigma\)) par le module d'Young (\(E\)) selon la loi de Hooke, pour un comportement élastique linéaire : \(\sigma = E \epsilon\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon = \frac{\sigma}{E}\]
Données spécifiques :
  • Contrainte axiale (\(\sigma\)) : \(\frac{500}{\pi} \, \text{MPa} \approx 159.155 \, \text{MPa}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{159.155 \, \text{MPa}}{210 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &\approx 0.00075788 \end{aligned} \]

La déformation est adimensionnelle.

Résultat Question 3 : La déformation axiale est \(\epsilon \approx 0.000758\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la force appliquée sur la barre doublait, comment la déformation axiale \(\epsilon\) changerait-elle (en supposant un comportement élastique linéaire) ?

Question 4 : Variation de Longueur Totale (\(\Delta L\))

Principe :

La variation de longueur totale (\(\Delta L\)) est le produit de la déformation axiale (\(\epsilon\)) et de la longueur initiale (\(L_0\)). Alternativement, elle peut être calculée directement avec la formule \(\Delta L = \frac{NL_0}{AE}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta L = \epsilon \cdot L_0 \quad \text{ou} \quad \Delta L = \frac{N L_0}{A E}\]
Données spécifiques :
  • Déformation axiale (\(\epsilon\)) : \(0.00075788\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.0 \, \text{m} = 2000 \, \text{mm}\)
  • Ou : \(N=50000 \, \text{N}\), \(A=100\pi \, \text{mm}^2\), \(E=210000 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul (méthode 1) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= 0.00075788 \cdot 2000 \, \text{mm} \\ &\approx 1.51576 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Calcul (méthode 2, plus précise) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{N L_0}{A E} \\ &= \frac{50000 \, \text{N} \cdot 2000 \, \text{mm}}{(100\pi \, \text{mm}^2) \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{100 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}}{21000\pi \cdot 10^6 \, \text{Nmm}} \\ &= \frac{100}{21000\pi} \, \text{mm} \\ &= \frac{1}{210\pi} \, \text{mm} \\ &\approx \frac{100}{65973.4457} \, \text{mm} \\ &\approx 1.515765 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La variation de longueur totale de la barre est \(\Delta L \approx 1.52 \, \text{mm}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. La loi de Hooke relie :

6. Un matériau avec un module d'Young élevé est :

7. La variation de longueur \(\Delta L\) d'une barre en traction est directement proportionnelle à :

Glossaire

Contrainte Axiale (\(\sigma\))
Force normale interne agissant par unité de surface d'une section transversale d'un corps (\(\sigma = N/A\)).
Déformation Axiale (ou Longitudinale, \(\epsilon\))
Mesure du changement relatif de longueur d'un corps sous l'effet d'une contrainte axiale (\(\epsilon = \Delta L / L_0\)). C'est une grandeur adimensionnelle.
Loi de Hooke
Principe de l'élasticité linéaire stipulant que, pour de petites déformations, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation (\(\sigma = E \epsilon\)).
Module d'Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale, il caractérise la rigidité d'un matériau. Il représente le rapport entre la contrainte axiale et la déformation axiale dans le domaine élastique.
Variation de Longueur (\(\Delta L\))
Changement de la longueur d'un objet (allongement ou raccourcissement) dû à une sollicitation externe (force, température, etc.).
Traction
Sollicitation qui tend à étirer ou allonger un corps.
Calcul de la Variation de Longueur des Poutres - Exercice d'Application

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