Études de cas pratique

EGC

Calcul d’une Charpente Métallique

Calcul d’une Charpente Métallique : Vérification d’une Poutre

Calcul d’une Charpente Métallique : Vérification d’une Poutre

Comprendre le Calcul d’une Charpente Métallique

Les charpentes métalliques sont largement utilisées dans la construction pour leur résistance, leur légèreté relative et leur capacité à franchir de grandes portées. Le dimensionnement des éléments d'une charpente métallique, comme les poutres (pannes, traverses, etc.) et les poteaux, implique de s'assurer qu'ils peuvent résister aux sollicitations (charges permanentes, d'exploitation, climatiques) sans dépasser les limites de résistance du matériau (État Limite Ultime - ELU) et sans présenter de déformations excessives (État Limite de Service - ELS). Cet exercice se concentre sur la vérification à l'ELU d'une poutre en acier soumise à la flexion et au cisaillement.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier (profilé IPE), simplement appuyée, utilisée comme traverse dans une structure métallique.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Profilé : IPE 240
  • Portée de la poutre entre appuis (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Acier : S275 (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\))
  • Coefficient partiel de sécurité pour la résistance des sections (\(\gamma_{M0}\)) : \(1.0\)
  • Caractéristiques du profilé IPE 240 (extrait d'un catalogue) :
    • Aire de la section (\(A\)) : \(39.1 \, \text{cm}^2\)
    • Module d'inertie élastique par rapport à l'axe fort (\(W_{el,y}\)) : \(307 \, \text{cm}^3\)
    • Module d'inertie plastique par rapport à l'axe fort (\(W_{pl,y}\)) : \(367 \, \text{cm}^3\)
    • Aire de cisaillement (\(A_v\)) (simplifiée comme \(A - 2bt_f + (t_w + 2r)t_f\), ou souvent \(A_v \approx A \cdot h / (h+2t_f)\) pour IPE, ou plus simplement \(A_w = (h-2t_f)t_w\)). Pour cet exercice, on prendra une valeur simplifiée : \(A_v = 24.5 \, \text{cm}^2\) (valeur typique pour IPE 240, à vérifier dans les catalogues pour un calcul précis).
    • Hauteur du profilé (\(h_{IPE}\)) : \(240 \, \text{mm}\)
    • Largeur des ailes (\(b_{IPE}\)) : \(120 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur de l'âme (\(t_w\)) : \(6.2 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur des ailes (\(t_f\)) : \(9.8 \, \text{mm}\)

Sollicitations (ELU) :

  • Charge uniformément répartie de calcul (\(q_{Ed}\)) : \(20 \, \text{kN/m}\) (incluant le poids propre de la poutre)
Schéma : Poutre en Acier IPE et Section
Poutre en flexion q_Ed L = 6.0 m Section IPE 240 b=120 h=240

Poutre IPE simplement appuyée avec charge répartie et sa section transversale.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{Ed}\)) et l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_{Ed}\)) dans la poutre.
  2. Calculer la résistance de calcul en flexion (\(M_{c,Rd}\)). On supposera une section de classe 1 ou 2, donc \(M_{c,Rd} = W_{pl,y} \cdot f_y / \gamma_{M0}\).
  3. Vérifier la résistance de la poutre en flexion.
  4. Calculer la résistance de calcul au cisaillement (\(V_{pl,Rd}\)). Utiliser \(V_{pl,Rd} = (A_v \cdot f_y / \sqrt{3}) / \gamma_{M0}\).
  5. Vérifier la résistance de la poutre au cisaillement.
  6. Si le moment et le cisaillement sont élevés simultanément (\(V_{Ed} > 0.5 V_{pl,Rd}\)), une vérification d'interaction flexion-cisaillement est nécessaire. Vérifier si cette condition est remplie. (Pour cet exercice, nous ne ferons pas le calcul d'interaction complet).

Correction : Calcul d’une Charpente Métallique – Vérification d’une Poutre

Question 1 : Moment (\(M_{Ed}\)) et Effort Tranchant (\(V_{Ed}\)) Maximaux

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de portée \(L\) soumise à une charge uniformément répartie \(q_{Ed}\), le moment fléchissant maximal (\(M_{Ed,max}\)) se produit au milieu de la portée. L'effort tranchant maximal (\(V_{Ed,max}\)) se produit aux appuis.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed,max} = \frac{q_{Ed} L^2}{8}\] \[V_{Ed,max} = \frac{q_{Ed} L}{2}\]
Données spécifiques :
  • \(q_{Ed} = 20 \, \text{kN/m}\)
  • Portée (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed,max} &= \frac{20 \, \text{kN/m} \times (6.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{20 \times 36}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{720}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 90 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_{Ed,max} &= \frac{20 \, \text{kN/m} \times 6.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{120}{2} \, \text{kN} \\ &= 60 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(M_{Ed,max} = 90 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et \(V_{Ed,max} = 60 \, \text{kN}\).

Question 2 : Résistance de Calcul en Flexion (\(M_{c,Rd}\))

Principe :

La résistance de calcul en flexion d'une section en acier dépend de sa capacité à développer des déformations plastiques. Pour les sections de classe 1 ou 2 (capables d'atteindre leur moment plastique), la résistance en flexion est calculée avec le module d'inertie plastique (\(W_{pl,y}\)) et la limite d'élasticité de l'acier (\(f_y\)), divisée par le coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{M0}\).

Formule(s) utilisée(s) (pour section de classe 1 ou 2) :
\[M_{c,Rd} = \frac{W_{pl,y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}}\]
Données spécifiques (convertir les unités si nécessaire) :
  • \(W_{pl,y} = 367 \, \text{cm}^3 = 367 \times 10^3 \, \text{mm}^3\)
  • \(f_y = 275 \, \text{MPa} = 275 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{c,Rd} &= \frac{(367 \times 10^3 \, \text{mm}^3) \times (275 \, \text{N/mm}^2)}{1.0} \\ &= 100925000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en kN·m : \(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)

\[ M_{c,Rd} = \frac{100925000}{10^6} \, \text{kN} \cdot \text{m} \approx 100.93 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Résultat Question 2 : La résistance de calcul en flexion est \(M_{c,Rd} \approx 100.93 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si on utilisait le module élastique \(W_{el,y}\) au lieu du module plastique \(W_{pl,y}\) pour une section de classe 1, le moment résistant calculé serait :

Question 3 : Vérification de la Résistance en Flexion

Principe :

La poutre est considérée comme suffisamment résistante en flexion si le moment fléchissant de calcul agissant (\(M_{Ed}\)) est inférieur ou égal au moment résistant de calcul de la section (\(M_{c,Rd}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} \leq M_{c,Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{Ed} = 90 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{c,Rd} \approx 100.93 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Comparaison :
\[90 \, \text{kN} \cdot \text{m} \leq 100.93 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée. Le rapport d'utilisation est \(90 / 100.93 \approx 0.89 < 1.0\).

Résultat Question 3 : La poutre résiste en flexion.

Question 4 : Résistance de Calcul au Cisaillement (\(V_{pl,Rd}\))

Principe :

La résistance de calcul au cisaillement d'une section en acier est basée sur la plastification de l'aire de cisaillement (\(A_v\)). La contrainte de cisaillement limite est généralement prise comme \(f_y / \sqrt{3}\) (critère de von Mises), et on divise par le coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{M0}\).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :
\[V_{pl,Rd} = \frac{A_v \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}}\]
Données spécifiques (convertir les unités si nécessaire) :
  • Aire de cisaillement (\(A_v\)) : \(24.5 \, \text{cm}^2 = 2450 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_y = 275 \, \text{MPa} = 275 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{pl,Rd} &= \frac{2450 \, \text{mm}^2 \times (275 \, \text{N/mm}^2 / \sqrt{3})}{1.0} \\ &\approx \frac{2450 \times (275 / 1.732)}{1.0} \, \text{N} \\ &\approx \frac{2450 \times 158.776}{1.0} \, \text{N} \\ &\approx 388991 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN :

\[ V_{pl,Rd} \approx 389.0 \, \text{kN} \]
Résultat Question 4 : La résistance de calcul au cisaillement est \(V_{pl,Rd} \approx 389.0 \, \text{kN}\).

Question 5 : Vérification de la Résistance au Cisaillement

Principe :

La poutre est considérée comme suffisamment résistante au cisaillement si l'effort tranchant de calcul agissant (\(V_{Ed}\)) est inférieur ou égal à l'effort tranchant résistant de calcul (\(V_{pl,Rd}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{Ed} \leq V_{pl,Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{Ed} = 60 \, \text{kN}\)
  • \(V_{pl,Rd} \approx 389.0 \, \text{kN}\)
Comparaison :
\[60 \, \text{kN} \leq 389.0 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée. Le rapport d'utilisation est \(60 / 389.0 \approx 0.15 < 1.0\).

Résultat Question 5 : La poutre résiste au cisaillement.

Question 6 : Vérification de la Nécessité d'Interaction Flexion-Cisaillement

Principe :

Lorsque l'effort tranchant agissant (\(V_{Ed}\)) est élevé (généralement plus de 50% de la résistance au cisaillement \(V_{pl,Rd}\)), il peut réduire la capacité de la section à résister au moment fléchissant. L'Eurocode 3 stipule qu'une vérification d'interaction est nécessaire si \(V_{Ed} > 0.5 \cdot V_{pl,Rd}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{Ed} > 0.5 \cdot V_{pl,Rd} \quad ?\]
Données spécifiques :
  • \(V_{Ed} = 60 \, \text{kN}\)
  • \(V_{pl,Rd} \approx 389.0 \, \text{kN}\)
Calcul :
\[ 0.5 \cdot V_{pl,Rd} \approx 0.5 \times 389.0 \, \text{kN} = 194.5 \, \text{kN} \]

Comparaison :

\[ V_{Ed} = 60 \, \text{kN} \leq 0.5 \cdot V_{pl,Rd} = 194.5 \, \text{kN} \]

Puisque \(V_{Ed}\) n'est pas supérieur à 50% de \(V_{pl,Rd}\), l'effet du cisaillement sur la résistance en flexion peut être négligé selon l'Eurocode 3 pour les sections I et H doublement symétriques. Aucune vérification d'interaction flexion-cisaillement n'est requise dans ce cas.

Résultat Question 6 : L'effort tranchant agissant (\(V_{Ed} = 60 \, \text{kN}\)) est inférieur à 50% de la résistance au cisaillement (\(0.5 \cdot V_{pl,Rd} \approx 194.5 \, \text{kN}\)). Une vérification d'interaction flexion-cisaillement n'est pas nécessaire.

Quiz Intermédiaire 2 : Si \(V_{Ed}\) était de \(200 \, \text{kN}\) (et \(V_{pl,Rd} \approx 389 \, \text{kN}\)), une vérification d'interaction flexion-cisaillement serait-elle nécessaire ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'un profilé IPE en charpente métallique ?

2. L'acier S275 a une limite d'élasticité caractéristique (\(f_y\)) de :

3. La vérification à l'ELU pour une poutre en acier sollicitée en flexion implique généralement de s'assurer que :

Glossaire

Charpente Métallique
Structure porteuse d'un bâtiment ou d'un ouvrage, constituée principalement d'éléments en acier (poutres, poteaux, contreventements).
Poutre (Traverse, Panne)
Élément structural linéaire conçu pour résister principalement à la flexion et au cisaillement dus aux charges transversales.
Profilé IPE
Type de profilé en acier en forme de "I" avec des ailes parallèles et une épaisseur d'âme relativement faible. Couramment utilisé pour les poutres.
Acier S275
Nuance d'acier de construction avec une limite d'élasticité minimale garantie de \(275 \, \text{MPa}\).
État Limite Ultime (ELU)
État limite correspondant à la capacité portante maximale de la structure ou d'un de ses éléments avant rupture ou perte de stabilité.
Moment Fléchissant de Calcul (\(M_{Ed}\))
Moment sollicitant la section, calculé à l'ELU à partir des charges pondérées.
Effort Tranchant de Calcul (\(V_{Ed}\))
Effort tranchant sollicitant la section, calculé à l'ELU.
Module d'Inertie Plastique (\(W_{pl,y}\))
Caractéristique géométrique d'une section utilisée pour calculer le moment de plastification complète de la section.
Résistance de Calcul en Flexion (\(M_{c,Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un moment fléchissant à l'ELU, en tenant compte de la plastification si la section le permet.
Aire de Cisaillement (\(A_v\))
Partie de l'aire de la section considérée comme efficace pour reprendre l'effort tranchant (principalement l'âme pour les profilés en I).
Résistance de Calcul au Cisaillement (\(V_{pl,Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un effort tranchant à l'ELU, basée sur la plastification en cisaillement.
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_{M0}\))
Coefficient appliqué à la résistance du matériau pour obtenir la résistance de calcul pour la vérification des sections.
Calcul d’une Charpente Métallique – Exercice d'Application

D’autres exercices de structure métallique :

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *