Études de cas pratique

EGC

Calcul de l’écart de fermeture angulaire

Calcul de l’Écart de Fermeture Angulaire en Topographie

Calcul de l’Écart de Fermeture Angulaire en Topographie

Comprendre l'Écart de Fermeture Angulaire

En topographie, lors de la mesure des angles intérieurs (ou extérieurs) d'un polygone fermé (cheminement polygonal fermé), la somme des angles mesurés sur le terrain ne correspond que rarement exactement à la somme théorique attendue pour ce polygone. Cette différence est appelée "écart de fermeture angulaire" ou "erreur de fermeture angulaire". Elle est due aux imperfections inévitables des instruments de mesure, aux conditions d'observation et aux erreurs humaines. La vérification de cet écart par rapport à une tolérance admissible est une étape cruciale pour valider la qualité des mesures. Si l'écart est acceptable, il est ensuite compensé (réparti) sur les angles mesurés avant de procéder à d'autres calculs (comme le calcul des gisements et des coordonnées).

Données de l'étude

Un polygone fermé à 5 sommets (A-B-C-D-E-A) a été levé sur le terrain. Les angles intérieurs ont été mesurés comme suit :

  • Angle au sommet A (\(\alpha_{\text{A}}\)) : \(105^\circ 15' 30''\)
  • Angle au sommet B (\(\alpha_{\text{B}}\)) : \(112^\circ 45' 10''\)
  • Angle au sommet C (\(\alpha_{\text{C}}\)) : \(98^\circ 30' 50''\)
  • Angle au sommet D (\(\alpha_{\text{D}}\)) : \(120^\circ 00' 20''\)
  • Angle au sommet E (\(\alpha_{\text{E}}\)) : \(103^\circ 27' 40''\)

La tolérance angulaire pour ce type de levé est donnée par \(T_a = \pm 20'' \sqrt{n}\), où \(n\) est le nombre de sommets du polygone.

Schéma : Polygone à 5 sommets
{/* */} {/* */} A B C D E {/* */} αA {/* Modifié */} αB {/* Modifié */} {/* */} Polygone Fermé (n=5)

Schéma d'un polygone fermé à 5 sommets avec indication des angles intérieurs.

Questions à traiter

  1. Calculer la somme théorique des angles intérieurs (\(S_{\text{th}}\)) pour un polygone à 5 sommets.
  2. Convertir chaque angle mesuré en degrés décimaux.
  3. Calculer la somme des angles mesurés (\(S_{\text{mes}}\)) en degrés décimaux.
  4. Calculer l'écart de fermeture angulaire (\(f_a\)) en degrés décimaux, puis en secondes d'arc.
  5. Calculer la tolérance angulaire (\(T_a\)) pour ce polygone.
  6. Comparer l'écart de fermeture angulaire à la tolérance. Les mesures sont-elles acceptables ?
  7. Si l'écart est acceptable, proposer une méthode de compensation simple et calculer les angles compensés (arrondir les corrections à la seconde la plus proche).

Correction : Calcul de l’Écart de Fermeture Angulaire

Question 1 : Somme Théorique des Angles Intérieurs (\(S_{\text{th}}\))

Principe :

La somme théorique des angles intérieurs d'un polygone simple à \(n\) sommets est donnée par la formule :

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{\text{th}} = (n - 2) \times 180^\circ\]
Données spécifiques :
  • Nombre de sommets (\(n\)) : 5
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{\text{th}} &= (5 - 2) \times 180^\circ \\ &= 3 \times 180^\circ \\ &= 540^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La somme théorique des angles intérieurs est \(S_{\text{th}} = 540^\circ 00' 00''\).

Question 2 : Conversion des Angles Mesurés en Degrés Décimaux

Principe :

Pour convertir un angle de la forme Degrés° Minutes' Secondes'' en degrés décimaux, on utilise la formule : \(\text{Degrés} + \frac{\text{Minutes}}{60} + \frac{\text{Secondes}}{3600}\).

Calculs :
  • \(\alpha_{\text{A}} = 105^\circ 15' 30'' = 105 + 15/60 + 30/3600 = 105 + 0.25 + 0.008333... \approx 105.258333^\circ\)
  • \(\alpha_{\text{B}} = 112^\circ 45' 10'' = 112 + 45/60 + 10/3600 = 112 + 0.75 + 0.002777... \approx 112.752778^\circ\)
  • \(\alpha_{\text{C}} = 98^\circ 30' 50'' = 98 + 30/60 + 50/3600 = 98 + 0.5 + 0.013888... \approx 98.513889^\circ\)
  • \(\alpha_{\text{D}} = 120^\circ 00' 20'' = 120 + 0/60 + 20/3600 = 120 + 0.005555... \approx 120.005556^\circ\)
  • \(\alpha_{\text{E}} = 103^\circ 27' 40'' = 103 + 27/60 + 40/3600 = 103 + 0.45 + 0.011111... \approx 103.461111^\circ\)
Résultat Question 2 : Les angles en degrés décimaux sont :
  • \(\alpha_{\text{A}} \approx 105.258333^\circ\)
  • \(\alpha_{\text{B}} \approx 112.752778^\circ\)
  • \(\alpha_{\text{C}} \approx 98.513889^\circ\)
  • \(\alpha_{\text{D}} \approx 120.005556^\circ\)
  • \(\alpha_{\text{E}} \approx 103.461111^\circ\)

Question 3 : Somme des Angles Mesurés (\(S_{\text{mes}}\))

Principe :

On additionne les valeurs des angles mesurés (convertis en degrés décimaux pour faciliter le calcul).

Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{\text{mes}} &= 105.258333^\circ + 112.752778^\circ + 98.513889^\circ + 120.005556^\circ + 103.461111^\circ \\ &\approx 539.991667^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La somme des angles mesurés est \(S_{\text{mes}} \approx 539.991667^\circ\).

Question 4 : Écart de Fermeture Angulaire (\(f_a\))

Principe :

L'écart de fermeture angulaire est la différence entre la somme des angles mesurés et la somme théorique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_a = S_{\text{mes}} - S_{\text{th}}\]
Calcul en degrés décimaux :
\[ \begin{aligned} f_a &= 539.991667^\circ - 540^\circ \\ &= -0.008333^\circ \end{aligned} \]
Conversion en secondes d'arc :

\(1^\circ = 3600''\)

\[ \begin{aligned} f_a (\text{secondes}) &= -0.008333^\circ \times 3600 \, \text{''/}^\circ \\ &\approx -29.9988'' \approx -30'' \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'écart de fermeture angulaire est \(f_a \approx -0.008333^\circ\), soit environ \(-30''\).

Quiz Intermédiaire 1 : Un écart de fermeture angulaire négatif signifie que la somme des angles mesurés est :

Question 5 : Calcul de la Tolérance Angulaire (\(T_a\))

Principe :

La tolérance angulaire est calculée selon la formule fournie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_a = \pm 20'' \sqrt{n}\]
Données spécifiques :
  • Nombre de sommets (\(n\)) : 5
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_a &= \pm 20'' \sqrt{5} \\ &\approx \pm 20'' \times 2.236 \\ &\approx \pm 44.72'' \end{aligned} \]

On arrondit généralement la tolérance à la seconde supérieure si nécessaire, ou on conserve une décimale : \(\pm 44.7''\) ou \(\pm 45''\).

Résultat Question 5 : La tolérance angulaire est \(T_a \approx \pm 44.7''\).

Question 6 : Comparaison de l'Écart à la Tolérance

Principe :

On compare la valeur absolue de l'écart de fermeture angulaire à la tolérance calculée.

Comparaison :

Écart de fermeture \(|f_a| \approx |-30''| = 30''\).

Tolérance \(T_a \approx 44.7''\).

\[|f_a| \leq T_a \Rightarrow 30'' \leq 44.7''\]

L'écart de fermeture est inférieur à la tolérance admissible.

Résultat Question 6 : Oui, les mesures sont acceptables car \(30'' < 44.7''\).

Question 7 : Compensation de l'Écart et Angles Compensés

Principe :

Si l'écart est acceptable, il est réparti sur les angles mesurés. Une méthode simple est la compensation égale, où chaque angle reçoit une correction égale à \(-f_a / n\).

Formule(s) de compensation :
\[\text{Correction par angle} (c) = -\frac{f_a}{n}\]
\[\text{Angle compensé} = \text{Angle mesuré} + c\]
Calcul de la correction par angle :

\(f_a \approx -30''\), \(n=5\)

\[ \begin{aligned} c &= -\frac{-30''}{5} \\ &= +6'' \end{aligned} \]

Chaque angle mesuré sera augmenté de \(6''\).

Calcul des angles compensés :
  • \(\alpha'_{\text{A}} = 105^\circ 15' 30'' + 00' 06'' = 105^\circ 15' 36''\)
  • \(\alpha'_{\text{B}} = 112^\circ 45' 10'' + 00' 06'' = 112^\circ 45' 16''\)
  • \(\alpha'_{\text{C}} = 98^\circ 30' 50'' + 00' 06'' = 98^\circ 30' 56''\)
  • \(\alpha'_{\text{D}} = 120^\circ 00' 20'' + 00' 06'' = 120^\circ 00' 26''\)
  • \(\alpha'_{\text{E}} = 103^\circ 27' 40'' + 00' 06'' = 103^\circ 27' 46''\)
Vérification de la somme des angles compensés :

Somme des corrections = \(5 \times 6'' = 30''\).

\(S'_{\text{mes}} = S_{\text{mes}} + 30'' = 539^\circ 59' 30'' + 30'' = 540^\circ 00' 00''\). La somme est correcte.

Résultat Question 7 : La correction à appliquer à chaque angle est de \(+6''\). Les angles compensés sont :
  • \(\alpha'_{\text{A}} = 105^\circ 15' 36''\)
  • \(\alpha'_{\text{B}} = 112^\circ 45' 16''\)
  • \(\alpha'_{\text{C}} = 98^\circ 30' 56''\)
  • \(\alpha'_{\text{D}} = 120^\circ 00' 26''\)
  • \(\alpha'_{\text{E}} = 103^\circ 27' 46''\)

Quiz Intermédiaire 2 : Si l'écart de fermeture angulaire dépasse la tolérance, le topographe doit généralement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La somme théorique des angles intérieurs d'un hexagone (6 sommets) est :

2. L'écart de fermeture angulaire est la différence entre :

3. Si l'écart de fermeture est positif, cela signifie que la somme des angles mesurés est :

Glossaire

Polygone Fermé (Cheminement)
Série de lignes droites connectées formant une figure fermée, où le point de départ et le point d'arrivée coïncident. Les sommets sont les points de connexion.
Angle Intérieur
Angle formé à l'intérieur d'un polygone par deux côtés adjacents.
Somme Théorique des Angles Intérieurs
Valeur géométrique exacte de la somme des angles intérieurs d'un polygone, calculée par la formule \((n-2) \times 180^\circ\), où \(n\) est le nombre de sommets.
Écart de Fermeture Angulaire (\(f_a\))
Différence entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique des angles pour un polygone fermé.
Tolérance Angulaire (\(T_a\))
Valeur maximale admissible pour l'écart de fermeture angulaire. Si l'écart mesuré dépasse cette tolérance, les mesures sont généralement considérées comme inacceptables et doivent être refaites.
Compensation Angulaire
Processus de répartition de l'écart de fermeture angulaire (s'il est dans la tolérance) sur les angles mesurés afin que leur somme corrigée soit égale à la somme théorique.
Degré Sexagésimal (°), Minute ('), Seconde ('')
Unités de mesure d'angle. \(1^\circ = 60'\), \(1' = 60''\).
Calcul de l’Écart de Fermeture Angulaire - Exercice d'Application

D’autres exercices de topographie:

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