Calcul du Ratio d'Armature en Béton Armé

Comprendre le Calcul du Ratio d’Armature en Béton Armé

Vous êtes ingénieur en génie civil chargé de concevoir une dalle en béton armé pour un bâtiment résidentiel. La dalle est de forme rectangulaire et doit supporter à la fois son propre poids ainsi que les charges d’usage résidentiel.

Objectif : Votre tâche consiste à déterminer le ratio d’armature nécessaire pour cette dalle en respectant les normes de construction en vigueur.

Données Fournies

Dimensions de la dalle :
- Longueur : 6 \(\text{m}\)
- Largeur : 4 \(\text{m}\)
- Épaisseur (\(h\)) : 0.2 \(\text{m}\)
Charges appliquées :
- Poids volumique du béton armé (\(\gamma_{béton}\)) : 25 \(\text{kN/m}^3\) (pour calcul poids propre)
- Charge d’exploitation (\(q_{exp}\)) : 2 \(\text{kN/m}^2\) (charges d’usage résidentiel)
Caractéristiques des matériaux :
- Résistance caractéristique à la compression du béton (\(f'_{c}\) ou \(f_{ck}\)) : 30 \(\text{MPa}\)
- Limite d'élasticité caractéristique de l’acier d’armature (\(f_y\) ou \(f_{yk}\)) : 500 \(\text{MPa}\)
Normes de construction (simplifié) :
- Le ratio minimal d’armature (\(\rho_{min}\)) pour les dalles est de 0.2% (soit 0.002).
- Facteurs de sécurité Eurocode (ELU) : \(\gamma_G = 1.35\) (permanentes), \(\gamma_Q = 1.5\) (exploitation)
- Coefficient pour résistance de calcul béton : \(\alpha_{cc} = 0.85\)
- Facteurs partiels matériaux : \(\gamma_c = 1.5\) (béton), \(\gamma_s = 1.15\) (acier)

Questions

Calculez la charge totale pondérée (\(q_u\)) que la dalle doit supporter à l'État Limite Ultime (ELU).
Déterminez le moment fléchissant maximum de calcul (\(M_u\)) dans la dalle.
Définissez la section transversale de calcul (largeur \(b\), hauteur utile \(d\)).
Calculez la surface d'acier d'armature nécessaire (\(A_s\)) pour résister à ce moment.
Calculez le ratio d’armature (\(\rho\)) et vérifiez s'il respecte le minimum requis par les normes. Déterminez l'aire d'armature finale à mettre en place (\(A_{s,final}\)).

Correction : Calcul du Ratio d’Armature en Béton Armé

Étape 1 : Détermination des Charges Totales Pondérées (\(q_u\))

Objectif :

Calculer la charge totale que la dalle doit supporter par mètre carré, en tenant compte des facteurs de sécurité pour l'État Limite Ultime (ELU). L'ELU correspond à la vérification de la résistance de la structure.

Calcul de la charge permanente (poids propre, \(g\)) :

Le poids propre est une charge permanente. On le calcule en multipliant l'épaisseur de la dalle par le poids volumique du béton armé.

g = \text{épaisseur} \times \gamma_{béton}

Épaisseur \(h = 0.2 \, \text{m}\)
\(\gamma_{béton} = 25 \, \text{kN/m}^3\)

g = 0.2 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \] \[ g = 5.0 \, \text{kN/m}^2

Calcul de la charge totale pondérée (\(q_u\)) :

On applique les facteurs de sécurité (\(\gamma_G\) pour les charges permanentes et \(\gamma_Q\) pour les charges d'exploitation) pour obtenir la charge de calcul à l'ELU.

q_u = \gamma_G \times g + \gamma_Q \times q_{exp}

\(g = 5.0 \, \text{kN/m}^2\)
\(q_{exp} = 2.0 \, \text{kN/m}^2\)
\(\gamma_G = 1.35\)
\(\gamma_Q = 1.5\)

q_u = (1.35 \times 5.0 \, \text{kN/m}^2) + (1.5 \times 2.0 \, \text{kN/m}^2) \] \[ q_u = 6.75 \, \text{kN/m}^2 + 3.0 \, \text{kN/m}^2 \] \[ q_u = 9.75 \, \text{kN/m}^2

Résultat Étape 1 :

La charge totale pondérée à considérer pour le calcul à l'ELU est \(q_u = 9.75 \, \text{kN/m}^2\).

Étape 2 : Calcul du Moment Fléchissant de Calcul (\(M_u\))

Objectif :

Déterminer l'effort interne maximal (le moment fléchissant) que la dalle doit pouvoir supporter sans rompre. Ce moment dépend des charges et de la manière dont la dalle est supportée (ses appuis et sa portée).

Hypothèse de calcul :

Pour une dalle rectangulaire, le calcul exact dépend des conditions d'appui sur les 4 côtés. Une simplification courante (et souvent sécuritaire pour le dimensionnement de l'armature principale) est de considérer la dalle comme une poutre simplement appuyée sur sa plus petite portée (ici, la largeur de 4m), car c'est dans cette direction que la flexion sera la plus critique.

On considère une bande de dalle de 1 mètre de large, simplement appuyée sur la portée la plus courte (\(L = 4 \, \text{m}\)).

Formule du moment maximal pour une poutre simplement appuyée :

Pour une charge uniformément répartie \(q_u\) sur une poutre de portée \(L\) simplement appuyée, le moment maximal se produit au milieu de la portée.

M_u = \frac{q_u L^2}{8}

Données :

\(q_u = 9.75 \, \text{kN/m}^2\)
Portée \(L = 4 \, \text{m}\)

Calcul :

On calcule le moment par mètre linéaire de dalle.

M_u = \frac{(9.75 \, \text{kN/m}^2) \times (4 \, \text{m})^2}{8} \] \[ M_u = \frac{9.75 \times 16}{8} \, \frac{\text{kN} \cdot \text{m}^2}{\text{m}} \] \[ M_u = 9.75 \times 2 \, \text{kN} \cdot \text{m/m} \] \[ M_u = 19.5 \, \text{kN} \cdot \text{m/m}

Résultat Étape 2 :

Le moment fléchissant maximum de calcul par mètre de largeur de dalle est \(M_u = 19.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Étape 3 : Définition de la Section Transversale de Calcul

Objectif :

Définir les dimensions géométriques de la section de béton qui résiste au moment fléchissant. On travaille sur une bande de 1m de large. La dimension la plus importante est la "hauteur utile" (\(d\)), qui est la distance entre la fibre la plus comprimée du béton et le centre de gravité des aciers tendus.

Dimensions :

Largeur de la bande de calcul (\(b\)) = 1 \(\text{m}\) = 1000 \(\text{mm}\)
Hauteur totale de la dalle (\(h\)) = 0.2 \(\text{m}\) = 200 \(\text{mm}\)

Calcul de la hauteur utile (\(d\)) :

La hauteur utile \(d\) est la hauteur totale \(h\) moins l'enrobage des aciers (\(c\), la couche de béton protégeant les barres) et moins la moitié du diamètre des barres d'armature (\(\phi\)). L'enrobage dépend des conditions d'exposition (ici, intérieur, on peut prendre \(c \approx 30 \, \text{mm}\)). Le diamètre des barres est une hypothèse initiale (souvent 8, 10 ou 12 mm pour une dalle).

d = h - c - \frac{\phi}{2}

\(h = 200 \, \text{mm}\)
Hypothèse : Enrobage \(c = 30 \, \text{mm}\)
Hypothèse : Diamètre des barres \(\phi = 10 \, \text{mm}\)

d = 200 \, \text{mm} - 30 \, \text{mm} - \frac{10 \, \text{mm}}{2} \] \[ d = 200 - 30 - 5 \] \[ d = 165 \, \text{mm}

Schéma : Section Transversale

Résultat Étape 3 :

La section de calcul est une bande de largeur \(b = 1000 \, \text{mm}\) avec une hauteur utile \(d = 165 \, \text{mm}\).

Étape 4 : Calcul de l’Armature Nécessaire (\(A_s\))

Objectif :

Calculer la quantité d'acier (section \(A_s\), en mm² par mètre de largeur) nécessaire dans la partie tendue de la dalle (en bas, là où le béton risque de fissurer sous l'effet de la flexion) pour résister au moment de calcul \(M_u\).

Calcul des résistances de calcul des matériaux :

On utilise les résistances caractéristiques (\(f_{ck}\), \(f_{yk}\)) divisées par les facteurs partiels de sécurité (\(\gamma_c\), \(\gamma_s\)) pour obtenir les résistances de calcul (\(f_{cd}\), \(f_{yd}\)). Le coefficient \(\alpha_{cc}\) (souvent 0.85 ou 1.0) tient compte des effets à long terme sur la résistance du béton.

f_{cd} = \alpha_{cc} \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \] \[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}

\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
\(\alpha_{cc} = 0.85\)
\(\gamma_c = 1.5\)
\(\gamma_s = 1.15\)

f_{cd} = 0.85 \times \frac{30 \, \text{MPa}}{1.5} \] \[ f_{cd} = 0.85 \times 20 = 17 \, \text{MPa} \] \[ f_{yd} = \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \approx 434.8 \, \text{MPa}

Calcul du moment réduit (\(\mu\)) :

Le moment réduit est un nombre sans dimension qui compare le moment appliqué à la capacité de la section de béton seule. Il permet de savoir si la section est suffisamment grande ou s'il faut des aciers comprimés (ce qui est rare pour une dalle).

\mu = \frac{M_u}{b d^2 f_{cd}}

\(M_u = 19.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 19.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
\(b = 1000 \, \text{mm}\)
\(d = 165 \, \text{mm}\)
\(f_{cd} = 17 \, \text{MPa} = 17 \, \text{N/mm}^2\)

\mu = \frac{19.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{(1000 \, \text{mm}) \times (165 \, \text{mm})^2 \times (17 \, \text{N/mm}^2)} \] \[ \mu = \frac{19.5 \times 10^6}{1000 \times 27225 \times 17} \] \[ \mu = \frac{19.5 \times 10^6}{462825000} \approx 0.0421

Ce moment réduit est faible (inférieur aux limites habituelles, ex: \(\mu_{lim} \approx 0.37\)), ce qui confirme qu'on n'a pas besoin d'aciers comprimés.

Calcul du bras de levier (\(z\)) :

Le bras de levier \(z\) est la distance verticale entre la résultante des forces de compression dans le béton et la résultante des forces de traction dans l'acier. Il permet de relier le moment aux forces internes.

On calcule d'abord \(\alpha = 1.25(1 - \sqrt{1 - 2\mu})\), puis \(z = d(1 - 0.4\alpha)\).

\alpha = 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 2 \times 0.0421}) \] \[ \alpha = 1.25 \times (1 - \sqrt{1 - 0.0842}) \] \[ \alpha = 1.25 \times (1 - \sqrt{0.9158}) \] \[ \alpha \approx 1.25 \times (1 - 0.9570) \] \[ \alpha = 1.25 \times 0.0430 \] \[ \alpha \approx 0.0538

z = d (1 - 0.4 \alpha) \] \[ z = 165 \, \text{mm} \times (1 - 0.4 \times 0.0538) \] \[ z = 165 \times (1 - 0.0215) \] \[ z = 165 \times 0.9785 \] \[ z \approx 161.45 \, \text{mm}

Calcul de la section d'acier (\(A_s\)) :

L'acier doit reprendre la force de traction générée par le moment, calculée avec le bras de levier \(z\) et la résistance de calcul de l'acier \(f_{yd}\).

A_s = \frac{M_u}{z f_{yd}}

\(M_u = 19.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
\(z \approx 161.45 \, \text{mm}\)
\(f_{yd} \approx 434.8 \, \text{N/mm}^2\)

A_s = \frac{19.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{(161.45 \, \text{mm}) \times (434.8 \, \text{N/mm}^2)} \] \[ A_s \approx \frac{19.5 \times 10^6}{70190} \, \text{mm}^2/\text{m} \] \[ A_s \approx 277.8 \, \text{mm}^2/\text{m}

Résultat Étape 4 :

La section d'acier théoriquement nécessaire est \(A_s \approx 278 \, \text{mm}^2\) par mètre de largeur de dalle.

Étape 5 : Vérification des Normes (Ratio d'Armature)

Objectif :

Vérifier que la quantité d'acier calculée (\(A_s\)) respecte le minimum requis par les normes pour éviter une rupture fragile et contrôler la fissuration. On calcule le ratio d'armature \(\rho\) et on le compare au ratio minimum \(\rho_{min}\).

Calcul du ratio d'armature (\(\rho\)) :

Le ratio est la section d'acier divisée par la section utile de béton (\(b \times d\)).

\rho = \frac{A_s}{b d}

\(A_s \approx 278 \, \text{mm}^2/\text{m}\)
\(b = 1000 \, \text{mm}\)
\(d = 165 \, \text{mm}\)

\rho = \frac{278 \, \text{mm}^2}{1000 \, \text{mm} \times 165 \, \text{mm}} \] \[ \rho \approx 0.00168 \] \[ \rho \approx 0.168 \%

Vérification par rapport au minimum :

La norme spécifiée dans l'énoncé impose un ratio minimal de 0.2%.

Ratio calculé \(\rho \approx 0.168 \%\)
Ratio minimal requis \(\rho_{min} = 0.2 \%\)

Comme \(\rho < \rho_{min}\), le calcul de résistance n'est pas dimensionnant. Il faut utiliser la section d'acier minimale requise par la norme.

Calcul de la section d'acier minimale (\(A_{s,min}\)) :

On calcule l'aire d'acier correspondant au ratio minimal.

A_{s,min} = \rho_{min} \times b \times d

\(\rho_{min} = 0.2\% = 0.002\)
\(b = 1000 \, \text{mm}\)
\(d = 165 \, \text{mm}\)

A_{s,min} = 0.002 \times 1000 \, \text{mm} \times 165 \, \text{mm} \] \[ A_{s,min} = 330 \, \text{mm}^2/\text{m}

Résultat Final Étape 5 :

Le ratio d'armature calculé (\(0.168\%\)) est inférieur au minimum requis (\(0.2\%\)). Il faut donc prévoir une section d'armature minimale \(A_{s,final} = A_{s,min} = 330 \, \text{mm}^2\) par mètre de largeur de dalle. Le ratio final mis en place sera \(\rho_{final} = 0.2\%\).

Note : Il faudrait ensuite choisir un diamètre et un espacement de barres réels qui fournissent au moins cette section (par exemple, des barres de 8 mm espacées de 150 mm donnent \(A_s = 335 \, \text{mm}^2/\text{m}\)). La vérification du ratio maximal (souvent 4%) est également respectée (\(0.2\% < 4\%\)).