Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau
Comprendre le Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau
Vous êtes un ingénieur civil chargé de concevoir un pont au-dessus d’une rivière. Le pont doit résister à la force exercée par l’écoulement de l’eau, en particulier lors de crues annuelles. Pour cela, il est essentiel de calculer la quantité de mouvement de l’écoulement de la rivière qui agit sur les piles du pont afin d’assurer sa stabilité et sa sécurité.
Données :
- La largeur de la rivière est de 50 mètres.
- La profondeur moyenne de l’eau est de 3 mètres.
- La vitesse moyenne de l’écoulement de l’eau est de 2 m/s.
- La densité de l’eau est de \(1000 \, \text{kg/m}^3\).
Question :
Calculer la force totale exercée par l’écoulement de la rivière sur une pile du pont, en considérant que la pile a une largeur frontale de 2 mètres perpendiculaire à l’écoulement. Utilisez le principe de la quantité de mouvement pour effectuer ce calcul.
Correction : Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau
1. Calcul de la quantité de mouvement
La force exercée par l’eau sur la pile s’obtient en considérant le transfert de quantité de mouvement de l’eau qui heurte la pile. Pour cela, il faut d’abord déterminer le débit massique de l’eau qui impacte la surface frontale de la pile.
Formule
Le débit massique \( \dot{m} \) (en kg/s) est donné par :
\[ \dot{m} = \rho \times A \times v \]
où :
- \(\rho\) est la densité de l’eau (kg/m³),
- A est l’aire de la surface frontale exposée à l’écoulement (m²),
- v est la vitesse moyenne de l’eau (m/s).
Données
- Densité de l’eau : \(\rho = 1000\) kg/m³
- Profondeur moyenne de l’eau : \(h = 3\) m
- Largeur frontale de la pile : \(b = 2\) m
- Vitesse de l’eau : \(v = 2\) m/s
L’aire A de la surface frontale de la pile (exposée à l’écoulement) est obtenue en multipliant la largeur de la pile par la profondeur de l’eau :
\[ A = b \times h \] \[ A = 2 \, \text{m} \times 3 \, \text{m} \] \[ A = 6 \, \text{m}^2 \]
Calcul du débit massique
Substituons les valeurs dans la formule :
\[ \dot{m} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 6 \, \text{m}^2 \times 2 \, \text{m/s} \]
\[ \dot{m} = 1000 \times 6 \times 2 \] \[ \dot{m} = 12\,000 \, \text{kg/s} \]
2. Calcul de la force exercée par l’écoulement (principe de la quantité de mouvement)
La force exercée par l’eau sur la pile est équivalente au taux de variation de la quantité de mouvement de l’eau qui percut la pile. Si l’on suppose que l’eau est arrêtée (ou déviée) par la pile, la force F est donnée par :
\[ F = \dot{m} \times v \]
où \( \dot{m} \) est le débit massique calculé précédemment et \( v \) la vitesse de l’eau.
Formule
\[ F = \rho \times A \times v^2 \]
Calcul
En substituant les valeurs :
\[ F = 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 6 \, \text{m}^2 \times (2 \, \text{m/s})^2 \]
Calculons \((2 \, \text{m/s})^2 = 4 \, \text{m}^2/\text{s}^2\), d’où :
\[ F = 1000 \times 6 \times 4 \] \[ F = 24\,000 \, \text{N} \]
3. Conclusion
La force totale exercée par l’écoulement de la rivière sur la pile du pont est de 24 000 N.
Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau
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