Études de cas pratique

EGC

Calcul du Débit d’un Canal par l’Équation de Bazin

Calcul du Débit d’un Canal par l’Équation de Bazin en Hydraulique

Calcul du Débit d’un Canal par l’Équation de Bazin

Comprendre le Calcul du Débit en Canal avec l'Équation de Bazin

En hydraulique à surface libre, le calcul du débit d'un canal est fondamental pour la conception et la gestion des ouvrages tels que les canaux d'irrigation, les systèmes d'assainissement ou les rivières aménagées. L'équation de Chezy, \(V = C \sqrt{R_h S_0}\), est couramment utilisée pour déterminer la vitesse moyenne (\(V\)) de l'écoulement. Le coefficient \(C\) de Chezy, qui représente la résistance à l'écoulement due à la rugosité des parois, peut être estimé par différentes formules empiriques. L'une d'elles est l'équation de Bazin, qui exprime \(C\) en fonction de la rugosité de la paroi (caractérisée par le coefficient \(m\) de Bazin) et du rayon hydraulique (\(R_h\)). Une fois la vitesse moyenne connue, le débit (\(Q\)) est simplement le produit de la vitesse par la section mouillée (\(A\)) du canal.

Données de l'étude

On considère un canal rectangulaire en béton lisse destiné à l'irrigation. On souhaite calculer le débit d'eau qu'il peut transporter dans des conditions d'écoulement uniforme.

Caractéristiques du canal :

  • Forme de la section : Rectangulaire
  • Largeur au fond (\(b\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau (tirant d'eau, \(y\)) : \(0.8 \, \text{m}\)
  • Pente du fond du canal (\(S_0\)) : \(0.001\) (soit 1 mm/m)
  • Coefficient de rugosité de Bazin (\(m\)) : \(0.16\) (pour béton lisse)
Schéma : Section d'un Canal Rectangulaire
Section Transversale du Canal {/* */} {/* */} {/* */} Écoulement {/* */} {/* */} Largeur (b) = 2.0 m {/* */} Hauteur (y) = 0.8 m Pente S0 = 0.001, Bazin m = 0.16

Section transversale d'un canal rectangulaire avec indication des dimensions et des paramètres d'écoulement.

Questions à traiter

  1. Calculer la section mouillée (\(A\)) du canal.
  2. Calculer le périmètre mouillé (\(P\)) du canal.
  3. Calculer le rayon hydraulique (\(R_h\)) du canal.
  4. Calculer le coefficient de Chezy (\(C\)) en utilisant la formule de Bazin.
  5. Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)) en utilisant la formule de Chezy.
  6. Calculer le débit (\(Q\)) dans le canal.

Correction : Calcul du Débit d’un Canal par l’Équation de Bazin

Question 1 : Calcul de la Section Mouillée (\(A\))

Principe :

La section mouillée (\(A\)) est l'aire de la section transversale de l'écoulement, c'est-à-dire la surface occupée par l'eau. Pour un canal rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur d'eau \(y\), la section mouillée est simplement le produit de la largeur par la hauteur d'eau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = b \times y \]
Données spécifiques :
  • Largeur au fond (\(b\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau (\(y\)) : \(0.8 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= 2.0 \, \text{m} \times 0.8 \, \text{m} \\ &= 1.6 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La section mouillée du canal est \(A = 1.6 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Calcul du Périmètre Mouillé (\(P\))

Principe :

Le périmètre mouillé (\(P\)) est la longueur de la paroi du canal en contact avec l'eau. Pour un canal rectangulaire, il correspond à la largeur du fond plus deux fois la hauteur d'eau (les deux parois verticales en contact avec l'eau).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P = b + 2y \]
Données spécifiques :
  • Largeur au fond (\(b\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau (\(y\)) : \(0.8 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= 2.0 \, \text{m} + 2 \times 0.8 \, \text{m} \\ &= 2.0 \, \text{m} + 1.6 \, \text{m} \\ &= 3.6 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le périmètre mouillé du canal est \(P = 3.6 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur d'eau (\(y\)) dans le même canal rectangulaire augmentait, le périmètre mouillé :

Question 3 : Calcul du Rayon Hydraulique (\(R_h\))

Principe :

Le rayon hydraulique (\(R_h\)) est un paramètre géométrique important qui caractérise l'efficacité de la section d'écoulement. Il est défini comme le rapport de la section mouillée (\(A\)) au périmètre mouillé (\(P\)). Un rayon hydraulique plus grand indique généralement une section plus "efficace" pour l'écoulement (moins de frottement par unité de surface d'écoulement).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_h = \frac{A}{P} \]
Données spécifiques :
  • \(A = 1.6 \, \text{m}^2\) (résultat Q1)
  • \(P = 3.6 \, \text{m}\) (résultat Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_h &= \frac{1.6 \, \text{m}^2}{3.6 \, \text{m}} \\ &\approx 0.4444 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(R_h \approx 0.444 \, \text{m}\)

Résultat Question 3 : Le rayon hydraulique du canal est \(R_h \approx 0.444 \, \text{m}\).

Question 4 : Calcul du Coefficient de Chezy (\(C\)) par la Formule de Bazin

Principe :

L'équation de Bazin est une formule empirique permettant d'estimer le coefficient de Chezy (\(C\)). Ce coefficient dépend de la rugosité des parois du canal, représentée par le coefficient de Bazin (\(m\)), et du rayon hydraulique (\(R_h\)). La formule de Bazin est donnée par : \(C = \frac{87}{1 + \frac{m}{\sqrt{R_h}}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = \frac{87}{1 + \frac{m}{\sqrt{R_h}}} \]
Données spécifiques :
  • Coefficient de Bazin (\(m\)) : \(0.16\)
  • Rayon hydraulique (\(R_h\)) : \(\approx 0.4444 \, \text{m}\) (valeur non arrondie pour plus de précision)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sqrt{R_h} &= \sqrt{0.4444} \approx 0.6666 \\ C &= \frac{87}{1 + \frac{0.16}{0.6666}} \\ &= \frac{87}{1 + 0.2400} \\ &= \frac{87}{1.2400} \\ &\approx 70.1613 \, \text{m}^{1/2}\text{/s} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(C \approx 70.16 \, \text{m}^{1/2}\text{/s}\)

Résultat Question 4 : Le coefficient de Chezy calculé par la formule de Bazin est \(C \approx 70.16 \, \text{m}^{1/2}\text{/s}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le coefficient de rugosité de Bazin (\(m\)) était plus élevé (paroi plus rugueuse), le coefficient de Chezy (\(C\)) serait :

Question 5 : Calcul de la Vitesse Moyenne de l'Écoulement (\(V\))

Principe :

La vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)) dans un canal peut être calculée à l'aide de la formule de Chezy, qui relie la vitesse au coefficient de Chezy (\(C\)), au rayon hydraulique (\(R_h\)) et à la pente du fond du canal (\(S_0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V = C \sqrt{R_h S_0} \]
Données spécifiques :
  • Coefficient de Chezy (\(C\)) : \(\approx 70.1613 \, \text{m}^{1/2}\text{/s}\) (valeur non arrondie de Q4)
  • Rayon hydraulique (\(R_h\)) : \(\approx 0.4444 \, \text{m}\) (valeur non arrondie de Q3)
  • Pente du fond (\(S_0\)) : \(0.001\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sqrt{R_h S_0} &= \sqrt{0.4444 \times 0.001} = \sqrt{0.0004444} \approx 0.02108 \\ V &= 70.1613 \, \text{m}^{1/2}\text{/s} \times 0.02108 \\ &\approx 1.4789 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(V \approx 1.48 \, \text{m/s}\)

Résultat Question 5 : La vitesse moyenne de l'écoulement dans le canal est \(V \approx 1.48 \, \text{m/s}\).

Question 6 : Calcul du Débit (\(Q\)) dans le Canal

Principe :

Le débit (\(Q\)) est le volume d'eau qui s'écoule à travers la section du canal par unité de temps. Il est calculé en multipliant la section mouillée (\(A\)) par la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = A \times V \]
Données spécifiques :
  • Section mouillée (\(A\)) : \(1.6 \, \text{m}^2\) (résultat Q1)
  • Vitesse moyenne (\(V\)) : \(\approx 1.4789 \, \text{m/s}\) (valeur non arrondie de Q5)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 1.6 \, \text{m}^2 \times 1.4789 \, \text{m/s} \\ &\approx 2.3662 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(Q \approx 2.37 \, \text{m}^3\text{/s}\)

Résultat Question 6 : Le débit dans le canal est \(Q \approx 2.37 \, \text{m}^3\text{/s}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Si la pente du canal (\(S_0\)) était plus forte, le débit (\(Q\)) (toutes autres choses égales) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le rayon hydraulique (\(R_h\)) d'un canal rectangulaire large (où \(b \gg y\)) tend vers :

2. L'équation de Bazin est utilisée pour déterminer :

3. Le débit dans un canal est le produit de :

Glossaire

Débit (\(Q\))
Volume de fluide qui traverse une section transversale d'un écoulement par unité de temps. Unité : \(\text{m}^3\text{/s}\).
Section Mouillée (\(A\))
Aire de la section transversale de l'écoulement qui est en contact avec le fluide. Unité : \(\text{m}^2\).
Périmètre Mouillé (\(P\))
Longueur de la ligne de contact entre le fluide et les parois solides du canal (fond et berges) dans une section transversale. Unité : \(\text{m}\).
Rayon Hydraulique (\(R_h\))
Rapport entre la section mouillée et le périmètre mouillé (\(R_h = A/P\)). C'est une longueur caractéristique de l'efficacité de la section d'écoulement. Unité : \(\text{m}\).
Pente du Fond (\(S_0\))
Inclinaison longitudinale du lit du canal. C'est un nombre sans dimension (exprimé en m/m ou en pourcentage).
Coefficient de Chezy (\(C\))
Coefficient empirique qui caractérise la résistance à l'écoulement due à la rugosité des parois et à la forme du canal. Unité : \(\text{m}^{1/2}\text{/s}\) dans le système international.
Coefficient de Bazin (\(m\))
Coefficient empirique de rugosité utilisé dans la formule de Bazin pour déterminer le coefficient de Chezy. Il dépend de la nature et de l'état des parois du canal.
Équation de Chezy
Formule empirique \(V = C \sqrt{R_h S_0}\) reliant la vitesse moyenne (\(V\)) d'un écoulement uniforme en canal au coefficient de Chezy (\(C\)), au rayon hydraulique (\(R_h\)) et à la pente du fond (\(S_0\)).
Écoulement Uniforme
Type d'écoulement dans lequel la profondeur, la section mouillée, la vitesse et le débit restent constants sur une certaine longueur du canal.
Calcul du Débit d’un Canal par l’Équation de Bazin - Exercice d'Application

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