Études de cas pratique

EGC

Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet

Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet en Ingénierie Sismique

Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet

Comprendre le Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet

Lors d'un séisme, les différentes parties d'une structure subissent des accélérations qui peuvent être significativement plus importantes que l'accélération du sol, en particulier aux niveaux supérieurs. Comprendre et calculer l'accélération sismique au sommet d'une structure est crucial pour le dimensionnement des éléments non structuraux (comme les équipements, les façades, les cloisons) et pour évaluer le confort des occupants ou la fonctionnalité des équipements sensibles. Cet exercice se concentre sur la distribution des forces sismiques le long de la hauteur d'un bâtiment simple et le calcul des accélérations correspondantes à chaque niveau, en particulier au sommet.

Données de l'étude

On étudie un bâtiment à portiques en béton armé de 3 étages.

Caractéristiques de la Structure :

  • Nombre d'étages (\(N\)) : 3
  • Hauteur de chaque étage (\(h_{\text{étage}}\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Masse de chaque niveau (incluant la moitié des poteaux supérieurs et inférieurs) :
    • Niveau 1 (1er étage) : \(m_1 = 150 \, \text{tonnes} = 150000 \, \text{kg}\)
    • Niveau 2 (2ème étage) : \(m_2 = 150 \, \text{tonnes} = 150000 \, \text{kg}\)
    • Niveau 3 (Toit/3ème étage) : \(m_3 = 100 \, \text{tonnes} = 100000 \, \text{kg}\)
  • Force sismique de base calculée pour la structure (\(F_b\)) : \(600 \, \text{kN}\) (Cette valeur serait typiquement obtenue à partir d'une analyse spectrale comme dans l'exercice précédent).
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Bâtiment à Étages et Distribution des Forces Sismiques
Sol m1 m2 m3 h1 h2 h3 F1 F2 F3 Distribution des Forces Sismiques

Bâtiment à plusieurs étages avec indication des masses et des forces sismiques par niveau.

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur (\(h_i\)) de chaque niveau \(i\) par rapport à la base de la structure.
  2. Calculer le produit \(m_i h_i\) pour chaque niveau \(i\).
  3. Calculer la somme \(\sum_{j=1}^{N} (m_j h_j)\).
  4. Distribuer la force sismique de base (\(F_b\)) pour obtenir la force sismique latérale (\(F_i\)) appliquée à chaque niveau \(i\), en utilisant la formule de distribution linéaire (proportionnelle à \(m_i h_i\)).
  5. Calculer l'accélération sismique (\(a_i\)) à chaque niveau \(i\), en \(\text{m/s}^2\).
  6. Quelle est l'accélération sismique au sommet de la structure (\(a_{\text{sommet}}\)) ?
  7. Exprimer l'accélération au sommet en multiple de \(g\) (accélération due à la gravité).

Correction : Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet

Question 1 : Hauteur (\(h_i\)) de chaque niveau \(i\) par rapport à la base

Principe :

La hauteur \(h_i\) est la distance verticale entre la base de la structure et le centre de masse du niveau \(i\). Pour des étages de même hauteur, \(h_i\) est simplement un multiple de la hauteur d'étage.

Données spécifiques :
  • Hauteur de chaque étage (\(h_{\text{étage}}\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_1 &= 1 \times h_{\text{étage}} = 1 \times 3.0 \, \text{m} = 3.0 \, \text{m} \\ h_2 &= 2 \times h_{\text{étage}} = 2 \times 3.0 \, \text{m} = 6.0 \, \text{m} \\ h_3 &= 3 \times h_{\text{étage}} = 3 \times 3.0 \, \text{m} = 9.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les hauteurs des niveaux sont :
  • \(h_1 = 3.0 \, \text{m}\)
  • \(h_2 = 6.0 \, \text{m}\)
  • \(h_3 = 9.0 \, \text{m}\)

Question 2 : Calcul du produit \(m_i h_i\) pour chaque niveau \(i\)

Principe :

Ce produit est utilisé dans la formule de distribution des forces sismiques. Il pondère la masse de chaque niveau par sa hauteur par rapport à la base.

Données spécifiques :
  • \(m_1 = 150000 \, \text{kg}\), \(h_1 = 3.0 \, \text{m}\)
  • \(m_2 = 150000 \, \text{kg}\), \(h_2 = 6.0 \, \text{m}\)
  • \(m_3 = 100000 \, \text{kg}\), \(h_3 = 9.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} m_1 h_1 &= 150000 \, \text{kg} \times 3.0 \, \text{m} = 450000 \, \text{kg} \cdot \text{m} \\ m_2 h_2 &= 150000 \, \text{kg} \times 6.0 \, \text{m} = 900000 \, \text{kg} \cdot \text{m} \\ m_3 h_3 &= 100000 \, \text{kg} \times 9.0 \, \text{m} = 900000 \, \text{kg} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les produits \(m_i h_i\) sont :
  • \(m_1 h_1 = 450\,000 \, \text{kg} \cdot \text{m}\)
  • \(m_2 h_2 = 900\,000 \, \text{kg} \cdot \text{m}\)
  • \(m_3 h_3 = 900\,000 \, \text{kg} \cdot \text{m}\)

Question 3 : Calcul de la somme \(\sum (m_j h_j)\)

Principe :

Cette somme est le dénominateur dans la formule de distribution des forces sismiques.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sum_{j=1}^{3} (m_j h_j) &= m_1 h_1 + m_2 h_2 + m_3 h_3 \\ &= 450000 \, \text{kg} \cdot \text{m} + 900000 \, \text{kg} \cdot \text{m} + 900000 \, \text{kg} \cdot \text{m} \\ &= 2250000 \, \text{kg} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La somme \(\sum (m_j h_j) = 2\,250\,000 \, \text{kg} \cdot \text{m}\).

Question 4 : Distribution de la force sismique de base (\(F_i\))

Principe :

La force sismique de base \(F_b\) est distribuée verticalement sur les différents niveaux de la structure. Une méthode courante est la distribution proportionnelle au produit de la masse du niveau et de sa hauteur par rapport à la base.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_i = F_b \frac{m_i h_i}{\sum_{j=1}^{N} (m_j h_j)}\]
Données spécifiques :
  • Force sismique de base (\(F_b\)) : \(600 \, \text{kN} = 600000 \, \text{N}\)
  • \(m_1 h_1 = 450000 \, \text{kg} \cdot \text{m}\)
  • \(m_2 h_2 = 900000 \, \text{kg} \cdot \text{m}\)
  • \(m_3 h_3 = 900000 \, \text{kg} \cdot \text{m}\)
  • \(\sum (m_j h_j) = 2250000 \, \text{kg} \cdot \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_1 &= 600000 \, \text{N} \times \frac{450000}{2250000} = 600000 \, \text{N} \times 0.2 \\ &= 120000 \, \text{N} = 120 \, \text{kN} \\ \\ F_2 &= 600000 \, \text{N} \times \frac{900000}{2250000} = 600000 \, \text{N} \times 0.4 \\ &= 240000 \, \text{N} = 240 \, \text{kN} \\ \\ F_3 &= 600000 \, \text{N} \times \frac{900000}{2250000} = 600000 \, \text{N} \times 0.4 \\ &= 240000 \, \text{N} = 240 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification : \(F_1 + F_2 + F_3 = 120 + 240 + 240 = 600 \, \text{kN} = F_b\). La somme est correcte.

Résultat Question 4 : Les forces sismiques aux différents niveaux sont :
  • \(F_1 = 120 \, \text{kN}\)
  • \(F_2 = 240 \, \text{kN}\)
  • \(F_3 = 240 \, \text{kN}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Selon cette méthode de distribution, quel niveau subit généralement la plus grande force sismique (pour des masses d'étage similaires) ?

Question 5 : Calcul de l'accélération sismique (\(a_i\)) à chaque niveau \(i\)

Principe :

L'accélération à chaque niveau peut être estimée en divisant la force sismique appliquée à ce niveau par la masse de ce niveau, selon la loi fondamentale de la dynamique (\(F=ma\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[a_i = \frac{F_i}{m_i}\]
Données spécifiques :
  • \(F_1 = 120000 \, \text{N}\), \(m_1 = 150000 \, \text{kg}\)
  • \(F_2 = 240000 \, \text{N}\), \(m_2 = 150000 \, \text{kg}\)
  • \(F_3 = 240000 \, \text{N}\), \(m_3 = 100000 \, \text{kg}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{120000 \, \text{N}}{150000 \, \text{kg}} = 0.80 \, \text{m/s}^2 \\ \\ a_2 &= \frac{240000 \, \text{N}}{150000 \, \text{kg}} = 1.60 \, \text{m/s}^2 \\ \\ a_3 &= \frac{240000 \, \text{N}}{100000 \, \text{kg}} = 2.40 \, \text{m/s}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les accélérations sismiques aux différents niveaux sont :
  • \(a_1 = 0.80 \, \text{m/s}^2\)
  • \(a_2 = 1.60 \, \text{m/s}^2\)
  • \(a_3 = 2.40 \, \text{m/s}^2\)

Question 6 : Accélération sismique au sommet de la structure (\(a_{\text{sommet}}\))

Principe :

L'accélération au sommet de la structure correspond à l'accélération calculée pour le niveau le plus élevé (Niveau 3 dans ce cas).

Calcul :
\[a_{\text{sommet}} = a_3 = 2.40 \, \text{m/s}^2\]
Résultat Question 6 : L'accélération sismique au sommet de la structure est \(a_{\text{sommet}} = 2.40 \, \text{m/s}^2\).

Question 7 : Exprimer l'accélération au sommet en multiple de \(g\)

Principe :

Pour exprimer une accélération en multiple de \(g\), on la divise par la valeur de l'accélération due à la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[a_{\text{sommet (en g)}} = \frac{a_{\text{sommet}}}{g}\]
Données spécifiques :
  • \(a_{\text{sommet}} = 2.40 \, \text{m/s}^2\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} a_{\text{sommet (en g)}} &= \frac{2.40 \, \text{m/s}^2}{9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 0.2446 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'accélération sismique au sommet de la structure est d'environ \(0.245g\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la masse du dernier étage (\(m_3\)) était plus grande, et que \(F_3\) restait la même, l'accélération \(a_3\) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La distribution des forces sismiques le long de la hauteur d'un bâtiment régulier est souvent supposée :

2. L'accélération sismique au sommet d'un bâtiment est généralement :

3. La force sismique de base (\(F_b\)) dépend, entre autres, de :

Glossaire

Force Sismique de Base (\(F_b\))
Force horizontale totale équivalente à l'action sismique, appliquée à la base de la structure pour les calculs de dimensionnement selon la méthode de la force statique équivalente.
Distribution Verticale des Forces Sismiques
Répartition de la force sismique de base le long de la hauteur de la structure, en forces latérales appliquées à chaque niveau.
Masse Sismique (\(M\))
Masse totale de la structure qui est considérée comme participant à la réponse sismique. Elle inclut généralement les charges permanentes et une fraction des charges d'exploitation.
Période Fondamentale (\(T_1\))
Période naturelle de vibration la plus longue d'une structure, correspondant à son premier mode de vibration.
Accélération Sismique (\(a_i\))
Accélération subie par un niveau \(i\) de la structure lors d'un séisme. L'accélération au sommet est souvent critique pour les éléments non structuraux.
Mode Fondamental de Vibration
Forme de déformation la plus simple et généralement la plus significative qu'une structure adopte lorsqu'elle vibre librement à sa période fondamentale.
Eurocode 8
Norme européenne pour la conception et le dimensionnement des structures pour leur résistance aux séismes.
Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet - Exercice d'Application

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