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Calcul des réactions d’appui

RDM : Calcul des Réactions d'Appui

Calcul des Réactions d'Appui d'une Poutre Simple

Contexte : Le Fondement de la Stabilité des Structures

Pour qu'une structure comme une poutre, un pont ou un bâtiment reste immobile sous l'effet des charges (poids, vent, etc.), elle doit être en équilibre. Cela signifie que les forces extérieures qui s'appliquent sur elle sont contrebalancées par des forces de sens opposé, exercées par ses supports. Ces forces de "réponse" sont appelées les réactions d'appuiForces ou moments exercés par les appuis (supports) sur une structure pour la maintenir en équilibre statique sous l'effet des charges appliquées.. Leur calcul est la toute première étape, et la plus cruciale, de l'analyse de n'importe quelle structure en génie civil. Sans connaître ces réactions, il est impossible de dimensionner correctement la structure.

Remarque Pédagogique : Imaginez que vous teniez une barre lourde avec un ami. Les forces que vos bras exercent vers le haut pour soutenir la barre sont les réactions d'appui. Si l'un de vous ne pousse pas assez fort (réaction trop faible), la barre tombe. Le calcul en RDM consiste à déterminer précisément la force que chaque "bras" (appui) doit fournir.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les différents types d'appuis (appui simpleAppui qui bloque un seul déplacement (généralement vertical). Il est symbolisé par un triangle sur des rouleaux., appui doubleAussi appelé rotule ou articulation, il bloque les déplacements verticaux et horizontaux mais autorise la rotation. Il est symbolisé par un triangle.) et les réactions associées.
  • Appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS)Un corps est en équilibre si la somme vectorielle de toutes les forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle, et si la somme des moments de ces forces par rapport à un point quelconque est nulle. pour résoudre un problème isostatique.
  • Écrire et résoudre les équations d'équilibre (somme des forces et somme des moments).
  • Calculer les réactions pour une combinaison de charge ponctuelleForce concentrée appliquée en un seul point de la structure. Unité : N ou kN. et de charge répartieCharge étalée sur une longueur ou une surface. Unité : N/m ou kN/m²..

Données de l'étude

Soit une poutre sur deux appuis simples, un appui double (rotule) en A et un appui simple (rouleau) en B. La poutre est soumise à une charge ponctuelle F et à une charge uniformément répartie q, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Schéma de la Poutre
A B F = 10 kN q = 5 kN/m 2 m 2 m 4 m

Données :

  • Charge ponctuelle : \(F = 10 \, \text{kN}\)
  • Charge répartie : \(q = 5 \, \text{kN/m}\)
  • Longueurs : \(L_{AC} = 2 \, \text{m}\), \(L_{CD} = 2 \, \text{m}\), \(L_{DB} = 4 \, \text{m}\) (La charge q s'applique entre D et B)

Questions à traiter

  1. Isoler la poutre et représenter toutes les forces extérieures (actions et réactions).
  2. Écrire les trois équations du Principe Fondamental de la Statique (PFS).
  3. Calculer les réactions d'appui verticales \(V_A\) et \(V_B\), et la réaction horizontale \(H_A\).

Correction : Calcul des Réactions d'Appui

Question 1 : Isoler la Poutre et Bilan des Forces

Principe :

La première étape consiste à "isoler" mentalement la poutre de ses supports. On remplace alors chaque support par les forces (réactions) qu'il exerce sur la poutre. Un appui double bloque les déplacements horizontal et vertical (\(\Rightarrow H_A, V_A\)). Un appui simple bloque uniquement le déplacement vertical (\(\Rightarrow V_B\)). La charge répartie est remplacée par sa force résultante équivalente pour simplifier les calculs de moments.

Représentation :
Schéma de la poutre isolée avec les forces
V_A H_A V_B F=10kN Fq=20kN 2 m 4 m 2 m
Calcul de la force résultante :

La charge répartie q s'étend sur 4 m. Sa force résultante équivalente, notée \(F_q\), est égale à l'aire du rectangle de charge. Elle s'applique au centre de gravité de ce rectangle.

\[ F_q = q \times L_{DB} = 5 \, \text{kN/m} \times 4 \, \text{m} = 20 \, \text{kN} \]

Son point d'application est au milieu de DB, soit à \(2 \, \text{m} + 2 \, \text{m} + (4 \, \text{m} / 2) = 6 \, \text{m}\) de l'appui A.

Question 2 : Écriture des Équations du PFS

Principe :

Pour que la poutre soit en équilibre, la somme de toutes les forces horizontales, la somme de toutes les forces verticales, et la somme de tous les moments par rapport à un point quelconque doivent être nulles. On choisit un sens positif pour chaque direction (par ex. vers la droite pour x, vers le haut pour y) et pour la rotation (par ex. sens anti-horaire pour les moments).

Application au cas d'étude :
\[ \sum F_x = 0 \Rightarrow H_A = 0 \]
\[ \sum F_y = 0 \Rightarrow V_A + V_B - F - F_q = 0 \]
\[ \sum M_{/A} = 0 \Rightarrow (V_B \times 8) - (F \times 2) - (F_q \times 6) = 0 \]

Question 3 : Calcul des Réactions d'Appui

Principe :
Résolution des équations ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM/A = 0 HA = ? VB = ? VA = ?

On résout le système de trois équations à trois inconnues. L'astuce consiste à commencer par l'équation de moment en un point où se trouve une ou plusieurs inconnues (ici, le point A). Cela élimine ces inconnues de l'équation et permet de trouver directement une autre réaction. Une fois une réaction connue, les autres se déduisent facilement des équations de somme des forces.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le choix du point pour le calcul du moment est stratégique, pas arbitraire. En choisissant un appui, on simplifie radicalement le problème. On aurait pu choisir le point B, ce qui aurait permis de trouver \(V_A\) en premier. Le résultat final serait identique.

Calcul(s) :

1. Calcul de \(V_B\) avec la somme des moments en A :

\[ \begin{aligned} \sum M_{/A} = 0 &\Rightarrow (V_B \times 8 \, \text{m}) - (F \times 2 \, \text{m}) - (F_q \times 6 \, \text{m}) = 0 \\ &\Rightarrow 8V_B = (10 \, \text{kN} \times 2 \, \text{m}) + (20 \, \text{kN} \times 6 \, \text{m}) \\ &\Rightarrow 8V_B = 20 \, \text{kN.m} + 120 \, \text{kN.m} \\ &\Rightarrow 8V_B = 140 \, \text{kN.m} \\ &\Rightarrow V_B = \frac{140}{8} = 17.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul de \(V_A\) avec la somme des forces verticales :

\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow V_A + V_B - F - F_q = 0 \\ &\Rightarrow V_A + 17.5 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} - 20 \, \text{kN} = 0 \\ &\Rightarrow V_A - 12.5 \, \text{kN} = 0 \\ &\Rightarrow V_A = 12.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Calcul de \(H_A\) avec la somme des forces horizontales :

\[ \begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Rightarrow H_A = 0 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le signe des moments : La plus grande source d'erreur est le signe des moments. Il faut définir une convention (par exemple, "positif si tourne dans le sens anti-horaire") et s'y tenir pour tout le calcul. Un moment est une force multipliée par un bras de levier (la distance perpendiculaire entre la force et le point de rotation).

Le saviez-vous ?

Une bonne pratique est de toujours faire une vérification. On peut, par exemple, calculer la somme des moments par rapport au point B. Si on trouve zéro (ou une valeur très proche due aux arrondis), notre calcul est très probablement correct. \(\sum M_{/B} = (-V_A \times 8) + (F \times 6) + (F_q \times 2) = (-12.5 \times 8) + (10 \times 6) + (20 \times 2) = -100 + 60 + 40 = 0\). Le calcul est vérifié !

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si la charge répartie n'est pas rectangulaire (ex: triangulaire) ?

Le principe reste le même. Il faut remplacer la charge par sa force résultante équivalente. Pour une charge triangulaire, la résultante est égale à l'aire du triangle (\( (q_{\text{max}} \times L) / 2 \)) et son point d'application se situe au centre de gravité du triangle, c'est-à-dire aux deux tiers de la base depuis le sommet à zéro.

Résultat : Les réactions d'appui sont : \(H_A = 0 \, \text{kN}\), \(V_A = 12.5 \, \text{kN}\), et \(V_B = 17.5 \, \text{kN}\).

Simulation Interactive des Réactions

Utilisez les curseurs pour modifier les charges et leur position. Observez comment les réactions d'appui \(V_A\) et \(V_B\) s'adaptent pour maintenir l'équilibre.

Paramètres des Charges
Réaction Verticale en A (V_A)
Réaction Verticale en B (V_B)
Somme des charges
Somme des réactions
Visualisation des Réactions

Le Saviez-Vous ?

Le concept d'équilibre statique a été formellement étudié pour la première fois par Archimède au 3ème siècle avant J.-C., notamment avec ses travaux sur les leviers. Le Principe Fondamental de la Statique que nous utilisons aujourd'hui est une généralisation de ses découvertes, formulée beaucoup plus tard par des savants comme Varignon et Newton.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la réaction horizontale \(H_A\) est-elle nulle ?

Dans cet exercice, toutes les charges appliquées (F et q) sont purement verticales. Comme il n'y a aucune force extérieure horizontale qui pousse ou tire la poutre, l'appui A n'a pas besoin de fournir une réaction horizontale pour maintenir l'équilibre. \(H_A\) ne serait non-nulle que si une des charges était inclinée.

Que se passe-t-il si on a deux appuis doubles ?

Un système avec deux appuis doubles (un en A, un en B) possède quatre inconnues de réaction (\(H_A, V_A, H_B, V_B\)). Or, nous n'avons que trois équations d'équilibre statique. Le système est dit "hyperstatique". On ne peut pas le résoudre avec le PFS seul. Il faut des équations supplémentaires basées sur la déformation de la poutre (méthodes énergétiques, méthode des forces, etc.).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Sur une poutre simple avec une seule charge ponctuelle F en son milieu, comment se répartissent les réactions verticales ?

2. Pour calculer les réactions d'appui, une charge répartie 'q' sur une longueur 'L' peut être remplacée par une force ponctuelle équivalente...

Glossaire

Appui Simple (ou Appui à Rouleau)
Support qui empêche le déplacement dans une seule direction (généralement verticale) mais autorise la rotation et le déplacement dans la direction perpendiculaire. Il génère une seule réaction.
Appui Double (ou Articulation, Rotule)
Support qui empêche tout déplacement (horizontal et vertical) mais autorise la rotation. Il génère deux réactions (une horizontale et une verticale).
Principe Fondamental de la Statique (PFS)
Principe physique stipulant qu'un solide est en équilibre si et seulement si la somme vectorielle des forces extérieures est nulle ET la somme des moments de ces forces par rapport à n'importe quel point est nulle.
Charge Ponctuelle
Force considérée comme agissant en un seul point infiniment petit de la structure.
Charge Répartie
Force distribuée sur une certaine longueur ou surface de la structure (ex: poids de la neige, pression du vent).
Calcul des Réactions d'Appui d'une Poutre Simple

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1 Commentaire
  1. Roland RUVALE
    Roland RUVALE sur 22 février 2024 à 8h01

    Vraiment merci pour l’explication approfondie sur le calcul des réactions d’appuis.

    Réponse
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