Études de cas pratique

EGC

Calcul de la contrainte de flexion

Calcul de la Contrainte de Flexion dans une Poutre

Calcul de la Contrainte de Flexion dans une Poutre

Comprendre le Calcul de la Contrainte de Flexion

La flexion est une sollicitation courante dans les structures, où un élément (poutre) est soumis à des charges perpendiculaires à son axe longitudinal. Ces charges provoquent l'apparition de moments de flexion internes et, par conséquent, de contraintes normales de flexion. Ces contraintes varient linéairement à travers la section de la poutre, étant nulles à la fibre neutre, et maximales (en traction et en compression) aux fibres les plus éloignées de cet axe. La vérification de la résistance d'une poutre en flexion consiste à s'assurer que la contrainte de flexion maximale ne dépasse pas la contrainte admissible du matériau.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier S235 de section rectangulaire, simplement appuyée à ses deux extrémités et soumise à une charge ponctuelle en son milieu.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Poutre : Section rectangulaire
  • Longueur de la poutre (entre appuis) : \(L = 4.0 \, \text{m}\)
  • Acier : S235 (\(f_y = 235 \, \text{MPa}\), \(E = 210000 \, \text{MPa}\))
  • Dimensions de la section :
    • Largeur (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
    • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)

Sollicitations (ELU) :

  • Charge ponctuelle appliquée au milieu de la poutre (\(F\)) : \(20 \, \text{kN}\)
Schéma : Poutre Simplement Appuyée avec Charge Ponctuelle
Gz A B F = 20 kN R_A R_B L = 4000 mm h=200 b=100 Section droite

Poutre sur appuis simples avec charge ponctuelle F en son milieu. Dimensions en mm.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui \(R_A\) et \(R_B\).
  2. Déterminer le moment de flexion maximal (\(M_{max}\)) dans la poutre et sa position.
  3. Calculer le moment d'inertie (\(I_{Gz}\)) de la section droite de la poutre par rapport à son axe neutre horizontal passant par son centre de gravité.
  4. Déterminer la distance maximale (\(v_{max}\)) entre la fibre neutre et la fibre la plus éloignée de la section.
  5. Calculer la contrainte de flexion maximale (\(\sigma_{max}\)) dans la poutre.

Correction : Calcul de la Contrainte de Flexion

Question 1 : Réactions d'Appui (\(R_A\) et \(R_B\))

Principe :

Pour une poutre isostatique, les réactions d'appui sont déterminées en utilisant les équations de la statique : somme des forces verticales nulle (\(\sum F_y = 0\)) et somme des moments par rapport à un point nulle (\(\sum M_A = 0\)). Pour une poutre simplement appuyée avec une charge ponctuelle F symétrique, les réactions aux appuis sont égales et valent F/2.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - F = 0\] \[\sum M_A = 0 \Rightarrow F \cdot \frac{L}{2} - R_B \cdot L = 0\]
Données spécifiques :
  • Charge ponctuelle (\(F\)) : \(20 \, \text{kN} = 20000 \, \text{N}\)
  • Longueur de la poutre (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m} = 4000 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_B &= \frac{F \cdot (L/2)}{L} \\ &= \frac{F}{2} \\ &= \frac{20000 \, \text{N}}{2} \\ &= 10000 \, \text{N} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} R_A &= F - R_B \\ &= 20000 \, \text{N} - 10000 \, \text{N} \\ &= 10000 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions d'appui sont \(R_A = 10 \, \text{kN}\) et \(R_B = 10 \, \text{kN}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge F était appliquée au quart de la portée (L/4) depuis l'appui A, la réaction \(R_A\) serait :

Question 2 : Moment de Flexion Maximal (\(M_{max}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge ponctuelle F en son milieu, le moment de flexion est maximal sous la charge. Il peut être calculé en considérant une coupe à cet endroit et en sommant les moments des forces à gauche (ou à droite) de la coupe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{max} = R_A \cdot \frac{L}{2} \quad \text{(pour une charge ponctuelle au milieu)}\]

Ou plus généralement, \(M_{max} = \frac{F \cdot L}{4}\) pour ce cas de charge.

Données spécifiques :
  • \(R_A = 10000 \, \text{N}\)
  • \(L = 4000 \, \text{mm}\)
  • \(F = 20000 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{max} &= R_A \cdot \frac{L}{2} \\ &= 10000 \, \text{N} \cdot \frac{4000 \, \text{mm}}{2} \\ &= 10000 \, \text{N} \cdot 2000 \, \text{mm} \\ &= 20 \cdot 10^6 \, \text{Nmm} \end{aligned} \]

Alternativement avec la formule directe :

\[ \begin{aligned} M_{max} &= \frac{F \cdot L}{4} \\ &= \frac{20000 \, \text{N} \cdot 4000 \, \text{mm}}{4} \\ &= \frac{80 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}}{4} \\ &= 20 \cdot 10^6 \, \text{Nmm} \end{aligned} \]

Le moment maximal se situe au milieu de la poutre, sous la charge F (à \(x = L/2 = 2000 \, \text{mm}\)).

Résultat Question 2 : Le moment de flexion maximal est \(M_{max} = 20 \cdot 10^6 \, \text{Nmm} = 20 \, \text{kNm}\).

Question 3 : Moment d'Inertie (\(I_{Gz}\))

Principe :

Le moment d'inertie (ou moment quadratique) d'une section par rapport à un axe mesure sa capacité à résister à la flexion. Pour une section rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur \(h\), le moment d'inertie par rapport à l'axe horizontal passant par son centre de gravité (\(Gz\)) est donné par une formule standard.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{Gz} = \frac{b \cdot h^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • Largeur de la section (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{Gz} &= \frac{100 \, \text{mm} \cdot (200 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{100 \cdot 8000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{800 \cdot 10^6}{12} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 66.666667 \cdot 10^6 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment d'inertie de la section est \(I_{Gz} \approx 66.67 \cdot 10^6 \, \text{mm}^4\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la hauteur 'h' de la section rectangulaire double, le moment d'inertie \(I_{Gz}\) est multiplié par :

Question 4 : Distance Maximale à la Fibre Neutre (\(v_{max}\))

Principe :

La fibre neutre est l'axe à l'intérieur de la section de la poutre où la contrainte de flexion est nulle. Pour une section symétrique par rapport à l'axe de flexion (comme une section rectangulaire fléchie autour de son axe horizontal Gz), la fibre neutre passe par le centre de gravité. La distance maximale \(v_{max}\) (souvent notée \(y_{max}\)) est la distance de cette fibre neutre à la fibre la plus éloignée de la section (la surface supérieure ou inférieure).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_{max} = \frac{h}{2}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur de la section (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{max} &= \frac{200 \, \text{mm}}{2} \\ &= 100 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La distance maximale à la fibre neutre est \(v_{max} = 100 \, \text{mm}\).

Question 5 : Contrainte de Flexion Maximale (\(\sigma_{max}\))

Principe :

La contrainte de flexion (\(\sigma\)) dans une poutre est directement proportionnelle au moment de flexion (\(M\)) et à la distance (\(v\)) de la fibre considérée à la fibre neutre, et inversement proportionnelle au moment d'inertie (\(I\)) de la section. La contrainte est maximale aux fibres les plus éloignées de la fibre neutre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{max} = \frac{M_{max} \cdot v_{max}}{I_{Gz}}\]

On peut aussi utiliser le module de flexion \(W_{el,z} = \frac{I_{Gz}}{v_{max}}\), alors \(\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_{el,z}}\).

Données spécifiques :
  • \(M_{max} = 20 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}\)
  • \(v_{max} = 100 \, \text{mm}\)
  • \(I_{Gz} \approx 66.666667 \cdot 10^6 \, \text{mm}^4\) (valeur plus précise : \(\frac{800 \cdot 10^6}{12} \, \text{mm}^4\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{max} &= \frac{M_{max} \cdot v_{max}}{I_{Gz}} \\ &= \frac{20 \cdot 10^6 \, \text{Nmm} \cdot 100 \, \text{mm}}{66.666667 \cdot 10^6 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{2000 \cdot 10^6}{66.666667 \cdot 10^6} \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \\ &\approx 30 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul avec la valeur exacte de \(I_{Gz}\) pour plus de précision :

\[ \begin{aligned} \sigma_{max} &= \frac{20 \cdot 10^6 \cdot 100}{\frac{100 \cdot (200)^3}{12}} \\ &= \frac{20 \cdot 10^6 \cdot 100 \cdot 12}{100 \cdot 8 \cdot 10^6} \\ &= \frac{20 \cdot 12}{8} \\ &= \frac{240}{8} \\ &= 30 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Cette contrainte est positive (traction) à la fibre inférieure et négative (compression) à la fibre supérieure pour un moment positif (poutre "souriante"). La valeur absolue est la même.

Résultat Question 5 : La contrainte de flexion maximale est \(\sigma_{max} = 30 \, \text{MPa}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La contrainte de flexion dans une section de poutre est nulle :

7. Pour augmenter la résistance à la flexion d'une poutre rectangulaire sans changer sa surface de section, il est plus efficace de :

8. Le moment d'inertie (\(I\)) d'une section représente :

Glossaire

Contrainte de Flexion (\(\sigma\))
Contrainte normale interne à une section de poutre, induite par un moment de flexion. Elle varie linéairement depuis la fibre neutre.
Moment de Flexion (\(M\))
Effet de rotation interne dans une poutre dû aux charges externes. Il tend à courber la poutre.
Fibre Neutre (ou Axe Neutre)
Ligne ou surface à l'intérieur d'une section fléchie où la contrainte de flexion (et la déformation longitudinale) est nulle. Pour la flexion pure, elle passe par le centre de gravité de la section.
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion (ou à la torsion pour le moment d'inertie polaire). Un \(I\) élevé signifie une plus grande rigidité en flexion.
Module de Flexion (\(W_{el}\) ou \(I/v\))
Rapport entre le moment d'inertie (\(I\)) et la distance de la fibre neutre à la fibre la plus éloignée (\(v_{max}\)). Utilisé pour calculer la contrainte maximale : \(\sigma_{max} = M_{max} / W_{el}\).
Poutre Simplement Appuyée
Poutre reposant sur deux appuis simples (un articulé, un à rouleau) qui permettent la rotation mais empêchent la translation verticale (et un seul la translation horizontale).
Calcul de la Contrainte de Flexion - Exercice d'Application

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