EGC

Calcul de la contrainte de flexion

Calcul de la Contrainte de Flexion sur une Poutre en T en RdM

Calcul de la Contrainte de Flexion sur une Poutre en T

Contexte : L'efficacité des poutres en T dans les planchers.

En génie civil, les poutres en T sont omniprésentes, notamment dans la construction de planchers en béton armé ou de ponts. Leur forme est optimisée pour résister à la flexion : la large semelle supérieure (la "table de compression") travaille efficacement en compression, tandis que la partie verticale (la "nervure") reprend les efforts de traction (souvent avec l'aide d'armatures en acier). Comprendre comment calculer la contrainte de flexionForce interne par unité de surface qui s'oppose à la déformation de flexion. Elle est maximale sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre. dans une telle section est une compétence fondamentale pour tout ingénieur structure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice aborde le cas d'une section non symétrique par rapport à son axe de flexion. Contrairement à une simple section rectangulaire, la première étape cruciale sera de localiser l'axe neutre, qui ne se trouve plus au centre géométrique de la hauteur totale. C'est une étape supplémentaire indispensable pour les sections complexes.

Objectifs Pédagogiques

  • Localiser le centre de gravité (axe neutre) d'une section composée.
  • Calculer le moment quadratique d'une section en T en utilisant le théorème de Huygens.
  • Déterminer le moment fléchissant maximal pour une charge uniformément répartie.
  • Calculer les contraintes maximales de compression et de traction dans la section.
  • Vérifier la validité de la conception par rapport aux contraintes admissibles du matériau.

Données de l'étude

Une poutre de plancher en béton armé a une section en T. Elle est simplement appuyée à ses deux extrémités et supporte une charge uniformément répartie \(q\) (incluant son poids propre et les charges d'exploitation). On souhaite vérifier les contraintes maximales dans le béton.

Schéma de la poutre en T et du chargement
q L = 6000 mm Section en T b_f h_w
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la poutre \(L\) 6000 \(\text{mm}\)
Largeur de la semelle (table) \(b_f\) 400 \(\text{mm}\)
Épaisseur de la semelle \(h_f\) 120 \(\text{mm}\)
Hauteur de la nervure \(h_w\) 380 \(\text{mm}\)
Largeur de la nervure \(b_w\) 250 \(\text{mm}\)
Charge uniformément répartie \(q\) 15 \(\text{kN/m}\)
Contrainte admissible en compression du béton \(\sigma_{\text{bc,adm}}\) 15 \(\text{MPa}\)
Contrainte admissible en traction du béton \(\sigma_{\text{bt,adm}}\) 1.5 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Déterminer la position du centre de gravité \(y_G\) (et donc de l'axe neutre) de la section en T par rapport à la fibre inférieure.
  2. Calculer le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) de la section par rapport à son axe neutre.
  3. Calculer le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\) dans la poutre.
  4. Calculer la contrainte maximale en compression (\(\sigma_{\text{comp}}\)) et en traction (\(\sigma_{\text{trac}}\)) et vérifier si la section est adéquate.

Les bases de la Résistance des Matériaux

Pour aborder cet exercice, maîtrisons deux concepts fondamentaux pour les sections composées.

1. Centre de Gravité (Axe Neutre) :
Pour une section composée de plusieurs formes simples, la position du centre de gravité \(y_G\) est la moyenne des positions des centres de gravité de chaque forme, pondérée par leur aire. \[ y_G = \frac{\sum (A_i \cdot y_i)}{\sum A_i} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2 + \dots}{A_1 + A_2 + \dots} \] Où \(A_i\) est l'aire de la forme \(i\) et \(y_i\) est la position de son propre centre de gravité par rapport à un axe de référence.

2. Théorème de Huygens (Axes Parallèles) :
Ce théorème est essentiel pour calculer le moment quadratique d'une section composée. Il stipule que le moment quadratique d'une surface par rapport à un axe quelconque (\(I_{\text{Gz}}\)) est égal à son moment quadratique par rapport à son propre axe centroïdal (\(I_{\text{gi}}\)) plus le produit de son aire (\(A_i\)) par le carré de la distance (\(d_i\)) entre les deux axes. \[ I_{\text{Gz}} = \sum (I_{\text{gi}} + A_i \cdot d_i^2) \]

Correction : Calcul de la Contrainte de Flexion sur une Poutre en T

Question 1 : Déterminer la position du centre de gravité (Axe Neutre)

Principe (le concept physique)

L'axe neutre est la ligne à l'intérieur de la poutre qui ne subit ni compression ni traction lors de la flexion. Pour une section homogène, cet axe passe par le centre de gravité (ou centroïde) de la section. Pour une forme non symétrique comme un T, il faut le calculer. On le trouve en "équilibrant" les aires de la section par rapport à un axe de référence.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(y_G = (\sum A_i y_i) / (\sum A_i)\) est une application du concept de "premier moment d'aire". Le numérateur, \(\sum A_i y_i\), est le premier moment d'aire total de la section par rapport à l'axe de référence. En divisant par l'aire totale, on trouve la distance moyenne de cette aire à l'axe, ce qui correspond par définition à la position du centroïde.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour éviter les erreurs, soyez systématique. Décomposez la section en formes simples (ici, deux rectangles : la semelle et la nervure). Choisissez un axe de référence clair (par exemple, la base de la poutre). Créez un petit tableau pour calculer l'aire (A), la position du centre (y) et le produit (A·y) pour chaque forme avant de faire la somme.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul du centre de gravité est une étape préliminaire fondamentale dans toutes les normes de calcul de structures (Eurocodes, ACI, etc.) pour les sections qui ne sont pas doublement symétriques. C'est la base pour déterminer les propriétés de la section qui seront ensuite utilisées dans les formules de résistance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On décompose la section en deux rectangles : 1 (nervure) et 2 (semelle). On choisit la base de la poutre comme référence (y=0).

\[ y_G = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est homogène et que le béton n'est pas fissuré. (En béton armé, on utilise souvent une section "fissurée" pour les calculs à l'état limite ultime, mais ici on reste en calcul élastique).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Nervure (1): \(b_w = 250 \, \text{mm}\), \(h_w = 380 \, \text{mm}\)
  • Semelle (2): \(b_f = 400 \, \text{mm}\), \(h_f = 120 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de calculer, essayez d'estimer. La semelle est plus large et a une grande surface. Le centre de gravité sera donc "attiré" vers le haut, au-dessus du centre de la nervure. Il sera donc situé dans la semelle ou juste en dessous. Si votre résultat est au milieu de la nervure, il y a probablement une erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Section en T
21y=0y_G = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des aires et positions :

PartieCalcul Aire \(A_i\) (\(\text{mm}^2\))Aire (\(\text{mm}^2\))Position \(y_i\) (\(\text{mm}\))Calcul \(A_i y_i\) (\(\text{mm}^3\))\(A_i y_i\) (\(\text{mm}^3\))
Nervure (1)\(250 \times 380\)95 000\(380/2 = 190\)\(95000 \times 190\)18 050 000
Semelle (2)\(400 \times 120\)48 000\(380 + 120/2 = 440\)\(48000 \times 440\)21 120 000
Total143 00039 170 000

2. Calcul de \(y_G\) :

\[ \begin{aligned} y_G &= \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} \\ &= \frac{39170000 \, \text{mm}^3}{143000 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 273.9 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position de l'Axe Neutre
Gzy_G ≈ 274 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le centre de gravité est situé à 274 mm de la base. La hauteur totale de la poutre est de 380 + 120 = 500 mm. L'axe neutre se trouve donc dans la nervure, sous la semelle, ce qui est cohérent avec notre estimation initiale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal définir les positions \(y_i\). Par exemple, oublier d'ajouter la hauteur de la nervure (380 mm) pour calculer la position du centre de la semelle. Toujours bien définir son repère et mesurer toutes les distances à partir de celui-ci.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour une section composée, l'axe neutre passe par le centre de gravité.
  • On le trouve avec la formule de la moyenne pondérée des aires : \(y_G = (\sum A_i y_i) / (\sum A_i)\).
  • La méthode (tableau, décomposition) doit être rigoureuse.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts en poutres-caissons, la section est creuse. Cela permet de maximiser le moment quadratique (en éloignant la matière de l'axe neutre) tout en réduisant considérablement le poids propre de la structure, ce qui est crucial pour les longues portées.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la section était en "I" ?

Si la section en "I" est symétrique, le centre de gravité est simplement à la moitié de la hauteur totale, le calcul n'est pas nécessaire. Si elle est asymétrique, la méthode de calcul est exactement la même : on la décompose en 3 rectangles (semelle supérieure, âme, semelle inférieure) et on applique la formule de la moyenne pondérée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La position de l'axe neutre est à \(y_G \approx 273.9 \, \text{mm}\) de la fibre inférieure.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'épaisseur de la semelle (\(h_f\)) était de 200 mm au lieu de 120, où se situerait le nouvel axe neutre (en mm) ?

Simulateur 3D : Position de l'Axe Neutre

Position Axe Neutre (y_G) : 273.9 mm

Question 2 : Calculer le moment quadratique (I_Gz)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons la position de l'axe neutre global (Gz), nous pouvons calculer la rigidité géométrique de la section entière par rapport à cet axe. Nous ne pouvons pas simplement additionner les moments quadratiques des deux rectangles. Nous devons utiliser le théorème de Huygens pour "transporter" le moment quadratique de chaque forme de son propre centre de gravité vers l'axe neutre global.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le terme \(A_i d_i^2\) dans le théorème de Huygens représente la contribution à la rigidité due à l'éloignement de la forme \(i\) de l'axe neutre global. Plus une surface est loin de l'axe de flexion, plus sa contribution à la rigidité globale est importante. C'est le principe même des poutres en I ou des caissons : maximiser la distance \(d\) pour les semelles.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le théorème de Huygens est un outil puissant mais qui demande de la rigueur. La distance \(d_i\) est la distance entre le centre de gravité de la forme \(i\) (\(y_i\)) et le centre de gravité global (\(y_G\)). Calculez cette distance pour chaque forme avant d'appliquer la formule. Une erreur sur \(d_i\) est fréquente et a un fort impact car ce terme est au carré.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 (pour le calcul des structures en béton) et l'Eurocode 3 (pour l'acier) s'appuient sur le théorème de Huygens pour définir les propriétés de sections complexes ou reconstituées. Les catalogues de profilés métalliques fournissent directement la valeur de l'inertie par rapport aux axes principaux, mais pour des sections sur mesure, ce calcul est indispensable.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour chaque rectangle \(i\), son moment quadratique propre est \(I_{\text{gi}} = b_i h_i^3 / 12\). La distance de transport est \(d_i = |y_i - y_G|\).

\[ I_{\text{Gz}} = (I_{\text{g1}} + A_1 d_1^2) + (I_{\text{g2}} + A_2 d_2^2) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue de supposer que la section est homogène et non fissurée. Le théorème de Huygens est une formulation purement géométrique et ne dépend pas du matériau.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Toutes les données géométriques de la Q1.
  • Position de l'axe neutre, \(y_G = 273.9 \, \text{mm}\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme de transport (\(Ad^2\)) est souvent prépondérant par rapport au moment quadratique local (\(I_g\)), surtout pour les formes "plates" comme les semelles qui sont loin de l'axe global. Une bonne estimation peut parfois être obtenue en ne considérant que les termes de transport et en négligeant les inerties locales.

Schéma (Avant les calculs)
Distances pour le Théorème de Huygens
Gzg1g2d1d2
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul pour la nervure (1) :

\[ \begin{aligned} I_{\text{g1}} &= \frac{b_w h_w^3}{12} \\ &= \frac{250 \cdot 380^3}{12} \\ &\approx 1.144 \times 10^9 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} d_1 &= |y_1 - y_G| \\ &= |190 - 273.9| \\ &= 83.9 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_1 d_1^2 &= 95000 \cdot (83.9)^2 \\ &\approx 0.668 \times 10^9 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul pour la semelle (2) :

\[ \begin{aligned} I_{\text{g2}} &= \frac{b_f h_f^3}{12} \\ &= \frac{400 \cdot 120^3}{12} \\ &= 5.76 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} d_2 &= |y_2 - y_G| \\ &= |440 - 273.9| \\ &= 166.1 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_2 d_2^2 &= 48000 \cdot (166.1)^2 \\ &\approx 1.324 \times 10^9 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

3. Somme totale :

\[ \begin{aligned} I_{\text{Gz}} &= (I_{\text{g1}} + A_1 d_1^2) + (I_{\text{g2}} + A_2 d_2^2) \\ &= (1.144 \times 10^9 + 0.668 \times 10^9) + (5.76 \times 10^7 + 1.324 \times 10^9) \\ &\approx 3.194 \times 10^9 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contribution à l'Inertie Totale
Nervure (1.81)Semelle (1.38)I_Gz ≈ 3.19 x 10⁹ mm⁴Contributions en 10⁹ mm⁴
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment quadratique total est de \(3.194 \times 10^9 \, \text{mm}^4\). On remarque que pour la semelle, le terme de transport (\(A_2 d_2^2\)) est 23 fois plus grand que son moment quadratique propre (\(I_{\text{g2}}\)). Cela confirme que c'est bien l'éloignement de la semelle par rapport à l'axe neutre qui lui donne sa grande efficacité pour la rigidité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier le terme de transport \(A_i d_i^2\). Une addition simple des \(I_{\text{gi}}\) donnerait un résultat complètement faux et très sous-estimé. Assurez-vous aussi que les unités sont cohérentes (tout en mm pour obtenir des mm⁴).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment quadratique d'une section composée est la somme des moments quadratiques de ses parties, transportés vers l'axe neutre global.
  • Le théorème de Huygens est l'outil pour ce transport : \(I_{\text{total}} = \sum (I_{\text{local}} + Ad^2)\).
  • La distance de transport \(d\) est cruciale et doit être calculée avec précision.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La précontrainte par post-tension, souvent utilisée pour les dalles de parking ou les ponts, consiste à placer des câbles dans des gaines vides à l'intérieur du béton. Une fois que le béton a durci, les câbles sont tendus avec des vérins puis bloqués à leurs extrémités. Cette technique permet de créer des formes de poutres complexes et d'ajuster la force de précontrainte avec une grande précision.

FAQ (pour lever les doutes)
Le théorème de Huygens fonctionne-t-il pour n'importe quelle forme ?

Oui, il est universel. Il fonctionne pour des rectangles, des cercles, des triangles, ou toute autre forme dont vous connaissez l'aire, la position du centre de gravité et le moment quadratique par rapport à son propre centre de gravité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment quadratique de la section en T est \(I_{\text{Gz}} \approx 3.194 \times 10^9 \, \text{mm}^4\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la largeur de la nervure (\(b_w\)) était réduite à 150 mm, quel serait le nouveau \(I_{\text{Gz}}\) en 10⁹ mm⁴ ? (Astuce : vous devez recalculer \(y_G\) d'abord !)

Simulateur 3D : Théorème de Huygens

Inertie Totale (I_Gz) : 3.19 x 10⁹ mm⁴

Question 3 : Calculer le moment fléchissant maximal (M_max)

Principe (le concept physique)

Pour une poutre sur deux appuis subissant une charge répartie sur toute sa longueur (comme un pont sous son propre poids), le moment de flexion n'est pas nul. Il est nul aux extrémités mais atteint une valeur maximale au centre de la travée. C'est à cet endroit que la poutre est la plus sollicitée et risque le plus de fléchir ou de se rompre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation entre charge (\(q\)), effort tranchant (\(V\)) et moment fléchissant (\(M\)) est fondamentale : \(V(x) = \int -q(x) dx\) et \(M(x) = \int V(x) dx\). Pour une charge constante \(q\), l'effort tranchant est linéaire (\(V(x) = qL/2 - qx\)) et le moment est parabolique. Le moment est maximal lorsque sa dérivée (l'effort tranchant) est nulle, ce qui se produit à \(x=L/2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une planche de bois posée sur deux tréteaux. Si vous vous tenez au milieu, la planche plie. C'est une charge ponctuelle (\(M_{\text{max}}=FL/4\)). Si maintenant vous répartissez une rangée de livres sur toute la longueur, la planche plie aussi, mais de manière plus douce, plus parabolique. C'est une charge répartie, et le moment maximal est plus faible que si tout le poids des livres était concentré en un seul point (\(M_{\text{max}}=qL^2/8\)).

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction, comme l'Eurocode 1, définissent les charges d'exploitation (\(q\)) à appliquer pour différents types de bâtiments (habitations, bureaux, parkings...). Les ingénieurs combinent ces charges avec les charges permanentes (poids propre) en utilisant des coefficients de sécurité pour obtenir la charge de calcul finale à utiliser dans la formule \(qL^2/8\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre sur appuis simples de longueur L avec une charge uniformément répartie q :

\[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est parfaitement uniforme sur toute la longueur et que les appuis sont des rotules parfaites, n'offrant aucune résistance à la rotation.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie, \(q = 15 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 6000 \, \text{mm} = 6 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! La charge est en kN/m et la longueur en m (ou mm). Il est plus simple de tout convertir dans un système cohérent avant le calcul. Convertissons q en N/mm : \(15 \, \text{kN/m} = 15000 \, \text{N/m} = 15 \, \text{N/mm}\). Le calcul sera alors \(M_{\text{max}} = (15 \cdot 6000^2) / 8\), et le résultat sera directement en N·mm.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Moment pour une Charge Répartie
M_max = ?00
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la charge : \(q = 15 \, \text{kN/m} = 15 \, \text{N/mm}\).

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= \frac{q \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{15 \, \text{N/mm} \cdot (6000 \, \text{mm})^2}{8} \\ &= \frac{15 \cdot 36 \times 10^6}{8} \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 67.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

En unités plus communes : \(M_{\text{max}} = 67.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Schéma (Après les calculs)
Valeur Maximale du Moment Fléchissant
M_max = 67.5 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un moment de 67.5 kN·m est une sollicitation significative qui va générer des contraintes importantes dans le béton. C'est cette valeur que nous utiliserons pour vérifier la résistance de la section.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est de mélanger les unités (kN et N, m et mm). La seconde est de confondre la formule pour une charge répartie (\(qL^2/8\)) avec celle pour une charge ponctuelle (\(FL/4\)). Le diagramme des moments pour une charge répartie est parabolique, pas triangulaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment maximal pour une charge répartie \(q\) sur une poutre simple est \(M_{\text{max}} = qL^2/8\).
  • Il se produit au milieu de la travée (\(x=L/2\)).
  • La cohérence des unités est primordiale dans le calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les ponts et les grandes structures, les ingénieurs tracent des "lignes d'influence". Ce sont des diagrammes qui montrent l'effet (moment, effort tranchant, etc.) en un point précis de la structure lorsqu'une charge unitaire se déplace le long de celle-ci. Cela permet de trouver la position la plus défavorable d'un convoi (comme un camion) pour maximiser la sollicitation.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la poutre est encastrée à ses extrémités ?

Un encastrement empêche la rotation, ce qui génère un moment négatif (de flexion inversée) aux appuis. Le moment maximal au centre de la travée est alors réduit à \(qL^2/24\), mais un moment de \(qL^2/12\) apparaît aux encastrements. La poutre est globalement plus rigide et plus résistante, mais il faut la dimensionner pour ces deux types de moments.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant maximal est de \(67.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\) (ou 67.5 kN·m).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était réduite à 5 m, quel serait le nouveau moment maximal en kN·m ?

Simulateur 3D : Moment Fléchissant

Moment Max : 67.5 kN·m

Question 4 : Calculer les contraintes maximales et vérifier

Principe (le concept physique)

La formule de flexion \(\sigma = My/I\) nous permet de calculer la contrainte en n'importe quel point de la section. Puisque notre axe neutre n'est pas au centre, la distance à la fibre la plus haute (\(y_{\text{sup}}\), comprimée) est différente de la distance à la fibre la plus basse (\(y_{\text{inf}}\), tendue). Nous devons donc calculer deux contraintes maximales et les comparer à leurs limites admissibles respectives, qui sont très différentes pour le béton.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La distribution des contraintes est linéaire et passe par zéro à l'axe neutre. La pente de cette ligne est déterminée par le rapport \(M/I\). La valeur de la contrainte en un point est cette pente multipliée par la distance \(y\) de ce point à l'axe neutre. Les valeurs maximales sont donc toujours sur les fibres les plus éloignées de cet axe.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le béton est comme une pierre : il résiste très bien quand on l'écrase (compression), mais casse très facilement quand on l'étire (traction). C'est pourquoi on doit vérifier deux limites très différentes. Le résultat de ce calcul nous montrera immédiatement pourquoi l'invention du béton armé par Joseph Monier a été une révolution : l'acier, placé dans la zone tendue, pallie la faiblesse du béton.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul du béton armé (comme l'Eurocode 2) sont basées sur le fait que le béton tendu est considéré comme fissuré et donc incapable de reprendre des efforts. Le calcul réglementaire ne considère que le béton comprimé et les aciers tendus. Notre calcul élastique est une première approche qui permet de justifier la nécessité de ces aciers.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte en compression (fibre supérieure) :

\[ \sigma_{\text{comp}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot y_{\text{sup}}}{I_{\text{Gz}}} \]

Contrainte en traction (fibre inférieure) :

\[ \sigma_{\text{trac}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot y_{\text{inf}}}{I_{\text{Gz}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On effectue une vérification en "élasticité linéaire", en supposant que le béton se comporte de la même manière en traction et en compression et ne s'est pas encore fissuré. C'est une hypothèse de calcul pour l'état limite de service (ELS).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{max}} = 67.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(I_{\text{Gz}} = 3.194 \times 10^9 \, \text{mm}^4\)
  • \(y_G = y_{\text{inf}} = 273.9 \, \text{mm}\)
  • Hauteur totale \(H = 500 \, \text{mm}\), donc \(y_{\text{sup}} = H - y_{\text{inf}} = 500 - 273.9 = 226.1 \, \text{mm}\)
  • \(\sigma_{\text{bc,adm}} = 15 \, \text{MPa}\) ; \(\sigma_{\text{bt,adm}} = 1.5 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le rapport \(M_{\text{max}}/I_{\text{Gz}}\) est constant pour les deux calculs. Calculez-le une fois : \(67.5 \times 10^6 / (3.194 \times 10^9) \approx 0.0211\). Ensuite, multipliez simplement ce facteur par \(y_{\text{sup}}\) et \(y_{\text{inf}}\) pour obtenir les deux contraintes. Cela réduit le risque d'erreur de frappe.

Schéma (Avant les calculs)
Distribution Linéaire des Contraintes sur la Section T
Gz-σ_comp?+σ_trac?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Contrainte de compression (en haut) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{comp}} &= \frac{M_{\text{max}} \cdot y_{\text{sup}}}{I_{\text{Gz}}} \\ &= \frac{67.5 \times 10^6 \cdot 226.1}{3.194 \times 10^9} \\ &\approx 4.78 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Contrainte de traction (en bas) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{trac}} &= \frac{M_{\text{max}} \cdot y_{\text{inf}}}{I_{\text{Gz}}} \\ &= \frac{67.5 \times 10^6 \cdot 273.9}{3.194 \times 10^9} \\ &\approx 5.79 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ \sigma_{\text{comp}} = 4.78 \, \text{MPa} < \sigma_{\text{bc,adm}} = 15 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \text{OK!} \]
\[ \sigma_{\text{trac}} = 5.79 \, \text{MPa} > \sigma_{\text{bt,adm}} = 1.5 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \text{NON OK!} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification des Contraintes Admissibles
Vérificationσ_comp=4.78σ_adm=15σ_trac=5.79σ_adm=1.5TRACTION NON VALIDÉE ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de compression dans la semelle (4.78 MPa) est bien inférieure à la limite admissible (15 MPa), la table de compression joue donc bien son rôle. Cependant, la contrainte de traction à la base de la nervure (5.79 MPa) dépasse très largement la faible résistance en traction du béton (1.5 MPa). En pratique, cela signifie que le béton dans la zone tendue va se fissurer. C'est précisément pour cette raison que l'on place des barres d'armature en acier dans cette zone pour reprendre l'effort de traction.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas utiliser la même distance \(y\) pour la traction et la compression. Pour les sections non symétriques, il y a toujours deux distances à considérer. Oublier cela peut conduire à ne pas identifier le point critique de la conception (ici, la traction).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de flexion dépend de la distance à l'axe neutre (\(y\)).
  • Pour une section en T, \(y_{\text{sup}} \neq y_{\text{inf}}\), il faut donc calculer deux contraintes.
  • Il faut comparer chaque contrainte (compression, traction) à sa limite admissible respective.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres mixtes acier-béton, des connecteurs métalliques (goujons) sont soudés sur la semelle supérieure de la poutre en acier et noyés dans la dalle en béton. Ces connecteurs forcent les deux matériaux à travailler ensemble comme une section unique, beaucoup plus rigide et résistante que la somme des deux éléments séparés. C'est le principe de l'action composite.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas simplement faire une poutre rectangulaire très haute ?

Ce serait inefficace. La matière proche de l'axe neutre est très peu sollicitée en flexion. La forme en T (ou en I) est une optimisation qui consiste à enlever cette matière "inutile" au centre et à la concentrer le plus loin possible de l'axe neutre (dans les semelles), là où elle travaille le plus. On obtient ainsi une rigidité quasi-équivalente pour un poids (et un coût) bien moindre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La section est adéquate en compression (\(4.78 < 15\) MPa) mais n'est pas adéquate en traction (\(5.79 > 1.5\) MPa). Des armatures en acier sont indispensables.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte de traction (en MPa) si le moment était deux fois plus faible (M=33.75 kN·m) ?

Simulateur 3D : Distribution des Contraintes

σ_trac / σ_adm : 3.86

Outil Interactif : Paramètres de la Poutre en T

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur les contraintes.

Paramètres d'Entrée
15 kN/m
6.0 m
400 mm
Résultats Clés
Contrainte Compression (MPa) -
Contrainte Traction (MPa) -
Ratio Traction (σ / σ_adm) -

Le Saviez-Vous ?

Le béton précontraint est une technique inventée par l'ingénieur français Eugène Freyssinet. Elle consiste à tendre des câbles d'acier à l'intérieur du béton avant qu'il ne durcisse. Une fois le béton pris, on relâche les câbles, qui, en se rétractant, mettent le béton en compression. Cette "pré-compression" annule les contraintes de traction qui apparaîtront sous charge, permettant de créer des structures beaucoup plus élancées et de franchir des portées bien plus grandes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la limite en traction du béton est-elle si faible ?

Le béton est un matériau composite (granulats, sable, ciment, eau). Sa résistance en compression vient du blocage mutuel des granulats. En traction, les forces tendent à séparer ces composants, et la "colle" (la pâte de ciment) a une très faible résistance à cet arrachement. C'est pourquoi sa résistance en traction est environ 10 fois plus faible que sa résistance en compression.

Que se passe-t-il si la charge n'est pas uniforme ?

Si la charge est différente (triangulaire, ponctuelle, etc.), les étapes 1 et 2 (calcul des propriétés de la section) ne changent pas. Cependant, l'étape 3 (calcul du moment maximal) sera différente. Il faudra utiliser la formule de Mmax correspondant au nouveau cas de charge, ou tracer les diagrammes d'efforts pour trouver la valeur maximale.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans notre poutre en T soumise à une charge par le dessus, la contrainte maximale de compression se situe...

2. Si on double la charge répartie (q), la contrainte maximale de traction...

Axe Neutre
Ligne dans la section droite d'une poutre où la contrainte de flexion est nulle. Pour un matériau homogène, il passe par le centre de gravité de la section.
Théorème de Huygens
Aussi appelé théorème des axes parallèles, il permet de calculer le moment quadratique d'une surface par rapport à un axe, connaissant son moment quadratique par rapport à un axe parallèle passant par son centre de gravité.
Charge Répartie (q)
Force agissant sur une certaine longueur (ou surface), exprimée en force par unité de longueur (ex: N/m) ou de surface (ex: Pa).
Calcul de la Contrainte de Flexion sur une Poutre en T

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