Calcul des armatures d’une poutre

Point Clé : Une erreur sur la hauteur utile \(d\) a un impact majeur sur le calcul, car elle intervient au carré dans le calcul du moment réduit. Prenez toujours le temps de la calculer avec soin en décomposant chaque terme : enrobage, diamètre des cadres, et demi-diamètre des barres principales.

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), § 4.4.1 : Cette section définit les exigences relatives à l'enrobage des armatures (\(c_{\text{nom}}\)), qui est essentiel pour la durabilité (protection contre la corrosion) et la bonne adhérence entre l'acier et le béton. La valeur de l'enrobage dépend de la classe d'exposition environnementale.

On suppose que les armatures tendues sont disposées en un seul lit. L'enrobage nominal \(c\) est supposé tenir compte de la tolérance d'exécution.

La hauteur utile est de 54.2 cm, soit environ 90% de la hauteur totale. Cette valeur est cohérente. Une hauteur utile significativamente plus faible (par ex. < 85% de h) pourrait indiquer un sur-dimensionnement de la hauteur totale ou un enrobage très important.

La détermination de \(d\) est la première étape indispensable du calcul de flexion. Toutes les formules qui suivent (moment réduit, bras de levier, section d'acier) dépendent directement de cette valeur.

Oublier un terme : L'erreur la plus commune est d'oublier le diamètre des cadres (\(\phi_t\)) ou de ne prendre que l'enrobage. Il faut bien soustraire toutes les épaisseurs qui séparent le bord de la poutre du centre des aciers.

Point Clé : N'oubliez jamais d'appliquer les coefficients de sécurité. Utiliser les résistances caractéristiques directement dans les calculs finaux conduirait à un dimensionnement non sécuritaire et non réglementaire.

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), Tableau 2.1N : Ce tableau fournit les valeurs recommandées pour les coefficients partiels \(\gamma_{\text{c}}\) et \(\gamma_{\text{s}}\) pour les situations de projet durables. Les valeurs de 1.5 et 1.15 sont les valeurs standards utilisées en France.

On considère une situation de projet durable et une exécution normale, ce qui justifie l'utilisation des coefficients partiels standards. On utilise \(\alpha_{\text{cc}} = 0.85\) car le béton est soumis à des charges de longue durée.

On voit que la résistance de calcul du béton (14.17 MPa) est bien plus faible que sa résistance caractéristique (25 MPa), ce qui illustre la marge de sécurité prise. Pour l'acier, la réduction est moins importante (435 MPa vs 500 MPa).

Cette étape est fondamentale pour passer des propriétés intrinsèques des matériaux (données par les normes produits) aux valeurs à utiliser dans les formules de dimensionnement, qui doivent garantir la sécurité de la structure.

Oublier le coefficient \(\alpha_{cc}\) : Un oubli fréquent est de ne pas appliquer le coefficient de 0.85 sur la résistance du béton, ce qui conduirait à surestimer la capacité du béton et à sous-estimer la quantité d'acier nécessaire.

Point Clé : Cette vérification est la première grande bifurcation dans un calcul de flexion. Si \(\mu_{\text{cu}} > \mu_{\text{lim}}\), la méthode de calcul change complètement et on doit calculer une section d'armatures comprimées \(A'_{\text{s}}\) en plus de la section tendue \(A_{\text{s}}\). C'est une étape à ne jamais sauter.

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), § 5.5 : Cette section décrit les diagrammes contrainte-déformation à utiliser pour les matériaux. La valeur de \(\mu_{\text{lim}}\) est directement déduite de ces diagrammes et de la condition d'équilibre des déformations.

On utilise le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton, qui est une simplification autorisée par l'Eurocode 2 pour le calcul de la résistance en flexion. On suppose une redistribution limitée des moments, ce qui est courant pour le dimensionnement des éléments individuels.

Le moment réduit est bien inférieur à la limite, ce qui signifie que la section de béton est confortablement dimensionnée. Le béton travaille à un niveau de contrainte modéré, et la rupture sera ductile (elle sera initiée par la plastification de l'acier, ce qui est le mode de rupture recherché).

Cette étape justifie l'utilisation de la méthode de calcul simplifiée (flexion simple sans aciers comprimés). Elle valide l'hypothèse que le béton seul est capable d'équilibrer la compression générée par le moment fléchissant.

Erreur d'unités : L'erreur la plus fréquente ici est de mélanger les unités (kN.m, N.mm, MPa, etc.). Il est plus sûr de tout convertir en unités de base du Système International (N, m) avant d'appliquer la formule.

Point Clé : Le bras de levier \(z\) est toujours inférieur à la hauteur utile \(d\). Une valeur typique est \(z \approx 0.9d\). Si vous trouvez un bras de levier plus grand que \(d\) ou très petit, c'est un signe d'erreur dans le calcul de \(\alpha_{\text{u}}\) ou de \(\mu_{\text{cu}}\).

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), § 6.1 : Cette section détaille les méthodes de calcul pour la flexion simple à l'ELU. Les formules utilisées ici sont directement dérivées des principes d'équilibre et des diagrammes de matériaux décrits dans la norme.

On suppose que la section reste plane après déformation (hypothèse de Navier-Bernoulli). On suppose aussi une adhérence parfaite entre l'acier et le béton, ce qui signifie que la déformation de l'acier est la même que celle du béton environnant.

L'axe neutre se situe à 15.3 cm du haut de la poutre, ce qui signifie qu'environ 25% de la hauteur de la poutre est comprimée. Le bras de levier est de 48.1 cm, soit 89% de la hauteur utile, ce qui est une valeur très classique et confirme la cohérence du calcul.

Le calcul du bras de levier \(z\) est l'étape finale avant de pouvoir déterminer la section d'acier. Il représente la "distance efficace" à laquelle la force de traction de l'acier agit pour contrer le moment extérieur. Sans \(z\), impossible de calculer \(A_{\text{s}}\).

Erreur de calcul sur \(\alpha_{\text{u}}\) : La formule de \(\alpha_{\text{u}}\) contient une racine carrée et plusieurs opérations. Une simple erreur de calcul ici faussera à la fois la position de l'axe neutre et le bras de levier, et donc le calcul final de l'acier.

Point Clé : Le résultat \(A_{\text{s}}\) est une section théorique en cm². N'oubliez jamais que l'étape suivante, sur un plan d'exécution, est de convertir cette section en un nombre de barres commerciales (par exemple 4 HA 20) dont la section totale est égale ou légèrement supérieure à la section calculée.

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), § 6.1 (4) : La norme stipule que pour une section soumise à la flexion simple, l'équilibre entre le moment de calcul et le moment résistant doit être satisfait. La formule utilisée est la traduction directe de cette exigence.

On suppose que l'acier a atteint sa limite d'élasticité de calcul \(f_{\text{yd}}\) (calcul en pivot A). Cette hypothèse est valide car nous avons vérifié que \(\mu_{\text{cu}} < \mu_{\text{lim}}\), ce qui garantit que l'acier plastifie avant que le béton ne s'écrase.

Une section de 11.96 cm² est une valeur tout à fait plausible pour une poutre de cette taille et sous cette charge. Cela pourrait correspondre, par exemple, à 4 barres de diamètre 20 mm (4 x 3.14 = 12.56 cm²). Le choix final dépendra des barres disponibles et des règles de disposition.

C'est l'aboutissement du calcul de flexion. L'objectif final est de déterminer la quantité de matière (acier) à mettre en œuvre pour assurer la résistance de l'élément. Cette valeur est la donnée principale pour le ferrailleur.

Incohérence des unités : C'est encore une fois le piège principal. Si \(M_{\text{Ed}}\) est en kN.m, z en cm et \(f_{\text{yd}}\) en MPa, le résultat sera incohérent. La conversion en unités de base (N, m) est la méthode la plus sûre pour éviter les erreurs de facteur 10, 1000 ou 1 000 000.

Point Clé : Cette vérification est particulièrement importante pour les éléments faiblement sollicités ou de grande dimension, comme certaines dalles ou poutres de rive. Dans ces cas, le calcul de flexion peut donner une section d'acier très faible, parfois inférieure au minimum réglementaire. Il faut alors dimensionner avec \(A_{\text{s,min}}\).

Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), § 9.2.1.1 : Cette section définit la formule de calcul de l'aire d'armature minimale pour les poutres, ainsi que les conditions d'application. La formule dépend de la résistance en traction du béton \(f_{\text{ctm}}\).

On utilise la résistance moyenne en traction du béton \(f_{\text{ctm}}\), qui est tabulée dans l'Eurocode 2 en fonction de la classe du béton. On suppose que la section est entièrement tendue pour le calcul de la deuxième condition (terme en 0.0013).

La section d'acier calculée pour la résistance est plus de 5 fois supérieure au minimum requis. Cela confirme que la poutre est bien sollicitée et que le dimensionnement est gouverné par la résistance à la flexion, et non par les exigences minimales de ferraillage.

Cette vérification est une exigence réglementaire fondamentale qui garantit un comportement ductile et sécuritaire de la structure, en prévenant les ruptures soudaines et imprévisibles.

Ne pas faire la vérification : L'erreur la plus grave serait de ne pas faire cette vérification du tout et de se contenter d'une section d'acier calculée très faible, ce qui est non réglementaire et dangereux.