Calcul du Ratio d'Armature en Béton Armé

Contexte : L'Alliance Acier-Béton

Le béton est excellent en compression mais fragile en traction. Le béton arméMatériau composite béton + acier. combine les deux : des barres d'acier (armaturesBarres reprenant la traction.) sont placées dans les zones tendues. Le ratio d'armaturePourcentage d'acier dans la section de béton. est un indicateur de sécurité critique pour une poutre d'un bâtiment résidentiel standard.

Cette association fonctionne grâce à deux facteurs clés : 1. La compatibilité thermique : L'acier et le béton ont un coefficient de dilatation thermique quasi identique (\(\approx 10^{-5} / \text{°C}\)). 2. L'adhérence : Assurée chimiquement et mécaniquement (barres crantées) pour transmettre les efforts.

Remarque Pédagogique : Le dimensionnement en béton armé est un jeu d'équilibre. Trop peu d'acier, et la poutre casse brutalement sans prévenir (rupture fragile). Trop d'acier, et c'est le béton qui cède en compression avant que l'acier n'ait pu se déformer suffisamment (rupture non ductileCapacité d'un matériau à se déformer de manière significative avant de rompre.). Les normes imposent donc un ratio minimum et maximum.

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer la hauteur utileDistance fibre comprimée - centre gravité aciers. (d).
Calculer la section d'acier totale (\(A_{\text{s}}\)).
Calculer le ratio d'armature réel (\(\rho\)).
Vérifier la conformité selon l'Eurocode 2.

Données de l'étude

On étudie une poutre rectangulaire en béton armé simplement appuyée, soumise à la flexion. Vérifions la conformité de son ferraillage longitudinal vis-à-vis des exigences de non-fragilité et de ductilité.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Symbole	Valeur	Unité
Largeur	\(b\)	30	\(\text{cm}\)
Hauteur totale	\(h\)	50	\(\text{cm}\)
Armatures longitudinales	\(3 \times \phi_{\text{l}}\)	16	\(\text{mm}\)
Armatures transversales (cadres)	\(\phi_{\text{t}}\)	8	\(\text{mm}\)
Enrobage	\(c\)	3	\(\text{cm}\)
Résistance béton (compr.)	\(f_{\text{ck}}\)	25	\(\text{MPa}\)
Limite élastique acier	\(f_{\text{yk}}\)	500	\(\text{MPa}\)

Schéma de la Section de Poutre

Questions à traiter

Calculer la hauteur utile (\(d\)) en prenant en compte le diamètre des cadres.
Calculer la section d'acier totale (\(A_{\text{s}}\)).
Calculer le ratio d'armature réel (\(\rho\)).
Vérifier la conformité (Eurocode 2) en calculant précisément les bornes.

Les bases théoriques

Pour dimensionner une poutre, il faut comprendre l'interaction entre les deux matériaux. Dans les calculs aux États Limites (ELU), nous utilisons des modèles simplifiés du comportement réel.

Principe de Navier-Bernoulli
"Les sections planes restent planes après déformation."
Cela signifie que la déformation \(\epsilon(z)\) varie linéairement sur la hauteur de la section. C'est l'hypothèse fondamentale qui lie la déformation de l'acier (\(\epsilon_{\text{s}}\)) à celle du béton comprimé (\(\epsilon_{\text{c}}\)).

Diagramme des déformations

\epsilon(z) = \alpha \cdot z + \beta

Lois de Comportement (Matériaux)
- Béton : En compression, on utilise un diagramme "parabole-rectangle" simplifié. Le béton tendu est négligé (résistance nulle).
- Acier : Suit la loi de Hooke (\(\sigma = E \epsilon\)) jusqu'à sa limite élastique \(f_{\text{yk}}\), puis un palier plastique.

Loi de Hooke (domaine élastique)

\sigma_{\text{s}} = E_{\text{s}} \cdot \epsilon_{\text{s}} \quad (E_{\text{s}} \approx 200 \text{ GPa})

Adhérence et Ancrage
Le transfert d'effort entre béton et acier (béton armé) n'est possible que s'il y a une parfaite adhérence. Celle-ci est assurée par les nervures des barres HA (Haute Adhérence). Sans cela, l'acier glisserait dans le béton.

Correction : Calcul du Ratio d’Armature en Béton Armé

Question 1 : Calcul de la Hauteur Utile (d)

Principe

La hauteur utile 'd' est le levier mécanique réel de la section. C'est la distance entre la fibre la plus comprimée (haut) et le centre de gravité des aciers tendus (bas). L'enrobage 'c' protège l'acier (corrosion, feu) mais ne participe pas à la résistance en flexion.

Mini-Cours

Hauteur utile vs Totale : En flexion simple, toute la partie de béton située sous l'axe neutre est tendue. Comme le béton ne résiste pas à la traction, cette zone fissure et devient inutile mécaniquement (d'où le terme "utile" pour \(d\)).

Remarque Pédagogique

Ne confondez jamais \(h\) et \(d\) ! Utiliser \(h\) surestimerait la résistance de la poutre d'environ 10%, ce qui est dangereux. Pour un calcul expert, il est impératif de déduire aussi l'épaisseur des cadres transversaux (\(\phi_{\text{t}}\)).

Normes

Eurocode 2 : L'enrobage nominal \(c_{\text{nom}}\) est défini en fonction de la classe d'exposition (agressivité du milieu) et de la durée de vie requise.

Formule(s)

Calcul précis de d

d = h - c - \phi_{\text{t}} - \frac{\phi_{\text{l}}}{2}

Hypothèses

On suppose que les armatures longitudinales sont disposées en un seul lit horizontal, parfaitement centré dans les étriers.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur	\(h\)	50	\(\text{cm}\)
Enrobage	\(c\)	3	\(\text{cm}\)
Diamètre Cadre	\(\phi_{\text{t}}\)	0.8	\(\text{cm}\)
Diamètre Long.	\(\phi_{\text{l}}\)	1.6	\(\text{cm}\)

Astuces

Pour un pré-dimensionnement rapide sur chantier sans connaître le ferraillage exact, on estime souvent \(d \approx 0.9h\). Ici \(0.9 \times 50 = 45 \text{ cm}\).

Schéma (Avant)

Calcul(s)

Conversion(s)

Pour éviter les erreurs d'ordres de grandeur, il est impératif de travailler avec une unité unique. Ici, nous convertissons les millimètres (mm) en centimètres (cm) pour être cohérents avec la géométrie de la poutre :

\begin{aligned} \phi_{\text{t}} &= 8 \text{ mm} \\ &= 0.8 \text{ cm} \end{aligned}

\begin{aligned} \phi_{\text{l}} &= 16 \text{ mm} \\ &= 1.6 \text{ cm} \end{aligned}

Ces valeurs sont maintenant prêtes à être injectées dans la formule.

Calcul Principal

La formule part du bas de la poutre (ou du haut) pour trouver le centre de la barre. Nous devons soustraire l'enrobage (\(c\)), le cadre (\(\phi_{\text{t}}\)), et la moitié de la barre longitudinale (\(\phi_{\text{l}}/2\)) à la hauteur totale (\(h\)).

\begin{aligned} d &= 50 - 3 - 0.8 - \frac{1.6}{2} \\ &= 50 - 3 - 0.8 - 0.8 \\ &= \mathbf{45.4 \, \text{cm}} \end{aligned}

Le résultat de 45.4 cm représente le bras de levier effectif. Notez qu'il est bien inférieur à la hauteur totale de 50 cm, ce qui confirme l'importance de ce calcul précis.

Schéma (Après)

Réflexions

On obtient 45.4 cm. C'est très cohérent avec l'approximation de 45 cm. La perte de levier due aux cadres et à l'enrobage est significative (4.6 cm sur 50 cm, soit près de 10%).

Points de vigilance

Attention à bien diviser le diamètre longitudinal par 2 (rayon) mais à prendre le diamètre complet pour le cadre transversal.

Points à Retenir

L'essentiel :

\(d\) est toujours inférieur à \(h\).
La formule complète inclut \(\phi_{\text{cadre}}\).

Le saviez-vous ?

L'enrobage a une triple fonction : protection contre la corrosion, protection incendie, et transmission correcte des efforts d'adhérence.

FAQ

Que faire s'il y a plusieurs lits d'armatures ?

Si les barres sont sur plusieurs niveaux (lits), \(d\) se mesure jusqu'au centre de gravité géométrique de l'ensemble des aciers, ce qui réduit encore la hauteur utile.

Résultat : d = 45.4 cm

A vous de jouer
Si l'enrobage passait à 5 cm (milieu marin), que vaudrait d ?

📝 Mémo
Toujours faire un croquis de la section pour visualiser l'empilement (enrobage + cadre + 1/2 barre).

Question 2 : Calcul de la Section d'Acier (As)

Principe

La section d'acier totale \(A_{\text{s}}\) correspond à l'aire de la matière qui reprendra la traction. On calcule l'aire d'un disque (section transversale d'une barre) et on multiplie par le nombre de barres.

Mini-Cours

Les diamètres nominaux sont standardisés en Europe : 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20, 25, 32, 40 mm. Il est rare d'utiliser des diamètres non-standards.

Remarque Pédagogique

Dans la pratique professionnelle, les ingénieurs n'utilisent pas la formule \(\pi r^2\). Ils se réfèrent à des tableaux de sections d'aciers mémorisés ou affichés au mur (ex: 3HA16 = 6.03 cm²).

Normes

Normes produits sidérurgiques : Aciers B500B (Haute Adhérence, limite élastique 500 MPa, ductilité classe B).

Formule(s)

Aire totale

A_{\text{s}} = n \times \frac{\pi \cdot \phi_{\text{l}}^2}{4}

Hypothèses

On considère les barres comme des cylindres parfaits, en négligeant les verrous (reliefs) de surface pour le calcul de section.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre	\(n\)	3	-
Diamètre	\(\phi_{\text{l}}\)	1.6	\(\text{cm}\)

Astuces

Mémorisez quelques valeurs clés : 1HA10 \(\approx 0.79 \text{ cm}^2\), 1HA12 \(\approx 1.13 \text{ cm}^2\), 1HA16 \(\approx 2.01 \text{ cm}^2\), 1HA20 \(\approx 3.14 \text{ cm}^2\).

Schéma (Avant)

Calcul(s)

Calcul intermédiaire (Section unitaire)

La section d'une barre est un disque. La formule de l'aire est \(\pi \times R^2\) ou \(\pi \times D^2 / 4\). Calculons d'abord la section d'une seule barre de 16mm en cm² :

\begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi \cdot 1.6^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 2.56}{4} \\ &\approx 0.7854 \cdot 2.56 \\ &\approx \mathbf{2.01 \text{ cm}^2} \end{aligned}

Une seule barre de 16mm offre donc environ 2.01 cm² de section résistante.

Calcul Principal

Comme nous disposons de 3 barres identiques disposées en parallèle, nous sommons leurs sections (ou multiplions la section unitaire par 3) :

\begin{aligned} A_{\text{s}} &= 3 \times 2.01 \\ &= \mathbf{6.03 \text{ cm}^2} \end{aligned}

C'est cette surface totale de 6.03 cm² qui sera utilisée pour vérifier la résistance de la poutre.

Schéma (Après)

Réflexions

6.03 cm² est une section "moyenne" pour une poutre de 30x50. Cela correspond à environ 4.7 kg d'acier par mètre linéaire rien que pour les filants inférieurs (densité 7.85).

Points de vigilance

Confusion classique : Calculer \(3 \times \phi^2\) sans multiplier par \(\pi/4\). Cela donnerait une surface carrée, pas circulaire.

Points à Retenir

\(A_{\text{s}}\) est la somme arithmétique des sections droites.

Le saviez-vous ?

La densité de l'acier est de 7850 kg/m³. Une barre de 16mm pèse 1.58 kg/m.

FAQ

Peut-on mélanger les diamètres (ex: 2HA16 + 1HA12) ?

Oui, c'est courant pour ajuster la section au plus juste ("panachage"), tant que les conditions de symétrie et d'adhérence sont respectées.

Résultat : As = 6.03 cm²

A vous de jouer
Quelle est la section (env.) pour 2 barres de 20mm (2cm) ?

📝 Mémo
Tableaux d'armatures > Calculatrice. Si pas de tableau : \(\pi D^2 / 4\).

Question 3 : Calcul du Ratio d'Armature Réel (\(\rho\))

Principe

Le ratio d'armature géométrique \(\rho\) quantifie la densité de ferraillage. Il compare la surface d'acier à la surface de béton qui travaille réellement (la section "utile" \(b \times d\)).

Mini-Cours

Impact du ratio :
- Trop faible : Le béton casse avant l'acier (rupture fragile).
- Trop fort : L'acier est tellement fort que c'est le béton comprimé qui éclate en premier (rupture fragile par compression).
- Équilibré : L'acier plastifie, s'allonge (fissures visibles), prévenant la ruine (comportement ductile).

Remarque Pédagogique

C'est une grandeur adimensionnelle, souvent exprimée en pourcentage. Attention, dans certaines formules Eurocode, on l'utilise en valeur décimale (ex: 0.005).

Normes

Eurocode 2: Définit les bornes \(\rho_{\text{min}}\) et \(\rho_{\text{max}}\) pour garantir la ductilité.

Formule(s)

Taux d'acier

\rho = \frac{A_{\text{s}}}{b \cdot d}

Hypothèses

Section rectangulaire constante.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
As	6.03 cm²
b	30 cm
d	45.4 cm

Astuces

Le ratio est souvent petit. Si vous trouvez 20%, c'est une erreur ! L'ordre de grandeur est entre 0.1% et 2%.

Schéma (Avant)

Calcul(s)

Surface Utile

Calculons d'abord la surface de béton "efficace" qui correspond à la largeur de la poutre multipliée par la hauteur utile :

\begin{aligned} S_{\text{utile}} &= b \cdot d \\ &= 30 \cdot 45.4 \\ &= \mathbf{1362 \text{ cm}^2} \end{aligned}

Cette valeur de 1362 cm² représente la surface de béton mobilisée mécaniquement.

Calcul Principal

Nous rapportons maintenant la surface d'acier calculée précédemment à cette surface de béton :

\begin{aligned} \rho &= \frac{6.03}{1362} \\ &\approx 0.0044273 \end{aligned}

Le résultat brut est un nombre décimal. Pour l'exprimer en pourcentage, qui est plus parlant, nous le multiplions par 100 :

\begin{aligned} \rho_{\%} &= 0.0044273 \times 100 \\ &= \mathbf{0.443 \%} \end{aligned}

Nous avons donc un ratio d'environ 0.44%.

Schéma (Après)

Réflexions

Un ratio de 0.44% est standard et économique pour une poutre de bâtiment courant. Il suggère que la poutre n'est pas très fortement sollicitée.

Points de vigilance

Ne pas utiliser \(h\) (50cm) au dénominateur ! Cela sous-estimerait le ratio réel.

Points à Retenir

\(\rho\) est le "taux de remplissage" utile de la section.

Le saviez-vous ?

Pour des dalles, le ratio est souvent plus faible (autour de 0.15% - 0.20%) car les charges sont réparties sur une surface.

FAQ

Peut-on dépasser 4% ?

C'est déconseillé et souvent interdit hors zones de recouvrement, car le bétonnage devient impossible (les cailloux ne passent plus entre les barres).

Résultat : ρ ≈ 0.443 %

A vous de jouer
Si As = 13.62 cm², quel est le ratio ?

📝 Mémo
Ratio = Section Acier / (b * d).

Question 4 : Vérification de la Conformité

Principe

La conformité n'est pas juste "administrative". Elle valide deux comportements physiques :
1. Condition de non-fragilité (Min) : Si le béton fissure, l'acier doit être capable de reprendre *seul* l'effort qui a fait craquer le béton. Sinon, rupture instantanée.
2. Condition de non-écrasement (Max) : Éviter la rupture par compression du béton ou les problèmes de bétonnage.

Mini-Cours

La formule du min fait intervenir \(f_{\text{ctm}}\) (résistance moyenne en traction du béton). Plus le béton est résistant (ex: C50/60), plus il est "fort" en traction avant de craquer, donc plus il faut d'acier pour reprendre le relais lors de la fissure.

Remarque Pédagogique

Le cas critique est souvent le Minimum. Il est très fréquent que le calcul de résistance (ELU) donne peu d'acier, mais que la condition de non-fragilité impose d'en mettre plus.

Normes

Eurocode 2 - Section 9.2.1.1.

Formule(s)

Résistance traction béton

f_{\text{ctm}} = 0.30 \times f_{\text{ck}}^{(2/3)}

Ratio Min

\rho_{\text{min}} = \max\left(0.26 \frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}} ; 0.0013\right)

Hypothèses

Béton de classe normale (fck ≤ 50 MPa).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
fck	25 MPa
fyk	500 MPa

Astuces

Pour un béton standard C25/30, fctm vaut environ 2.6 MPa. \(\rho_{\text{min}}\) tourne souvent autour de 0.13% - 0.15%.

Schéma (Avant)

Calcul(s)

1. Calcul de fctm

La résistance à la traction du béton (\(f_{\text{ctm}}\)) s'estime empiriquement à partir de sa résistance en compression (\(f_{\text{ck}}\)). On calcule d'abord l'exposant 2/3 :

\begin{aligned} 25^{(2/3)} &= \sqrt[3]{25^2} \\ &= \sqrt[3]{625} \\ &\approx 8.5498 \end{aligned}

Puis on applique le coefficient de 0.30 :

\begin{aligned} f_{\text{ctm}} &= 0.30 \times 8.5498 \\ &\approx \mathbf{2.565 \text{ MPa}} \end{aligned}

Le béton résiste donc à environ 2.5 MPa en traction avant de fissurer.

2. Seuil Min

Calculons d'abord le terme géométrique qui dépend des qualités mécaniques des matériaux (béton et acier) :

\begin{aligned} \text{Terme}_1 &= 0.26 \cdot \frac{f_{\text{ctm}}}{f_{\text{yk}}} \\ &= 0.26 \cdot \frac{2.565}{500} \\ &= 0.26 \cdot 0.00513 \\ &\approx 0.001334 \end{aligned}

La norme impose de retenir la valeur la plus grande entre ce terme calculé et le minimum forfaitaire de 0.0013 (0.13%) :

\begin{aligned} \rho_{\text{min}} &= \max(0.001334 ; 0.0013) \\ &= 0.001334 \\ &= \mathbf{0.1334 \%} \end{aligned}

Le pourcentage minimum d'acier requis est donc de 0.133%.

3. Comparaison

Nous comparons enfin notre ratio réel (0.443%) calculé à la question 3 aux bornes réglementaires (min et max) :

\begin{aligned} \rho_{\text{min}} &\le \rho_{\text{réel}} \le \rho_{\text{max}} \\ 0.133\% &\le \mathbf{0.443\%} \le 4.0\% \end{aligned}

La valeur se situe bien entre les deux bornes.

Schéma (Après)

Réflexions

Nous sommes confortablement au-dessus du minimum (facteur 3). Cela signifie que si la poutre fissure, les aciers ne céderont pas immédiatement.

Points de vigilance

Ne pas oublier de vérifier le max (4%). Même si on l'atteint rarement, c'est une limite normative stricte.

Points à Retenir

La non-fragilité est une condition de sécurité "ultime" qui prime sur le calcul de charges.

Le saviez-vous ?

Dans les zones sismiques, ces ratios minimaux sont souvent augmentés pour garantir une meilleure dissipation d'énergie.

FAQ

Que faire si le ratio est inférieur au min ?

Il est interdit de garder ce ferraillage. Il faut augmenter la section d'acier jusqu'à atteindre \(\rho_{\text{min}}\), même si le calcul de charge n'en demandait pas autant.

Conclusion : Le ferraillage est CONFORME.

A vous de jouer
Si on utilisait de l'acier S235 (fyk=235) au lieu de 500, le minimum requis augmenterait-il ? (1=Oui, 0=Non)

📝 Mémo
Toujours vérifier la non-fragilité.

Schéma Bilan de l'Exercice

Résumé des paramètres géométriques et des résultats de vérification.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Synthèse pour le dimensionnement :

🔑
Point Clé 1 : Précision du d
Pour un calcul expert, toujours déduire le diamètre des cadres (\(\phi_{\text{t}}\)). C'est le vrai bras de levier.
📐
Point Clé 2 : Résistance Traction (\(f_{\text{ctm}}\))
C'est elle qui détermine le ferraillage minimum. Plus le béton est dur, plus il faut d'acier min.
⚠️
Point Clé 3 : Sécurité
Le respect des bornes réglementaires prime sur le simple calcul de résistance théorique (ELU).

"Le béton armé n'est performant que bien dosé : ni trop, ni trop peu !"

🎛️ Simulateur interactif

Modifiez les paramètres pour voir l'impact sur le ratio. (Cadres fixés à 8mm)

Paramètres

Nombre de barres : 3

Diamètre (mm) : 16

Section As :-

Ratio ρ :-

Conformité :-

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si h augmente (à As constant), le ratio \(\rho\)...

Augmente.
Reste constant.
Diminue (car d augmente).

2. Le ratio minimum sert à éviter :

Une rupture fragile (cassure nette).
Une rupture ductile (déformation).
La corrosion des aciers.

📚 Glossaire

Béton Armé: Composite béton (compression) + acier (traction).
Armature: Barre d'acier nervurée (HA).
Ratio (\(\rho\)): Taux d'acier \(A_{\text{s}}/(b d)\) déterminant le comportement.
Hauteur Utile (d): Bras de levier mécanique réel (h - c - ...).
Enrobage: Couche de béton protégeant l'acier.
Ductilité: Capacité à se déformer plastiquement sans rompre.

Titre de l'article...

BOÎTE À OUTILS

Outil

À DÉCOUVRIR

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma de la Section de Poutre

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Calcul du Ratio d’Armature en Béton Armé

Question 1 : Calcul de la Hauteur Utile (d)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant)

Calcul(s)

Conversion(s)

Calcul Principal

Schéma (Après)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Calcul de la Section d'Acier (As)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant)

Calcul(s)

Calcul intermédiaire (Section unitaire)

Calcul Principal

Schéma (Après)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calcul du Ratio d'Armature Réel (\(\rho\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant)

Calcul(s)

Surface Utile

Calcul Principal

Schéma (Après)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Vérification de la Conformité

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant)

Calcul(s)

1. Calcul de fctm