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Calcul d’une Charpente Métallique

Calcul d’une Charpente Métallique

Calcul d’une Charpente Métallique

Contexte : L'ossature des bâtiments industriels.

La charpente métallique est l'épine dorsale de nombreux bâtiments industriels, commerciaux et agricoles. Sa conception repose sur l'assemblage de poutres et de poteaux, formant des portiques capables de franchir de grandes portées. Le dimensionnement de ces éléments, en particulier la traverse principale, est une étape critique qui garantit la sécurité et la durabilité de l'ouvrage. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de vérification d'une traverse de portique en acier selon les principes de l'Eurocode 3Ensemble de normes européennes pour le calcul des structures en acier. Il définit les méthodes de calcul pour garantir la résistance, la stabilité et la durabilité des constructions., la norme de référence en Europe.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de l'ingénieur structure. À partir de charges d'exploitation (neige) et permanentes (poids propre), nous allons appliquer des coefficients de sécurité, calculer les efforts internes (moment fléchissant, effort tranchant) et vérifier qu'un profilé en acier standard peut les supporter sans risque de rupture ni de déformation excessive.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les combinaisons d'actionsMéthode de calcul qui consiste à appliquer des coefficients de sécurité aux différentes charges (permanentes, d'exploitation) pour obtenir la charge de calcul la plus défavorable. à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Calculer le moment fléchissant et l'effort tranchant de calcul.
  • Sélectionner un profilé IPEPoutrelle en I à Profil Européen. C'est un type de poutre en acier standardisé, très utilisé en construction pour sa grande efficacité en flexion. en fonction du moment résistant requis.
  • Vérifier la résistance du profilé à la flexion et au cisaillement.
  • Vérifier la condition de flèche à l'État Limite de Service (ELS).

Données de l'étude

On étudie la traverse (poutre horizontale) d'un portique de bâtiment industriel. La traverse est modélisée comme une poutre sur deux appuis simples. Elle est soumise à des charges uniformément réparties : les charges permanentes (poids de la toiture, isolation, etc.) et les charges de neige.

Schéma du portique et de la traverse étudiée
G (Charges permanentes) S (Neige) Portée, L = 12 m
Schéma 3D interactif de la charpente
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la traverse \(L\) 12 \(\text{m}\)
Charges permanentes \(G\) 2.5 \(\text{kN/m}\)
Charges de neige \(S\) 1.8 \(\text{kN/m}\)
Nuance de l'acier - S235 -
Limite d'élasticité \(f_y\) 235 \(\text{MPa}\)
Limite de flèche admissible \(f_{\text{adm}}\) L / 250 -

Questions à traiter

  1. Calculer la charge répartie de calcul à l'ELU, \(p_{\text{Ed}}\).
  2. Déterminer le moment fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)) et l'effort tranchant (\(V_{\text{Ed}}\)) maximaux.
  3. Choisir un profilé IPE et vérifier sa résistance à la flexion.
  4. Vérifier la flèche du profilé choisi à l'ELS.

Les bases du calcul de structure métallique

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux des Eurocodes.

1. Les États Limites (ELU & ELS) :
Le calcul se fait selon deux états :

  • L'État Limite Ultime (ELU) : On vérifie la RÉSISTANCE de la structure. On majore les charges avec des coefficients de sécurité (\(\gamma_G=1.35\), \(\gamma_S=1.5\)) pour s'assurer que la structure ne s'effondre pas.
  • L'État Limite de Service (ELS) : On vérifie le CONFORT et l'APTITUDE AU SERVICE. On utilise les charges réelles (sans coefficients) pour s'assurer que la structure ne se déforme pas excessivement (flèche).

2. Formules pour poutre sur 2 appuis avec charge répartie \(p\) :
Les efforts maximaux se calculent avec les formules classiques de la RdM : \[ M_{\text{max}} = \frac{p \cdot L^2}{8} \quad \text{et} \quad V_{\text{max}} = \frac{p \cdot L}{2} \]

3. Vérification de la résistance en flexion :
On doit vérifier que le moment résistant de calcul du profilé (\(M_{\text{Rd}}\)) est supérieur au moment sollicitant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)). La formule est : \[ M_{c,\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl}} \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \ge M_{\text{Ed}} \] Où \(W_{\text{pl}}\) est le module de section plastique (donné dans les catalogues), \(f_y\) la limite élastique et \(\gamma_{\text{M0}}=1.0\) un coefficient partiel de sécurité sur le matériau.

Correction : Calcul d’une Charpente Métallique

Question 1 : Calculer la charge répartie de calcul à l'ELU

Principe (le concept physique)

Pour garantir la sécurité, on ne calcule pas la structure avec les charges réelles, mais avec des charges "majorées". L'Eurocode impose d'appliquer des coefficients de sécurité différents pour les charges permanentes (mieux connues, donc coefficient plus faible) et les charges d'exploitation (plus incertaines, coefficient plus élevé). On combine ces charges majorées pour obtenir le scénario le plus défavorable.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison d'actions est une approche semi-probabiliste de la sécurité. Les coefficients (1.35 et 1.5) ont été déterminés par des analyses statistiques pour garantir un niveau de fiabilité cible pour la structure sur sa durée de vie, en tenant compte des incertitudes sur les charges et les résistances des matériaux.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la première étape de tout calcul de structure : définir les "actions" (les forces) qui s'appliquent. Une erreur à ce stade se répercutera sur tout le reste du dimensionnement. Pensez-y comme à la recette de cuisine : si vous vous trompez dans les quantités d'ingrédients, le plat final ne sera pas réussi.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de combinaison d'actions pour le bâtiment est donnée par la norme NF EN 1990 (Eurocode 0 : Bases de calcul des structures). La formule de base pour l'ELU est \(\sum \gamma_{G,j} G_{k,j} + \gamma_Q Q_{k,1} + \sum \gamma_Q \psi_{0,i} Q_{k,i}\). Pour notre cas simple, elle se réduit à \(1.35 G + 1.5 S\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison d'actions fondamentale à l'ELU :

\[ p_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot S \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge de neige est la seule charge d'exploitation variable. S'il y avait du vent ou d'autres charges, les combinaisons seraient plus complexes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(G = 2.5 \, \text{kN/m}\)
  • Charges de neige, \(S = 1.8 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Gardez toujours les unités en tête. Ici, on combine des kN/m avec des kN/m, le résultat sera logiquement en kN/m. Une vérification rapide des unités à chaque étape permet de déceler de nombreuses erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des charges sur la traverse
G = 2.5S = 1.8+=p_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule de combinaison :

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (2.5 \, \text{kN/m}) + 1.5 \cdot (1.8 \, \text{kN/m}) \\ &= 3.375 \, \text{kN/m} + 2.7 \, \text{kN/m} \\ &= 6.075 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge de calcul ELU résultante
p_Ed = 6.075 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge totale de calcul (6.075 kN/m) est significativement plus élevée que la somme des charges réelles (2.5 + 1.8 = 4.3 kN/m). C'est l'effet des coefficients de sécurité, qui assurent la robustesse du dimensionnement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'inverser les coefficients ou d'appliquer le mauvais coefficient à la mauvaise charge. Toujours 1.35 pour le permanent (G) et 1.5 pour le variable (S, Q) dans les cas courants en bâtiment.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELU vise la sécurité et la résistance.
  • On majore les charges avec des coefficients : \(1.35 \cdot G + 1.5 \cdot S\).
  • Cette charge majorée \(p_{\text{Ed}}\) est utilisée pour tous les calculs de résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les structures très sensibles comme les ponts ou les centrales nucléaires, les combinaisons d'actions sont beaucoup plus complexes et incluent des charges accidentelles comme les séismes, les explosions ou les chocs de véhicules, avec des coefficients spécifiques.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi 1.35 et 1.5 ?

Ces valeurs sont le fruit d'un consensus européen basé sur des décennies de retours d'expérience et d'analyses statistiques. Elles représentent un compromis entre un niveau de sécurité élevé et un coût de construction raisonnable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge répartie de calcul à l'ELU est de 6.075 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge de neige était de 2.0 kN/m, quelle serait la nouvelle charge \(p_{\text{Ed}}\) en kN/m ?

Question 2 : Déterminer les efforts maximaux (MEd et VEd)

Principe (le concept physique)

Une fois la charge extérieure (\(p_{\text{Ed}}\)) connue, nous devons déterminer les efforts qu'elle génère à l'intérieur de la poutre. Ces "efforts internes" sont le moment fléchissant (qui mesure la tendance à la flexion) et l'effort tranchant (qui mesure la tendance au cisaillement). Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniforme, ces efforts sont maximaux au centre pour le moment et aux appuis pour le cisaillement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les diagrammes des efforts internes sont des outils graphiques essentiels. Pour notre cas, le diagramme de l'effort tranchant est linéaire (il varie de \(+pL/2\) à \(-pL/2\)) et le diagramme du moment fléchissant est parabolique, avec un sommet (le maximum) au milieu de la travée. Le moment maximal se trouve toujours là où l'effort tranchant s'annule (ici, à x=L/2).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ces deux formules, \(pL^2/8\) et \(pL/2\), sont probablement les plus utilisées en résistance des matériaux. Il est absolument fondamental de les connaître par cœur. Elles représentent le cas de charge le plus courant pour les poutres et les planchers.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des efforts internes à partir des actions est une application directe de la statique du solide et de la théorie des poutres, qui sont les fondements de la RdM et des Eurocodes. Les normes ne donnent pas ces formules, car elles sont considérées comme des connaissances de base de l'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre sur appuis simples de portée L avec une charge uniforme \(p_{\text{Ed}}\) :

\[ M_{\text{Ed,max}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \]
\[ V_{\text{Ed,max}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est parfaitement isostatique (appuis simples parfaits) et que la charge est parfaitement uniforme.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(p_{\text{Ed}} = 6.075 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
  • Portée de la traverse, \(L = 12 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! La charge est en kN/m et la portée en m. Le moment sera donc en kN·m et l'effort tranchant en kN. C'est le système d'unités standard pour les calculs de structure. Pour les calculs de résistance, il faudra souvent convertir les kN·m en N·mm (\(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)).

Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Forme attendue)
Effort Tranchant (V)+V_max?-V_max?Moment Fléchissant (M)M_max?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed,max}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{6.075 \, \text{kN/m} \cdot (12 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{6.075 \cdot 144}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 109.35 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'effort tranchant maximal :

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed,max}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L}{2} \\ &= \frac{6.075 \, \text{kN/m} \cdot 12 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{72.9}{2} \, \text{kN} \\ &= 36.45 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Valeurs calculées)
Effort Tranchant (V)36.45 kNMoment Fléchissant (M)109.35 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant quantifié les sollicitations maximales que la poutre devra supporter. Le moment de 109.35 kN·m est l'effort principal qui va dicter le choix du profilé. L'effort tranchant de 36.45 kN est généralement moins dimensionnant pour les poutres de bâtiment, mais doit tout de même être vérifié.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier le carré sur la portée L dans la formule du moment. Cela conduit à une sous-estimation dramatique de l'effort principal. Pensez aux unités : \((\text{kN/m}) \cdot \text{m}^2 = \text{kN} \cdot \text{m}\), l'unité d'un moment. C'est un bon moyen de vérifier la formule.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les efforts internes dépendent de la charge ET de la géométrie (portée L).
  • Pour une charge répartie, \(M_{\text{max}} = pL^2/8\) (au centre).
  • Pour une charge répartie, \(V_{\text{max}} = pL/2\) (aux appuis).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans un portique réel, la liaison entre la traverse et les poteaux n'est pas une simple rotule mais un encastrement. Cela change complètement les diagrammes ! Un moment négatif (qui tend la fibre supérieure) apparaît aux appuis, et le moment positif en travée est réduit (typiquement à \(pL^2/24\)). La poutre travaille beaucoup plus efficacement.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que le poids propre de la poutre est inclus ?

Dans cet exercice, il est implicitement inclus dans les charges permanentes G. Dans un calcul réel, on fait une première estimation avec un poids propre supposé, on choisit un profilé, puis on vérifie que le poids réel de ce profilé est bien inférieur ou égal à ce qu'on avait supposé.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment maximal est \(M_{\text{Ed}} = 109.35 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et l'effort tranchant maximal est \(V_{\text{Ed}} = 36.45 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 10 m au lieu de 12 m, quel serait le nouveau moment maximal en kN·m ?

Question 3 : Choisir un profilé IPE et vérifier sa résistance à la flexion

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons le moment que la poutre doit supporter (\(M_{\text{Ed}}\)), nous devons choisir dans un catalogue de profilés en acier un modèle dont la capacité de résistance (\(M_{\text{Rd}}\)) est supérieure. La capacité d'un profilé dépend de sa forme (caractérisée par le module de section plastique \(W_{\text{pl}}\)) et de la nuance de l'acier (caractérisée par la limite élastique \(f_y\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module de section plastique (\(W_{\text{pl}}\)) représente la capacité maximale d'une section à reprendre un moment fléchissant avant de former une "rotule plastique" (plastification complète de la section). Il est supérieur au module élastique (\(W_{\text{el}}\)) utilisé dans les calculs élastiques. L'utilisation de \(W_{\text{pl}}\) permet un dimensionnement plus économique en tirant parti des réserves de résistance du matériau au-delà de sa limite purement élastique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le cœur du métier de l'ingénieur structure : traduire un effort de calcul en un élément physique concret. On calcule d'abord un "module de section requis", puis on cherche dans le catalogue le profilé le plus léger (donc le plus économique) qui fournit au minimum ce module.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance en flexion des sections est détaillée dans le chapitre 6.2.5 de l'Eurocode 3 (NF EN 1991-1-1). La norme classe les sections en 4 classes. Pour les profilés IPE usuels, la section est de Classe 1, ce qui autorise l'utilisation du module de section plastique pour le calcul de la résistance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul du module de section plastique requis :

\[ W_{\text{pl,y,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_y} \]

2. Vérification du profilé choisi :

\[ \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad M_{c,\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le phénomène de déversement (flambement latéral de la semelle comprimée) est empêché par la toiture, ce qui est généralement le cas. Sinon, un calcul plus complexe serait nécessaire.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{Ed}} = 109.35 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{\text{M0}} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour la cohérence des unités, il faut convertir le moment en N·mm. \(109.35 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 109.35 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\). Comme \(f_y\) est en N/mm², le \(W_{\text{pl,req}}\) sera obtenu en mm³. Les catalogues donnent souvent les valeurs en cm³, donc n'oubliez pas de convertir (\(1 \, \text{cm}^3 = 1000 \, \text{mm}^3\)).

Schéma (Avant les calculs)
Processus de Sélection du Profilé
M_EdCalculer W_pl,reqChercher dans cataloguele 1er IPE avec W_pl > W_pl,req
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(W_{\text{pl,y,req}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl,y,req}} &\ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_y} \\ &\ge \frac{109.35 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \cdot 1.0}{235 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 465319 \, \text{mm}^3 \\ &\ge 465.3 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

2. Sélection dans le catalogue de profilés :

Profilé\(W_{\text{pl,y}}\) (cm³)Choix
IPE 240366.6❌
IPE 270509.0✔️
IPE 300628.4✔️ (surdimensionné)

On choisit donc le profilé IPE 270, qui est le plus léger satisfaisant à la condition.

3. Vérification finale du ratio de travail :

\[ \begin{aligned} M_{c,\text{Rd}} &= \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{509.0 \times 10^3 \, \text{mm}^3 \cdot 235 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 119.6 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 119.6 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} \\ &= \frac{109.35 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{119.6 \, \text{kN} \cdot \text{m}} \\ &= 0.91 \le 1.0 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
Sollicitation M_Ed=109.4Résistance M_Rd (IPE 270)=119.6OK ✔️ (Ratio = 91%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le choix de l'IPE 270 est validé. Le profilé travaille à 91% de sa capacité en flexion, ce qui est un dimensionnement optimisé et économique. Choisir un IPE 300 aurait été plus sûr mais aussi plus coûteux et plus lourd.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la confusion entre module plastique \(W_{\text{pl}}\) et module élastique \(W_{\text{el}}\). Pour les calculs de résistance en Classe 1 ou 2, on utilise le module plastique. Pour les calculs de contraintes en service (ELS), on utilise le module élastique. De plus, ne jamais oublier la conversion des unités entre kN·m et N·mm.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • On dimensionne en calculant le module de section requis : \(W_{\text{pl,req}}\).
  • On choisit le profilé le plus léger dont le \(W_{\text{pl}}\) est supérieur au \(W_{\text{pl,req}}\).
  • La vérification finale se fait en s'assurant que le ratio \(M_{\text{Ed}} / M_{\text{Rd}}\) est inférieur à 1.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poutres alvéolaires (avec des ouvertures circulaires ou hexagonales dans l'âme) sont une technique pour augmenter la hauteur (et donc l'inertie et la résistance) d'une poutre sans augmenter significativement son poids. Elles sont très efficaces pour les grandes portées où le poids propre devient un facteur critique.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si aucun profilé ne convient ?

Si même le plus gros profilé du catalogue n'est pas suffisant, l'ingénieur doit trouver d'autres solutions : utiliser un PRS (Profilé Reconstitué Soudé) sur mesure, changer la conception (ajouter un poteau intermédiaire), ou utiliser une poutre en treillis, beaucoup plus efficace pour les très grandes portées.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé IPE 270 est adéquat pour reprendre le moment fléchissant de calcul.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel \(W_{\text{pl,y,req}}\) (en cm³) serait nécessaire si on utilisait un acier S355 (\(f_y = 355 \, \text{MPa}\)) ?

Question 4 : Vérifier la flèche à l'ELS

Principe (le concept physique)

Une structure peut être suffisamment résistante pour ne pas s'effondrer (vérification ELU), mais se déformer de manière excessive en service, ce qui la rend inconfortable ou inutilisable. La vérification à l'État Limite de Service (ELS) consiste à s'assurer que la flèche (déformation) sous les charges réelles (non majorées) reste inférieure à une limite fixée par les normes, généralement une fraction de la portée (ex: L/250).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flèche \(f = \frac{5 p L^4}{384 E I}\) montre une dépendance très forte à la portée (puissance 4). Doubler la portée multiplie la flèche par 16 ! Elle dépend aussi de la rigidité de la poutre, \(E \cdot I\), qui combine la rigidité du matériau (\(E\)) et la rigidité de la forme (\(I\), le moment quadratique). C'est pourquoi on utilise le moment quadratique (\(I\)) pour les calculs de déformation, et non le module plastique (\(W_{\text{pl}}\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est souvent la vérification de la flèche qui est dimensionnante pour les poutres de grande portée, et non la résistance. On peut avoir une poutre qui résiste largement à l'ELU mais qui est une vraie "passerelle de singe" à l'ELS. Il est donc crucial de toujours effectuer les deux vérifications.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de flèche sont données dans l'Annexe Nationale de l'Eurocode 3. Pour les poutres de toiture, une limite courante est L/250 pour la flèche due aux charges variables, et L/200 pour la flèche totale. Nous utiliserons ici L/250 pour la flèche totale par simplification.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charge de service :

\[ p_{\text{ser}} = G + S \]

2. Flèche maximale :

\[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \]

3. Vérification :

\[ f_{\text{max}} \le f_{\text{adm}} = \frac{L}{250} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le module de Young de l'acier \(E = 210000\) MPa et le moment quadratique \(I_y\) de l'IPE 270 choisi, qui est donné par les catalogues.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(G = 2.5 \, \text{kN/m}\)
  • Charges de neige, \(S = 1.8 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 12 \, \text{m}\)
  • Profilé : IPE 270, avec \(I_y = 5790 \, \text{cm}^4\)
  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La gestion des unités est ici le point le plus délicat ! La formule contient \(L^4\). Il est plus simple de tout convertir dans un système cohérent, par exemple N et mm.

  • \(p_{\text{ser}}\) en N/mm
  • \(L\) en mm
  • \(E\) en N/mm² (MPa)
  • \(I_y\) en mm⁴ (\(1 \, \text{cm}^4 = 10^4 \, \text{mm}^4\))
Le résultat de la flèche sera alors directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Flèche
f_max = ?Limite adm. = L/250
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités et calcul de la charge de service :

\[ p_{\text{ser}} = 2.5 \, \text{kN/m} + 1.8 \, \text{kN/m} = 4.3 \, \text{kN/m} = 4.3 \, \text{N/mm} \]
\[ L = 12 \, \text{m} = 12000 \, \text{mm} \]
\[ I_y = 5790 \, \text{cm}^4 = 5790 \times 10^4 \, \text{mm}^4 = 5.79 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \]

2. Calcul de la flèche maximale :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \cdot p_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \\ &= \frac{5 \cdot (4.3 \, \text{N/mm}) \cdot (12000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (5.79 \times 10^7 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{4.45 \times 10^{17}}{4.67 \times 10^{18}} \, \text{mm} \\ &\approx 95.3 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche admissible et vérification :

\[ f_{\text{adm}} = \frac{L}{250} = \frac{12000 \, \text{mm}}{250} = 48 \, \text{mm} \]
\[ 95.3 \, \text{mm} > 48 \, \text{mm} \quad (\text{Ratio} = 95.3/48 \approx 1.98 > 1.0) \Rightarrow \text{NON CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche Calculée vs Admissible
Flèche calculée f_max=95.3 mmFlèche adm. f_adm=48 mmNON CONFORME ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification de la flèche n'est pas satisfaite. Bien que l'IPE 270 soit suffisamment résistant à l'ELU, il est beaucoup trop souple pour cette portée. La flèche calculée est presque le double de la limite admissible. L'ingénieur doit donc revoir sa copie et choisir un profilé plus rigide (avec une inertie \(I_y\) plus grande), par exemple un IPE 330 ou un IPE 360, et refaire les vérifications.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier la vérification à l'ELS ! C'est une erreur grave de s'arrêter après la vérification de résistance. De plus, il faut bien utiliser les charges de service (non pondérées) pour le calcul de flèche. Utiliser les charges ELU conduirait à une flèche surestimée et à un surdimensionnement inutile.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELS vise le confort et la fonctionnalité.
  • On utilise les charges de service (non majorées) : \(p_{\text{ser}} = G + S\).
  • La flèche doit être inférieure à une limite normative (ex: L/250).
  • La flèche est souvent le critère qui dimensionne les poutres de grande portée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour lutter contre la flèche, les ingénieurs utilisent parfois la "contre-flèche". Cela consiste à fabriquer la poutre avec une courbure initiale vers le haut. Une fois mise en place et chargée, la poutre se déforme vers le bas et devient (idéalement) parfaitement horizontale en service.

FAQ (pour lever les doutes)
La limite de flèche est-elle toujours L/250 ?

Non, cela dépend de l'usage du bâtiment et de la nature des éléments supportés. Pour un plancher supportant des cloisons fragiles, on peut exiger L/500. Pour une console, la limite est plus sévère (par exemple L/150). Ces limites sont spécifiées dans les annexes nationales des Eurocodes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche de l'IPE 270 (95.3 mm) est supérieure à la flèche admissible (48 mm). Le profilé n'est donc pas validé.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle inertie minimale \(I_y\) (en cm⁴) faudrait-il pour que la flèche soit exactement égale à la limite de 48 mm ?

Outil Interactif : Paramètres de la Traverse

Modifiez les paramètres du portique pour voir leur influence sur le moment de calcul et la flèche.

Paramètres d'Entrée
12 m
1.8 kN/m
Résultats Clés
Moment ELU (M_Ed) (kN·m) -
Ratio Résistance Flexion -
Ratio Flèche ELS -

Le Saviez-Vous ?

La Tour Eiffel, monument emblématique de la construction métallique, a été conçue par Gustave Eiffel en utilisant du fer puddlé, un ancêtre de l'acier moderne. Sa conception en treillis est une démonstration magistrale d'optimisation structurelle, permettant d'atteindre une hauteur record pour l'époque avec une quantité de matière relativement faible.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qui se passe si la vérification au cisaillement ne passe pas ?

C'est rare pour les profilés IPE en flexion, mais si l'effort tranchant est trop élevé, on peut ajouter des renforts verticaux dans l'âme de la poutre, appelés "raidisseurs". Ils empêchent l'âme, qui est très mince, de "voiler" (se déformer localement) sous l'effet du cisaillement.

Pourquoi utiliser de l'acier S235 et pas un acier plus résistant ?

L'acier S235 est le plus courant et le moins cher. Utiliser un acier plus résistant (comme le S355) permettrait de choisir un profilé plus petit pour la même résistance (ELU), mais ne changerait rien à la flèche (ELS), car le module de Young E est le même pour tous les aciers. Le choix dépend donc d'un bilan économique : est-ce que le gain sur le poids du profilé compense le surcoût de la nuance d'acier ?

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la portée (L) d'une traverse double, son moment fléchissant maximal (\(M_{\text{Ed}}\)) est...

2. Quelle vérification est généralement la plus critique (dimensionnante) pour les poutres en acier de grande portée ?

État Limite Ultime (ELU)
État qui correspond à la ruine ou à un endommagement majeur de la structure. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité des personnes en vérifiant la résistance et la stabilité.
État Limite de Service (ELS)
État au-delà duquel les critères d'aptitude au service ne sont plus respectés (déformations excessives, vibrations, etc.). Les calculs à l'ELS visent à garantir le confort des usagers et le bon fonctionnement de l'ouvrage.
Profilé IPE
Poutrelle en I à Profil Européen. Famille de profilés en acier laminés à chaud, normalisés, caractérisés par une grande inertie pour un poids optimisé, ce qui les rend idéaux pour la flexion.
Calcul d’une Charpente Métallique

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