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Calcul de la quantité de Mouvement de l’eau

Exercice: Quantité de Mouvement en Hydraulique

Calcul de la Quantité de Mouvement en Hydraulique

Contexte : Le théorème d'EulerPrincipe fondamental de la dynamique des fluides qui relie les forces exercées sur un fluide à la variation de sa quantité de mouvement..

Cet exercice porte sur l'application du principe de la quantité de mouvement pour déterminer les efforts exercés par un fluide en mouvement sur une structure. Nous étudierons le cas d'un coude réducteur horizontal qui dévie un écoulement d'eau. Ce type de calcul est essentiel en ingénierie pour dimensionner les supports et ancrages des tuyauteries sous pression.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser l'application vectorielle du théorème d'Euler sur un volume de contrôle, en combinant les lois de conservation de la masse (équation de continuité) et de l'énergie (théorème de Bernoulli).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et définir un volume de contrôleRégion de l'espace délimitée par une surface fictive, utilisée pour analyser les écoulements de fluide en appliquant les lois de conservation. adapté au problème.
  • Appliquer l'équation de continuité pour calculer les vitesses du fluide.
  • Utiliser le théorème de Bernoulli pour déterminer la pression dans une section de l'écoulement.
  • Calculer les composantes de la force exercée par le fluide sur le coude en utilisant l'équation de la quantité de mouvement.

Données de l'étude

On considère un écoulement permanent d'eau dans un coude réducteur horizontal à 90°. Les pertes de charge sont négligées.

Schéma du Coude Réducteur Horizontal
P₁, V₁, A₁ P₂, V₂, A₂ Fₓ Fᵧ x y
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit volumique \(Q\) 0.4 m³/s
Diamètre d'entrée \(D_1\) 300 mm
Diamètre de sortie \(D_2\) 150 mm
Pression relative en entrée \(P_1\) 200 kPa
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 kg/m³

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse moyenne dans la section d'entrée (1).
  2. Calculer la vitesse moyenne dans la section de sortie (2).
  3. Calculer la pression relative dans la section de sortie (2).
  4. Déterminer la composante \(F_x\) de la force exercée par le fluide sur le coude.
  5. Déterminer la composante \(F_y\) de la force exercée par le fluide sur le coude.

Les bases sur la Quantité de Mouvement

Le théorème d'Euler, appliqué à un volume de contrôle, est l'outil principal pour résoudre ce problème. Il stipule que la somme vectorielle de toutes les forces extérieures agissant sur le fluide contenu dans le volume de contrôle est égale au débit de quantité de mouvement sortant moins le débit de quantité de mouvement entrant.

1. Équation de la Quantité de Mouvement
Pour un écoulement permanent, l'équation s'écrit : \[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \dot{m} (\vec{V}_{\text{sortie}} - \vec{V}_{\text{entrée}}) = \rho Q (\vec{V}_{\text{sortie}} - \vec{V}_{\text{entrée}}) \] Où \(\sum \vec{F}_{\text{ext}}\) inclut les forces de pression et les forces de liaison (l'action de la structure sur le fluide).

2. Théorème de Bernoulli
Pour déterminer la pression en sortie, on utilise le théorème de Bernoulli entre l'entrée et la sortie pour un fluide parfait. Pour une conduite horizontale (\(z_1 = z_2\)) et sans perte de charge : \[ \frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} \]

Correction : Calcul de la Quantité de Mouvement en Hydraulique

Question 1 : Calculer la vitesse moyenne dans la section d'entrée (1).

Principe

La vitesse est directement liée au débit volumique et à l'aire de la section de passage. Nous utilisons l'équation de continuité, qui exprime la conservation de la masse : ce qui entre doit sortir.

Mini-Cours

L'équation de continuité stipule que pour un fluide incompressible en régime permanent, le débit volumique \(Q\) est constant à travers toutes les sections d'une conduite. Il est le produit de l'aire de la section \(A\) par la vitesse moyenne du fluide \(V\).

Remarque Pédagogique

Pensez toujours à vérifier la cohérence de vos unités avant de commencer le calcul. Le débit est en m³/s, le diamètre doit donc être en mètres pour obtenir une vitesse en m/s.

Normes

En mécanique des fluides, il n'y a pas de "norme" au sens réglementaire comme en génie civil (par ex. Eurocodes). Les calculs sont basés sur des principes physiques fondamentaux universellement acceptés comme la conservation de la masse.

Formule(s)

Formule de la vitesse en fonction du débit et de l'aire

\[ V = \frac{Q}{A} \]

Formule de l'aire d'une section circulaire

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Hypothèses
  • L'écoulement est permanent (les propriétés ne varient pas dans le temps).
  • Le fluide (eau) est considéré comme incompressible (\(\rho\) = constante).
  • La vitesse est uniforme sur toute la section (vitesse moyenne).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q\)0.4m³/s
Diamètre d'entrée\(D_1\)300mm
Astuces

Pour calculer rapidement l'aire d'un cercle, mémorisez que \(\pi/4 \approx 0.785\). Ainsi, \(A \approx 0.785 \times D^2\).

Schéma (Avant les calculs)
Section d'entrée (1)
Q = 0.4 m³/sD₁ = 300 mmV₁ = ?
Calcul(s)

Conversion du diamètre en mètres

\[ D_1 = 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m} \]

Calcul de l'aire d'entrée \(A_1\)

\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi \times (0.3)^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.09}{4} \\ &\approx 0.0707 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse \(V_1\)

\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{Q}{A_1} \\ &= \frac{0.4}{0.0707} \\ &\approx 5.66 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat pour la Vitesse d'Entrée
V₁ = 5.66 m/s
Réflexions

Une vitesse de 5.66 m/s (environ 20 km/h) est une vitesse significative pour un écoulement en conduite, ce qui est cohérent avec un débit important dans une conduite de 300 mm.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir le diamètre de millimètres en mètres avant de calculer l'aire. Une erreur d'un facteur 1000 sur le diamètre conduit à une erreur d'un facteur \(1000^2 = 1,000,000\) sur l'aire !

Points à retenir
  • La relation fondamentale à retenir est \(Q = V \times A\).
  • L'aire d'une section circulaire est \(A = \pi D^2 / 4\).
Le saviez-vous ?

Le concept de conservation de la masse dans les fluides a été formalisé pour la première fois par Léonard de Vinci, bien avant que les équations mathématiques ne soient établies par des scientifiques comme d'Alembert ou Euler.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on une vitesse "moyenne" ?

Dans une conduite réelle, à cause du frottement sur les parois, la vitesse n'est pas uniforme. Elle est maximale au centre et nulle sur les bords. Utiliser une vitesse moyenne est une simplification très efficace pour les calculs globaux comme celui du débit.

Résultat Final
La vitesse moyenne dans la section d'entrée est \(V_1 \approx 5.66 \, \text{m/s}\).
A vous de jouer

Si le débit était réduit de moitié (0.2 m³/s), quelle serait la nouvelle vitesse d'entrée ?

Question 2 : Calculer la vitesse moyenne dans la section de sortie (2).

Principe

Le principe est identique à la question 1 : on applique la conservation de la masse. Comme la section de sortie est plus petite, on s'attend à ce que la vitesse soit plus grande pour conserver le même débit.

Mini-Cours

L'équation de continuité \(Q = A_1 V_1 = A_2 V_2\) montre que pour un débit constant, la vitesse est inversement proportionnelle à l'aire de la section. C'est l'effet Venturi : la réduction de la section accélère le fluide.

Remarque Pédagogique

Avant de calculer, essayez d'estimer le résultat. Le diamètre est divisé par 2, donc l'aire (proportionnelle à D²) est divisée par 4. La vitesse devrait donc être multipliée par 4. Cela vous donne un ordre de grandeur pour vérifier votre calcul.

Normes

Le principe de conservation de la masse est une loi fondamentale de la physique, applicable à tous les problèmes de mécanique des fluides.

Formule(s)
\[ V_2 = \frac{Q}{A_2} \quad \text{avec} \quad A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} \]
Hypothèses
  • Les hypothèses de la question 1 (écoulement permanent, fluide incompressible, vitesse moyenne) restent valables.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q\)0.4m³/s
Diamètre de sortie\(D_2\)150mm
Astuces

Plutôt que de tout recalculer, utilisez la relation \(V_2 = V_1 \times (A_1/A_2) = V_1 \times (D_1/D_2)^2\). Ici, \(V_2 = V_1 \times (300/150)^2 = V_1 \times 2^2 = 4V_1\).

Schéma (Avant les calculs)
Section de sortie (2)
Q = 0.4 m³/sD₂ = 150 mmV₂ = ?
Calcul(s)

Conversion du diamètre de sortie en mètres

\[ D_2 = 150 \, \text{mm} = 0.15 \, \text{m} \]

Calcul de l'aire de sortie \(A_2\)

\[ \begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi \times (0.15)^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0225}{4} \\ &\approx 0.0177 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse \(V_2\)

\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{Q}{A_2} \\ &= \frac{0.4}{0.0177} \\ &\approx 22.64 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat pour la Vitesse de Sortie
V₂ = 22.64 m/s
Réflexions

La vitesse a bien été multipliée par 4, passant de 5.66 m/s à 22.64 m/s, ce qui confirme notre estimation. Cette forte accélération aura des conséquences importantes sur la pression et les forces exercées.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser le bon diamètre pour chaque section. Une confusion entre \(D_1\) et \(D_2\) est une erreur fréquente.

Points à retenir

Dans une conduite, pour un débit donné, une diminution de la section entraîne une augmentation de la vitesse. Cette relation est fondamentale en hydraulique.

Le saviez-vous ?

Les injecteurs des moteurs à combustion interne utilisent ce même principe : un carburant sous pression est forcé à travers un très petit orifice, ce qui le pulvérise en un fin brouillard à très haute vitesse, permettant une combustion efficace.

FAQ
Cette relation est-elle toujours vraie ?

Oui, pour les fluides incompressibles (comme les liquides). Pour les gaz à haute vitesse (fluides compressibles), la relation est plus complexe car la masse volumique \(\rho\) varie également.

Résultat Final
La vitesse moyenne dans la section de sortie est \(V_2 \approx 22.64 \, \text{m/s}\).
A vous de jouer

Si le diamètre de sortie était de 100 mm au lieu de 150 mm, quelle serait la nouvelle vitesse de sortie \(V_2\) ?

Question 3 : Calculer la pression relative dans la section de sortie (2).

Principe

L'augmentation de l'énergie cinétique du fluide (due à l'augmentation de sa vitesse) se fait au détriment de son énergie de pression. C'est le principe de conservation de l'énergie, décrit par le théorème de Bernoulli.

Mini-Cours

Le théorème de Bernoulli stipule que la charge totale (somme de la hauteur, de la charge de pression \(P/\rho g\) et de la charge de vitesse \(V^2/2g\)) reste constante le long d'une ligne de courant pour un fluide parfait (sans viscosité) et incompressible. Ici, comme la conduite est horizontale, le terme d'altitude est le même des deux côtés et s'annule.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de comprendre que Bernoulli relie pression et vitesse. Une augmentation de l'un entraîne une diminution de l'autre. Visualisez un avion : l'air va plus vite sur le dessus de l'aile (extrados), donc la pression y est plus faible, créant une force vers le haut (la portance).

Normes

Le théorème de Bernoulli est un principe fondamental de la dynamique des fluides, dérivé des lois de Newton.

Formule(s)

Formule de Bernoulli réarrangée pour trouver \(P_2\)

\[ P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - V_2^2) \]
Hypothèses
  • Les hypothèses précédentes sont maintenues.
  • On ajoute l'hypothèse que le fluide est parfait (viscosité nulle), ce qui nous permet de négliger les pertes de charge.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression d'entrée\(P_1\)200kPa
Masse volumique\(\rho\)1000kg/m³
Vitesse d'entrée\(V_1\)5.66m/s
Vitesse de sortie\(V_2\)22.64m/s
Astuces

Le terme \(V_1^2 - V_2^2\) sera fortement négatif car \(V_2\) est beaucoup plus grand que \(V_1\). On peut donc s'attendre à ce que \(P_2\) soit significativement plus faible que \(P_1\).

Schéma (Avant les calculs)
Application de Bernoulli entre (1) et (2)
①P₁=200 kPaV₁=5.66 m/s②P₂ = ?V₂=22.64 m/sLigne de courant
Calcul(s)

Conversion de la pression \(P_1\) en Pascals

\[ P_1 = 200 \, \text{kPa} = 200 \times 10^3 \, \text{Pa} \]

Calcul de la pression de sortie \(P_2\)

\[ \begin{aligned} P_2 &= 200000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (5.66^2 - 22.64^2) \\ &= 200000 + 500 \times (32.04 - 512.57) \\ &= 200000 + 500 \times (-480.53) \\ &= 200000 - 240265 \\ &= -40265 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Pressions
Section 1Section 2200 kPa-40.3 kPaP (kPa)
Réflexions

Le résultat est une pression négative (-40.3 kPa), ce qui signifie que la pression à la sortie est inférieure à la pression atmosphérique. Ce phénomène, connu sous le nom de cavitationFormation de bulles de vapeur dans un liquide lorsque la pression locale chute en dessous de la pression de vapeur saturante. L'implosion de ces bulles est très destructrice., peut se produire dans les zones de haute vitesse et doit être évité en pratique car il endommage les conduites.

Points de vigilance

Attention à l'ordre des termes dans \((V_1^2 - V_2^2)\). Une inversion changerait le signe du résultat. De plus, n'oubliez pas d'élever les vitesses au carré !

Points à retenir

Bernoulli est un outil puissant pour lier les changements de vitesse et de pression. La charge totale se conserve (en l'absence de pertes).

Le saviez-vous ?

La cavitation n'est pas toujours néfaste. Elle est utilisée dans des applications comme le nettoyage par ultrasons ou la destruction de calculs rénaux (lithotripsie).

FAQ
Que se passerait-il si on incluait les pertes de charge ?

Les pertes de charge représentent une perte d'énergie (généralement transformée en chaleur). Si on les incluait, la pression \(P_2\) calculée serait encore plus faible, car il y aurait moins d'énergie disponible dans le fluide à la sortie.

Résultat Final
La pression relative dans la section de sortie est \(P_2 \approx -40.3 \, \text{kPa}\).
A vous de jouer

Si la pression d'entrée \(P_1\) n'était que de 100 kPa, quelle serait la nouvelle pression de sortie \(P_2\) ?

Question 4 : Déterminer la composante \(F_x\) de la force exercée par le fluide sur le coude.

Principe

On applique le théorème d'Euler selon l'axe x. Ce principe stipule que la somme des forces extérieures agissant sur le fluide dans une direction est égale à la variation du débit de quantité de mouvement dans cette même direction.

Mini-Cours

Les forces extérieures projetées sur l'axe x sont : la force de pression à l'entrée (\(P_1 A_1\), qui pousse le fluide vers la droite) et la force de liaison du coude sur le fluide (\(R_x\), inconnue). Le débit de quantité de mouvement entrant est \(\rho Q V_{1x}\) et sortant est \(\rho Q V_{2x}\). La force du fluide sur le coude \(F_x\) est l'opposée de \(R_x\).

Remarque Pédagogique

Il est essentiel de bien définir le système : on étudie le fluide dans le volume de contrôle. Les forces \(F_x\) et \(F_y\) que l'on cherche sont les actions du fluide sur le coude, donc l'opposé des forces de liaison \(R_x\) et \(R_y\) qui apparaissent dans l'équation d'Euler.

Normes

L'équation de la quantité de mouvement est une formulation de la deuxième loi de Newton (\(F=ma\)) adaptée aux systèmes ouverts (avec entrée et sortie de matière), comme les volumes de contrôle en mécanique des fluides.

Formule(s)

Théorème d'Euler projeté sur l'axe x

\[ \sum F_{\text{x}} = \rho Q (V_{2\text{x}} - V_{1\text{x}}) \]

Bilan des forces sur l'axe x

\[ P_1 A_1 + R_{\text{x}} = \rho Q (0 - V_1) \]

Note : \(R_{\text{x}}\) est la force du coude sur le fluide. La force du fluide sur le coude, \(F_{\text{x}}\), est son opposée : \(F_{\text{x}} = -R_{\text{x}}\).

Hypothèses
  • Les hypothèses précédentes sont maintenues. On considère les pressions relatives (la pression atmosphérique s'exerce sur toute la surface extérieure et son effet s'annule).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression d'entrée\(P_1\)200000Pa
Aire d'entrée\(A_1\)0.0707m²
Masse volumique\(\rho\)1000kg/m³
Débit volumique\(Q\)0.4m³/s
Vitesse d'entrée\(V_1\)5.66m/s
Astuces

Soyez très attentif aux signes. Définissez un système d'axes (ici, x vers la droite, y vers le haut) et projetez rigoureusement toutes les forces et vitesses sur ces axes. \(V_1\) est selon +x, \(V_2\) est selon -y.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des Actions sur le Fluide (Axe x)
Section 1P₁A₁RₓFlux de quantité de mouvementρQV₁
Calcul(s)

Calcul de la force de liaison \(R_x\)

\[ \begin{aligned} R_{\text{x}} &= -P_1 A_1 - \rho Q V_1 \\ &= -(200000 \times 0.0707) - (1000 \times 0.4 \times 5.66) \\ &= -14140 - 2264 \\ &= -16404 \, \text{N} \end{aligned} \]

Calcul de la force du fluide sur le coude \(F_x\)

\[ F_{\text{x}} = -R_{\text{x}} = 16404 \, \text{N} \approx 16.4 \, \text{kN} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat pour la Force \(F_x\)
Fₓ = 16.4 kN
Réflexions

La force de 16.4 kN est considérable (équivalente au poids d'une masse de 1.6 tonne). Cela montre pourquoi les coudes dans les grosses canalisations doivent être solidement ancrés par des butées en béton.

Points de vigilance

Ne pas oublier le terme de pression \(P_1 A_1\). La force totale n'est pas due uniquement au changement de vitesse, mais aussi aux forces de pression statique.

Points à retenir

La somme des forces extérieures (pression + liaison) est égale à la variation du flux de quantité de mouvement.

Le saviez-vous ?

Le même principe est utilisé pour calculer la poussée d'un moteur de fusée. Le "volume de contrôle" est le moteur, et la somme des forces (poussée) est égale au débit massique des gaz éjectés multiplié par leur vitesse d'éjection.

FAQ
Pourquoi \(V_{2x}\) est nul ?

Parce que la section de sortie (2) est verticale. La vitesse \(V_2\) est entièrement dirigée selon l'axe y. Sa projection sur l'axe x est donc nulle.

Résultat Final
La composante horizontale de la force du fluide sur le coude est \(F_{\text{x}} \approx 16.4 \, \text{kN}\).
A vous de jouer

Si le coude était à 180° (un demi-tour) au lieu de 90°, que vaudrait \(V_{2\text{x}}\) (sachant que la vitesse de sortie \(V_2\) serait de 22.64 m/s mais dirigée vers la gauche) ?

Question 5 : Déterminer la composante \(F_y\) de la force exercée par le fluide sur le coude.

Principe

On applique le même théorème d'Euler, mais cette fois projeté sur l'axe vertical y.

Mini-Cours

Les forces extérieures projetées sur l'axe y sont : la force de pression à la sortie (\(P_2 A_2\), qui agit vers le bas, donc négativement si l'axe y est vers le haut) et la force de liaison du coude sur le fluide (\(R_y\)). Le débit de quantité de mouvement entrant est nul selon y (\(V_{1y}=0\)) et sortant est \(\rho Q V_{2y}\) (avec \(V_{2y} = -V_2\)).

Remarque Pédagogique

Attention à la pression de sortie \(P_2\). Comme elle est négative (dépression), la force de pression \(P_2 A_2\) est aussi négative, ce qui signifie qu'elle est dirigée vers l'extérieur du volume de contrôle, soit vers le haut. C'est un effet de "succion".

Normes

La deuxième loi de Newton est un principe vectoriel, il est donc valable pour chaque direction de l'espace indépendamment.

Formule(s)

Théorème d'Euler projeté sur l'axe y

\[ \sum F_{\text{y}} = \rho Q (V_{2\text{y}} - V_{1\text{y}}) \]

Bilan des forces sur l'axe y

\[ P_2 A_2 + R_{\text{y}} = \rho Q (-V_2 - 0) \]

Note : \(R_{\text{y}}\) est la force du coude sur le fluide. La force du fluide sur le coude, \(F_{\text{y}}\), est son opposée : \(F_{\text{y}} = -R_{\text{y}}\).

Hypothèses
  • Les mêmes hypothèses s'appliquent. Le poids de l'eau dans le coude est négligé devant les autres forces.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression de sortie\(P_2\)-40265Pa
Aire de sortie\(A_2\)0.0177m²
Masse volumique\(\rho\)1000kg/m³
Débit volumique\(Q\)0.4m³/s
Vitesse de sortie\(V_2\)22.64m/s
Astuces

Le signe de \(P_2\) est crucial. Une erreur de signe sur la pression peut changer radicalement le résultat de la force.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des Actions sur le Fluide (Axe y)
Section 2P₂A₂RᵧFlux de quantité de mouvementρQV₂
Calcul(s)

Calcul de la force de liaison \(R_y\)

\[ \begin{aligned} R_{\text{y}} &= -P_2 A_2 - \rho Q V_2 \\ &= -(-40265 \times 0.0177) - (1000 \times 0.4 \times 22.64) \\ &= 712.7 - 9056 \\ &= -8343.3 \, \text{N} \end{aligned} \]

Calcul de la force du fluide sur le coude \(F_y\)

\[ F_{\text{y}} = -R_{\text{y}} = 8343.3 \, \text{N} \approx 8.34 \, \text{kN} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat pour la Force \(F_y\)
Fᵧ = 8.34 kN
Réflexions

Même si l'eau sort vers le bas, la force sur le coude est dirigée vers le haut. C'est un résultat qui peut sembler contre-intuitif mais qui s'explique par la forte dépression à la sortie. Si la pression de sortie avait été positive et élevée, la force aurait été dirigée vers le bas.

Points de vigilance

La principale difficulté est la gestion des signes des forces de pression et des vitesses projetées sur les axes. Prenez le temps de dessiner un diagramme du corps libre pour le volume de contrôle afin de ne pas vous tromper.

Points à retenir

Le théorème d'Euler doit être appliqué pour chaque direction (x, y, z) séparément. Les forces de pression agissent toujours perpendiculairement aux surfaces.

Le saviez-vous ?

Les pompiers doivent se tenir fermement à leur lance à incendie car le changement de direction et l'accélération de l'eau à la sortie de la buse créent une force de recul importante, exactement selon le même principe physique.

FAQ
Et si le coude n'était pas horizontal ?

Si le coude avait une variation d'altitude, il faudrait inclure le poids de l'eau dans le volume de contrôle comme une force extérieure agissant sur l'axe vertical. Il faudrait aussi inclure les termes d'altitude \(z_1\) et \(z_2\) dans l'équation de Bernoulli.

Résultat Final
La composante verticale de la force du fluide sur le coude est \(F_{\text{y}} \approx 8.34 \, \text{kN}\).
A vous de jouer

Que deviendrait la composante \(F_y\) si la pression de sortie \(P_2\) était nulle (pression atmosphérique) ?

Outil Interactif : Simulateur de Force sur un Coude

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit et le diamètre d'entrée, et observez l'impact sur la force résultante que le fluide exerce sur le coude. Les autres paramètres restent fixes comme dans l'énoncé.

Paramètres d'Entrée
0.4 m³/s
300 mm
Résultats Clés
Force Résultante (F) - kN
Angle de la Force (θ) - degrés

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le théorème d'Euler est une application de :

2. Dans un coude réducteur horizontal, si le diamètre diminue, la vitesse du fluide :

3. Selon le théorème de Bernoulli pour un fluide parfait, si la vitesse augmente, la pression :

4. Le terme \(\rho Q V\) dans l'équation de la quantité de mouvement représente :

5. La force calculée \(F_x\) est la force exercée par...

Quantité de Mouvement
Produit de la masse d'un corps par sa vitesse. Pour un fluide, on parle de débit de quantité de mouvement, qui représente la quantité de mouvement qui traverse une section par unité de temps.
Volume de Contrôle
Une région fixe dans l'espace à travers laquelle le fluide s'écoule. Les lois de conservation (masse, énergie, quantité de mouvement) sont appliquées à ce volume pour analyser l'écoulement.
Théorème de Bernoulli
Principe de conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement, qui établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude du fluide.
Exercice - Quantité de Mouvement en Hydraulique

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