Calcul du Volume et Foisonnement des Roches
Contexte : L'excavation de roches dans une carrière.
Dans une exploitation minière à ciel ouvert, une voléeQuantité de roche fragmentée lors d'une seule opération de tir à l'explosif. de granite doit être abattue à l'explosif pour être ensuite chargée et transportée. Lorsqu'on fragmente la roche massive, elle se divise en blocs de tailles diverses. L'espace créé entre ces blocs (les vides) provoque une augmentation du volume total. Ce phénomène, appelé le foisonnementAugmentation du volume apparent des matériaux après leur extraction du site d'origine., est un paramètre fondamental à maîtriser pour planifier la logistique du chantier, notamment le nombre de camions nécessaires à l'évacuation des matériaux.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier l'impact du foisonnement sur les volumes et à l'utiliser pour des calculs opérationnels concrets, comme la gestion d'une flotte de transport.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et définir le phénomène de foisonnement.
- Calculer le volume de roche en place et le volume foisonné.
- Calculer la masse totale à évacuer en utilisant la masse volumique en place.
- Dimensionner le nombre de rotations de camions pour évacuer les matériaux.
Données de l'étude
Schéma de la volée de tir
Fiche Technique
| Caractéristique | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur de la volée | L | 50 | m |
| Largeur de la volée | l | 15 | m |
| Hauteur de la volée | H | 10 | m |
| Masse volumique du granite en place | \(\rho_{\text{place}}\) | 2.7 | t/m³ |
| Coefficient de foisonnement | \(C_f\) | 40 | % |
| Capacité de charge utile d'un camion | \(C_{\text{camion}}\) | 25 | tonnes |
Questions à traiter
- Calculer le volume de roche en place (\(V_{\text{place}}\)) avant l'abattage.
- Calculer le volume total de roche foisonnée (\(V_{\text{foisonné}}\)) à transporter.
- Calculer la masse totale (\(M\)) de la roche à évacuer.
- Déterminer le nombre de rotations de camion (\(N_{\text{rotations}}\)) nécessaires pour évacuer l'ensemble de la volée.
Les bases sur le Volume et le Foisonnement
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques concepts clés liés à la mécanique des roches et à la logistique de chantier.
1. Volume en Place vs. Volume Foisonné
Le volume en place est le volume de la roche dans son état naturel, avant toute excavation. Le volume foisonné est le volume que cette même quantité de roche occupe après avoir été fragmentée. Il est toujours supérieur au volume en place à cause des vides créés entre les blocs.
Où \(C_f\) est le coefficient de foisonnement exprimé en décimal (ex: 40% = 0.40).
2. Masse et Masse Volumique
La masse d'un matériau ne change pas, qu'il soit en place ou foisonné. Elle se calcule toujours à partir du volume en place et de la masse volumique en place.
\[ M = V_{\text{place}} \times \rho_{\text{place}} \]
La masse volumique apparente (ou foisonnée) diminue car le même poids occupe un plus grand volume : \(\rho_{\text{foisonné}} = \frac{\rho_{\text{place}}}{1+C_f}\).
Correction : Calcul du Volume et Foisonnement des Roches
Question 1 : Calculer le volume de roche en place (\(V_{\text{place}}\))
Principe
Le volume en place correspond au volume géométrique du bloc de roche avant qu'il ne soit fragmenté par l'explosion. Comme la volée a une forme de parallélépipède rectangle, son volume est simplement le produit de ses trois dimensions.
Mini-Cours
La géométrie euclidienne nous enseigne que le volume d'un solide droit est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur. Pour un parallélépipède, la base est un rectangle (d'aire L x l), que l'on multiplie par la hauteur H. Ce calcul est fondamental pour quantifier tout matériau avant son extraction.
Remarque Pédagogique
La première étape de tout problème de quantification est d'identifier la forme géométrique de l'objet d'étude. En simplifiant le réel à des formes simples (carré, cube, cylindre), on peut utiliser des formules connues pour obtenir une estimation fiable.
Normes
Bien qu'il s'agisse d'un calcul géométrique de base, les levés topographiques qui permettent d'obtenir les dimensions (L, l, H) sont, eux, encadrés par des normes de précision (par exemple, les classes de précision topographique).
Formule(s)
Formule du volume du parallélépipède
Hypothèses
On formule l'hypothèse que le volume de la volée peut être assimilé à un parallélépipède rectangle parfait, sans irrégularités de surface.
Donnée(s)
Nous extrayons les dimensions de la volée depuis la fiche technique de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur | L | 50 | m |
| Largeur | l | 15 | m |
| Hauteur | H | 10 | m |
Astuces
Pour des formes plus complexes sur le terrain, les ingénieurs décomposent souvent le volume total en une somme de volumes géométriques plus simples (plusieurs cubes, des prismes, etc.).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre la forme parallélépipédique de la volée dont nous calculons le volume.
Schéma de la volée de tir
Calcul(s)
Calcul du volume en place
Schéma (Après les calculs)
Le schéma suivant représente le volume de roche en place calculé.
Volume en place calculé
Réflexions
Cette valeur de 7 500 m³ représente notre 'capital roche' de départ. C'est la quantité de matière première que nous allons extraire. Tous les autres calculs (volume foisonné, masse, transport) découleront de cette valeur initiale.
Points de vigilance
Assurez-vous toujours que toutes les dimensions sont dans la même unité (ici, des mètres) avant de les multiplier. Une erreur de conversion d'unité est l'une des sources d'erreur les plus communes.
Points à retenir
Pour quantifier un volume simple, la démarche est : 1. Identifier la forme géométrique. 2. Choisir la bonne formule. 3. Appliquer la formule en vérifiant la cohérence des unités.
Le saviez-vous ?
Les mines modernes utilisent des drones équipés de capteurs LiDAR ou photogrammétriques pour créer des modèles 3D extrêmement précis des fronts de taille. Les logiciels calculent ensuite les volumes à abattre avec une précision bien supérieure aux méthodes manuelles.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la hauteur de la volée était de 12 m au lieu de 10 m, quel serait le nouveau volume en place ?
Question 2 : Calculer le volume total de roche foisonnée (\(V_{\text{foisonné}}\))
Principe
Le volume foisonné est le volume en place augmenté d'un certain pourcentage, défini par le coefficient de foisonnement. Il représente le volume réel que les débris occuperont et qu'il faudra transporter.
Mini-Cours
Le coefficient de foisonnement n'est pas une constante universelle. Il dépend de nombreux facteurs : le type de roche (dureté, fracturation naturelle), la méthode d'abattage (un tir puissant crée plus de fines particules et peut légèrement réduire le foisonnement par rapport à un tir plus doux), et la taille des blocs après fragmentation (granulométrie).
Remarque Pédagogique
L'erreur classique est d'oublier de convertir le pourcentage en décimal. Pensez toujours que "pour cent" signifie "divisé par 100". Ajouter 40% revient à multiplier par (1 + 40/100), soit 1.40.
Normes
Le coefficient de foisonnement est une valeur empirique. Il n'y a pas de norme au sens strict, mais des valeurs de référence sont disponibles dans les manuels de l'ingénieur minier (comme le SME Mining Engineering Handbook) pour différents types de roches.
Formule(s)
Formule du volume foisonné
Hypothèses
Nous supposons que le coefficient de foisonnement de 40% est homogène et s'applique de manière uniforme à l'ensemble de la roche abattue.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Volume en place | \(V_{\text{place}}\) | 7500 | m³ |
| Coefficient de foisonnement | \(C_f\) | 40 | % |
Astuces
Pour une estimation rapide, vous pouvez calculer mentalement la valeur du foisonnement (40% de 7500 = 10% * 4 = 750 * 4 = 3000) et l'ajouter au volume initial (7500 + 3000 = 10500 m³).
Schéma (Avant les calculs)
On peut se représenter un volume de roche compacte qui, une fois fragmenté, remplit un conteneur plus grand pour illustrer l'augmentation de volume.
Illustration du Foisonnement
Calcul(s)
Conversion du coefficient de foisonnement
Calcul du volume foisonné
Schéma (Après les calculs)
Un diagramme en barres permet de visualiser l'augmentation de volume entre l'état "en place" et l'état "foisonné".
Comparaison des Volumes
Réflexions
Le volume a augmenté de 3000 m³ (10500 - 7500), ce qui représente bien 40% du volume initial (7500 * 0.40 = 3000). Cette augmentation significative a un impact direct sur la logistique de transport : il faudra gérer un volume de déblais 40% plus grand que le volume excavé.
Points de vigilance
Attention à ne pas multiplier le volume en place par le coefficient de foisonnement seul (7500 x 0.40). Cela donnerait l'augmentation de volume (3000 m³), mais pas le volume final. Il faut bien multiplier par (1 + \(C_f\)).
Points à retenir
Le foisonnement augmente toujours le volume. La formule clé est \(V_{\text{foisonné}} = V_{\text{place}} \times (1 + C_f)\). Le coefficient \(C_f\) doit être en décimal.
Le saviez-vous ?
Le coefficient de foisonnement varie énormément d'un matériau à l'autre. Pour de la terre végétale, il peut être de 10-25%, pour du sable ou du gravier, de 15-20%, alors que pour des roches dures et dynamitées, il peut atteindre 50% voire 70%.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la roche était du calcaire avec un coefficient de foisonnement de 35%, quel serait le volume foisonné pour le même volume en place de 7500 m³ ?
Question 3 : Calculer la masse totale (\(M\)) de la roche
Principe
La masse de la roche reste inchangée, qu'elle soit compacte ou fragmentée (principe de conservation de la masse de Lavoisier). Pour la calculer, on doit utiliser les caractéristiques de la roche avant foisonnement : son volume en place et sa masse volumique en place.
Mini-Cours
La masse volumique (\(\rho\)) est une propriété intrinsèque d'un matériau compact. Elle représente la quantité de matière contenue dans un volume donné. Le foisonnement ne détruit pas la matière, il ne fait qu'ajouter des vides. La masse totale reste donc constante. C'est pourquoi le calcul de la masse doit toujours se baser sur les caractéristiques du matériau "en place".
Remarque Pédagogique
Pensez à un kilo de plumes et un kilo de plomb. Ils ont la même masse, mais des volumes très différents. Ici, la roche en place est le "plomb" et la roche foisonnée est les "plumes" : la masse est la même, seul le volume apparent change. Utilisez toujours le volume le plus dense (en place) pour trouver la masse.
Normes
La détermination de la masse volumique des roches se fait en laboratoire sur des échantillons (carottes de forage) et suit des protocoles normalisés (par exemple, les normes ASTM D7263 ou ISRM Suggested Methods).
Formule(s)
Formule de la masse
Hypothèses
On suppose que la masse volumique de 2.7 t/m³ est constante et homogène dans tout le massif rocheux étudié.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Volume en place | \(V_{\text{place}}\) | 7500 | m³ |
| Masse volumique en place | \(\rho_{\text{place}}\) | 2.7 | t/m³ |
Astuces
Vérifiez la cohérence des unités : en multipliant des [m³] par des [t/m³], les [m³] s'annulent et on obtient bien un résultat en [t] (tonnes).
Schéma (Avant les calculs)
On visualise le bloc de roche initial, auquel on associe sa propriété de masse volumique.
Propriétés de la roche en place
Calcul(s)
Calcul de la masse totale
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma représente la masse totale calculée, indépendamment de son volume.
Masse totale à évacuer
Réflexions
Cette masse de 20 250 tonnes est la charge totale que notre système de transport devra évacuer. C'est la donnée clé pour dimensionner les équipements de chargement (pelles) et de transport (camions).
Points de vigilance
Une erreur fréquente est de multiplier le volume foisonné par la masse volumique en place. C'est incorrect car la masse volumique en place s'applique uniquement au volume en place. La masse est une propriété intrinsèque qui ne change pas avec le volume.
Points à retenir
La masse ne change pas. On la calcule TOUJOURS avec le volume EN PLACE et la masse volumique EN PLACE. La formule est \( M = V_{\text{place}} \times \rho_{\text{place}} \).
Le saviez-vous ?
La densité des roches varie : le basalte est très dense (environ 3.0 t/m³), le granite est moyennement dense (2.6-2.7 t/m³), tandis que le grès est plus léger (2.2-2.4 t/m³). Ces différences ont un impact direct sur les coûts de transport.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la masse totale si la roche était du grès avec une masse volumique de 2.3 t/m³ (pour le même volume en place) ?
Question 4 : Déterminer le nombre de rotations de camion (\(N_{\text{rotations}}\))
Principe
Pour trouver le nombre de voyages nécessaires, on divise la masse totale de roche à transporter par la capacité de charge maximale d'un camion. Le résultat doit être arrondi à l'entier supérieur, car on ne peut pas faire une fraction de voyage.
Mini-Cours
Le calcul du nombre de rotations est une brique essentielle de la planification minière. Il permet de définir le "cycle camion" (temps de chargement, transport aller, vidage, transport retour). En multipliant ce temps de cycle par le nombre de rotations, on peut estimer la durée totale de l'opération d'évacuation et ainsi planifier les étapes suivantes du processus minier.
Remarque Pédagogique
L'arrondi est une étape cruciale qui a un sens physique : si vous avez besoin de 810.3 camions, vous ne pouvez pas en envoyer "0.3". Vous devez donc en envoyer 810 pleins, et un 811ème qui sera partiellement rempli mais qui doit quand même faire le voyage. On arrondit donc toujours à l'entier supérieur.
Normes
La gestion de flotte de camions dans les grandes mines est optimisée par des logiciels spécialisés (Fleet Management Systems comme DISPATCH® ou Wenco) qui suivent des algorithmes d'optimisation pour minimiser les temps d'attente et maximiser le tonnage transporté par heure.
Formule(s)
Formule du nombre de rotations
Le symbole \(\lceil \dots \rceil\) représente la fonction "plafond", qui arrondit au nombre entier immédiatement supérieur.
Hypothèses
On suppose que la capacité de 25 tonnes du camion est la charge utile effective et qu'elle est constante pour chaque voyage. On ne tient pas compte des éventuelles variations de chargement.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse totale | M | 20250 | tonnes |
| Capacité du camion | \(C_{\text{camion}}\) | 25 | tonnes |
Astuces
Le nombre de rotations est directement lié au coût de transport (carburant, maintenance, salaire du chauffeur). Une petite variation de ce nombre sur une grande exploitation peut représenter des économies ou des surcoûts très importants.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre la masse totale à transporter et la capacité d'un seul camion, préparant à la division.
Division de la masse totale
Calcul(s)
Calcul du nombre de rotations
Le résultat est un nombre entier, donc l'arrondi n'est pas nécessaire ici. S'il avait été de 810.3, il aurait fallu prévoir 811 rotations.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma final représente la flotte de camions nécessaire pour l'opération.
Flotte de transport requise
Réflexions
810 voyages représentent un effort logistique considérable. Ce chiffre permet au chef de chantier de planifier les ressources : combien de camions affecter à cette tâche, pendant combien de temps, et d'anticiper les possibles goulets d'étranglement (par exemple, si la pelle ne peut charger qu'un camion toutes les 5 minutes).
Points de vigilance
Ne jamais oublier d'arrondir à l'entier SUPÉRIEUR. Un résultat de 810.1 signifie qu'il y a un reliquat de matière à transporter, ce qui nécessite un 811ème voyage complet. L'arrondi mathématique classique (à l'entier le plus proche) serait une erreur grave en planification.
Points à retenir
Le nombre de rotations est la masse totale à transporter divisée par la capacité de charge d'un camion. Toujours arrondir le résultat à l'entier supérieur.
Le saviez-vous ?
Les plus grands camions miniers du monde, comme le BelAZ 75710, peuvent transporter plus de 450 tonnes en un seul voyage, soit la charge de 18 camions comme celui de notre exercice !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Et si la capacité des camions n'était que de 22 tonnes ? Combien de rotations faudrait-il ?
Outil Interactif : Simulateur de Foisonnement
Utilisez les curseurs pour modifier les dimensions de la volée ou le coefficient de foisonnement et observez en temps réel l'impact sur le volume et le nombre de rotations de camions nécessaires.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce que le "foisonnement" ?
2. Si 100 m³ de roche en place ont un coefficient de foisonnement de 50%, quel est le volume final ?
3. Quel effet le foisonnement a-t-il sur la masse volumique de la roche ?
4. Pour calculer la masse totale de roche à excaver, on multiplie :
5. Si on calcule 102.4 rotations de camion, combien de voyages faut-il planifier ?
Glossaire
- Foisonnement
- Augmentation du volume apparent des roches (ou des sols) après leur extraction ou fragmentation, due à la création de vides entre les fragments.
- Masse Volumique en Place
- Masse de la roche par unité de volume dans son état naturel, avant abattage. Elle caractérise la roche compacte.
- Masse Volumique Apparente (ou Foisonnée)
- Masse de la roche fragmentée par unité de volume foisonné. Elle est toujours inférieure à la masse volumique en place.
- Volée (ou volée de tir)
- Quantité de roche abattue lors d'une seule opération de tir à l'explosif.
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