EGC

Calculer la Distribution d’Eau Potable

Exercice : Calculer la Distribution d’Eau Potable

Calculer la Distribution d’Eau Potable

Contexte : L'alimentation en eau potableEau destinée à la consommation humaine, répondant à des normes de qualité strictes. d'un nouveau lotissement.

Une commune doit raccorder un nouveau lotissement de 500 habitants à son réservoir d'eau potable. Votre mission est de dimensionner la conduite d'adduction principale. Il faut s'assurer que le diamètre de la canalisation est suffisant pour répondre aux besoins de pointe, tout en garantissant une pression minimale réglementaire au point de livraison, sans pour autant avoir des vitesses d'écoulement excessives qui pourraient endommager le réseau.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes fondamentales de l'hydraulique en charge, de l'estimation des besoins à la vérification de la pression en utilisant la formule de Colebrook-White pour les pertes de chargeDissipation d'énergie (exprimée en mètres de colonne d'eau) due aux frottements de l'eau contre les parois de la conduite..

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer un débit de pointe à partir de données de consommation.
  • Appliquer l'équation de continuité pour prédimensionner une conduite.
  • Déterminer un régime d'écoulement via le calcul du nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire, transitoire ou turbulent)..
  • Calculer le coefficient de perte de charge avec la formule de Colebrook-White.
  • Appliquer le théorème de Bernoulli pour valider la pression dans un réseau.

Données de l'étude

L'étude porte sur la liaison entre un château d'eau et l'entrée du nouveau lotissement.

Schéma de l'Installation
Réservoir Altitude Z₁ = 150 m L = 1200 m Lotissement Altitude Z₂ = 125 m Niveau de référence 0 NGF
Paramètre Symbole Valeur Unité
Population à desservir Pop 500 habitants
Dotation journalière moyenne D 150 L/jour/hab
Coefficient de pointe journalier Cₚ 2.5 -
Pression au niveau du réservoir P₁ 1.2 bar
Pression minimale requise au lotissement P₂_min 3.0 bar
Rugosité de la conduite (PVC) k 0.0015 mm
Viscosité cinématique de l'eau (à 10°C) ν 1.31 x 10⁻⁶ m²/s

Questions à traiter

  1. Calculer le débit de pointe journalier (Qₚ) en m³/s.
  2. Choisir un diamètre commercial (DN) pour la conduite en visant une vitesse d'environ 1,2 m/s, puis calculer la vitesse réelle (V).
  3. Calculer le nombre de Reynolds (Re) et identifier le régime d'écoulement.
  4. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire (λ) à l'aide de la formule de Colebrook-White (une itération suffira).
  5. Calculer la perte de charge totale (ΔH) et vérifier si la pression au point de livraison (P₂) est conforme aux exigences.

Les bases de l'Hydraulique en Charge

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur quelques principes fondamentaux de la mécanique des fluides.

1. Équation de Continuité
Pour un fluide incompressible, le débit \(Q\) est le produit de la vitesse \(V\) par la section \(A\) de la conduite. Cela garantit la conservation de la masse. \[ Q = V \times A \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4} \]

2. Pertes de Charge (Darcy-Weisbach)
L'énergie du fluide diminue le long de la conduite à cause des frottements. Cette perte de charge linéaire \(J\), par unité de longueur, est calculée comme suit : \[ J = \lambda \frac{V^2}{2gD} \] Où \(\lambda\) est le coefficient de perte de charge, \(g\) l'accélération de la pesanteur (\(9.81 \, \text{m/s²}\)).

3. Théorème de Bernoulli Généralisé
Ce principe de conservation de l'énergie, appliqué entre deux points d'un écoulement, inclut les pertes de charge \(\Delta H\). \[ \frac{P_1}{\rho g} + Z_1 + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\rho g} + Z_2 + \frac{V_2^2}{2g} + \Delta H \] Où \(P\) est la pression, \(Z\) l'altitude, \(\rho\) la masse volumique de l'eau (\(\sim 1000 \, \text{kg/m³}\)).

Correction : Calculer la Distribution d’Eau Potable

Question 1 : Calculer le débit de pointe journalier (Qₚ) en m³/s.

Principe

Le réseau doit être capable de fournir l'eau nécessaire même pendant les heures de plus forte consommation de la journée. On ne se base donc pas sur la consommation moyenne, mais sur un débit de pointe, calculé en appliquant un coefficient multiplicateur à la consommation journalière totale.

Mini-Cours

La consommation d'eau d'une population n'est pas constante. Elle suit des cycles journaliers, hebdomadaires et saisonniers. Le coefficient de pointe est un facteur empirique qui permet de passer de la consommation moyenne journalière au débit maximal que la conduite devra transporter, typiquement pendant l'heure la plus chargée du matin ou du soir.

Remarque Pédagogique

Pensez au dimensionnement d'une autoroute : on ne la construit pas pour le trafic moyen à 3h du matin, mais pour supporter les embouteillages des départs en vacances. C'est la même logique ici : on dimensionne pour le cas le plus défavorable afin de garantir le service en toutes circonstances.

Normes

Les coefficients de pointe sont souvent définis dans des guides techniques ou des réglementations locales. En France, les recommandations de l'ASTEE (Association Scientifique et Technique pour l'Eau et l'Environnement) font référence. Un coefficient de 2.5 est une valeur courante pour des agglomérations de cette taille.

Formule(s)

Formule du débit de pointe

\[ Q_p = \frac{\text{Pop} \times D \times C_p}{\text{Conversion en secondes}} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Les données de population et de dotation sont considérées comme fiables et représentatives des besoins futurs.
  • Le coefficient de pointe de 2.5 est jugé approprié pour ce type de lotissement.
Donnée(s)

Nous utilisons les chiffres fournis dans l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
PopulationPop500habitants
DotationD150L/jour/hab
Coefficient de pointeCₚ2.5-
Astuces

Pour une conversion rapide, retenez qu'un débit de \(1 \, \text{L/s}\) équivaut à \(3.6 \, \text{m³/h}\). C'est pratique pour avoir un ordre de grandeur rapide et vérifier la cohérence d'un résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Cette première question étant un calcul de besoin, elle ne nécessite pas de schéma physique.

Calcul(s)

Calcul du volume journalier de pointe

\[ \begin{aligned} V_p &= 500 \, \text{hab} \times 150 \, \frac{\text{L}}{\text{jour} \cdot \text{hab}} \times 2.5 \\ &= 187,500 \, \text{L/jour} \end{aligned} \]

Conversion du volume en m³

\[ \begin{aligned} Q_p &= \frac{187,500 \, \text{L/jour}}{1000 \, \text{L/m³}} \\ &= 187.5 \, \text{m³/jour} \end{aligned} \]

Conversion du débit en m³/s

\[ \begin{aligned} Q_p &= \frac{187.5 \, \text{m³}}{86400 \, \text{s}} \\ &\approx 0.00217 \, \text{m³/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma applicable pour cette étape.

Réflexions

Le résultat de \(2,17 \, \text{L/s}\) représente le débit maximal que la conduite devra acheminer. C'est la valeur clé qui va conditionner tout le reste du dimensionnement. C'est un débit relativement faible, typique d'une petite adduction.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier une conversion. Assurez-vous de bien passer des Litres aux m³ et des jours aux secondes pour obtenir un débit dans les unités du Système International, essentiel pour la suite des calculs.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : On dimensionne toujours un réseau pour le besoin maximal (pointe), pas pour la moyenne.
  • Formule Essentielle : Débit = (Population x Dotation x Coeff. Pointe) / Temps.
  • Point de Vigilance Majeur : La rigueur dans la conversion des unités (L/jour en m³/s).
Le saviez-vous ?

La consommation d'eau potable en France a tendance à baisser depuis les années 2000, grâce à des appareils plus économes et une plus grande sensibilisation du public. Cependant, les coefficients de pointe restent élevés car les habitudes de consommation (douches du matin, etc.) sont très synchronisées.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes.

Pourquoi ne pas utiliser un débit moyen ?

Utiliser un débit moyen mènerait à une conduite sous-dimensionnée. Aux heures de pointe, la vitesse serait trop élevée, les pertes de charge énormes, et la pression chez l'usager chuterait drastiquement, rendant le service non conforme.

Résultat Final
Le débit de pointe à prendre en compte pour le dimensionnement est de 0.00217 m³/s (soit 2,17 L/s).
A vous de jouer

Si le lotissement était prévu pour 700 habitants avec les mêmes ratios, quel serait le nouveau débit de pointe en L/s ?

Question 2 : Choisir un diamètre commercial (DN) et calculer la vitesse réelle (V).

Principe

On utilise l'équation de continuité (\(Q = V \times A\)) pour faire un premier dimensionnement. En fixant une vitesse économique et techniquement acceptable (généralement entre 0.5 et 1.5 m/s), on peut déduire une section, et donc un diamètre théorique. On choisit ensuite le diamètre normalisé (commercial) le plus proche et on recalcule la vitesse réelle avec ce diamètre imposé.

Mini-Cours

Le Diamètre Nominal (DN) est une désignation commerciale standardisée (ex: DN 50). Le diamètre intérieur réel, utilisé pour les calculs, peut varier légèrement selon le matériau et la classe de pression de la conduite. Pour cet exercice, nous assimilerons le DN au diamètre intérieur en mm.

Remarque Pédagogique

Le choix de la vitesse cible est un compromis. Trop lente (< 0.5 m/s), elle favorise les dépôts de sédiments. Trop rapide (> 2 m/s), elle augmente les pertes de charge et le risque de "coups de bélier" (ondes de surpression). Une cible autour de 1 m/s est souvent un bon point de départ.

Normes

Les diamètres des canalisations sont normalisés (par ex. normes ISO ou EN) pour garantir l'interchangeabilité des pièces (tuyaux, vannes, raccords). Les fabricants fournissent des catalogues avec les diamètres intérieurs et extérieurs précis pour chaque gamme de produits.

Formule(s)

Formule de la section

\[ A = \frac{Q}{V} \]

Formule du diamètre

\[ D = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} \]
Hypothèses

Nous supposons que le diamètre intérieur de la conduite commerciale est égal à son Diamètre Nominal en millimètres.

Donnée(s)

Nous partons du débit calculé à la question précédente et de la vitesse cible :

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit de pointeQₚ0.00217m³/s
Vitesse cibleV_cible1.2m/s
Astuces

Une astuce pour le prédimensionnement : pour un débit donné, si vous doublez le diamètre, vous divisez la vitesse par quatre (car la section est multipliée par quatre). Cela montre à quel point le diamètre a un impact majeur sur la vitesse et les pertes de charge.

Schéma (Avant les calculs)
Prédimensionnement de la conduite
D = ?Q = 2.17 L/sV ≈ 1.2 m/s
Calcul(s)

Calcul de la section théorique

\[ \begin{aligned} A_{\text{théorique}} &= \frac{Q_p}{V_{\text{cible}}} \\ &= \frac{0.00217}{1.2} \\ &\approx 0.00181 \, \text{m²} \end{aligned} \]

Calcul du diamètre théorique

\[ \begin{aligned} D_{\text{théorique}} &= \sqrt{\frac{4 \times A_{\text{théorique}}}{\pi}} \\ &= \sqrt{\frac{4 \times 0.00181}{\pi}} \\ &\approx 0.048 \, \text{m} \\ &\Rightarrow 48 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Choix du DN et calcul de la section réelle

On choisit le DN commercial supérieur, soit DN 50 (\(D = 0.050 \, \text{m}\)).

\[ \begin{aligned} A_{\text{réel}} &= \frac{\pi \times (0.050)^2}{4} \\ &\approx 0.001963 \, \text{m²} \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse réelle

\[ \begin{aligned} V_{\text{réelle}} &= \frac{Q_p}{A_{\text{réel}}} \\ &= \frac{0.00217}{0.001963} \\ &\approx 1.105 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Conduite Dimensionnée
DN 50Q = 2.17 L/sV = 1.105 m/s
Réflexions

La vitesse réelle de \(1,105 \, \text{m/s}\) est bien dans la plage acceptable (entre 0.5 et 1.5 m/s). C'est un bon compromis pour limiter les pertes de charge tout en évitant la sédimentation. Ce choix de diamètre semble donc pertinent à ce stade.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre le Diamètre Nominal (DN), le diamètre extérieur et le diamètre intérieur. Tous les calculs hydrauliques doivent être faits avec le diamètre intérieur réel de la conduite.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : L'équation de continuité (Q=V.A) est la base du prédimensionnement.
  • Démarche : Vitesse cible → Section théorique → Diamètre théorique → Diamètre commercial → Vitesse réelle.
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours utiliser le diamètre intérieur pour les calculs de section et de vitesse.
Le saviez-vous ?

Les conduites d'eau potable modernes sont souvent en PVC (Polychlorure de vinyle), en PEHD (Polyéthylène Haute Densité) ou en fonte ductile. Chaque matériau a ses propres gammes de diamètres normalisés, ses propres caractéristiques de rugosité et de résistance à la pression.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi choisir le diamètre supérieur et non inférieur ?

Choisir le diamètre inférieur (DN 40) aurait augmenté la vitesse au-delà de notre cible, ce qui aurait entraîné des pertes de charge beaucoup plus importantes. En hydraulique, il est souvent plus prudent et économique sur le long terme (coût de pompage) de surdimensionner légèrement.

Résultat Final
On choisit une conduite de DN 50. La vitesse réelle de l'écoulement sera de 1,105 m/s.
A vous de jouer

Quelle serait la vitesse réelle (en m/s) si on avait choisi un diamètre commercial de DN 63 (soit 0.063 m) ?

Question 3 : Calculer le nombre de Reynolds (Re) et identifier le régime d'écoulement.

Principe

Le nombre de Reynolds est un indicateur crucial qui permet de savoir si l'écoulement du fluide est "calme" et ordonné (laminaire) ou "agité" et chaotique (turbulent). Le type de régime influence directement la manière dont les pertes de charge sont calculées. En distribution d'eau, l'écoulement est presque toujours turbulent.

Mini-Cours

Le nombre de Reynolds compare les forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons) aux forces de viscosité (qui tendent à amortir le mouvement). Re < 2300 : Régime laminaire. 2300 < Re < 4000 : Régime transitoire. Re > 4000 : Régime turbulent. En régime turbulent, les pertes d'énergie par frottement sont beaucoup plus importantes.

Remarque Pédagogique

Même si l'on se doute que le régime sera turbulent, ce calcul est une étape obligatoire. Il permet de justifier formellement le choix des formules de calcul de pertes de charge qui suivront. C'est une démonstration de la rigueur de l'ingénieur.

Normes

Les seuils de 2300 et 4000 pour les régimes d'écoulement sont des valeurs conventionnelles universellement acceptées en mécanique des fluides, issues des expériences historiques d'Osborne Reynolds.

Formule(s)

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{V \times D}{\nu} \]
Hypothèses

Nous supposons que la température de l'eau est stable à 10°C, ce qui nous permet d'utiliser la valeur de viscosité cinématique fournie.

Donnée(s)

On utilise les valeurs réelles calculées et données :

ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse réelleV1.105m/s
Diamètre intérieurD0.050m
Viscosité cinématiqueν1.31 x 10⁻⁶m²/s
Astuces

Le nombre de Reynolds est sans dimension. Si votre calcul final a une unité, c'est qu'il y a une erreur dans les unités de vos paramètres d'entrée ! Vérifiez que tout est bien en mètres et secondes.

Schéma (Avant les calculs)
Régimes d'Écoulement
Régime LaminaireRégime Turbulent
Calcul(s)

Calcul du nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.105 \, \text{m/s} \times 0.050 \, \text{m}}{1.31 \times 10^{-6} \, \text{m²/s}} \\ &\approx 42,175 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Identification du Régime
Régime LaminaireRégime TurbulentRe = 42,175 > 4000
Réflexions

Le nombre de Reynolds est de 42 175, ce qui est très largement supérieur à 4000. L'écoulement est donc bien turbulent, ce qui justifie l'utilisation de formules complexes comme celle de Colebrook-White pour les pertes de charge, qui tiennent compte des effets de la turbulence.

Points de vigilance

Assurez-vous que la viscosité cinématique (\(\nu\)) est bien en m²/s. Parfois, les données peuvent être fournies en Stokes (St) ou centiStokes (cSt), nécessitant une conversion (\(1 \, \text{St} = 10^{-4} \, \text{m²/s}\)).

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Le nombre de Reynolds (Re) définit le régime d'écoulement.
  • Formule Essentielle : Re = (V x D) / ν.
  • Point de Vigilance Majeur : Re > 4000 indique un régime turbulent, ce qui est le cas le plus courant en AEP.
Le saviez-vous ?

L'expérience originale d'Osborne Reynolds en 1883 consistait à injecter un filet d'encre dans un tube en verre où de l'eau s'écoulait. À faible vitesse, le filet restait droit (laminaire). En augmentant la vitesse, il a observé le moment précis où le filet d'encre se mélangeait brutalement au reste de l'eau, marquant le passage au régime turbulent.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

La viscosité de l'eau change-t-elle beaucoup ?

Oui, la viscosité de l'eau est très sensible à la température. L'eau froide est plus visqueuse que l'eau chaude. À 20°C, \(\nu \approx 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m²/s}\). Un calcul précis doit donc prendre en compte la température de l'eau dans le réseau.

Résultat Final
Le nombre de Reynolds est d'environ 42 175, ce qui caractérise un régime d'écoulement turbulent.
A vous de jouer

En été, l'eau est à 20°C (\(\nu \approx 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m²/s}\)). Quel serait le nouveau nombre de Reynolds ?

Question 4 : Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire (λ).

Principe

Le coefficient de perte de charge (\(\lambda\), prononcé "lambda") est un nombre sans dimension qui quantifie l'intensité des frottements du fluide sur la paroi de la conduite. Pour un régime turbulent, ce coefficient dépend à la fois de la vitesse (via le nombre de Reynolds) et de l'état de surface de la conduite (la rugosité).

Mini-Cours

Pour un régime turbulent, le coefficient \(\lambda\) dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite (\(k/D\)). La formule de Colebrook-White est la plus précise pour le déterminer. C'est une formule implicite, ce qui signifie que \(\lambda\) apparaît des deux côtés de l'équation. On la résout donc par itérations successives (ou avec un solveur numérique).

Remarque Pédagogique

Ne soyez pas intimidé par la complexité de la formule. Dans la pratique, on utilise souvent des calculateurs ou des abaques (comme le diagramme de Moody) pour la résoudre. Comprendre les paramètres qui l'influencent (Re et k/D) est plus important que de la mémoriser.

Normes

La formule de Colebrook-White est la base de la plupart des normes de calcul hydraulique modernes, y compris les Eurocodes. Elle est reconnue pour sa grande précision sur une large plage de régimes turbulents.

Formule(s)

Formule de Colebrook-White

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{k}{3.7D} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]
Hypothèses

Nous supposons que la valeur de rugosité \(k = 0.0015 \, \text{mm}\) est constante sur toute la longueur de la conduite et ne changera pas avec le temps (ce qui n'est pas toujours vrai en réalité).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats et données des questions précédentes :

ParamètreSymboleValeurUnité
Nombre de ReynoldsRe42 175-
Diamètre intérieurD0.050m
Rugositék0.0015mm
Astuces

Pour une première estimation manuelle, on peut utiliser des formules explicites approchées comme celle de Swamee-Jain. Pour une première itération de Colebrook, une valeur de départ de \(\lambda_0 = 0.02\) est souvent un bon choix pour les conduites usuelles.

Schéma (Avant les calculs)
Concept de Rugosité
kZoom sur la paroi interne de la conduite
Calcul(s)

Conversion de la rugosité

La rugosité \(k = 0.0015 \, \text{mm}\) doit être en mètres : \(k = 0.0000015 \, \text{m}\).

Première itération de Colebrook

On commence avec une estimation de \(\lambda_0 = 0.02\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0000015}{3.7 \times 0.050} + \frac{2.51}{42175 \sqrt{0.02}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8.1 \times 10^{-6} + 0.000421 \right) \\ &\approx 6.74 \end{aligned} \]

Calcul de la nouvelle valeur de lambda

\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= \left( \frac{1}{6.74} \right)^2 \\ &\approx 0.022 \end{aligned} \]

La valeur a un peu changé. On pourrait continuer les itérations, mais 0.022 est déjà une très bonne approximation.

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma applicable pour cette étape.

Réflexions

La valeur de \(\lambda = 0.022\) est typique pour une conduite en PVC (très lisse) à ce nombre de Reynolds. Une conduite en fonte, beaucoup plus rugueuse, aurait un \(\lambda\) significativement plus élevé, et donc des pertes de charge plus importantes.

Points de vigilance

Deux erreurs classiques : utiliser le logarithme népérien (ln) au lieu du logarithme décimal (\(\log_{10}\)) et ne pas convertir la rugosité 'k' en mètres avant le calcul. Ces deux erreurs mènent à des résultats très incorrects.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Le coefficient \(\lambda\) quantifie le frottement et dépend de Re et de la rugosité relative (k/D).
  • Formule Essentielle : La formule de Colebrook-White est la référence pour le régime turbulent.
  • Point de Vigilance Majeur : C'est une formule implicite qui se résout par itérations.
Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, que l'on trouve dans tous les manuels de mécanique des fluides, est une représentation graphique de la formule de Colebrook-White. Avant l'ère des calculatrices, c'était le seul moyen pratique de déterminer \(\lambda\).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi la formule est-elle si compliquée ?

Elle est le fruit de l'ajustement de courbes sur un très grand nombre de données expérimentales. Elle n'a pas de dérivation théorique simple, mais elle a l'avantage de représenter très fidèlement la réalité physique des écoulements turbulents dans les conduites.

Résultat Final
Le coefficient de perte de charge linéaire λ est d'environ 0,022.
A vous de jouer

Avec une vieille conduite en fonte (\(k = 0.26 \, \text{mm}\)), quel serait approximativement le nouveau \(\lambda\) (une itération) ?

Question 5 : Calculer la perte de charge totale (ΔH) et vérifier la pression à l'arrivée (P₂).

Principe

C'est l'étape de synthèse. On utilise le coefficient de frottement \(\lambda\) pour calculer la perte d'énergie totale sur la longueur de la conduite. Ensuite, on applique le théorème de Bernoulli, qui est un bilan d'énergie entre le point de départ (réservoir) et le point d'arrivée (lotissement), pour en déduire la pression restante au point de livraison.

Mini-Cours

Le théorème de Bernoulli stipule que l'énergie totale d'un fluide (composée de son énergie de pression, son énergie potentielle d'altitude et son énergie cinétique) reste constante le long d'un écoulement, à condition de soustraire les pertes d'énergie (les pertes de charge \(\Delta H\)).

Remarque Pédagogique

Visualisez l'énergie comme un "budget" initial au réservoir. Le long du trajet, la conduite "dépense" de l'énergie à cause de la dénivellation (gain ou perte) et surtout à cause des frottements. Le calcul de \(P_2\) revient à vérifier combien il reste dans le budget à l'arrivée.

Normes

La pression minimale de 3 bars au point de livraison est une exigence réglementaire commune en France. Elle garantit que tous les appareils domestiques (chauffe-eau, machines à laver) peuvent fonctionner correctement, même dans les étages supérieurs des habitations.

Formule(s)

Formule de la perte de charge linéaire

\[ \Delta H_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]

Théorème de Bernoulli

\[ \frac{P_2}{\rho g} = \frac{P_1}{\rho g} + (Z_1 - Z_2) - \frac{V_2^2}{2g} - \Delta H_{\text{totale}} \]
Hypothèses

On suppose que la vitesse de l'eau à la surface du réservoir est nulle (\(V_1 \approx 0\)) car sa surface est très grande par rapport à la section de la conduite. On estime également les pertes de charge singulières (coudes, vannes...) à 10% des pertes de charge linéaires, une pratique courante en prédimensionnement.

Donnée(s)

Nous utilisons tous les résultats précédents et les données d'altitude et de pression de l'énoncé.

Astuces

Pour convertir rapidement une pression en hauteur d'eau et vice-versa, utilisez l'approximation : 1 bar ≈ 10 mètres de colonne d'eau (mCE). C'est très utile pour faire des vérifications d'ordre de grandeur. Ainsi, \(P_1 = 1.2 \, \text{bar} \approx 12 \, \text{mCE}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé est essentiel ici pour visualiser les altitudes Z₁ et Z₂ et les points 1 (réservoir) et 2 (lotissement).

Schéma de l'Installation
Point 1Altitude Z₁ = 150 mL = 1200 mPoint 2Altitude Z₂ = 125 mNiveau de référence 0 NGF
Calcul(s)

Calcul de la perte de charge linéaire

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{lin}} &= 0.022 \times \frac{1200}{0.050} \times \frac{(1.105)^2}{2 \times 9.81} \\ &\approx 32.9 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de la perte de charge totale

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{totale}} &= 1.1 \times \Delta H_{\text{lin}} \\ &= 1.1 \times 32.9 \\ &= 36.19 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de la hauteur de pression à l'arrivée

On convertit \(P_1 = 1.2 \, \text{bar}\) en hauteur d'eau : \( \frac{P_1}{\rho g} = \frac{1.2 \times 10^5}{1000 \times 9.81} \approx 12.23 \, \text{m} \).

\[ \begin{aligned} \frac{P_2}{\rho g} &= \frac{P_1}{\rho g} + (Z_1 - Z_2) - \frac{V_2^2}{2g} - \Delta H_{\text{totale}} \\ &= 12.23 + (150 - 125) - \frac{(1.105)^2}{2 \times 9.81} - 36.19 \\ &\approx 0.92 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion de la hauteur de pression en bars

\[ \begin{aligned} P_2 &= 0.92 \times \rho \times g \\ &= 0.92 \times 1000 \times 9.81 \\ &\approx 9025 \, \text{Pa} \\ &\Rightarrow 0.09 \, \text{bar} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme ci-dessous représente la ligne de charge (énergie totale) et la ligne piézométrique (charge hydraulique). On voit que la ligne piézométrique à l'arrivée est très proche de l'altitude de la conduite, indiquant une pression quasi nulle.

Ligne de Charge et Ligne Piézométrique
RéservoirLotissementLigne de charge (Énergie totale)Ligne piézométrique (Pression + Altitude)P₂ ≈ 0.1 bar
Réflexions

La pression calculée à l'arrivée est de \(0.09 \, \text{bar}\), ce qui est très largement inférieur aux \(3 \, \text{bars}\) réglementaires requis. Le diamètre DN 50 est donc insuffisant. Les pertes de charge (\(36.19 \, \text{m}\)) sont supérieures au gain d'altitude (\(25 \, \text{m}\)), ce qui "consomme" toute la pression disponible. Il faudrait refaire le calcul avec un diamètre supérieur (par exemple DN 80 ou DN 100) pour réduire la vitesse et donc les pertes de charge de manière significative.

Points de vigilance

Veillez à la cohérence des unités dans l'équation de Bernoulli. Chaque terme doit être en mètres (mètres de colonne d'eau). Une erreur fréquente est de mélanger des bars et des Pascals directement dans l'équation sans conversion.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Le théorème de Bernoulli est l'outil de synthèse pour vérifier une pression dans un réseau.
  • Formule Essentielle : Énergie finale = Énergie initiale + Gain/Perte d'altitude - Pertes par frottement.
  • Point de Vigilance Majeur : Comparer la pression finale calculée à la pression minimale requise est l'étape de validation ultime du projet.
Le saviez-vous ?

Le "coup de bélier" est un phénomène de surpression destructeur qui se produit lors de la fermeture rapide d'une vanne. L'énergie cinétique de l'eau est brutalement convertie en onde de pression. Une vitesse d'écoulement faible (donc un diamètre plus grand) permet de limiter ce risque.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Que sont les pertes de charge singulières ?

Ce sont les pertes d'énergie dues aux accidents de parcours : coudes, tés, vannes, élargissements... Chaque "accident" crée des turbulences qui dissipent de l'énergie. En phase de projet, on les estime souvent par un pourcentage des pertes linéaires.

Résultat Final
La pression à l'arrivée est de 0.09 bar, ce qui est insuffisant. La conduite de DN 50 n'est pas validée.
A vous de jouer

En utilisant le simulateur ci-dessous, quel est le premier DN (par pas de 10mm) qui permet d'atteindre les 3 bars de pression requis ?

Outil Interactif : Simulateur d'Adduction

Utilisez cet outil pour voir l'impact du diamètre de la conduite et de la longueur sur la pression finale au point de livraison pour les 500 habitants de notre étude de cas.

Paramètres d'Entrée
50 mm
1200 m
Résultats Clés
Vitesse réelle (m/s) -
Pression à l'arrivée (bar) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la rugosité 'k' d'une conduite augmente (par exemple, à cause du vieillissement), comment évoluent les pertes de charge ?

2. Pour un débit constant, si on augmente le diamètre de la conduite, la vitesse de l'eau...

3. À quoi sert principalement le coefficient de pointe ?

4. Un nombre de Reynolds élevé (ex: > 100 000) est typique d'un régime...

5. Si on augmente la longueur de la conduite, la pression à l'arrivée...

Débit de pointe
La valeur maximale du débit d'eau transitant dans une conduite, correspondant à la demande maximale des usagers sur une courte période (généralement l'heure la plus chargée de la journée).
Perte de charge
La diminution de la pression et de l'énergie de l'eau lorsqu'elle s'écoule dans une canalisation, principalement due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) et aux obstacles comme les coudes ou les vannes (pertes singulières).
Nombre de Reynolds (Re)
Un nombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides pour prévoir les régimes d'écoulement. Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses.
Rugosité (k)
Une mesure de l'irrégularité de la surface intérieure d'une conduite, qui influence directement la résistance à l'écoulement et donc les pertes de charge par frottement.
Calculer la Distribution d’Eau Potable

D’autres exercices d’eau potable:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *