Calcul de l’Excentrement d’une Fondation
Contexte : La Stabilité des Fondations, un Pilier de la Construction.
En géotechnique, la manière dont une structure transfère ses charges au sol est fondamentale. Idéalement, les charges sont centrées, créant une pression uniforme. Cependant, des forces comme le vent ou des charges asymétriques créent des moments de flexionUn moment est une force qui tend à provoquer une rotation. Dans une fondation, il est souvent causé par des forces horizontales (vent, séisme) appliquées en hauteur, ou par des charges verticales qui ne sont pas alignées avec le centre de la fondation. au niveau des fondations. La combinaison d'une force verticale et d'un moment est équivalente à une force verticale excentrée. Le calcul de cet excentrement est une étape critique pour vérifier que la contrainte transmise au sol est admissible et qu'il n'y a pas de risque de soulèvement de la fondation.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un principe essentiel du génie civil : la transformation d'un cas de charge complexe (force + moment) en un cas plus simple à analyser (force excentrée). Nous allons utiliser les caractéristiques de la fondation et les efforts appliqués pour déterminer la distribution de la contrainte sur le sol, une compétence de base pour tout ingénieur en structure ou en géotechnique.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'excentrement d'une charge à partir d'un effort normal et d'un moment.
- Déterminer les limites du noyau central d'une semelle rectangulaire.
- Vérifier la condition de non-soulèvement de la fondation (charge dans le noyau central).
- Calculer la distribution de contrainte (minimale et maximale) sous la semelle.
- Comparer la contrainte maximale à la portance admissible du sol pour valider le dimensionnement.
Données de l'étude
Schéma de la Fondation et des Charges
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur de la semelle | \(B\) | 2.0 | \(\text{m}\) |
| Longueur de la semelle | \(L\) | 3.0 | \(\text{m}\) |
| Effort Normal de calcul | \(N\) | 600 | \(\text{kN}\) |
| Moment fléchissant de calcul | \(M\) | 150 | \(\text{kN} \cdot \text{m}\) |
| Contrainte admissible du sol | \(q_{\text{adm}}\) | 200 | \(\text{kPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'excentrement de la charge \(e\).
- Déterminer la limite du noyau central (\(B/6\)) et vérifier si la résultante des forces est appliquée à l'intérieur de celui-ci.
- Calculer les contraintes minimale (\(\sigma_{\text{min}}\)) et maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)) exercées par la fondation sur le sol.
- Comparer la contrainte maximale à la capacité portante du sol et conclure sur la stabilité de la fondation.
Les bases du Calcul de Fondation
Avant la correction, rappelons les concepts fondamentaux pour les fondations soumises à des charges excentrées.
1. L'Excentrement :
Un couple de forces (effort normal \(N\) + moment \(M\)) peut être remplacé par une force unique \(N\) appliquée à une certaine distance du centre. Cette distance est l'excentrement \(e\). Elle est fondamentale car elle détermine comment la charge est répartie. La formule est simple :
\[ e = \frac{M}{N} \]
2. Le Noyau Central (ou Tiers Central) :
Pour qu'une fondation ne se soulève pas, il faut qu'elle soit entièrement comprimée. Cela n'est possible que si la force résultante est appliquée dans une zone centrale appelée le "noyau central". Pour une section rectangulaire de largeur \(B\), cette zone est délimitée par \(\pm B/6\) du centre. Tant que \(e \le B/6\), il n'y a pas de traction sous la semelle.
3. La Formule de Contrainte (Navier) :
Lorsque la charge est dans le noyau central (\(e \le B/6\)), la contrainte sur le sol varie linéairement. Elle est la somme de la contrainte due à l'effort normal et de la contrainte due au moment. Pour une semelle de surface \(A = L \cdot B\), les contraintes extrêmes sont données par :
\[ \sigma_{\text{min, max}} = \frac{N}{A} \left( 1 \pm \frac{6e}{B} \right) \]
Cette formule est au cœur du dimensionnement des fondations superficielles.
Correction : Calcul de l’Excentrement d’une Fondation
Question 1 : Calculer l'excentrement (e)
Principe (le concept physique)
L'excentrement est la distance entre le centre géométrique de la fondation et le point d'application de la force verticale résultante. Il traduit l'effet de "basculement" induit par le moment fléchissant. Un moment élevé ou un effort normal faible augmente l'excentrement et donc le risque d'une mauvaise répartition des pressions sur le sol.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le concept de remplacement d'un torseur force-moment par une force unique excentrée est une application directe des principes de la statique, notamment le théorème de Varignon. Ce principe permet de simplifier des problèmes de chargement complexes en un cas équivalent plus facile à analyser.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous essayez de pousser une armoire. Si vous poussez en son centre de gravité, elle glisse. Si vous poussez en haut, elle a tendance à basculer. Cet effet de basculement est le moment. L'excentrement est la hauteur "fictive" à laquelle il faudrait appliquer votre force pour obtenir le même effet de basculement sans moment ajouté.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7, la norme européenne pour le calcul géotechnique, spécifie comment les actions (forces) et leurs effets (moments) doivent être combinés pour déterminer les sollicitations de calcul à utiliser pour vérifier la stabilité des fondations.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La relation directe entre le moment (\(M\)), l'effort normal (\(N\)) et l'excentrement (\(e\)) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la fondation est infiniment rigide (elle ne se déforme pas) et que les charges appliquées sont statiques.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort Normal, \(N = 600 \, \text{kN}\)
- Moment fléchissant, \(M = 150 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La principale source d'erreur est la gestion des unités. Assurez-vous qu'elles sont cohérentes. Si \(M\) est en kN·m et \(N\) en kN, le résultat \(e\) sera directement en mètres. C'est le cas le plus simple et le plus recommandé.
Schéma (Avant les calculs)
Torseur d'efforts appliqué
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule en veillant à la cohérence des unités.
Schéma (Après les calculs)
Force résultante excentrée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'excentrement est de 0.25 m, soit 25 cm. Cela signifie que tout se passe comme si l'effort normal de 600 kN était appliqué à 25 cm du centre de la semelle. Cette valeur, seule, ne signifie rien ; elle doit être comparée à la géométrie de la fondation, et plus précisément à son noyau central.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La vérification \(e \le B/6\) n'est valable que pour un excentrement dans une seule direction. Si des moments existent dans les deux directions (\(M_x\) et \(M_y\)), la vérification de l'excentrement combiné est plus complexe et ne se limite pas à une simple comparaison.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'excentrement \(e\) convertit un moment \(M\) et une force \(N\) en une force unique équivalente.
- La formule est simple et directe : \(e = M/N\).
- La cohérence des unités (ex: kN·m et kN) est cruciale pour obtenir un résultat correct en mètres.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Archimède, dans ses travaux sur les leviers au IIIe siècle av. J.-C., a été l'un des premiers à formaliser le concept de moment ("ce qui provoque une rotation"), jetant ainsi les bases de la statique que nous utilisons aujourd'hui pour des calculs comme celui-ci.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le moment était réduit à 120 kN·m, quel serait le nouvel excentrement en mètres ?
Question 2 : Vérification par rapport au Noyau Central
Principe (le concept physique)
Le noyau central est la "zone de sécurité" géométrique d'une section. Tant que la force résultante est appliquée à l'intérieur de ce noyau, toute la surface de contact entre la fondation et le sol reste en compression. Si la force sort du noyau, une partie de la fondation tend à se soulever, créant une zone de contrainte nulle (ou de traction, ce que le sol ne peut accepter), ce qui est généralement interdit par les règlements de construction (Eurocode 7).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La règle du "tiers central" (\(B/6\) de part et d'autre du centre) découle directement de la formule de la contrainte. Lorsque \(e = B/6\), le terme \((1 - 6e/B)\) devient nul, ce qui annule la contrainte minimale (\(\sigma_{\text{min}} = 0\)). C'est précisément le point limite avant que des contraintes de traction n'apparaissent, ce qui est physiquement impossible entre une semelle et le sol.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez au "cœur" d'un objet. Tant que vous appuyez à l'intérieur de ce cœur, il reste stable. Pour une section rectangulaire, ce cœur est le "tiers central". Les anciens bâtisseurs de cathédrales utilisaient instinctivement ce principe : ils s'assuraient que la ligne de poussée des arcs et des voûtes restait toujours dans le tiers central des piliers et des contreforts pour éviter toute traction dans la maçonnerie.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 exige qu'en situation de projet durable, la résultante des actions soit appliquée de manière à ce qu'il n'y ait pas de soulèvement significatif de la fondation. La vérification de l'excentrement par rapport au noyau central est la méthode standard pour satisfaire cette exigence.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une section rectangulaire de largeur \(B\), la limite du noyau central dans cette direction est :
La condition à vérifier est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Cette règle suppose que la distribution des contraintes est linéaire, ce qui est une conséquence de l'hypothèse d'une fondation rigide sur un sol se comportant de manière élastique.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Largeur de la semelle, \(B = 2.0 \, \text{m}\)
- Excentrement calculé, \(e = 0.25 \, \text{m}\) (de la Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
C'est une vérification rapide à faire mentalement : "l'excentrement est-il inférieur au tiers de la demi-largeur ?". Pour \(B = 2.0\) m, la demi-largeur est de 1.0 m, et un tiers de cela est 0.333 m. Puisque notre excentrement de 0.25 m est inférieur, la condition est respectée.
Schéma (Avant les calculs)
Noyau Central d'une Semelle Rectangulaire
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer la limite du noyau central :
2. Comparer l'excentrement à cette limite :
Schéma (Après les calculs)
Position de la Charge vs Noyau Central
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Puisque l'excentrement (0.25 m) est inférieur à la limite du noyau central (0.333 m), la fondation ne se soulève pas. La totalité de sa surface de base reste en contact et en compression avec le sol. Cela valide la première condition de stabilité et nous autorise à utiliser la formule de Navier pour calculer la distribution de contrainte.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier de vérifier cette condition ! Si \(e > B/6\), la formule de calcul de contrainte change complètement et la vérification de stabilité devient plus complexe. C'est une étape non négociable dans le processus de calcul.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La règle du noyau central (ou tiers central) garantit que la fondation est entièrement comprimée.
- Pour une section rectangulaire, la condition est \(e \le B/6\).
- C'est une vérification géométrique préalable au calcul des contraintes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept du "tiers central" était un principe de conception clé pour les structures en maçonnerie non armée comme les cathédrales gothiques ou les grands barrages-poids, bien avant que la mécanique des sols ne soit formalisée. Les bâtisseurs savaient empiriquement que pour éviter l'apparition de fissures, la ligne de poussée devait rester dans cette zone.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour une semelle de 3 m de large, quelle est la valeur de la limite du noyau central en mètres ?
Question 3 : Calculer les contraintes \(\sigma_{\text{min}}\) et \(\sigma_{\text{max}}\)
Principe (le concept physique)
Puisque la charge est excentrée, la pression sur le sol n'est pas uniforme. Elle est plus forte du côté où la charge est appliquée (contrainte maximale) et plus faible du côté opposé (contrainte minimale). La distribution de cette pression est trapézoïdale. Le calcul de ces deux valeurs extrêmes est essentiel pour s'assurer qu'aucun point du sol n'est surchargé.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(\sigma = N/A \pm My/I\) est une application du principe de superposition pour les matériaux élastiques. On additionne la contrainte de compression pure (\(N/A\)) et la contrainte de flexion (\(My/I\)). Pour une section rectangulaire, le moment d'inertie \(I = LB^3/12\) et la distance à la fibre extrême \(y=B/2\). La substitution de ces termes et la relation \(M=N \cdot e\) permettent d'aboutir à la formule simplifiée utilisée ici.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La contrainte moyenne sous la semelle est simplement la force totale divisée par la surface totale (\(N/A\)). L'excentrement vient ajouter ou soustraire une part de contrainte de part et d'autre de cette moyenne. La formule \(1 \pm 6e/B\) est une manière élégante de quantifier cette variation.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 fournit le cadre général pour le calcul de la distribution des pressions de contact sous une fondation. La formule de Navier est la méthode standard utilisée pour les cas de charge où la fondation peut être considérée comme rigide.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule pour les contraintes extrêmes sous une semelle rectangulaire avec excentrement simple est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Cette formule n'est valide que si l'excentrement est dans le noyau central (\(e \le B/6\)). On suppose également que le sol a un comportement élastique linéaire sous les charges appliquées.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort Normal, \(N = 600 \, \text{kN}\)
- Dimensions, \(L = 3.0 \, \text{m}\), \(B = 2.0 \, \text{m}\)
- Excentrement, \(e = 0.25 \, \text{m}\) (de la Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Calculez toujours la contrainte moyenne (\(N/A\)) en premier. C'est un excellent point de repère. Ici, 600 kN / 6 m² = 100 kPa. Vous savez alors immédiatement que \(\sigma_{\text{max}}\) sera supérieure à 100 et \(\sigma_{\text{min}}\) inférieure à 100.
Schéma (Avant les calculs)
Distribution de Contrainte Attendue (Trapèze)
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer l'aire de la fondation \(A\):
2. Calculer le terme de base \(N/A\):
3. Calculer les contraintes extrêmes :
Schéma (Après les calculs)
Distribution de Contrainte Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte maximale est de 175 kPa, soit 75% de plus que la contrainte moyenne de 100 kPa. La contrainte minimale est de 25 kPa. Le fait que \(\sigma_{\text{min}}\) soit positif confirme qu'il n'y a pas de soulèvement. Nous avons maintenant la valeur la plus critique, \(\sigma_{\text{max}}\), à comparer avec ce que le sol peut supporter.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Une erreur fréquente est d'oublier d'utiliser les bonnes dimensions \(B\) et \(L\) pour le calcul de l'aire ou dans le terme d'excentrement. Assurez-vous d'utiliser la dimension dans la direction du moment (ici \(B\)) dans le terme \(\pm 6e/B\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La formule de Navier combine les effets de la force normale et du moment.
- Elle n'est applicable que si la charge est dans le noyau central (\(e \le B/6\)).
- Elle permet de trouver les contraintes extrêmes (\(\sigma_{\text{min}}\) et \(\sigma_{\text{max}}\)) sous la fondation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La formule est souvent attribuée à l'ingénieur et physicien français Claude-Louis Navier (1785-1836). Ses travaux sur l'élasticité et la résistance des matériaux sont à l'origine des équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides et de nombreuses formules fondamentales du génie civil.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'excentrement était nul (\(e=0\)), quelle serait la valeur de la contrainte (en kPa) sous la semelle ?
Question 4 : Vérification de la Stabilité
Principe (le concept physique)
C'est l'étape finale et la plus importante : la justification du dimensionnement. On compare la sollicitation maximale que la fondation impose au sol (\(\sigma_{\text{max}}\)) avec la résistance du sol (sa contrainte admissible \(q_{\text{adm}}\)). La contrainte admissible est déterminée par des essais en laboratoire ou in-situ et inclut des coefficients de sécurité. La fondation est considérée stable si la contrainte maximale reste inférieure à cette limite.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La contrainte admissible (\(q_{\text{adm}}\)) est une valeur de service. Elle est généralement déduite de la capacité portante ultime du sol (\(q_{\text{ult}}\)) divisée par un facteur de sécurité global (généralement 3). La valeur de \(q_{\text{ult}}\) est calculée à l'aide de théories de la plasticité (par ex. la formule de Terzaghi) qui dépendent des propriétés du sol (cohésion \(c\), angle de frottement \(\phi\)), de la géométrie de la fondation et de sa profondeur d'encastrement.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est le verdict final. Tous les calculs précédents n'avaient qu'un seul but : arriver à cette simple comparaison. C'est comme vérifier si le poids que vous voulez mettre sur une étagère est inférieur à la charge maximale que le fabricant autorise. Si c'est bon, la conception est validée. Sinon, il faut revoir sa copie.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 définit cette vérification comme la "vérification de la résistance à la portance". C'est une vérification à l'État Limite Ultime (ELU), qui vise à garantir la sécurité contre l'effondrement. La comparaison avec une contrainte admissible est une méthode simplifiée, souvent utilisée pour les vérifications à l'État Limite de Service (ELS) pour maîtriser les tassements.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La condition de stabilité à l'État Limite de Service (ELS) est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la valeur de la contrainte admissible (\(q_{\text{adm}}\)) a été déterminée correctement à partir d'une étude de sol fiable et qu'elle est représentative des conditions réelles du site.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Contrainte maximale calculée, \(\sigma_{\text{max}} = 175 \, \text{kPa}\) (de la Q3)
- Contrainte admissible du sol, \(q_{\text{adm}} = 200 \, \text{kPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Exprimez le résultat sous forme de "taux de travail" du sol : \(\sigma_{\text{max}} / q_{\text{adm}}\). Ici, 175/200 = 87.5%. Cela signifie que vous utilisez 87.5% de la capacité du sol. C'est une manière très visuelle de juger si la conception est optimisée ou si elle a une marge de sécurité importante.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte / Admissibilité
Calcul(s) (l'application numérique)
On effectue la comparaison directe des deux valeurs.
Schéma (Après les calculs)
Verdict de la Stabilité
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte maximale de 175 kPa est inférieure à la contrainte admissible de 200 kPa. Le dimensionnement de la fondation est donc validé. La marge de sécurité est de (200 - 175) / 175 \(\approx\) 14%, ce qui est acceptable. L'ingénieur peut conclure que, sous ce cas de charge, la fondation est stable et ne sur-sollicitera pas le sol.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à bien comparer les bonnes valeurs (contrainte maximale avec contrainte admissible) et à s'assurer qu'elles sont dans la même unité (ici, le kPa). Une erreur courante est de comparer la contrainte moyenne (\(N/A\)) à la portance, ce qui est incorrect et non sécuritaire en cas de charge excentrée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le principe fondamental du dimensionnement est : SOLLICITATION \(\le\) RÉSISTANCE.
- Ici, cela se traduit par \(\sigma_{\text{max}} \le q_{\text{adm}}\).
- Cette vérification finale conclut l'étude de stabilité de la fondation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La Tour de Pise est l'exemple le plus célèbre de problème de fondation. Son inclinaison n'est pas due à une erreur de calcul de l'excentrement, mais à un tassement différentiel du sol. Une couche d'argile compressible sous le côté sud de la tour s'est tassée beaucoup plus que sous le côté nord, provoquant le basculement progressif de la structure au fil des siècles.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la contrainte admissible du sol n'était que de 150 kPa, la fondation serait-elle validée (Répondre par 'oui' ou 'non') ?
Outil Interactif : Stabilité d'une Fondation
Modifiez les charges et les dimensions pour visualiser leur impact sur la distribution des contraintes et la sécurité.
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Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le terme "géotechnique" a été proposé par Karl von Terzaghi en 1925 dans son livre révolutionnaire "Erdbaumechanik" (Mécanique des sols). Considéré comme le père de la géotechnique moderne, Terzaghi a transformé ce domaine d'un art empirique à une véritable science de l'ingénieur, en développant des théories fondamentales comme celle de la consolidation des argiles.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si l'excentrement est supérieur à B/6 ?
Si \(e > B/6\), une partie de la semelle n'est plus en contact avec le sol (soulèvement). La zone comprimée devient plus petite et la contrainte maximale augmente très rapidement. La formule de calcul change : la pression devient triangulaire et \(\sigma_{\text{max}}\) est calculée sur la longueur comprimée restante. Cette situation est généralement à éviter dans la conception standard.
Cet exercice ne considère qu'un seul moment. Que fait-on s'il y en a dans les deux directions ?
C'est un cas de "flexion déviée". On calcule un excentrement dans chaque direction (\(e_y = M_y / N\) et \(e_x = M_x / N\)). Le noyau central n'est plus une simple bande, mais un losange. La vérification consiste à s'assurer que le point (\(e_x, e_y\)) est à l'intérieur de ce losange, via la condition \((6e_x/L) + (6e_y/B) \le 1\). Le calcul des contraintes devient alors plus complexe.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si l'excentrement de la charge est exactement égal à B/6, la distribution de contrainte sur le sol est...
2. Pour une fondation existante, quelle est l'action la plus efficace pour réduire une contrainte maximale trop élevée ?
- Excentrement (e)
- Distance entre le point d'application d'une force et le centre de gravité de la section sur laquelle elle s'applique. C'est le rapport du moment sur l'effort normal (\(M/N\)).
- Noyau Central
- Zone au centre d'une section à l'intérieur de laquelle une charge de compression doit être appliquée pour garantir que toute la section reste en compression, sans traction ni soulèvement.
- Contrainte Admissible (\(q_{\text{adm}}\))
- Pression maximale que le sol peut supporter en toute sécurité, en incluant des coefficients de sécurité. C'est la limite à ne pas dépasser par la contrainte maximale exercée par la fondation.
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