Études de cas pratique

EGC

Calcul de rayonnement à la station totale

Calcul de Rayonnement à la Station Totale en Topographie

Calcul de Rayonnement à la Station Totale en Topographie

Comprendre le Calcul de Rayonnement à la Station Totale

Le rayonnement (ou levé par rayonnement) est une méthode topographique fondamentale pour déterminer les coordonnées tridimensionnelles (X, Y, Z) de points nouveaux à partir d'une station d'instrument dont les coordonnées sont connues. Une station totale, qui combine un théodolite électronique pour la mesure des angles (horizontaux et verticaux) et un distancemètre électronique (EDM) pour la mesure des distances, est l'instrument de choix pour cette technique. Depuis la station, l'opérateur vise un prisme réflecteur placé sur le point à lever. L'instrument mesure l'angle horizontal, l'angle vertical (ou zénithal) et la distance inclinée jusqu'au prisme. À partir de ces mesures et des coordonnées de la station, les coordonnées du point visé peuvent être calculées.

Données de l'étude

Un topographe a stationné une station totale au point S et a visé un point P à lever.

Données de la station et mesures :

  • Coordonnées du point de station S :
    • \(X_{\text{S}} = 1234.567 \, \text{m}\)
    • \(Y_{\text{S}} = 789.012 \, \text{m}\)
    • \(Z_{\text{S}} = 150.750 \, \text{m}\) (Altitude de l'axe des tourillons de l'instrument)
  • Orientation de la station :
    • Gisement de la référence (visée d'orientation vers un point R) : \(G_{\text{SR}} = 45^\circ 30' 15''\)
    • Lecture horizontale sur la référence R (\(Lh_{\text{R}}\)) : \(0^\circ 00' 00''\) (Cercle horizontal calé sur la référence)
  • Mesures sur le point P :
    • Lecture horizontale sur P (\(Lh_{\text{P}}\)) : \(125^\circ 10' 45''\)
    • Angle zénithal sur P (\(V_{\text{P}}\) ou \(Z\)) : \(88^\circ 25' 30''\)
    • Distance inclinée de S à P (\(D_{\text{iSP}}\)) : \(185.675 \, \text{m}\)
    • Hauteur du prisme au-dessus du point P (\(h_{\text{prisme}}\)) : \(1.600 \, \text{m}\)
    • Hauteur de l'instrument (axe des tourillons au-dessus du point S, \(h_{\text{instr}}\)) : \(0.000 \, \text{m}\) (car \(Z_S\) est déjà l'altitude de l'axe des tourillons)

Hypothèses :

  • L'instrument est parfaitement calé.
  • Les corrections atmosphériques et de réfraction sont négligées pour cet exercice.

Schéma : Levé par rayonnement
{/* */} S (XS, YS, ZS) {/* */} P (XP, YP, ZP) {/* */} {/* */} h prisme {/* */} Di SP {/* */} Dh SP {/* */} ΔZ SP {/* */} {/* */} Vp {/* */} Réf. (G SR) LhP Rayonnement à la Station Totale

Schéma illustrant un levé par rayonnement depuis une station S vers un point P.

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement de la visée SP (\(G_{\text{SP}}\)).
  2. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{hSP}}\)) entre S et P.
  3. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SP}}\)) entre l'axe des tourillons de l'instrument en S et le prisme en P.
  4. Calculer les coordonnées \(X_{\text{P}}\) et \(Y_{\text{P}}\) du point P.
  5. Calculer l'altitude \(Z_{\text{P}}\) du point P au sol.

Correction : Calcul de Rayonnement à la Station Totale

Question 1 : Calcul du Gisement de la Visée SP (\(G_{\text{SP}}\))

Principe :

Le gisement de la visée vers le point P est obtenu en ajoutant la lecture horizontale sur P (\(Lh_{\text{P}}\)) au gisement de la référence (\(G_{\text{SR}}\)), puisque le cercle horizontal a été calé à \(0^\circ\) sur la référence R. Si la somme dépasse \(360^\circ\), on soustrait \(360^\circ\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{\text{SP}} = G_{\text{SR}} + Lh_{\text{P}}\]

(Ajuster si \(G_{\text{SP}} \ge 360^\circ\))

Données spécifiques :
  • Gisement de la référence (\(G_{\text{SR}}\)) : \(45^\circ 30' 15''\)
  • Lecture horizontale sur P (\(Lh_{\text{P}}\)) : \(125^\circ 10' 45''\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_{\text{SP}} &= 45^\circ 30' 15'' + 125^\circ 10' 45'' \\ &= (45+125)^\circ (30+10)' (15+45)'' \\ &= 170^\circ 40' 60'' \\ &= 170^\circ 41' 00'' \end{aligned} \]

Comme \(170^\circ 41' 00'' < 360^\circ\), aucun ajustement n'est nécessaire.

Résultat Question 1 : Le gisement de la visée SP est \(G_{\text{SP}} = 170^\circ 41' 00''\).

Question 2 : Calcul de la Distance Horizontale (\(D_{\text{hSP}}\)) entre S et P

Principe :

La distance horizontale (\(D_{\text{hSP}}\)) est calculée à partir de la distance inclinée (\(D_{\text{iSP}}\)) et de l'angle zénithal (\(V_{\text{P}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{hSP}} = D_{\text{iSP}} \times \sin(V_{\text{P}})\]
Données spécifiques (Angle zénithal en degrés décimaux) :
  • Distance inclinée (\(D_{\text{iSP}}\)) : \(185.675 \, \text{m}\)
  • Angle zénithal (\(V_{\text{P}}\)) : \(88^\circ 25' 30'' = 88 + 25/60 + 30/3600 \approx 88.425000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} D_{\text{hSP}} &= 185.675 \, \text{m} \times \sin(88.425000^\circ) \\ &\approx 185.675 \, \text{m} \times 0.999618 \\ &\approx 185.604 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La distance horizontale entre S et P est \(D_{\text{hSP}} \approx 185.604 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul de la Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SP}}\)) entre l'Axe des Tourillons et le Prisme

Principe :

La dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SP}}\)) entre l'axe des tourillons de l'instrument en S et le centre du prisme en P est calculée à partir de la distance inclinée (\(D_{\text{iSP}}\)) et de l'angle zénithal (\(V_{\text{P}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{\text{SP}} = D_{\text{iSP}} \times \cos(V_{\text{P}})\]

Cette dénivelée est positive si la visée est vers le haut (angle zénithal \(< 90^\circ\)) et négative si la visée est vers le bas (angle zénithal \(> 90^\circ\)).

Données spécifiques :
  • Distance inclinée (\(D_{\text{iSP}}\)) : \(185.675 \, \text{m}\)
  • Angle zénithal (\(V_{\text{P}}\)) : \(88.425000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{SP}} &= 185.675 \, \text{m} \times \cos(88.425000^\circ) \\ &\approx 185.675 \, \text{m} \times 0.027486 \\ &\approx +5.099 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le prisme est plus haut que l'axe des tourillons de l'instrument.

Résultat Question 3 : La dénivelée entre l'axe des tourillons en S et le prisme en P est \(\Delta Z_{\text{SP}} \approx +5.099 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'angle zénithal est de \(90^\circ\), la dénivelée instrument-prisme est :

Question 4 : Calcul des Coordonnées \(X_{\text{P}}\) et \(Y_{\text{P}}\) du Point P

Principe :

Les coordonnées du point P sont calculées à partir des coordonnées de la station S, du gisement \(G_{\text{SP}}\) et de la distance horizontale \(D_{\text{hSP}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + D_{\text{hSP}} \times \sin(G_{\text{SP}})\]
\[Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + D_{\text{hSP}} \times \cos(G_{\text{SP}})\]
Données spécifiques (Gisement en degrés décimaux) :
  • \(X_{\text{S}} = 1234.567 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 789.012 \, \text{m}\)
  • \(D_{\text{hSP}} \approx 185.604 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP}} = 170^\circ 41' 00'' \approx 170.683333^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{SP}} &= 185.604 \times \sin(170.683333^\circ) \approx 185.604 \times 0.16188 \approx +30.046 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{SP}} &= 185.604 \times \cos(170.683333^\circ) \approx 185.604 \times (-0.98680) \approx -183.157 \, \text{m} \\ X_{\text{P}} &= 1234.567 + 30.046 = 1264.613 \, \text{m} \\ Y_{\text{P}} &= 789.012 - 183.157 = 605.855 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les coordonnées du point P sont :
  • \(X_{\text{P}} \approx 1264.613 \, \text{m}\)
  • \(Y_{\text{P}} \approx 605.855 \, \text{m}\)

Question 5 : Calcul de l'Altitude \(Z_{\text{P}}\) du Point P au Sol

Principe :

L'altitude du point P au sol est égale à l'altitude de l'axe des tourillons de l'instrument en S, plus la dénivelée entre l'axe des tourillons et le prisme, moins la hauteur du prisme au-dessus du point P.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{P}} = Z_{\text{S}} + \Delta Z_{\text{SP}} - h_{\text{prisme}}\]

(Rappel : \(Z_S\) est déjà l'altitude de l'axe des tourillons, donc \(h_{\text{instr}}\) est nulle ici).

Données spécifiques :
  • Altitude de l'axe des tourillons en S (\(Z_{\text{S}}\)) : \(150.750 \, \text{m}\)
  • Dénivelée instrument-prisme (\(\Delta Z_{\text{SP}}\)) : \(+5.099 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme (\(h_{\text{prisme}}\)) : \(1.600 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P}} &= 150.750 \, \text{m} + 5.099 \, \text{m} - 1.600 \, \text{m} \\ &= 155.849 \, \text{m} - 1.600 \, \text{m} \\ &= 154.249 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'altitude du point P au sol est \(Z_{\text{P}} \approx 154.249 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la hauteur du prisme est ignorée dans le calcul de \(Z_P\), l'altitude calculée pour P sera :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le gisement d'une direction est un angle mesuré :

2. La distance horizontale \(D_{\text{h}}\) est obtenue à partir de la distance inclinée \(D_{\text{i}}\) et de l'angle zénithal \(V\) par :

3. Pour calculer les coordonnées X d'un point rayonné, on utilise :

Glossaire

Station Totale
Instrument de topographie électronique combinant les fonctionnalités d'un théodolite (mesure d'angles horizontaux et verticaux) et d'un distancemètre électronique (EDM) pour mesurer les distances.
Rayonnement
Méthode de levé topographique où les coordonnées de points sont déterminées par des mesures d'angles et de distances depuis une station unique de coordonnées connues.
Gisement (Azimut)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord) jusqu'à la direction d'un point visé.
Angle Zénithal (V ou Z)
Angle vertical mesuré à partir de la direction du zénith (verticale vers le haut) jusqu'à la ligne de visée. Un angle de \(90^\circ\) correspond à une visée horizontale.
Distance Inclinée (\(D_{\text{i}}\))
Distance directe mesurée par la station totale entre l'instrument et le prisme réflecteur, suivant la ligne de visée.
Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Projection de la distance inclinée sur un plan horizontal.
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points. Dans le cas du rayonnement, entre l'axe des tourillons de l'instrument et le prisme, ou entre le point de station et le point visé au sol.
Prisme Réflecteur
Cible utilisée avec les stations totales pour réfléchir le signal du distancemètre électronique, permettant une mesure précise de la distance.
Hauteur d'Instrument (\(h_{\text{instr}}\))
Distance verticale entre le point de station au sol et l'axe des tourillons (axe horizontal de rotation de la lunette) de l'instrument.
Hauteur de Prisme (\(h_{\text{prisme}}\))
Distance verticale entre le point visé au sol et le centre optique du prisme réflecteur.
Calcul de Rayonnement à la Station Totale - Exercice d'Application

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