Calcul du Temps de Séjour de l’Eau

Données de l’exercice

• Capacité du réservoir : 500 m³ (Cette donnée n’est pas directement utilisée dans le calcul du temps de parcours dans le réseau, mais elle est utile dans un bilan global de distribution.)
• Consommation journalière moyenne d’eau : 350 m³/jour
• Longueur totale du réseau de distribution : 50 km = 50 000 m
• Diamètre moyen des conduites : 200 mm = 0,2 m
• Viscosité de l’eau à 20 °C : \(1 \times 10^{-3}\) Pa⋅s (Cette donnée pourra servir dans une analyse plus poussée du régime d’écoulement ; ici, nous la laissons de côté car l’exercice se focalise sur la vitesse et le temps de parcours.)

1. Calcul du débit volumique moyen de l’eau dans les conduites

Le débit volumique moyen, noté \( Q \), représente le volume d’eau qui s’écoule par seconde. Il se calcule par la formule :

\[ Q = \frac{V}{t} \]

où :
- \( V \) est le volume d’eau (en m³) consommé par jour,
- \( t \) est le temps considéré (en secondes).

Données

• Volume journalier : \( V = 350 \) m³
• Durée d’une journée : \( t = 24 \, \text{h} \times 3600 \, \text{s/h} = 86\,400 \) s

Calcul

\[ Q = \frac{350 \, \text{m}^3}{86\,400 \, \text{s}} \approx 0,00405 \, \text{m}^3/\text{s} \]

Interprétation : Le débit moyen est d’environ 0,00405 m³/s.

2. Estimation du temps de séjour moyen de l’eau dans le réseau

Étape 2.1 : Calcul de la vitesse moyenne de l’eau dans les conduites

La vitesse moyenne \( v \) est obtenue à partir du débit volumique \( Q \) et de la section transversale \( A \) des conduites. La relation est :

\[ v = \frac{Q}{A} \]

où \( A \) est la surface de la section de la conduite.

Données

• \( Q = 0,00405 \) m³/s
• Diamètre de la conduite \( D = 0,2 \) m
• La surface \( A \) de la section circulaire se calcule par :
  \[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
• En substituant :
  \[ A = \frac{\pi (0,2)^2}{4} = \frac{\pi \times 0,04}{4} \] \[ A = \pi \times 0,01 \] \[ A \approx 0,031416 \, \text{m}^2 \]

Calcul

\[ v = \frac{0,00405 \, \text{m}^3/\text{s}}{0,031416 \, \text{m}^2} \approx 0,129 \, \text{m/s} \]

Interprétation : L’eau s’écoule en moyenne à environ 0,129 m/s dans les conduites.

Étape 2.2 : Calcul du temps de séjour

Le temps de séjour \( t_{\text{séjour}} \) correspond au temps que met l’eau pour parcourir la longueur totale du réseau. Il se calcule par la formule :

\[ t_{\text{séjour}} = \frac{L}{v} \]

où :
- \( L \) est la longueur totale du réseau,
- \( v \) est la vitesse moyenne calculée précédemment.

Données

• \( L = 50\,000 \) m
• \( v \approx 0,129 \) m/s

Calcul

\[ t_{\text{séjour}} = \frac{50\,000 \, \text{m}}{0,129 \, \text{m/s}} \approx 387\,597 \, \text{s} \]

Pour rendre ce temps plus parlant, le convertissons en heures puis en jours :

• En heures :
  \[ \frac{387\,597 \, \text{s}}{3600 \, \text{s/h}} \approx 107,66 \, \text{heures} \]
• En jours :
  \[ \frac{107,66 \, \text{heures}}{24 \, \text{h/jour}} \approx 4,49 \, \text{jours} \]

Interprétation : Le temps de séjour moyen de l’eau dans le réseau est d’environ 4,49 jours.

3. Analyse de l’impact d’une augmentation de 10 % de la consommation journalière sur le temps de séjour

Si la consommation journalière augmente, le débit volumique \( Q \) augmente également, ce qui se traduit par une vitesse plus élevée dans les conduites et donc un temps de séjour réduit.

Étape 3.1 : Nouveau débit volumique

Données

• Consommation initiale : 350 m³/jour
• Augmentation de 10 % :
  \[ 350 \times 1,10 = 385 \, \text{m}^3/\text{jour} \]
• Durée d’une journée : toujours \( 86\,400 \) s

Calcul du nouveau débit

\[ Q_{\text{nouveau}} = \frac{385 \, \text{m}^3}{86\,400 \, \text{s}} \approx 0,004456 \, \text{m}^3/\text{s} \]

Étape 3.2 : Nouvelle vitesse moyenne dans les conduites

En utilisant la même surface de section \( A \approx 0,031416 \, \text{m}^2 \), la nouvelle vitesse est calculée par :

Calcul

\[ v_{\text{nouveau}} = \frac{Q_{\text{nouveau}}}{A} \] \[ v_{\text{nouveau}} = \frac{0,004456 \, \text{m}^3/\text{s}}{0,031416 \, \text{m}^2} \] \[ v_{\text{nouveau}} \approx 0,142 \, \text{m/s} \]

Étape 3.3 : Nouveau temps de séjour

Avec la nouvelle vitesse, le temps de séjour se recalcule par :

\[ t_{\text{séjour, nouveau}} = \frac{L}{v_{\text{nouveau}}} \]

Données

• \( L = 50\,000 \) m
• \( v_{\text{nouveau}} \approx 0,142 \) m/s

Calcul

\[ t_{\text{séjour, nouveau}} = \frac{50\,000 \, \text{m}}{0,142 \, \text{m/s}} \approx 352\,270 \, \text{s} \]

Conversion en heures puis en jours :

• En heures :
  \[ \frac{352\,270 \, \text{s}}{3600 \, \text{s/h}} \approx 97,85 \, \text{heures} \]
• En jours :
  \[ \frac{97,85 \, \text{heures}}{24 \, \text{h/jour}} \approx 4,08 \, \text{jours} \]

Interprétation : L’augmentation de 10 % de la consommation fait passer le temps de séjour de 4,49 jours à environ 4,08 jours, soit une diminution d’environ 0,41 jour (environ 9 à 10 % de réduction).

Conclusion

• Débit volumique moyen initial : ~0,00405 m³/s
• Vitesse moyenne dans les conduites : ~0,129 m/s
• Temps de séjour moyen initial dans le réseau : ~4,49 jours
• Après une augmentation de 10 % de la consommation :
  • Nouveau débit : ~0,004456 m³/s
  • Nouvelle vitesse : ~0,142 m/s
  • Nouveau temps de séjour : ~4,08 jours

Calcul du Temps de Séjour de l’Eau