Calcul de la Variation de Longueur d'un Tirant
Contexte : Maîtriser les déformations axiales pour la sécurité des structures.
En Résistance des Matériaux (RdM), le calcul de la variation de longueur des éléments soumis à des efforts axiaux (traction ou compression) est fondamental. Que ce soit pour les tirants d'un pont suspendu, les poteaux d'un bâtiment ou les barres d'une structure en treillis, il est impératif de prédire leur allongement ou leur raccourcissement sous charge. Ce calcul, basé sur la Loi de HookeLoi fondamentale qui stipule que, dans le domaine élastique, la déformation d'un matériau est proportionnelle à la contrainte appliquée. Le facteur de proportionnalité est le Module de Young (E)., garantit que les déformations restent dans des limites acceptables et que les assemblages entre les différentes pièces de la structure ne sont pas compromis. Cet exercice vous guidera pas à pas dans le calcul de l'allongement d'un tirant en acier.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre l'un des principes les plus fondamentaux de la RdM : la relation entre contrainte et déformation. Nous allons partir d'une force externe pour calculer une contrainte interne, puis utiliser une propriété du matériau (le module E) pour en déduire la déformation, et enfin l'allongement total. C'est le raisonnement de base pour tout dimensionnement en élasticité.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'aire de la section transversale d'une barre circulaire.
- Déterminer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans un élément soumis à un effort axial.
- Appliquer la Loi de Hooke pour calculer la déformation relative (\(\epsilon\)).
- Calculer la variation de longueur totale (\(\Delta L\)) d'un tirant.
- Vérifier que la contrainte de service est inférieure à la limite élastique du matériau.
Données de l'étude
Schéma du Tirant en Traction
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur initiale | \(L_0\) | 3000 | \(\text{mm}\) |
| Diamètre de la section | \(D\) | 20 | \(\text{mm}\) |
| Effort Normal de traction | \(N\) | 50 000 | \(\text{N}\) |
| Module de Young (Acier) | \(E\) | 210 000 | \(\text{MPa}\) |
| Limite élastique (Acier) | \(\sigma_e\) | 355 | \(\text{MPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'aire \(A\) de la section transversale du tirant.
- Calculer la contrainte normale \(\sigma\) dans le tirant.
- Calculer la variation de longueur (allongement) \(\Delta L\) du tirant.
- Vérifier que le matériau reste dans son domaine élastique.
Les bases de la Traction / Compression
Avant la correction, rappelons les concepts fondamentaux de l'effort axial.
1. La Contrainte Normale (\(\sigma\)) :
La contrainte est une mesure de la force interne par unité de surface. Pour un effort normal \(N\) (traction ou compression) appliqué uniformément sur une section d'aire \(A\), la contrainte est constante dans toute la section et vaut :
\[ \sigma = \frac{N}{A} \]
Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou, plus couramment, en Mégapascals (MPa), où 1 MPa = 1 N/mm².
2. La Déformation Relative (\(\epsilon\)) :
La déformation (ou "strain" en anglais) est une mesure de l'allongement ou du raccourcissement relatif d'un matériau. C'est le rapport entre la variation de longueur \(\Delta L\) et la longueur initiale \(L_0\). C'est une grandeur sans dimension.
\[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]
3. La Loi de Hooke et l'Allongement Total :
Cette loi stipule que la contrainte est proportionnelle à la déformation : \(\sigma = E \cdot \epsilon\). En combinant les trois formules, on obtient l'expression directe de l'allongement :
\[ \Delta L = \epsilon \cdot L_0 = \frac{\sigma}{E} \cdot L_0 = \frac{N \cdot L_0}{A \cdot E} \]
Cette formule est l'une des plus importantes de la RdM.
Correction : Calcul de la Variation de Longueur d'un Tirant
Question 1 : Calculer l'aire (A) de la section
Principe (le concept physique)
L'aire de la section transversale est la surface sur laquelle l'effort normal se répartit pour créer la contrainte. C'est une propriété purement géométrique. Pour une même force, une section plus petite subira une contrainte plus grande, et inversement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le calcul de l'aire est une application directe de la géométrie euclidienne. Pour des sections plus complexes (profilés en I, en U, etc.), l'aire totale est la somme des aires des formes rectangulaires simples qui les composent. Ces valeurs sont standardisées et fournies dans les catalogues des fabricants de profilés.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Visualisez l'aire comme le nombre de "fibres" de matière qui travaillent ensemble pour résister à l'effort. Plus il y a de fibres (plus l'aire est grande), plus chaque fibre individuelle est soulagée (la contrainte est plus faible).
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction, comme l'Eurocode 3 pour l'acier, ne dictent pas comment calculer l'aire d'un cercle, mais elles spécifient les dimensions nominales des barres et profilés à utiliser dans les calculs, ainsi que les tolérances de fabrication.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une section circulaire de diamètre \(D\) (ou de rayon \(R = D/2\)) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la section est parfaitement circulaire et constante sur toute la longueur du tirant.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Diamètre de la section, \(D = 20 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour des calculs rapides, on peut parfois approximer \(\pi\) par 3.14. L'aire serait \(3.14 \times 20^2 / 4 = 314\) mm². L'erreur est minime, mais pour un calcul final, utilisez toujours la valeur de \(\pi\) de votre calculatrice pour plus de précision.
Schéma (Avant les calculs)
Section Circulaire
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec le diamètre en mm. L'unité résultante sera des mm².
Schéma (Après les calculs)
Aire de la Section Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette aire de 314.16 mm² est la surface effective qui résiste à la force de traction. C'est la valeur que nous utiliserons dans les étapes suivantes pour déterminer comment le matériau est sollicité.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre le diamètre au carré ou de se tromper entre le rayon et le diamètre dans la formule. Vérifiez toujours que vous utilisez la bonne formule pour la donnée dont vous disposez (\( \pi R^2 \) ou \( \pi D^2 / 4 \)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'aire est la surface qui subit la force.
- Pour un cercle, \(A = \pi D^2 / 4\).
- Une plus grande aire signifie une plus faible contrainte pour une même force.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les câbles des ponts suspendus sont constitués de milliers de fils d'acier individuels. On ne calcule pas l'aire d'un grand cercle, mais on additionne l'aire de tous les petits fils. Cette conception offre une grande flexibilité et une sécurité accrue : la rupture d'un seul fil n'a que peu d'impact sur la résistance globale du câble.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le diamètre était de 10 mm, quelle serait la nouvelle aire en mm² ?
Question 2 : Calculer la contrainte normale (\(\sigma\))
Principe (le concept physique)
La contrainte normale est la force qui "tire" sur chaque millimètre carré de matière à l'intérieur du tirant. Elle représente l'intensité de la sollicitation interne. C'est cette contrainte qui, si elle devient trop élevée, peut mener à la déformation permanente ou à la rupture de la pièce.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Selon le principe de Saint-Venant, si on s'éloigne suffisamment des points d'application de la charge, la contrainte devient uniforme sur toute la section. C'est cette contrainte moyenne \(\sigma = N/A\) que nous calculons. Près des points d'ancrage, la distribution réelle des contraintes peut être plus complexe.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que la force \(N\) est une foule de 50 000 personnes qui doit passer par une porte (l'aire \(A\)). La contrainte \(\sigma\) est une mesure de la "densité" de personnes qui passent par la porte. Si la porte est plus large (A plus grand), la densité (la contrainte) diminue.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de calcul (Eurocodes) définissent les "contraintes de calcul" qui tiennent compte de coefficients de sécurité sur les charges et les matériaux. La contrainte que nous calculons ici est une "contrainte de service", basée sur les charges réelles non majorées.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La contrainte normale \(\sigma\) est le rapport de l'effort normal \(N\) sur l'aire de la section \(A\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'effort de traction est appliqué au centre de gravité de la section, ce qui assure une répartition uniforme de la contrainte. On néglige le poids propre du tirant.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort Normal, \(N = 50 000 \, \text{N}\)
- Aire de la section, \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Lorsque vous calculez avec la force en Newtons (N) et l'aire en millimètres carrés (mm²), le résultat de la contrainte est directement en Mégapascals (MPa). C'est une convention extrêmement pratique en génie civil et mécanique.
Schéma (Avant les calculs)
Répartition de la Force sur l'Aire
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule.
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Interne Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La matière à l'intérieur du tirant est soumise à une contrainte de traction d'environ 159 MPa. Cette valeur seule ne nous dit pas si c'est beaucoup ou peu ; il faut la comparer à la résistance du matériau, ce que nous ferons à la question 4.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre la force (en N) et la contrainte (en Pa ou MPa). La force est un effort global sur la pièce, tandis que la contrainte est un effort local, ramené à une unité de surface.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte normale est la force divisée par l'aire : \(\sigma = N/A\).
- Elle représente l'intensité de la sollicitation dans la matière.
- L'unité N/mm² est égale au MPa.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La contrainte est en réalité un tenseur, un objet mathématique plus complexe avec 9 composantes. Dans notre cas simple de traction pure, seule une composante (la contrainte normale dans l'axe du tirant) est non-nulle.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on doublait la force (N=100 000 N), quelle serait la nouvelle contrainte en MPa ?
Question 3 : Calculer la variation de longueur (\(\Delta L\))
Principe (le concept physique)
Sous l'effet de la contrainte de traction, les atomes du matériau s'écartent les uns des autres, ce qui se traduit macroscopiquement par un allongement de la barre. La loi de Hooke, via le module de Young, nous donne le lien quantitatif entre la contrainte appliquée et l'allongement relatif qui en résulte. L'allongement total dépend de cet allongement relatif et de la longueur initiale de la barre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(\Delta L = NL_0/AE\) peut être vue comme \( \Delta L = L_0 \times (N/A) \times (1/E) \). On voit que l'allongement est le produit de la longueur initiale (\(L_0\)), de la contrainte (\(\sigma = N/A\)) et de la "souplesse" du matériau (\(1/E\)). Un matériau plus souple (E plus faible) s'allongera davantage.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à un élastique. Plus il est long au départ (\(L_0\)), plus il s'allongera en valeur absolue pour une même traction. Plus vous tirez fort (\(N\)), plus il s'allonge. Si l'élastique est plus épais (\(A\)), il s'allonge moins. Et si vous prenez un élastique plus "raide" (\(E\)), il s'allonge moins. La formule mathématique traduit parfaitement cette intuition physique.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction limitent souvent les déformations admissibles. Par exemple, une norme peut exiger que l'allongement d'un tirant ne dépasse pas L/500 pour éviter des désordres dans les éléments avoisinants. Le calcul du \(\Delta L\) est donc essentiel pour vérifier ces critères de service.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise la formule complète qui relie l'allongement à toutes les données du problème :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le matériau est dans son domaine élastique linéaire (validité de la loi de Hooke) et que la température est constante (pas de dilatation thermique).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort Normal, \(N = 50 000 \, \text{N}\)
- Longueur initiale, \(L_0 = 3000 \, \text{mm}\)
- Aire de la section, \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\)
- Module de Young, \(E = 210 000 \, \text{MPa}\) (soit 210 000 N/mm²)
Astuces(Pour aller plus vite)
Si vous avez déjà calculé la contrainte \(\sigma\), il est plus rapide d'utiliser la formule \(\Delta L = (\sigma / E) \cdot L_0\). Cela évite de retaper N et A et réduit les risques d'erreur de saisie.
Schéma (Avant les calculs)
Allongement d'un Ressort Équivalent
Calcul(s) (l'application numérique)
1. En utilisant la contrainte déjà calculée : \(\Delta L = (\sigma / E) \cdot L_0\)
2. En utilisant la formule complète (plus précis) :
Schéma (Après les calculs)
Allongement Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un tirant en acier de 3 mètres de long s'allonge de seulement 2.27 mm sous une force de 5 tonnes. Cela illustre bien la très grande rigidité de l'acier. Bien que faible, cette déformation est cruciale et doit être prise en compte dans la conception, notamment pour les assemblages et la géométrie globale de la structure.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La cohérence des unités est cruciale ici. Assurez-vous que le module E est en N/mm², la force en N, la longueur en mm et l'aire en mm². Si vous respectez ce système, le \(\Delta L\) sera obtenu directement en mm.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'allongement est proportionnel à la force et à la longueur initiale.
- Il est inversement proportionnel à l'aire et au module de Young.
- La formule clé est \(\Delta L = NL_0 / AE\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'énergie de déformation élastique stockée dans le tirant (comme dans un ressort) est égale à \(W = (N \cdot \Delta L) / 2\). Pour notre tirant, cela représente environ \( (50000 \, N \cdot 0.00227 \, m) / 2 \approx 56.75 \) Joules. C'est cette énergie qui est brutalement libérée en cas de rupture.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le tirant était en aluminium (E ≈ 70 000 MPa), quel serait son allongement en mm ?
Question 4 : Vérifier le domaine élastique
Principe (le concept physique)
La limite élastique (\(\sigma_e\)) est la contrainte maximale qu'un matériau peut supporter avant de subir une déformation permanente. Tant que la contrainte de service \(\sigma\) est inférieure à \(\sigma_e\), le matériau se comporte comme un ressort parfait : il s'allonge sous charge et reprend sa longueur initiale quand on retire la charge. Notre vérification consiste à s'assurer que nous sommes bien dans ce domaine de fonctionnement réversible et sûr.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Sur un diagramme contrainte-déformation, la loi de Hooke (\(\sigma = E \epsilon\)) est représentée par une droite. La limite élastique \(\sigma_e\) marque la fin de cette zone linéaire. Au-delà, la courbe s'infléchit, c'est le début de la plasticité. La résistance ultime \(\sigma_u\) est le point le plus haut de la courbe, avant la rupture.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est la vérification la plus importante pour un ingénieur structure. C'est le "garde-fou" qui garantit que la structure ne se déformera pas de manière irréversible dans des conditions normales d'utilisation. On introduit un coefficient de sécurité pour se garder une marge par rapport à cette limite.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 3 définit les critères de résistance pour les aciers de construction. La vérification de base est \(\sigma_{\text{Ed}} \le \sigma_{\text{Rd}}\), où \(\sigma_{\text{Ed}}\) est la contrainte de calcul due aux actions majorées et \(\sigma_{\text{Rd}}\) est la résistance de calcul du matériau (généralement \(\sigma_e / \gamma_M\), où \(\gamma_M\) est un coefficient de sécurité partiel sur le matériau).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le critère de résistance en élasticité est simple :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la valeur de la limite élastique fournie (\(355\) MPa) est une valeur nominale garantie pour le matériau utilisé.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte calculée, \(\sigma \approx 159.15 \, \text{MPa}\) (du calcul Q2)
- Limite élastique du matériau, \(\sigma_e = 355 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour évaluer rapidement un design, les ingénieurs calculent souvent le "taux de travail" du matériau, qui est le rapport \(\sigma / \sigma_e\). Ici, \(159 / 355 \approx 0.45\), soit 45%. Cela signifie que le matériau travaille à 45% de sa capacité élastique, ce qui est généralement considéré comme un design sûr.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Contrainte-Déformation (Simplifié)
Calcul(s) (l'application numérique)
On compare simplement les deux valeurs.
Le critère est vérifié. On peut aussi calculer le coefficient de sécurité :
Schéma (Après les calculs)
Positionnement sur le Diagramme
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte dans le tirant est bien inférieure à la limite élastique. Le coefficient de sécurité de 2.23 est une valeur réaliste en ingénierie, offrant une marge de sécurité raisonnable contre les surcharges imprévues ou les défauts du matériau. L'hypothèse de comportement élastique utilisée pour nos calculs est donc parfaitement valide.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais confondre la limite élastique \(\sigma_e\) avec la résistance à la rupture \(\sigma_u\). Une structure peut être "plastifiée" (déformée de manière permanente) bien avant d'atteindre sa charge de rupture. Le dimensionnement se fait quasiment toujours par rapport à la limite élastique.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La sécurité d'un élément est assurée si \(\sigma < \sigma_e\).
- Le coefficient de sécurité est le rapport \(\sigma_e / \sigma\).
- Cette vérification valide l'utilisation des formules de l'élasticité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Certains aciers modernes, comme ceux utilisés en précontrainte, n'ont pas de limite élastique clairement définie. On utilise alors une limite "conventionnelle" d'élasticité, notée \(\sigma_{0.2}\), qui est la contrainte provoquant une déformation plastique résiduelle de 0.2%.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle force maximale (en N) pourrait-on appliquer avant d'atteindre la limite élastique ?
Outil Interactif : Paramètres de Traction
Modifiez les paramètres du tirant pour voir leur influence sur l'allongement et la contrainte.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
La dilatation thermique suit une loi très similaire à l'allongement mécanique. La variation de longueur due à la température est \(\Delta L = \alpha \cdot \Delta T \cdot L_0\), où \(\alpha\) est le coefficient de dilatation thermique. Les ingénieurs doivent souvent combiner les deux effets. Par exemple, les rails de chemin de fer sont posés avec un petit espace (joint de dilatation) pour leur permettre de s'allonger en été à cause de la chaleur sans se déformer en créant d'énormes contraintes de compression.
Foire Aux Questions (FAQ)
Cette formule fonctionne-t-elle aussi pour la compression ?
Oui, parfaitement. En compression, l'effort \(N\) est négatif, ce qui conduit à une contrainte \(\sigma\) négative (de compression) et à une variation de longueur \(\Delta L\) négative, ce qui correspond bien à un raccourcissement. La seule différence est qu'en compression, il faut aussi vérifier le risque de "flambement" pour les éléments longs et minces (comme un poteau élancé).
Que se passe-t-il si on dépasse la limite élastique ?
Si \(\sigma > \sigma_e\), le matériau entre dans le domaine plastique. La déformation n'est plus proportionnelle à la contrainte et, surtout, elle devient permanente. Même si on retire la charge, l'élément ne retrouvera pas sa longueur initiale ; il restera allongé. C'est ce qu'on appelle la déformation plastique, un phénomène généralement à éviter dans les structures.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour un même effort de traction, si on double le diamètre d'un tirant, sa contrainte sera...
2. Lequel de ces changements provoquera le plus grand allongement (\(\Delta L\)) ?
- Contrainte Normale (\(\sigma\))
- Mesure de la force axiale interne par unité de surface. Elle est "normale" car la force est perpendiculaire à la section. Unité : Pascal (Pa) ou MPa.
- Déformation Relative (\(\epsilon\))
- Allongement ou raccourcissement par unité de longueur. C'est une mesure de la déformation relative du matériau, sans dimension.
- Loi de Hooke
- Principe physique qui énonce une relation de proportionnalité entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique d'un matériau (\(\sigma = E \cdot \epsilon\)).
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