Calcul des Réactions d’Appui en RDM
Comprendre les Réactions d'Appui
En Résistance Des Matériaux (RDM), lorsqu'une structure (comme une poutre) est soumise à des charges externes (poids, forces, etc.), ses appuis exercent des forces et/ou des moments en retour pour maintenir la structure en équilibre statique. Ces forces et moments exercés par les appuis sont appelés "réactions d'appui". Le calcul précis de ces réactions est la première étape indispensable dans l'analyse d'une structure. Il permet ensuite de déterminer les efforts internes (effort normal, effort tranchant, moment fléchissant) et les contraintes dans la structure, afin de vérifier sa résistance et sa déformation. Pour un système en équilibre dans le plan, on utilise les trois équations de la statique : somme des forces horizontales nulle, somme des forces verticales nulle, et somme des moments par rapport à un point quelconque nulle.
Données de l'étude
- Longueur totale de la poutre entre les appuis A et B (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
- Charge ponctuelle (\(P\)) : \(10 \, \text{kN}\), appliquée à \(a = 2.0 \, \text{m}\) de l'appui A.
- Charge uniformément répartie (\(q\)) : \(5 \, \text{kN/m}\), s'étendant de l'appui A sur une longueur \(b = 3.0 \, \text{m}\).
Schéma de la Poutre et des Charges
Poutre sur appuis simples avec une charge ponctuelle et une charge répartie.
Questions à traiter
- Écrire l'équation de la somme des forces horizontales et en déduire la réaction \(H_A\).
- Écrire l'équation de la somme des moments par rapport à l'appui A et en déduire la réaction verticale \(V_B\).
- Écrire l'équation de la somme des forces verticales et en déduire la réaction verticale \(V_A\).
- Vérifier l'équilibre en calculant la somme des moments par rapport à l'appui B.
Correction : Calcul des Réactions d’Appui
Question 1 : Somme des forces horizontales (\(\sum F_x = 0\))
Principe :
Pour qu'une structure soit en équilibre statique, la somme de toutes les forces agissant sur elle dans une direction donnée doit être nulle. Ici, nous regardons les forces horizontales. L'appui A est une rotule, il peut donc exercer une réaction horizontale (\(H_A\)). L'appui B est un rouleau, il ne peut exercer qu'une réaction verticale. Les charges P et q sont verticales. Donc, la seule force horizontale possible est \(H_A\). Pour que la somme soit nulle, \(H_A\) doit être nulle.
Équation :
Question 2 : Somme des moments par rapport à A (\(\sum M_A = 0\)) et calcul de \(V_B\)
Principe :
Pour l'équilibre, la somme des moments de toutes les forces par rapport à n'importe quel point doit être nulle. Choisir le point A pour calculer les moments est astucieux car les réactions \(H_A\) et \(V_A\) passent par ce point, donc leur moment par rapport à A est nul (leur bras de levier est zéro), ce qui simplifie l'équation. Un moment est une force multipliée par son bras de levier (la distance perpendiculaire entre la force et le point de rotation). Nous définissons une convention de signe pour les moments (par exemple, positif si anti-horaire). La charge ponctuelle P crée un moment \(P \times a\) (horaire, donc négatif si anti-horaire est positif). La charge répartie q peut être remplacée par une force équivalente \(Q = q \times b\) appliquée au centre de la charge répartie, soit à \(b/2\) de A. Son moment est \(Q \times (b/2)\) (horaire). La réaction \(V_B\) crée un moment \(V_B \times L\) (anti-horaire, donc positif).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(L = 6.0 \, \text{m}\)
- \(P = 10 \, \text{kN}\)
- \(a = 2.0 \, \text{m}\)
- \(q = 5 \, \text{kN/m}\)
- \(b = 3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
Force équivalente de la charge répartie : \(Q = q \times b = 5 \, \text{kN/m} \times 3.0 \, \text{m} = 15 \, \text{kN}\).
Position de cette force Q par rapport à A : \(b/2 = 3.0 \, \text{m} / 2 = 1.5 \, \text{m}\).
Question 3 : Somme des forces verticales (\(\sum F_y = 0\)) et calcul de \(V_A\)
Principe :
Pour l'équilibre vertical, la somme de toutes les forces verticales doit être nulle. Les forces verticales sont les réactions \(V_A\) et \(V_B\) (dirigées vers le haut, donc positives selon notre convention) et les charges P et Q (la résultante de la charge répartie q, dirigées vers le bas, donc négatives).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(V_B \approx 7.0833 \, \text{kN}\) (de Q2)
- \(P = 10 \, \text{kN}\)
- \(q = 5 \, \text{kN/m}\)
- \(b = 3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
Force totale due à la charge répartie : \(Q = q \times b = 5 \times 3 = 15 \, \text{kN}\).
Question 4 : Vérification par somme des moments par rapport à B (\(\sum M_B = 0\))
Principe :
Pour vérifier nos calculs, nous pouvons calculer la somme des moments par rapport à l'autre appui (B). Si nos réactions sont correctes, cette somme devrait être nulle (ou très proche de zéro si on a utilisé des valeurs arrondies). Par rapport à B : - \(V_A\) crée un moment \(V_A \times L\) (horaire, donc négatif si anti-horaire est positif). - La charge P crée un moment \(P \times (L-a)\) (anti-horaire). - La charge répartie Q (de \(15 \, \text{kN}\)) est appliquée à \(b/2 = 1.5 \, \text{m}\) de A. Sa distance par rapport à B est donc \(L - b/2 = 6 - 1.5 = 4.5 \, \text{m}\). Son moment est \(Q \times (L - b/2)\) (anti-horaire).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(V_A \approx 17.9167 \, \text{kN}\)
- \(L = 6.0 \, \text{m}\)
- \(P = 10 \, \text{kN}\)
- \(a = 2.0 \, \text{m}\) \(\Rightarrow L-a = 4.0 \, \text{m}\)
- \(q = 5 \, \text{kN/m}\)
- \(b = 3.0 \, \text{m}\) \(\Rightarrow L - b/2 = 6 - 1.5 = 4.5 \, \text{m}\)
Calcul :
La somme est très proche de zéro. La petite différence est due aux arrondis des réactions. L'équilibre est vérifié.
Quiz Intermédiaire (Fin) : Si la somme des moments par rapport à un point est nulle, la structure est en équilibre de :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Un appui à rouleau peut exercer :
2. Pour calculer les réactions d'appui d'une poutre isostatique, on utilise :
3. Une charge uniformément répartie \(q\) sur une longueur \(b\) peut être remplacée par une force équivalente \(Q\) égale à :
Glossaire
- Réaction d'Appui
- Force ou moment exercé par un appui sur une structure pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges appliquées.
- Poutre Isostatique
- Poutre dont les réactions d'appui peuvent être déterminées uniquement à l'aide des équations de la statique. Typiquement, une poutre sur deux appuis simples (rotule et rouleau) est isostatique.
- Appui Simple (Rotule ou Articulation)
- Type d'appui qui empêche les déplacements horizontaux et verticaux mais permet la rotation. Il exerce deux réactions de force (une horizontale et une verticale).
- Appui à Rouleau (ou Appui Glissant)
- Type d'appui qui empêche le déplacement perpendiculaire à son plan d'appui mais permet le déplacement parallèle et la rotation. Il exerce une seule réaction de force, perpendiculaire à son plan d'appui.
- Charge Ponctuelle
- Force appliquée sur une très petite surface, considérée comme agissant en un point unique.
- Charge Uniformément Répartie
- Charge d'intensité constante répartie sur une certaine longueur ou surface (ex: poids propre d'une dalle, pression du vent).
- Moment (de force)
- Capacité d'une force à faire tourner un objet autour d'un axe. Calculé comme le produit de la force par le bras de levier (distance perpendiculaire de l'axe à la ligne d'action de la force).
- Équations de la Statique
- Ensemble des équations qui expriment les conditions d'équilibre d'un corps solide : \(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), \(\sum M_z = 0\) (pour un problème plan).
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Vraiment merci pour l’explication approfondie sur le calcul des réactions d’appuis.