Calcul de Rayonnement à la Station Totale
Contexte : Le rayonnement topographiqueMéthode de lever topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points inconnus depuis une seule station connue, en mesurant des angles et des distances..
Le rayonnement est l'une des techniques les plus fondamentales en topographie. Elle permet à un géomètre, depuis un point de station dont les coordonnées sont connues, de déterminer les coordonnées (X, Y, Z) de n'importe quel point visible en mesurant simplement un angle horizontal, un angle vertical et une distance. Cet exercice vous guidera à travers le processus complet de calcul des coordonnées d'un point levé par cette méthode.
Remarque Pédagogique : Maîtriser le calcul de rayonnement est essentiel pour comprendre le fonctionnement des stations totales et pour réaliser des levers topographiques précis, que ce soit pour la construction, l'aménagement du territoire ou la cartographie.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer le principe du rayonnement topographique.
- Calculer le gisementAngle horizontal, mesuré dans le sens horaire, entre la direction du Nord et une direction donnée. C'est une orientation absolue. d'une direction à partir de coordonnées connues.
- Déterminer les coordonnées planimétriques (X, Y) et l'altitude (Z) d'un point visé.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| ST1 | Coordonnées de la station | X=500.000, Y=200.000, Z=100.000 | m |
| ST2 | Coordonnées de la référence | X=586.603, Y=250.000, Z=105.000 | m |
| Hz | Angle horizontal (ST2 → P1) | 150.0000 | gon |
| Dh | Distance horizontale (ST1 → P1) | 75.500 | m |
| V | Angle zénithal (ST1 → P1) | 95.0000 | gon |
| hi | Hauteur de l'instrument sur ST1 | 1.650 | m |
| hp | Hauteur du prisme sur P1 | 2.000 | m |
Questions à traiter
- Calculer le gisement de la direction ST1 → ST2.
- En déduire le gisement de la direction ST1 → P1.
- Calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) du point P1.
- Calculer l'altitude (Z) du point P1.
- Présenter les coordonnées complètes (X, Y, Z) du point P1.
Les bases du calcul de rayonnement
Pour résoudre cet exercice, trois formules principales sont nécessaires. Elles permettent de passer de mesures polaires (angles, distances) à des coordonnées rectangulaires (X, Y, Z).
1. Calcul du Gisement entre deux points connus (A et B)
Le gisement est calculé à partir des différences de coordonnées (\(\Delta X\), \(\Delta Y\)). Une attention particulière doit être portée au quadrant pour ajuster le résultat de l'arc tangente.
(C est une constante de correction de quadrant : 0, 200 ou 400 gon).
2. Calcul des Coordonnées Planimétriques (X, Y)
Une fois le gisement de la visée (\(G_{\text{ST}}^{\text{P}}\)) et la distance horizontale (\(D_h\)) connus, les coordonnées du point P sont calculées par projection.
3. Calcul de l'Altitude (Z)
L'altitude est calculée en ajoutant à l'altitude de la station la dénivelée entre l'instrument et le prisme. Cette dénivelée (\(\Delta H\)) dépend de la distance et de l'angle vertical.
Correction : Calcul de Rayonnement à la Station Totale
Question 1 : Calculer le gisement de la direction ST1 → ST2
Principe
Le gisement d'une direction est son orientation par rapport à l'axe du Nord. Pour le trouver à partir de deux points connus, on utilise leurs coordonnées pour calculer la pente de la droite qui les relie, puis on la convertit en angle.
Mini-Cours
La fonction arc tangente (arctan) renvoie un angle de base. Pour obtenir le gisement correct (un angle entre 0 et 400 gon), il faut l'ajuster en fonction des signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\), qui indiquent le quadrant. Si \(\Delta Y < 0\), on ajoute 200 gon. Si \(\Delta X < 0\) et \(\Delta Y > 0\), on ajoute 400 gon.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours de calculer \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Leurs signes vous donnent une idée immédiate de la direction générale (Nord-Est, Sud-Ouest, etc.) et vous permettent d'anticiper le résultat pour éviter les erreurs grossières.
Normes
Pour cet exercice académique, nous n'appliquons pas de norme spécifique. Dans un contexte professionnel, les calculs et les tolérances suivraient les recommandations des ordres professionnels ou des cahiers des charges spécifiques au projet.
Formule(s)
Formule du Gisement
Hypothèses
Nous supposons que les coordonnées des points ST1 et ST2 sont parfaites et exemptes d'erreur. Le système de coordonnées est un système plan rectangulaire local.
Donnée(s)
| Paramètre | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| ST1 | 500.000 | 200.000 |
| ST2 | 586.603 | 250.000 |
Astuces
Pour vérifier rapidement, calculez la distance ST1-ST2 avec Pythagore : \(\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\). Ici, \(\sqrt{86.603^2 + 50^2} \approx 100\) m. Cela donne un ordre de grandeur pour les distances de votre levé.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation des points ST1 et ST2
Calcul(s)
Calcul de la différence des abscisses (\(\Delta X\))
Calcul de la différence des ordonnées (\(\Delta Y\))
Application numérique du Gisement
\(\Delta X\) est positif et \(\Delta Y\) est positif, la direction se trouve donc dans le premier quadrant (Nord-Est). La correction C est de 0 gon.
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Gisement ST1-ST2
Réflexions
Ce gisement de 66.6667 gon devient notre orientation de base. Toutes les autres mesures d'angles horizontaux effectuées depuis la station ST1 seront relatives à cette direction de référence.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) dans la formule de l'arc tangente ou d'oublier la correction de quadrant. Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "grades" ou "gons".
Points à retenir
Le calcul de gisement est la clé de l'orientation en topographie. La formule \(\arctan(\Delta X / \Delta Y)\) est fondamentale et doit être parfaitement maîtrisée, y compris la gestion des quadrants.
Le saviez-vous ?
Le "gon" (ou grade) est une unité d'angle qui divise le cercle en 400 parties. Il est très utilisé en topographie car il simplifie les calculs avec les angles droits (100 gon) par rapport aux 90 degrés.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le gisement si les coordonnées de ST2 étaient (X=500, Y=250) ?
Question 2 : En déduire le gisement de la direction ST1 → P1
Principe
Le gisement du point P1 est obtenu en ajoutant l'angle horizontal (Hz) mesuré à la station au gisement de la direction de référence. C'est ce qu'on appelle le "transport de gisement". L'angle Hz est mesuré dans le sens horaire, qui est le même sens que la mesure des gisements.
Mini-Cours
En topographie, une station est "orientée" lorsqu'on a calé le 0 de son cercle horizontal sur une direction de gisement connu (souvent le Nord). Ici, on utilise une méthode plus pratique : on vise une référence connue (ST2), on mesure l'angle vers le nouveau point (P1), et on ajoute cet angle au gisement de la référence pour trouver le gisement du nouveau point.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous êtes sur ST1 et que vous regardez vers ST2. Le gisement vous dit que vous regardez à 66.67 gon. Vous tournez ensuite votre instrument de 150 gon vers la droite (sens horaire) pour viser P1. Votre nouvelle direction est donc simplement l'ancienne plus la rotation.
Normes
Pas de norme spécifique pour ce calcul de base.
Formule(s)
Formule du Gisement rayonné
Hypothèses
L'angle horizontal Hz a été mesuré sans erreur et dans le sens horaire.
Donnée(s)
Gisement de référence (calculé à la Q1) : 66.6667 gon. Angle horizontal mesuré : 150.0000 gon.
Astuces
Pour visualiser, 200 gon est le Sud, 300 l'Ouest. Un gisement de 216.67 gon se situe donc dans le quadrant Sud-Ouest, ce qui est cohérent avec un ajout de 150 gon à une direction Nord-Est.
Schéma (Avant les calculs)
Transport de Gisement
Calcul(s)
Calcul du Gisement rayonné
On additionne l'angle mesuré au gisement de référence. Le résultat étant inférieur à 400, il n'y a pas besoin de soustraire un tour complet.
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Gisement ST1-P1
Réflexions
Nous avons maintenant l'orientation absolue (gisement) et la longueur (distance horizontale) du vecteur allant de notre station connue ST1 au point inconnu P1. C'est tout ce dont nous avons besoin pour le calcul planimétrique.
Points de vigilance
Attention au sens de rotation ! Si l'angle avait été mesuré dans le sens anti-horaire ("cercle à gauche"), il aurait fallu le soustraire du gisement de référence.
Points à retenir
Le gisement d'un point rayonné est toujours égal au gisement de la référence plus l'angle horizontal horaire mesuré entre la référence et le point.
Le saviez-vous ?
Les anciens instruments (théodolites) avaient des cercles gradués physiquement. L'opération de "transport de gisement" était donc une procédure manuelle cruciale sur le terrain, alors qu'elle est aujourd'hui automatisée dans les stations totales.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle Hz avait été de 350 gon, quel aurait été le nouveau gisement de P1 ? (G_ref = 66.6667 gon)
Question 3 : Calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) du point P1
Principe
Les coordonnées du nouveau point sont calculées en projetant le vecteur ST1-P1 (défini par son gisement et sa distance) sur les axes X (Est) et Y (Nord) du système de coordonnées, et en ajoutant ces projections aux coordonnées de la station ST1.
Mini-Cours
Ce calcul est une application directe de la trigonométrie dans un triangle rectangle. Le vecteur ST1-P1 est l'hypoténuse. La projection sur l'axe Y (\(\Delta Y\)) est le côté adjacent à l'angle de gisement, d'où l'utilisation du cosinus. La projection sur l'axe X (\(\Delta X\)) est le côté opposé, d'où l'utilisation du sinus.
Remarque Pédagogique
Avant de calculer, vérifiez le quadrant du gisement (216.67 gon est dans le Sud-Ouest). Vous devez donc vous attendre à obtenir un \(\Delta X\) négatif et un \(\Delta Y\) négatif. Si vos calculs donnent des signes différents, il y a une erreur.
Normes
Pas de norme spécifique pour ce calcul de base.
Formule(s)
Formule de la coordonnée X
Formule de la coordonnée Y
Hypothèses
La distance horizontale Dh est correcte et ne nécessite pas de corrections (par exemple, de réduction à l'ellipsoïde, ce qui n'est pertinent que sur de très longues distances).
Donnée(s)
X_ST1=500.000m, Y_ST1=200.000m, Dh=75.500m, Gisement=216.6667gon.
Astuces
Rappelez-vous du moyen mnémotechnique : X est "sinistre" (utilise le sinus), Y est "sympathique" (utilise le cosinus). Attention, cela n'est vrai que pour les gisements comptés depuis le Nord !
Schéma (Avant les calculs)
Projection sur les axes X et Y
Calcul(s)
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode 'gon' ou 'grad'.
Calcul de la projection sur l'axe X (\(\Delta X\))
Calcul de la coordonnée X finale
Calcul de la projection sur l'axe Y (\(\Delta Y\))
Calcul de la coordonnée Y finale
Schéma (Après les calculs)
Coordonnées finales de P1
Réflexions
Le calcul planimétrique est terminé. Le point P1 est maintenant positionné sur le plan (X,Y). Il ne reste plus qu'à déterminer sa hauteur.
Points de vigilance
La principale source d'erreur est l'inversion des sinus et cosinus entre X et Y. Une autre erreur fréquente est un mauvais calcul des signes des fonctions trigonométriques selon le quadrant.
Points à retenir
\(X = X_{\text{départ}} + D_h \cdot \sin(G)\) et \(Y = Y_{\text{départ}} + D_h \cdot \cos(G)\) sont les deux formules fondamentales du calcul de coordonnées en topographie.
Le saviez-vous ?
Ces mêmes formules de projection sont utilisées dans de nombreux autres domaines, comme la robotique (pour diriger un bras), les jeux vidéo (pour déplacer un personnage) ou la navigation maritime et aérienne.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le gisement était de 100 gon (plein Est) et la distance de 50m, quelles seraient les coordonnées de P1 ?
Question 4 : Calculer l'altitude (Z) du point P1
Principe
L'altitude de P1 est égale à l'altitude de la station ST1, plus la hauteur de l'instrument, corrigée de la dénivelée entre l'axe optique de l'instrument et le prisme, moins la hauteur du prisme. La dénivelée est la composante verticale du vecteur ST1-P1.
Mini-Cours
L'angle zénithal V est l'angle mesuré depuis la verticale. Si V < 100 gon, on vise vers le haut (dénivelée positive). Si V > 100 gon, on vise vers le bas (dénivelée négative). La formule \(\Delta H = D_h / \tan(V)\) provient de la relation trigonométrique dans le triangle rectangle formé par la distance horizontale, la dénivelée et la distance inclinée.
Remarque Pédagogique
Le calcul se fait en deux temps : d'abord la dénivelée entre l'axe de l'instrument et le prisme, puis la correction avec les hauteurs d'instrument et de prisme pour obtenir la dénivelée entre les points au sol.
Normes
Pas de norme spécifique pour ce calcul de base.
Formule(s)
Formule de la dénivelée
Formule de l'altitude finale
Hypothèses
Nous négligeons la courbure de la Terre et la réfraction atmosphérique, ce qui est acceptable pour une distance aussi courte que 75.5 mètres.
Donnée(s)
Z_ST1=100.000m, hi=1.650m, hp=2.000m, Dh=75.500m, V=95.0000gon.
Astuces
Une valeur de V proche de 100 gon (l'horizontale) signifie une faible dénivelée. Ici, 95 gon est 5 gon au-dessus de l'horizon. La dénivelée sera positive et relativement faible par rapport à la distance.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de Dénivelée
Calcul(s)
Calcul de la dénivelée (\(\Delta H\))
Calcul de l'altitude finale (\(Z_{\text{P1}}\))
Schéma (Après les calculs)
Altitude finale de P1
Réflexions
Le point P1 est 5.592 mètres plus haut que le point ST1. La mesure de l'angle vertical, même une petite variation par rapport à l'horizontale, a un impact significatif sur l'altitude calculée.
Points de vigilance
Ne jamais oublier d'inclure les hauteurs `hi` et `hp` ! Une erreur très fréquente est de calculer \(Z_P = Z_{ST} + \Delta H\), ce qui donne l'altitude du prisme, et non du point au sol.
Points à retenir
L'altitude d'un point rayonné dépend de 5 éléments : l'altitude de la station, la hauteur de l'instrument, la distance horizontale, l'angle vertical, et la hauteur du prisme.
Le saviez-vous ?
Les stations totales modernes peuvent mesurer "sans réflecteur", c'est-à-dire sans prisme. Dans ce cas, la hauteur `hp` est égale à zéro, ce qui simplifie le calcul et permet de lever des points inaccessibles.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la dénivelée \(\Delta H\) si l'angle V était de 100 gon (visée horizontale) ?
Question 5 : Présenter les coordonnées complètes (X, Y, Z) du point P1
Principe
Cette dernière étape consiste à synthétiser tous les résultats précédents pour fournir les coordonnées tridimensionnelles complètes du point qui a été levé, dans un format clair et standardisé.
Schéma (Après les calculs)
Position Finale du Point P1
Réflexions
Le processus est complet. À partir de 2 points connus et de 5 mesures sur le terrain (Hz, V, Dh, hi, hp), nous avons déterminé sans ambiguïté la position 3D d'un nouveau point. C'est le cœur du métier de géomètre topographe.
Points à retenir
Un point dans l'espace est défini par 3 coordonnées : X (Est), Y (Nord), Z (Altitude). Le rayonnement est une méthode efficace pour les déterminer.
Résultat Final
X = 480.459 m
Y = 127.073 m
Z = 105.592 m
Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement
Utilisez les curseurs pour faire varier l'angle horizontal et la distance mesurés depuis ST1 et observez en temps réel l'impact sur les coordonnées du point P1.
Paramètres d'Entrée
Coordonnées Calculées de P1
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qu'un "gisement" en topographie ?
2. Pour calculer un point par rayonnement, quelles données sont indispensables ?
3. Si le gisement de référence est G_ref et l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire est Hz, quel est le gisement de la nouvelle visée ?
4. À quoi servent les mesures de hauteur d'instrument (hi) et de hauteur de prisme (hp) ?
5. La formule pour calculer la coordonnée X d'un point P depuis une station ST est :
- Station Totale
- Instrument de topographie électronique qui mesure à la fois les angles (horizontaux et verticaux) et les distances. Il intègre un théodolite et un distancemètre.
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction du Nord. Il définit l'orientation d'une direction dans un système de coordonnées.
- Rayonnement
- Processus de lever de points depuis une station unique en mesurant pour chaque point un angle et une distance. C'est la base du lever polaire.
- Angle Zénithal
- Angle vertical mesuré depuis la direction du zénith (la verticale vers le haut). Un angle de 100 gon correspond à l'horizontale.
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