Études de cas pratique

EGC

Calcul du moment de résistance à la flexion

Calcul du Moment de Résistance à la Flexion

Comprendre le Calcul du Moment de Résistance à la Flexion

Le moment de résistance à la flexion (\(M_{Rd}\)) d'une section en béton armé représente la capacité maximale de cette section à résister à un moment fléchissant avant d'atteindre un état limite ultime (ELU). Ce calcul est fondamental pour s'assurer que la poutre ne rompra pas sous l'effet des charges de calcul. Il se base sur l'équilibre des forces internes (compression dans le béton, traction dans l'acier) et l'hypothèse de plastification de l'acier et/ou d'atteinte de la déformation limite du béton.

Données de l'étude

On souhaite déterminer le moment de résistance ultime (\(M_{Rd}\)) d'une section rectangulaire de poutre en béton armé, simplement armée.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Largeur de la poutre (\(b\)) : \(25 \, \text{cm}\)
  • Hauteur totale de la poutre (\(h\)) : \(50 \, \text{cm}\)
  • Hauteur utile (\(d\)) : \(45 \, \text{cm}\)
  • Section d'aciers tendus (\(A_s\)) : 3 HA 20 (soit \(6.03 \, \text{cm}^2\))
  • Béton : C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) pour charges de longue durée : \(0.85\) (selon Eurocode 2, souvent intégré dans \(f_{cd}\) par \(\lambda=0.8\) pour diagramme rectangulaire simplifié, ou \(f_{cd} = \alpha_{cc} f_{ck} / \gamma_c\)). On utilisera \(f_{cd} = \alpha_{cc} f_{ck} / \gamma_c\).

Hypothèse : On utilise le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton comprimé à l'ELU. On suppose que l'acier atteint sa limite d'élasticité de calcul (\(f_{yd}\)).

Schéma : Section et Diagramme Rectangulaire Simplifié (ELU)
Section As xᵣ b=25cm h=50cm d=45cm Forces ELU Fₜ 0.8xᵣ fₜₖ Fₛ xᵣ z

Section de poutre et diagramme rectangulaire simplifié des contraintes/forces à l'ELU.

Questions à traiter

  1. Calculer les résistances de calcul des matériaux : \(f_{cd}\) pour le béton et \(f_{yd}\) pour l'acier.
  2. Déterminer la position de l'axe neutre (\(x_u\)) à l'ELU en écrivant l'équation d'équilibre des forces de compression dans le béton et de traction dans l'acier. On utilisera le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton (hauteur du bloc comprimé \(0.8 x_u\)).
  3. Vérifier la ductilité de la section en s'assurant que \(x_u/d\) est inférieur à la limite pour un acier B500B (généralement \(x_u/d \leq 0.45\) pour éviter une rupture fragile par écrasement du béton avant plastification de l'acier).
  4. Calculer le bras de levier (\(z\)) des forces internes.
  5. Calculer le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\)) de la section.

Correction : Calcul du Moment de Résistance à la Flexion

Question 1 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C25/30 : \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 25 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{21.25}{1.5} \, \text{MPa} \\ &\approx 14.17 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Position de l'Axe Neutre (\(x_u\)) à l'ELU

Principe :

À l'ELU, la position de l'axe neutre \(x_u\) est déterminée par l'équilibre des forces internes : la résultante des contraintes de compression dans le béton (\(F_c\)) doit être égale à la résultante des forces de traction dans l'acier (\(F_s\)). On utilise le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton, où la zone comprimée a une hauteur de \(0.8 x_u\) et la contrainte est \(f_{cd}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Force de compression dans le béton :

\[F_c = 0.8 x_u \cdot b \cdot f_{cd}\]

Force de traction dans l'acier (supposé plastifié) :

\[F_s = A_s \cdot f_{yd}\]

Équilibre \(F_c = F_s\) :

\[0.8 x_u \cdot b \cdot f_{cd} = A_s \cdot f_{yd}\]

D'où :

\[x_u = \frac{A_s f_{yd}}{0.8 b f_{cd}}\]
Données spécifiques (unités mm, N, MPa) :
  • \(A_s = 3 \times \frac{\pi (20)^2}{4} \approx 3 \times 314.16 = 942.48 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(b = 25 \, \text{cm} = 250 \, \text{mm}\)
  • \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} x_u &= \frac{942.48 \times 434.78}{0.8 \times 250 \times 14.17} \\ &= \frac{409768}{2834} \\ &\approx 144.59 \, \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en cm : \(x_u \approx 14.46 \, \text{cm}\)

Résultat Question 2 : La position de l'axe neutre est \(x_u \approx 144.6 \, \text{mm}\).

Question 3 : Vérification de la Ductilité (\(x_u/d\))

Principe :

Pour assurer une rupture ductile (plastification de l'acier avant écrasement du béton), la position relative de l'axe neutre \(x_u/d\) doit être inférieure à une valeur limite. Pour un acier B500B, cette limite est souvent prise autour de 0.45 (ou calculée plus précisément en fonction des déformations limites \(\epsilon_{cu2}\) ou \(\epsilon_{cu3}\) du béton et \(\epsilon_{ud}\) de l'acier).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{x_u}{d} \leq \text{limite}\]

Limite pour acier S500 (B500B) : \(\delta = x_u/d \leq 0.45\) (valeur simplifiée courante pour diagramme rectangulaire). Une valeur plus précise selon EC2 est \(\delta_{lim} = \frac{\epsilon_{cu3}}{\epsilon_{cu3} + \epsilon_{yd}}\) avec \(\epsilon_{cu3} = 0.0035\) et \(\epsilon_{yd} = f_{yd}/E_s\).

Données spécifiques :
  • \(x_u \approx 144.6 \, \text{mm}\)
  • \(d = 45 \, \text{cm} = 450 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{x_u}{d} &= \frac{144.6}{450} \\ &\approx 0.321 \end{aligned} \]

Vérification : \(0.321 \leq 0.45\). La condition est vérifiée. L'acier plastifiera avant l'écrasement du béton, assurant une rupture ductile.

Résultat Question 3 : Le rapport \(x_u/d \approx 0.321\), ce qui est inférieur à 0.45. La section est ductile.

Question 4 : Calcul du Bras de Levier (\(z\))

Principe :

Le bras de levier \(z\) est la distance entre la résultante des forces de compression dans le béton et la résultante des forces de traction dans l'acier. Pour le diagramme rectangulaire simplifié, la force de compression s'applique au milieu de la hauteur comprimée \(0.8 x_u\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[z = d - 0.4 x_u\]
Données spécifiques :
  • \(d = 450 \, \text{mm}\)
  • \(x_u \approx 144.6 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} z &= 450 - (0.4 \times 144.6) \\ &= 450 - 57.84 \\ &= 392.16 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le bras de levier est \(z \approx 392.2 \, \text{mm}\).

Question 5 : Moment Résistant Ultime (\(M_{Rd}\))

Principe :

Le moment résistant ultime est calculé en multipliant la force de traction dans l'acier (ou de compression dans le béton) par le bras de levier \(z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Rd} = A_s f_{yd} z\]

Ou alternativement : \(M_{Rd} = 0.8 x_u b f_{cd} z\)

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(A_s \approx 942.48 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(z \approx 392.16 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Rd} &= 942.48 \times 434.78 \times 392.16 \\ &\approx 409768 \times 392.16 \\ &\approx 160659000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Conversion en kN·m :

\[ M_{Rd} \approx 160.66 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Résultat Question 5 : Le moment résistant ultime de la section est \(M_{Rd} \approx 160.66 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. À l'ELU, dans une section de poutre en flexion simple, l'équilibre des forces internes implique que :

2. Le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton comprimé à l'ELU suppose :

3. Assurer que \(x_u/d\) est inférieur à une certaine limite (ex: 0.45) vise à garantir :

Glossaire

Moment Résistant Ultime (\(M_{Rd}\))
Capacité maximale d'une section à résister à un moment fléchissant avant d'atteindre l'État Limite Ultime (ELU).
État Limite Ultime (ELU)
État limite correspondant à la ruine ou à des déformations excessives de la structure, mettant en jeu la sécurité.
Hauteur Utile (d)
Distance entre la fibre la plus comprimée de la section de béton et le centre de gravité des armatures longitudinales tendues.
Axe Neutre (\(x_u\) ou \(y_{ELU}\))
Position de la ligne dans la section où la déformation (et la contrainte dans le béton élastique) est nulle. À l'ELU, sa position est déterminée par l'équilibre des forces internes.
Diagramme Rectangulaire Simplifié
Modèle simplifié de la distribution des contraintes de compression dans le béton à l'ELU, où l'on considère une contrainte constante \(f_{cd}\) sur une partie de la hauteur comprimée (généralement \(0.8 x_u\)).
Bras de Levier (z)
Distance entre la résultante des forces de compression dans le béton (\(F_c\)) et la résultante des forces de traction dans l'acier (\(F_s\)). \(M_{Rd} = F_s \cdot z = F_c \cdot z\).
Résistance de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))
Résistance des matériaux (béton, acier) utilisée pour les calculs à l'ELU, obtenue en divisant la résistance caractéristique par un coefficient partiel de sécurité.
Ductilité
Capacité d'un matériau ou d'une structure à subir des déformations plastiques importantes avant la rupture. Une rupture ductile est préférable car elle est progressive et prévisible.
Calcul du Moment de Résistance à la Flexion - Exercice d'Application

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